СРПСКА АКАДЕМИЈА НАУКА ЗБОРНИК РАДОВА. Кљ.LV МАТЕМАТИЧКИ ИНСТИТУТ. Кљ. 6. Уредвик. Академик РАдИВОЈЕ КАШАНИН. Управвик Математичког института САН

Transcription

1

2 СРПСКА АКАДЕМИЈА НАУКА ЗБОРНИК РАДОВА Кљ.LV МАТЕМАТИЧКИ ИНСТИТУТ Кљ. 6 Уредвик Академик РАдИВОЈЕ КАШАНИН Управвик Математичкг института САН Примљен на VIII скупу Одељеља прирдн-математички наука С А Н 28 јуна 1957 ИЗДАВАЧКА УСГЛНОВА С А Н ~~~~~~~гpaд 57 _... 4' I ~ =.::-.:.- Ј

3 А С А D Е М 1 Е S Е R В Е D Е S S,C 1 Е N С Е s;o, RECUEIL DE TRAVAUX Т. LV L'INSTITUT МА ТНЕМА TIQUE К2 6 Redacteur: RADIVOJE КASANIN Membre de l' Academie Directeur de l'institut Мathematique Presente а la VПI Seance de la Section des Sciences Mathematiques et Naturelles de l' Academie Serbe des Sciences le 28 jџin 1957 BEOGRAD 1957.<:~ ::.. :.. i.:.. ~:.:~

4 САДРЖАЈ - т ABLE ОЕ МА TIERES Страна 1. ТАТОМИР АНЪEJIИЋ - Извђење Веltrаmi-Мlсhеl-ви једначllна у тензрскм блику из Salnt. Venant ви услва кмпатибилнсти ТАТОМЩ ANDELIC - ТЬе Beltiaml-Mlchell сmраtiьшtу equatlons In genera1 tensor {ст obtained {ст Saint-Venant's compatibi1lty equa!ions 4 2. МАНОЈЛО МАРАВИЋ ии редва. MANOJLO MARAVIC dlvergentes. О једнм пступку збирљивсти дивергент- Sur ип procme de sommatlon des series 5 52 З. ЧАСЛАВ СТАНОЈЕВИЋ - О интеграбилнсти неки тригнметриски редва CASLAV STANOJEV1C Оп Inlegrability! certa!n trlganoinetrlcal ser!es 4. АНТОН БИЛИМОВИЋ - О геметриским параметрима. ANTON BILIMOVIC - Sur 1es parametres geometriques 5. ШЕФКИЈА РАЉЕВИЋ - Примједба на један Маrdеп-в став SEFКlJA RALJEVIC - Remarque sur uп theoreme de М. Marden 6. СТАНИМИР ФЕМПЛ - О ЈеДНОЈ редукцији птпунг нрмалнг ели п тнчкг иитеграла треье врсте. SТANIMIR FEMPL - Sur uпе rеduсtlп de l'lntegra1e ешрtlquе norma1e стрше de III espece 7. ДРАГОЉУБ ПАВЛОВИЋ - Аривска грађа живту Марина Геталдиhа DRAGOLJUB PAVLOVIC - Contrlbutlon а 1а biograph!e dp. Marln Getaldic

5 ј

6 Збрник радва С.А.Н. 1" V - МаiliеAlаiliички инспiиiliуili KIb. б, 1957 RecueJl des travaux de Ј' Academle Serbe des $clenees L V l1/st/lut Matllematique.м б, 1957 ТАТОМИР П. АНЪЕЛИЋ ИЗВОЂЕЊЕ BEL ТRАМI-МIСНЕLL-ОВИХ ЈЕДНА ЧИНА У ТЕНЗОРСКОМ ОБЛИКУ ИЗ SАINТ-VЕNАNТ-ОВИХ \ УСЛОВА КОМПАТИБИЛНОСТИ Ознаке: р Х, густина, кваријантне крдинате спљашње запреминске силе, Lаmе-ви кефицијенти еластичнсти, Уuпg-в мдул и Рissп-ва кнстанта, е = gij~ji = {)/ Иј R'jJk 8jJk А Иј =. и/ј'ј' метрички тензр трдимензинг еуклидскг прстра у днсу на генералисани систем крдината x l (ј = 1,2,3), скаларна инваријанта тензра дефрмације а/ј (кубна дилатација), скаларна инваријанта тензра напна ~il' кваријантне крдинате вектра пмерања, Riemann Christoffel-в тензр, Ricci-ев антисиметрични тензр, У св. V "Publ. de l'lпsшut math... стр. 1-4 [1], са исправка ма и дпунама у св. IX [2] истг часписа, пказа сам как се мгу извести Beltrami-Michel1-0Be једначине у пштем тензрскм блику, кад се ПОђе д Lаmе-ви једначина, напр. у блику р X,+P"'+r-) a.i+r- А Иј = О. Овде Ьу сад пказати как се тај исти пшти блик Beltrami Мichеl1-0ВИХ једначина мже дбити и плазеhи д услва кмпатибилнсти тензра дефрмације у тензрскм блику. На ву мгуьнст указа је М. В r d i с k а у једнм свм раду [3], али је 1 Збрник Матеыатичкг института

7 II "I'IIIIII"+'I''''.'~ 2 сам н изве једна чине сам за У тсуству запремински сила, а зре. Наредн извђење је У ПО~ГПV'НОIt'... ~~;~' Ради пстизања пстављенг ЦИљапьи Sаiпt-Vепапtви услва кмпатибилнсти у нареднм блику' (види мј "Тензрски рачун" [4]) (1) Кад се вде тенз0р дефрмације замени, према Hooke-вОМ закну (Jlj - тенз0ром езпна, дбиhе се ~{(1+X)M-xeljel, Е I (2) Знам да је (1 +) 8јгр 8j5q ~Л. rs - В, гр BjBq ејј e,r.t = О. (3) 8јгр BjBq = е/ј е/, e;q егј е,в e rq ерј ер, ем I I1 С" rq I ј е'1 grq - ејј ј-е;в +e'q а сим тга је увек: ерв Opq I1рј ерч ерј е'ј ег, I ер! l' (4) 8irP Bj,q gll = В1,р 8! Bq = I1 pq е гэ -е р, e rq, ' е Ooij. ;; ==> " {. i} ГВ... е.гв V 'Ј/, е јј &.Ij = e",i =.1е == ејј е јј = e. l i. Из Nаviеr-ви једначина [4] лак се извде наредне везе pxi+~ji.l = О (5) (6) (7) (8) и {)Ji,jk = -р Х ј k, (9) Ак сад у једначинама (3) пдигнем индекс р и извршим кнтракцију р = q, дбиhем (1 + ) Вјг!' 8јвр ~jj, гв - Х 81г!' 8јвр eij е. гв = О. (11)

8 Извђен.е Веltrаml-Мlсhеl1-0ВИЈ: Једначина у тензрскм блику... 3 Израчунавањем назначени израза налазим,. 8;г. 8јвр = gjj ег, -g grj' (g.) g,s - gl5 gr}) gi1 = 2 g" На тај начин из (11), узимајуhи у бзир (10), дбивам прв (1 +'It) (g,s EI.rs + р X.,S)-2 'It g" е,гв =, па затим р (1 +) Хј,' +(1,.--) де =. Одатле дбивам, јш д раније [1] пзнату али на други начин изведену, везу и с бзирм на (10) 1+'It АО =-р_-хј,ј rs,rs = -- А е. 1+ (12) (13) Псле ви пмhни излагања мже се приступити развијању једначина (3). Наиме, с БЗIlРОМ на низ претдни релau.ија и на ч~њеницу да у еуј{лидсi(ом прстру резул1'ат два у~а.стпна кваријантна извда не зависи д претка у кме се ни извде, а према (4) за 8iГр 8)sq, дбиhе се (1 +) [(gpq g'5 - gpf g,q) е,'в..,... (gpi/ g'j -gрј g,q) gl. -31)," + + (gps g'j-gp) g,s) g.q &ij,rs]_x (gpq g,s-gps g,q) в,".- 1- = (l+) (gpq+ag-g,рq- --gpq Ae-рХ р,q-рх q,р-ll8-рq) (gpq AG-O,pq) = О, дн. nocjie прмене знака, дебе са 1 + и свђења 1 р (Xp,q+Xq,p) + --О'Р'l+I1-3рq - --gpq Ав =. l+ 1+ Најзад, кад се вде за АО унесе његва вреднст према (12), дбива се тражени најпштији тензрски блик Beltrami-Michell ви једначина 1 р Х О Р (Xi,k+X k ) + --О. k+а{}ilc + --gik ј'ј =, l+ l- (14) где су слбдни индекси i и k. Как је тензр напна -3 lk симетричан, са леве стране је симетрични тензр, па вј тензрскј једначини за ;, k = 1, 2, 3 дгвара шест скаларни једначина.

9 4 Т. П. Анђелиh Ак у тенз0рскј једначини (14) пдигнем индекс i на се претвара у једначину р (XI,Ic+X/t,i) + _1_Э'i.k+~..эki+ ~8kIX/J ~ О, (15) l+ l- кја у пштем случају не мра бити симетрична. Међутим и на чигледн дређује сам шест различити скаларни једначина. Наиме, ак двапут кваријантни симетрични тен:юр на левј страни тензрске једначине (14) бележим кратк T;k' тада међу крдинатама тензра Tki кји је на левј страни једначине (15) пстји веза glm Tk т = gk m тјm, кја дређује сам три различите скаларне једначине. (Саl1щтен на седници Мат. института САН) л и т Е Р А Т У Р А (.lj Т. Р. А л g е 11 t с h - Еlле Веmеrkuлg 2U dел G1e1chungen vл Beltraml МlсЬеll, РиЫ. lnst. math. Acad. serbe scl. 5 (1953), 1-4. (2) Еlле Неmеrkuлg zu den Glеlсhuпgеп von Beltraml-Mlchell. ibjd. 9 (1956), (3) М. Б Р д и ч к а - Уравнения СОRместнсти и функции напряжениlt в тензр НОМ виде. cehos/. tlz. Zuгn. з (1953), 1, (4) Т. П. А н ђ е п и h - Тензр.ски рачун. Беград, ТНЕ BELTRAMI-MICHELL COMPAТIBILIТY EQUAТIONS IN GENERAL TENSOR FORM ОВТ AINED FROM SAINT-VENANT'S COMPAТIВILIТY EQUAТIONS Ву. т: Р. ANOELIТCH Iп а previous р8рес [1, р. 1-4 апd 2, р ] the аиљс has shown how the most general form (14) ofthe Beltгami-Michell compatibllity equations сап Ье obtained from the equations of equi НЬсјит for ап elastic solid (Lame's equations). Here Ье shows how Ље same result сап Ье attained Ьу starting from Ље compatibllity equations јп terms of strians (Saint-Venant's странышу equations). Т tljis possibility pointed first М. Bгdicka [3Ј, but his developments tfre restricted to Ље so-саjlеd pure Beltгami's case, ј. е. without body forces.

10 Збрник радва С.А.Н. L V - Маiilемаiilички инсiilишуш НН1. б, 1957 Recueil des travaux de /' Academie Serbe des Sciences L V lnstifut Mathematique.NJ 6, 1957 МАНОЈЛО МАРАВИЋ О ЈЕДНОМ ПОСТУПКУ ЗБИРЉИВОСТИ ДИВЕРГЕНТНИХ РЕДОВА УВОД Пзнат је да се свакм д сада уптребљенм пступку збирљивсти мже придружити функција T(t, е), (8) О) кја дређује такзвани размак кнвергенције (t, t+ Т) ученг пступка. Так, например, пступку С дгвара функција Т (t, е) = е t, а В r е 1- вм пступку функција Т (t, е) = е 'Ј/. Према тме мжем извршити пделу пступака збирљивсти на класе, так да истј класи припадају сви ни пступци кји имају исту функцију Т (1, е). Функција Т ( t, е) стји у вези са питањем инверзије псматранг пступка збирљивсти. Инверзне тереме дају услве (услве кнвергенције) кје мра да задвљава функција да бисм мгли закључити њезину кнвергенцију, знајуhи да је на збирљива дтичним пступкм. У свакм случају ти услви зависе д самг пступка кме је реч. Један врл пшти блик услва кнвергенције јесте liminf min {A(t)-А(t)}>-w(е)~О. e~o. f~oc t::;;'c~t+t(t,e) Од нарчитг су интереса ни пступци збирљивсти кји зависе д некг параметра е, али так да разjiичитим вреднстима параметра дгварају разjiичите функције Т (t, е), тј. разjiичите дужине размака кнвергенције. Такав је например V а 1 i r п - в пступак [13] (специјалан случај) дефинисан са 'J1t lх а (Г f ер {- (~/~ УЈ А (t) dt кме дгвара функција Т (t, е) = е t е / з. Vаlirп-в пступак има, између сталг, примена у терији збирљивсти бични Furiеr-ви редва, али д сада није успел да се н примени у терији збирљивсти генерanисани Fourierви редва.

11 6 М. Маравиh Овде Ьем специјалн испитивати један пступак збирљивсти кји зависи д пара метра 6, так да једнј вреднсти пара метра дгвара један размак кнвергенције. Овај пступак мже се са успем примењивати на прблеме збирљивсти генералисани Furiеr-ви peдo~a [2Ј, њему дгвара једна труглзста матрица, а дефинисан је са где је 0< G < 1 и ')t > О. О: (}1, ) = ~ (1- е(р.у-) -е)" Оџ (0.1) p.y~x (О <}10 < /11 <... < }1n -+, П -+ ), Д е Ф и н и Ц иј а 1.- Ак O~ (}1, ) -+ А, -+, нда кажем да је ред ~ ау збирљив пступкм О: ка суми А, шт значавам са Општије вај пступак мжем дефинkсати преkо Stie1tjesва интеграла са O~ () = Ј (1- e(l-x) Х- Э )" d {А џ)}, (0.2) при чему је А (t) функција граничене варијације у свакм кначнм размаку. Не граничавајуhи пштст, мжем узети да је А (О) = О и у тм случају израз (0.2) мже се написати у блику О" () = ~f(l_e(t-x)x-e),,-l e(t-x) се А (t) dt. (0.2') 9 9 Израз (0.1) је специјалан случај израза (0.2) Кад У вм за А (t) узмем степенасту функцију. Дефиниција 2.- Ак О: ()-+А, X~OO, нда кажем да је функција А (1) збир.iьива пступкм a~ ка суми А, шт значавам са А () -+ А (O~), -+. Овај пступак, сличн Vаliroп-вм, има сбину да у днсу на Э претставља један непрекидан низ међусбн битн различити пступака, так да свакм в дгвара усл\!) кнверreнцtt'је блика ау = (џ;-9) И размак кнвергенције блика (1, Т) ~ (/, t+,+.8 (9), ма какав би пзитивни брј. Међутим, пступак : има Једн преимуht1'80 над Vаlirn-виt.i, ШТО је дефинисан rруtл:! стм матрицм.

12 Једнм пступку збирљивсти дивергентни редва 7 _ у вези с вим пступкм _ пставља се велики БРQј nитщьа д кји ћемр се у вм раду бавити следеh~м: у глави 1 дкззаhем једну "директну" терему, или терему Abel-ве прирде, тј. такву терему кја даје _ гранична свјства пступка збирљивсти кад се знају дгварајућа гранична свјства функције. Ту терему дказаhе-м пд претпставкм да је А (t) '" tp e}..ta., где је ~ > -1, c:t > О и л > О. t -+, У глави Il бавиhем се једнм врстм интермедијерне тереме у кјј се на снву тга, шт R i е s z ва средина ok () тежи дређенм брзинм граничнј вреднсти, за!<ључује да ; () rежи тј истј граници за све > k, где је k пзитиван це брј. у вј глави дказана је и лема 2.1 кја Ье нам заједн са вм теремм бити птребна у глави VJ при дказиваљу тереме 6.1. у глави III бавиhем се упређивањем збирљивсти O~ за разне вреднсти 'Х.. Наиме, ак функције А () и O~ () задвљавају извесне услве типа "О" или "", нда и функција Ое(Х) (О < r < ) задвљава један такав услв чему гври терема 3.1, кја је дказана пд једнм дста специјалнм претпставкм. у глави IV Дказаhем лему 4.1 у кјј се из А () -+ А (;). -+, а уз претпставку А (t) = 0(1), закључује да је А ( Ь ) (Ь - (1-6)-1) збирљив ка А пступкм д~ чије је језгр Wienerв. Ову лему кристиhем у глави V при Дказивању Иl!верзне тереме пступка o~. Кристеhи ву лему на снву Wiепеr-ве тереме дказаhем терему инклузије 4.1 кја у ствари није терема праве инклузије збг учињене _.претпставке функцији А (t) (А (t) = О ( 1) ). у глави V бавиhем се питањем инверзије пступка :. Ha~ име, из чињенице да О:() -+ А, -+, а уз претпставку да функција А (t) задвљава услв кнвергенције liminf min (А (t)-a(t)}>-w(s)-+o, е-+о (0.3) t-+oo t;f,r;f,t+et fj следи А (f) -+ А, t -+ Овај дказ изведен је у три етапе. У првј етапи (терема 5.2) дказује се да из услва где је min {А ('с)-а (t)} > -т, c:t СТ) = }..a;(t), t;f,r;f, Т а (t) = e t1 -e,

13 8 М. Маравиh (кји је садржан у услву (0.3») и из o~(x) = 0(1), -. следи А и)= (1), t-.. У другј етапи, кристеhи ле му 4.1 и на снву Wiепеr-ве тереме бирајуhи једн специјалн језгр, закључујем да +е. ~ Ј А иь) dt... А, -+. (0.4) у треьј етапи из (0.3) и (0.4) закључујем кнвергенцију функције А (t). На крају, у глави VI бавиhем се применм пступка o~ на прблеме збирљивсти генералисани Furiеt-ви редва. Терема б.ј, кја је излжена у вј глави, претставља пд извесним специјалним услвима једн пштрење тереме В. Г. А в а к у м в и Ьа [2]. Дказ те тереме изведен је применм тереме 2.1, ле ме 2.1 и једне д е Л е в и т а н в и прцена [9] брзине кјм Riesz-ве средине генералисанг Fourier-вг реда функције!(п) п ртнрмираним спственим функцијама једнг диференцијалнг задатка са граничним услвм теже свјј граничнј вреднсти. пступак ГЛАВА у вј глави дказаhем једну терему AbeI-ве прирде за ;. ТЕОРЕМА 1.1. ПреiШiсmавке: (i) О < ; < 1-0, ~ >-1, л> О. (Н) А (1) је фуnкцuја граltичеnе варијације у свакм кnачnм размаку TBp~e1be: и А (t) """'ср (t) = tfl e'j..t a, t -+. где је С(л, а) = Х f (l_e-!;)-lе-(l+аа)!;d~, за 0;=-1-0 1, за а < 1-0. Д к а з: Ставим o~ () = ~ Ј (1 _ еџ-х) -еус-l e(t-x) -е ср (t) {А (t)} dt, ср () е ср () ср (t) при чему на снву претпставке (Н) А (!) -+ 1, ср (t) t-..

14 једнм пступку збирљивсти дивергентни редва 9 Према тме, тврђење ве тереме биhе дказан ак дкажем да је пступак примењен на функцију В (t)... А (t)fcp (t), регуларан у смислу терије збирљивсти, тј. да вак дефинисан пступак задвљава услве Toeplitz-Sсhur-ве тереме*.. Ставим ли! ~(1- e(t-x)x- 6 ),,-1 e(t-х)х- 6 (!-.)fs e-}.(xa-fa:), за 0< t< K(t, ) = 6 Х (так да је О,за t>x "" : () = Ј к (t, ) в (t) dt), q»(x) * Ка шт је пзнат [5], та терема гласи: Hete:a Је "" F () - Ј к (t, ) В (t) dt. да би из в (t) -+ В, t -+ «Ј следил F () -t ВС, -+ «Ј за сваку Функцију в (t) граничене варијације, двљн је да буде <> Ј I к (t, ) I dt < Н, где Н не зависи д, затим да т Ј I к (t, ) I dt -+0, -+ «Ј, за свак кначн Т, и да "" Ј к (t, ) dt -+ с, -+ «Ј О

15 10 М. маравиh нда, будуhи да је језгр К (t, ) > О, треба да дкаже.,,ца т JK(t,X)dt-+О, Х-+ОО, за свак кначн Т (1.1) и да с Ј к (t, ) dt -t С, -+ ~. (1.2) у слв (1.1) је чеllидно испуњен, па треба caltfq да пкажем да је испуњен и услв (1.2). Учиним ли У интегралу Х Ј K(t,x)dt== ;ej(i-е(t-х)х- е }К-l e(/-х)х-е(~)" e-а.(li-/ii)dt смену x-e(t-x)= - ~, дбиhем ~~, Ј k (~, ) de = )t f (1- е-!;)-! е-чl- е - I ~)" е- }.Е(!;,Х) de (1.3) где је Е (~, ) = СХ {l- (l- е- 1 е)с} = ас-(i-е> е+ ( с - 2 (1-е> е 2 ) > О. 1) Ак је ~,> О, нда је (1- е - 1 е)" < 1, па је На снву пзнате Lebesgue-ве тереме мжем тада У интегралу (1.3) прелаз -+ испред знака интеграла заменити истим прелазм иза Знака И8теграЛ8, па так У Тм случају дбивам l-е Нт xj{i-е-!;)н-l е-!; (1_xe- 1 е)" e-аа«-(i-е)е+(сх-2(1-е>~2} d~ -+ Х!(1_е-!;)Х-l e-(l+а.i1нd~, за а"" 1-& = _I:)X-l-!; )t 1- е \i е de = 1, Ј( за а<i-&.

16 Једнм пступку збирљивсти дивергентни редва 11 2) Ак је - 1 <~ < О, нда ћем ставити 01) а 1 -Э 1 -Э f k (~, ) d~ =" Ј + Ј = Ј1 +Ј 2 О О &~-э где је О < 8 < 1. Најпре ћем прценити интеграл (1.4) 1 -е Ј. = '1. Ј (1- е-;)к-l е -~ (1- &-l е)' е -ле(;,) d~. axl-& Как је вде е->..е(;.} < 1, т је xl-6 Ј. < ')(. Ј (1- е-е)к-l е-е (l- 6-1 е)р d~. ax1-g Изврwим ли замену ; = 1 - Э и у интегрзлу на деснј страни ве неједначине, дбиhем 1 Ј! < 1 - Э Ј (1 - e_ ux1 -ey'-1 е- ul - 6 (l-u)' du < /) < ' Э f е& 1 - Э 1) I (1 - е- u1 -еу(-1 (1 - и)' du. Как је за :.<.;>1, (l_е- u1 - Э ),,-1<1, а за 0<:.<.<1 (1 -ll 1 -э)-l./ 1 -К -- >0 - е ~ ( 1 6)1 ~, за све.;:::::::-, l-е-i)х- -)(, т је тј. ЈЈ=(l), x~'x). (1.5) Псиатрајм сада интеграл I) 1 - Э Ј1 =" Ј (l-e-;),,-le-; (l-э-{е}jlе-ае(е.х}dе.

17 12 М. Маравиh Пшт функција ( ё)1i мнтн расте, т је (l-x6-1~)ii«i-8)1i, за све 0<ё<б l - 9 и с бзирм на т да је следи. (l-е-; ) -- I е-; (1 _ 6-1 ~)II е -AE(~ ) < < (1-8)11 {l-e-~ Ј-l e-~ Е L (О, ). (1.6) На снву (1.4), (1.5) и (1.6), а применм Lebesgue-ве тереме дбивам lim! (1- е-;)-i e-~(1-x6-1 ~)II е-дас-{i-6>н (x CX - 2 (1-6>r)dе.\:~<x> /),1-6 =lim')t f (l-e-;)x-ie-~(l-xe-lё)ii.. X~<X> <> Х f(l-e-')x-l e -(l+>..a)'de, за «-1-6, 8 с x!(i-e-,)x-i e-;de=l, за а<l-е, чиме је терема 1.1 дказана. ГЛАВА 11 У вј глави И3JIжиhем терему кја даје једну везу између Riesz-вг и o~ пступка збирљивсти. Пказаhем да из чињенице, кад Riesz-ва средина једне функције тежи граничнј вреднсти дређенм брзинм,. следи да је та функција збирљива пступкм : ка истј тј вреднсти. У ту свру са a k () эначим Riesz,oBY средину реда k. Riesz-в збир реда k,., x k (Jk () = k f ( - t)k-l А (t) dt, (А (О) = О) (2.1)

18 О Једнм пступку збирљивtти Дивергентии редва 13 је непрекидна функција, ак је k > О, и диференцијабилна са непрекидним извдима, ак је k> 1 [4Ј. ТЕОРЕМА 2.1. Из crk(x) = A+O(x k (6-1», X"-tОО следи G~(Х)"-tА, X"-too за свак '> k, где је k це Пзитиван брј. Д к а з. Без граничења пштсти мжем узети да је А = О. Диференцираљем израза (2.1) дбивам d~ { " а " ()} = k (k -1) j.(x-t)k-=а(t)dt, d k - J dx k - 1 f -- { (Ј" ()} = k! А (t) dt, ". '. d k -- dx { " k а ()} " = k! А (). Из ве пследље једна чине имам да је 1 d k А ()=- --{xkak(x)}. k 1 dx k (2.2) Применим на ву функцију пступак a~ : а: () = _'Х_ f (1- e(t-)х- е У-l e<t-x)x- e ~ {tkak (t)} dt. (2.3) k! 6 dt k Парцијалнм интеграцијм дбивам ' 1 d k 1 -,а (ђ} - е k! & dtk- 1 а () = --(1- e<t-x)x- 6 }X- e(t-x)x-6 џ" а - -'II.-ј ~ {(1 - e(t-х)х-е)х-l e(t-x)c 6 } d k - 1 {tk (Ј" (ђ} df. k! & dt dtk- t "

19 14 М. Маравиh с бзирм на т да је,,> k и да је следи " ОХ () = - -"-ј!!. {(1 _ e(t-х)с&)'х.-ј e<t-хјх-&} d k - & kl э dt dt k {tk а " (t)} dt. Упште, ак десну страну (2.3) k-пута парцијалн интегришем, дбиhем. ОХ() = (_I)k"j d k {(l_e(t-х)с Эј"-Је<t-а)с&}t k ak(t)dt. (2.4) э kl & dtk Ставим где е{)-+о, -+. Уврстим ли вај израз за а () у (2.4), имаhем " =( - 1)" / (2.5) Сада Ьем испитати как се пнаша интеграл / кад -+. Узастпни извди функције z = (l_e<t-x)c&)"-l е<t-)- Э имају блик d v Z 1 (1- е(t-)- э )-(v+l) e<t-x)c& Ру (e<t-x)x-&), df v Х У & где је P v плинм степена v п аргументу e(t-x)x-&. Нуле вг плинма п аргументу e<t-x)x-& не зависе д, веь сам д ", а за не вреднсти f = 1;) за 'кје се н анулира, важи асимпттска релација (2.6)

20 Једнм пступку збирљивсти Дивергентни редва 15 Нека плинм P k има т нула t~k} (р. = 1,2,..,т) у размаку (О, ). Према тме функција Zk (t) имаhе сталан знак у свакм размаку t (k) ).1. < t < t(k) ).1.+1, ( Р. = О, 1, 2,..., т, ) где Је. t(k) = О и (m+l (k) =. Ту сбину функције z(k) (t) и аеимпттеку релацију t~),...,, -+ ОО, (р. = 1,2... т) криетиhем при прцени интеграла 1 кји Ьем написати у блику = Н + Н1 + Н Нр Нт + Нт+!. (2.7) у размаку (О, N) је 'е (1) I < СО' па је I Н 1 < _~o;- N f I :;" {(l-e<t - )-&)Х-l e1t-x)x-&} I i k - a dt. Ак је у вм рззмаку z(i<' (1) > О, нда у њему функција Z<k-1) (1) расте. па је < СХ Nk-a 1 kl & X(k-I) 9 (1- e<t-x)x-~)'>t-k e<t-x~x-&. (2.8) Иста ствар је и у случају кад би у тм размаку бил Z<k) (t) < О, тј. кад би у њему функција Z(k-l) (t) падала. Псматрајм сада интегрзл H s У размаку (N. t~k») је I е (t) 1< < 81 (N). Пшт см у интегралу НО узели да је z<k) (1) > О, т је

21 16 М. Маравиh нда и вде z{k} (t) > О, јер је t1 k ) прва п реду тачка где z<k} (t) мења знак, па према тме имам да је t~k) I Н1 1" _Х_ f 1 ~ {(1- е(t-)-э)х-l е<t-)- Э } 1 18 (t) 1 tk- a dt. kl Э dt k N t'k) 1 " %81 (N) xk-a r d k {(1_е(t-)- Э )Х-1 еџ-)- О } dt = kl э. dt" N. P k - 1 е t 1 - Х ) _ (1 _ e(n-х)х- 9)К-k e(n-)х-~ P k - 1 (e(n-)- Э ) = ( ( (k) ) -9 } ~ С 1 (, k) 81 (N) x k - а - kэ, (t(k) )- Э јер е 1 - не зависи д. (2.9) Псматрајм сада, упште, интеграл Н)1. у размаку (t~~i' t~») је I е (1) 1 ~ 8р. (N), и нека је у њему Z(k)(t) >~, тј. нека ту функција Z(k -1) (t) расте. Тада је. (t(k) _)-Э)К-l (t(k) -)е р.-l е р.-l э P (' (f(k) -)-Э)) k - е р.-l ( t (t~f)-)-э (р. = 1,2,...,т) не зависи д, т је П шт е r- IHp.I< Ср. (%,k)8p.(n)x k - а - kэ, (~=2,3,...,m) (2.10) Д истг закључка длазим и у случају ак је у размаку (t~"2.1' t}1'» z(k} (t) < О. На крају псматрајм инте.грал Н т +!.' у размаку (t~), ) је I е (t) I " дт + 1 (N), а Zlk) (t) је сталнг знака, рецим да је Z(k) (t) > О.

22 Једнм пступку збирљивсти дивергентни редва 17 у тм сnучају функција Z{k-l) (t) расте у вм размаку, а как је z{k-i) () = О, т је на у њему негативна. Према тме је 1 Нт + 11 <: k IХ е.г I t(k) т :;, {(1 - e(t-х)јге)х-l e(t-x) се} 11 е (t) 1 tk-a. dt <: ~ _11._ <3 (N) xk-a. Ј d k {f l_е(t-)- Э )Х-l еџ-)- е } dt = """" k I Э т + I dtk t(k) т.:::;;;; Х 8 т -1-1 (N) xk-a.-ke (l_e(t-)сэ)х-k e(t-x)x-e. kl - - Х <3 т + 1 (N) 'Pk_l(e(t-X)C 6 ) t":,) = - k! X k -a.-k6 1 Израз у великј загради не зависи д и негативан је, јер је у псматранм размаку Z(k-l) (t) < О. На снву тга дбивам (2.11) Д истг закључка длазим и у случају кад је ZЩ (1) < О, У размаку (t":,), ). Как је o~ () = (-l)к 1 и пшт мжем изабрати N так да буде Oj,(N)':::;;;;b(N), (р.= 1,2,...,m+l), т с -бзирм на неједначине (2.8), (2.9), (2.10) и (2.11) дбивам где је 1 O~(x) 1 0(1) - Хk--а.-П; <: Xk-a.-k6 + С (, k) (N) т+l С (, k) = ~ Ср. (, k). ].l=l Дакле, за k - \l - k G > О је lim sup I ~ia.<':le x~ao I 1.:::;;;; с (, k) 8 (N). 2 Збрник Математичкг института

23 18 М. Маравиh Пшт је t~) "'" Х, -+ (}1 = 1,2,..,т), т мжем бирати N призвљн велик, так да б (N) -+ О, шi је 1 I ; () ј О 1т sup Л-а-Л(ј =, -+ а датле за а = k (1-6) излази Х Оё () -+ О, -+, чиме је терема 2.1 дказана. Б) ПсмаТРiihемсадаС,7ЈУLJај f\8д пзитивн k није це брј. у ту свру претдн Ьем дказати следеhу лему: ЛЕМА Ц - Из. следи а Л ' () = (x~), -+ гдејео.<k<;;:k',о<а<l+k. Д к а з. Дакле, треба да дкажем да из а а Л ()=(l), -+ следи а ал' () = (1), -+ за 0< k < k', О < а < 1 + k. У ту свру искристиhем везу између Riеsz-ви збирва различити редва (4] AHl(X) = r(k+l+l)!c X - f)i-1 А k(t)df, f(k+l)f(l). где је k > О и 1>. З~ k+- 1 = '" имам тј. АЛ'()=Л'аЛ'(Х)~ [(k'+i) [(x-t)/('-k-1 Ak(t)df [(k+l)r(k'-k).., ал' () = [(k' + 1)! ( _ f)k'-k-l А k (t) df Л ' [(k+l)r(k'-k) О

24 Једнм пступку збирљивсти дивергентни редва 19 днсн а О'''' () = а Г (k' + 1) f ( _t)k'-k-l tk O'k (t) dt = x k ' r(k+ 1) r(k' - k) = r(k'+i) f(x-t)k'-k-ltk-а{tааk(i)}dt (2.12) xk'-a r(k+ 1) r(k'-k).. Да бисм дказали ву лему треба camq да nој(ажем да је пступак збирљивсти (2.12), примењен на функцију ta. O'k (t), регуларан. Језгр вг пступка дефин'јсан је са! K(t,x)= xk'- a F(k'+ 1) (X-t)k'-k-l ik- a, r(k+l)r(k'-k) О, за t>. Пшт је К (t, ) > О, т треба сам да видим да ли је задвљен други и треhи услв Toeplitz-Sсhuг-ве тереме [5]. Други је че.видн задвљен, па стаје сам да прверим да ли је задављен и треhи, тј. да испитам интеграл а Ј К (t ) dt = [(k'+ 1) Ј ( _t)k'-k-l t k- a dt =, x k '-аf(k+l)т(k'-k) О ~ г (k'+ 1) Ј. xk'-a Г (k + 1) r(k' ~k) у интегралу Ј извршиhем заме~у t = а, џаьем дрбjlтјј 1 Ј = xk'----«ј U(k-:-а+lЈ-l (l_a)(k'-k)-1 du. Х Пштјеk'-k>О и k-а+l>о (јер је O<a<l+k), т је J=xk'-аВ(k-а+l, k'-k) = Xk'-аГ(k-а+Ј)[(k'-k), T(k'-a+l) па је Jа K(t,X)dt= T(k'+I)T(k-а+l) r(k+l)r(k'-a+l) = C(k,k',a), l чиме је лема 2.1 дказана.

25 20 М. Маравиn ТЕОРЕМА Нека iiзиi1iивн k није це брј и нека је (е - 1) k е' = 1 + [k] + 1. Из следи a k () = О { k (Э- 1 )}, ~ :' () ~ О, -t ОО, за све 1(. > [k] + 1. д к а з: На снву леме 2.1 из a k () = О { k (Э- I )}, Х -t следи (J[k]-t1 () = {k(э-i)} =; {([kј+i)(э'-i)}. (2.13) Пшт је [k] + 1 це пзитиван брј, т из (2.13) на снву тереме 2.1 излази o~, () -t О, Х ~, за све > [k] + 1, чиме је терема 2.2 дказана. ГЛАВА III Ка шт је пзнат М. R i е S Z [4] је дказа једну так звану "convexity" терему за свј пступак збирљивсти. Наиме, ак Riesz-в збир k-тог реда А k () И функција А () задвљавају извесне услве типа.0" или "", нда и Riesz-в збир Ar () (О < r < k) задвљава један такав услв кји је пвезан са услвима кје задвљавају А k () и А (). Овде ћем дказати једну "convexity" терему кја се днси на o~ пступак збирљивсти. Т је дста специјална терема јер пред услва типа "О" днсн "" шт и задвљавају функције O~ () и А (), увели см и претпставку (3.1) кја граничава пштст тереме. у следеhем излагању е- (А; ) значи да је пступак o~ примењен на функцију А. ТЕОРЕМА 3.1. Нека СУ U (), V () и W () uзиi1iивне неuадајуће функције, дефинисане за > О. Нека је U () < V (), а Тада (i) Из O~ (И; ) < с I е-(а; ) 1. -И() <А (Х) < V(x) (3.1) (3.2)

26 једнм пступку збирљивсти дивергентни редва 21 u следи IG~(A;x)l< W(x) 1-..':...':. IGэ(А;)I<С{V()} X{W(x)}x, за свак O<r<1t. (3.3) (н) Из и следи - и () < А (Х)=О {V (Х)} I O~ (А; Х) I < W (Х) G e (A;X)=O({V(X)}I-"k{W(Х)}"k), за свак O<r<1t. (3.4) (Ш) и Из - и() < А (Х) < У() Оё (А ; ) = О {W ()} (3.5) следи Примедба: Претпставка -И() < А () < У(), U(x)<V(x), тј. IA(x)I<V(x) имплицира IGe(A;x)I<V(x). (l_e- Ј - Э У, јер је I О е (А; ) 1< :е f (1- е(t-)- э )r-1 еџ-)- е I А (1) I dt < < V () (1_е- 1 - е у. д к а 3 тврђења (i) - Ставим s О е (А; ) =!... Ј (1 - e<t-x)x-e)r-j e<t-)гэ А (t) dt + э +!... Ј (1 - е(t-)- Э (-1 e(t-x)x е А (t) dt= Э ; (3.6) и (3.7)

27 М. Маравиh Касније ћем функцију Ф () пгдн дредити пмhу V () и W (), претпстављајуhи да увек мжем дредити ~ > једначинм (3.7). Интеграл Ј1 написаhем у блику Ј 1 ~ =.!...-f (l_e(t-)сэу-х (1_е<t-)- Э)Х-1 ~(t-)-э А (t) dt. Э Пшт је О < г < Х И 0:<: t <: е <, т је функција (l_е(t-)-эу-х пзитивна и мнтн расте, па према другј тереми средњј вреднсти интеграла имам ~ Ј 1 =.!...- {Ф (X)}r-x f (l_e(t-).)с Э )-1 e(t-)с Э А (t) dt, Э и Овај пследњи интеграл написаhем у блику ~ Ј1 -=.!...- {Ф () у-.2: f (1- e(t-)с9)х-l еџ - )-9 {А (i)+ U (t)} dt- Х 9 и ~...;.!...- {Ф () }r-x.2: f (1 - e(t-x)x- 9 )X-l e(t-x)x-9 и (t) dt, Х Э и дакле излази Ј 1 ~ <.!...- {Ф () }r-x ~ Ј (l_е(t-)-э)-t e(t-x)c9 {А (t) + и (t)} dt. ')t 9 Пшт је А (t) + и (t) >- О, т је и Ј ~.!...- {Ф () }r-x ~J(l - e(t--)гэ)х-1 e(t-)сэ (А (t) + U(f)} dt = 1 """ Х Э /) <.!... {Ф () }r-x.2: f (1- e(t-x)c9)x-1 e(t-x)x-9 А (t) dt+ Х & О +.!... {Ф () }r-x ~ r Х ХЭЈ (1- e(t-)сэ)х-1 e<t-x)x-& и (t) dt =. <.!... {Ф () }r-x a~ (А; ) +..;. {Ф () }r-x а: (И; ). Х ')t

28 једнм пступку збирљи80сти Дивергентни редва 23 с бзирм на претпставку (3.1) имам Ј1 <~ {Ф () у- 1 a~ (А; x)1 + СО ~ {Ф ()}г-l a~ (А; ) 1 < ~ ~ где је С1 = (1 + Co)Г/~' На снву претпставке (3.3) следи (3.8) Са друге стране је ~ Ј 1 ;> - ~ {Ф (x)y-х ~ f (1- e(t-х)х- е јх-l e(t-x)x-& и (t) dt = 6 а ;> _!... {Ф (x)lr-x~ Ј(I- e(t-x)x-6)x-l e(~-x)x-6 и (t) dt> ~ э ;> - ~ {Ф ()}'- С 1 ае (А; ) 1. ~. с бзирм на (3.3) дбивам Ј1 ;> -Са {Ф ()}г- W (), (С2 = СО г/). (3.9) Пшт је С. < С 1, т на снву (3.8) и (3.9) излази (3.10) Сада Ьем прценити интеграл Ј2 ' IJ2 1 = I :6 f (l_e(l-x)c 6 )r-l е <t-)с 6 А (t) dt 1< ~. <; ;6 f (l_e(t-x)x-6}r-l e(t-x)x- 6 1 А (t) I dt< ; <; v () :6 f(l-e<t-x)x- e ),-1 е (t-)х-е dt = ~ <; {Ф ()} r V (x).~ (3.11)

29 24,., М. Маравиh На снву (3.6), (3.10) и (3.11) дбивам : 1 O~.(A; ) 1 ~ С 1 {Ф () }~-)( W ()+{ Ф ()}' V (Х). (3.12) Функцију Ф () дредиhем так да буде {Ф ()}г-)( W(x) = {Ф ()}г V(x), дакле излази. ',. { W (Х)} 11)( Ф()= ~- ј v () (3.13) Уврстим ли (3.13) У (3.12), дбиhем r r - 10&(A;x)I<C{V(x)}1-, {W(x)}X, (С= 1 + с 1 ), за све 0<,<1<., чиме је тврђење (i) дказан. д к а ~ тврђења (ii): Пшт је А () = {V ()}, т датм брју Е> О мжем дредити дгварајуhи брј такав да буде IA () 1 < 8 V(x), за све x~xo,. 1) Претпставим најпре да је 0< <~. Израз за Ое (А; ) писаhем у блику ~, 0& (А;)'= "0 Ј(I- е<t-)г9)г-l е(t- )г9 А (t)df+,, О' Х', + ~ f (1- e(t-х)х- е У-l e<l-x)x-9 А (ђ df= О ~ - Овде је ка и у случају (i). ~.. - (3.14) где је а кас,није ћем пгдн, дредити функцију Ф ().,

30 Једнм пступку збирљивсти Дивергентни редва 25 Сада Ьем прценити интеграл Ј2 > Пшт је ~, т је I А (t) 1< s v (t) за t > ~, па је 1J21< е V (x)~ f (1- еи-)сеу-! еи-)с 6 dt=8 {Ф (Х)}' V (). (3.16) е ; На снву (3.14), (3.15) и (3.16) дбивам I Gе (А;)I<С 1 {Ф()}Г- Х W()+е{Ф()}гV(). (3.17) Функцију Ф () дредиhем так да буде а давде је {Ф () }г- W () = 8 {Ф ()}' V (), W () }I/Х Ф () = {. е V(x) (3.18) Уврстим ли (3.1.8) У (3.17) дбивам г I Ое (А; ) 1< (1 +C t ) 81- {V ()} 1- (W(x)}fIX. Пшт је 1- ~ > О, а е мжем узети призвљн мал, 1(. т је G6(A;X)=O({V(X)}I-~{W(x)}r/x), З8 све О<г<. 2) Псматрајм сада случај кад је ~ < <. Израз за О е (А; ) писаhем у блику О е (А; ) = ~ Ј (1 - e(t-).с6у- t e(t-x)x- 6 А (t) dt +. r + :6 Ј- e(t-x)x- I1 Y-1 e(t-)х- 6 А (t) dt= (3.19) Најпре Ьем прценити интеграл Ј7. Как је О < t <, < Х, т је за г,> 1 па је I Ј I I < - r Ј 6 I А (t) I dt = (1), -Н;О (3.20')

31 26 Ак је 0< r < 1, нда функција (1- e(t-х)х-еу- Ј e(t-x) -э мнтн расте, па је за О < t ~ < (l-e(t-x) x-еу-l e't- X ) -е < (1 - е< )... -е) г-l е<"'-"')"'-э... О,... На снву тга је /Ј;/< :э(l-е< )...-е)'-је< ) t>xo' т тј е Ј/А (t)/dt=o(l),.... (3.20") Сада Ьем прценити интеграл Ј;. Как је / А (t)t < s v џ) за је /Ј; 1<8 V () ~ f (1- е(t- )-ЭУ-l e(t-)с Э dt= э. %0 < 8 V () (1 - е<"-%)-эу < <8 V(x) (1- е(~-х)х-эу =- е {ф()}г V(x)t /Ј2 * 1< ф ( {V (x)}i-г1х {lv ()}Ф<. (.3.21 ) Пшт је l-г/:> О, а 8 мжем учинитli призвљн малим, т с бзирм на (3.19), (3.20') днсн (3.20") и (3.21) дбивам Oe(A;x)==o({V(x)P-г1Х{W()}Гfx), за све О<г<, чиме је тврђење (јј) дказан. Дказ тврђења (Нј): Пшт је O~(A;x)=o{W(x)J. т датм брју 8:> мжем дредити дгварајуhи брј ' такав да је I O~ (А; ) 1< 8 ИЈ (), за све ;>Х О ' (3.22) ]) Претпставим најпре да је 0< Х О < ~, и ставим ; Ое (А; У) ;:;, Г э f (1 ~ e<t-)х- 6 }'-:-1 e(t.-x)~-e АЏ) (jt.+.. О. + ~ Ј (1 - e<t- )с Э У-l e<t-)с Э А (ђ dt= Э. -; =K1+Kz, (3.23)

32 Једнм пступку эбирљнвсtи Дивергентни редва 27 На исти начин ка и у случају (ј), узимајуhи сам ;>, а с бзирм на (3.22) дбивам и вде је Из (3.23), (3.24) и јк 1 [<С1 {Ф ()}Г-Х,в W(x). (3.25) следи (3.24) (3.25) I G э (А; ) 1< С 1 {Ф (x)y-х 6 W ()+{Ф ()}' V (). (3.26) Функцију Ф() дредиhем так да буде { Ф () ) г- Х В W () = ( Ф () ) r V (), дакле излаз" Ф ()= {6 W(X) }I/X. V () (3.27) Уврстим ли (3.27) У (3.26) дбивам I а е (А ; ) I < (1 + С 1) 6 г/ { V ()} 1 - г/ { W () } г/. Пшт 6 мжем учинити призвљн малим, т је G e {A;X)=O({V(X)}I-Г 1 Х {W(x»)ri X ), за све 0<,<)(. 2) ПреtiIсtа:в"м сада да је О < е < ' и ставим:d 06 (А; ) = -; Г (1- e(t-)х--6) Г:-l еи-) г6 А (1) dt+. + ~6 Ј (1- е<t-»-э)г-i е(l-х)... -э А (t) dt = = к7+к;. (3.28) С бзирм на претпставку (3.2) имам I К;ј <; -; Ј (1- e<t-)гэ)г-1 e<t-x)x- e I A(t) I dt <. < v () (l_е<-)-э)г < < У() (l_е(~-х)х-э)г = {ф(»)r V(x). (3.29) Ка и у случају (н) и вде је К;=-(l), +с. (3.30)

33 28 М. Маравиh Из (3.27), (3.28), (3.29) и (3.30) следи О(;(А; ) = ({V(x)}J-r/к {W(X)}'/K), за све О<г<')(., чиме је тврђење (Ш) дказан. г л А В А IV Сада ћем дказати једну терему инклузије, за пступак 0"9 у днсу на ')(., али с бзирм на учињену претпставку функцији JI. (t), т није терема праве инклузије. Наиме; претп С7звиhем да је А и)= (1), t... HXJ, па ћем на снву Wiепеr-ве терије дказати спменуту терему, ТЕОР,ЕМА 4.1. Из O~(x)-+A, -+, уз йреiлйсiлавку А (t)= =0(1), t:;oo, следи o~' ()-+А, -+, за свак Пзиii1ивн ' веће или.ма1ье д. у свру дказа ве тереме претдн ћем дказати једну лему кју Ьем касније кристити и у глави V при дказивању тереме Tauber-ве прирде. Без граничења пштсти ставим А =0. ЛЕМА4.1. Из o~ (у) -+ О, У -+, уз йреiлйсiлавку А (t) = 0(1) t -+, следи +00 o~ (у) = f k (у-ч) А (f)fj) df)= - у -= ~x f {1- е -ЈЗ (У-1'))}-l e-~(y -1')) А (ч~) df)-+o, у -+ О где је ~ = (1-8)-1, а k (у-ч) је једн Wiener"OBO језгр. д к а з леме 4.1: Језгр нашег пступка О; () = ~ Ј (1- e(t-x)x-&jx-j e(t-x).ic-& А (t) dt (4.1) & '

34 Једнм пступку збирљивсти дивергентни редва 29 није Wiепеr-в језгр, па ћем зат са вг пступка преhи на један нви пступак са Wiепеr-вим језгрм и на њему Пем извдити закључке. Ради тга у интегралу (4.1) извршиhем замену t= (xa_и)~ = xa~ ( 1 - ;a)~ = xa~ { 1 - ( ~ ) ;а + О (;: )}. (4.2) Одавде излази t-x а /3 _~uа(i'з-l)+о(u2аф-2»)_ -т= Нека је al3=l и a(~-i)=6, тј. a=1-6, ~=(l-э)-l, па је Э (4.3) На снву (4.2) и (4.3) интеграл (4.1) узима блик 1 - е ае (x)=~x f {1- e-~u+о(u2lj-l)р(-1 e-f3 1I+0(и Ј ~ u )~-1 А {(xl-6_и)~1 ( О du. Ставим ли 1 - е = у, нда вај израз пстаје, У Gэ (у)= ~x f {1- е- ry+o (у) Г- 1 e-~и+ О (у). и' q-l. (1 - -у) А l(y-и)i~1 du. (4.4) Псматрајм сада нви пступак збирљивсти У Gэ(у)=I3 Х f (1-е-r U )Х- 1 е-r u А {(y-u)~ldu. (4.5) Ак У вм интегралу извршим замену y-u=i), дбипем У д~ (у) = ~x f {l-e-~(y- 11),Х-I е-гј(у - 11) А (I)f!) d1) = (4.6) -а

35 М. МаРljвиh rде j~ k(y,q)=k(y...,..q)= t~')(.{1-e-~(y_r»})(-le-j3(y-ij), за O~1)<y О иначе Лак је видети да j~ O~ регуларан пступак збирљивсти. Да бисм дказajiи тврђење ве ле ме треба да.пщ{аже~ д.а O~ (у) - ОНУ) ~О, У"". Одузмем ли (4.5) д (4.4) дбивам Ради краћег писања увешhем функцију Фу (и) дефинисану на следеhи начин: џ {( 1- е- ~u +О(у)Г- 1 е- ~U+O(y) (1 - ; Y-I_ -( l-e-~u)j(-1 е- ~u} А {(у - и)~}, О, за па је Oe(Y)-Ое(У) = f Фу(и)dи. (4.7) Према нашим уведеним заменама је t- -'-= (а -и)~ - е Псматрајм функцију g(џ) = y-~e{(y-u)~ -y~}, за < u~y, где је 13 = (1-9)-1. Как је и g' (и) = -13 y-~e (у - и)~-i < О g" (и) = ~ (~- 1) y-~e (у - и)~-2 = 9 (1-9)-2 y-~e (у - и)~-2 > О,

36 Једнм пступку збl!рљивости днвергентнн редва 31 т функција g (и).м,нтн. пада у размаку О < ц < у и у љему је кнвексна према дле. С бзирм }Ја т и на чиљеницу да је g (О) с: О и g (у) = - у следи g (џ) < - и, (О < и < у). Пшт је права - ~ и тангента криве g (и), т је на снву напред реченг тј. (4.8) Ставим 'Ј! (и, у) = (l_e-~u+o(иa/y»x-l e-~u+o(u2/y) = (l-е g (U»Х-l ~(u). Пшт функција (1 - e-:- v )x-l. e- v мнтн пада кад је О <. < 1, т је с бзирм на (4.8) 'Ј!(и, у) < (l_e-~и)x-' e-~и Е и (О, ), за О < < 1. (4.9) Ак је.;> 1, нда је на снву (4.8) 'Ј! (и, у) < е-и Е Ll (О, ). (4.10) Как је с бзирм на учињену претпставку функцији А (t) и пшт је ( IA{(y-u)~}I<К, K=const. ( 4.11) и )~ у. < 1, за све О < и < у, (4.12) јер је (3-1=в(l-в)-'>0, т на снву (4.9),(4.10),(4.11) и (4.12) пстји функција F (и), кја не зависи д у, таква да је Как... (4.13) т је Нт Фу (и) = О (4.14) У"*"'" у свакм кначнм размаку д и, па на снву (4.13) и (4.14) мжем применити Lebesgue-ву терему. тј. у интегралу (4.7)

37 32 М: Маравиh мжем прелаз у -+ испред знака интегралазаменити истим прелазм иза знака интеграла и так дбивам а Нт {O~ (у) - д~(y)} = Нт fфу (и) du ~ јнт Ф у (и) du = О, y~ao у-+а У-+'" О О чиме је тврђење леме 4.1 дказан. Јш стаје да пкажем да је језгр k (у, ХЈ) = k (y-fj) = ~'К {1- e-~(}'-i)}x-l e-~(y-i) а пступка O~ Wiепеr-в, тј. треба да пкажем да (i) k (Т) Е и (-, ) и +а (н) k* (v) = f ei'!'v k (Т) dt' 9= О, за све - < v <. -а Пшт је k (y-fj) = за 1) > у и 1) < О, т је k (r) = О за t' < О И 't > у, па је услв (i) чевидн задвљен, те стаје сам да пкажем да је у k*(v)=~x. Ј eifv(l-е':"'~'!'»)(-lе-~'!'dт.=t=, за све -oo<v<oo. у ту свру у грњем интегралу извршиhем замену 1 - e-~r ~ z, па ћем дбити k* (v) = )t f zx- 1 (1- Z)~iV/~ dz l-e-~y 1 I = 'к f ZX-l (l-z)(i-ivl~)-ld:- f Z)(~l (1- z)-.lv/~dz. I-e-~Y Пшт је )t > и Rl {1 - iv/~} >, т је [.(.) г( 1- iv) 1 k* (v) =. ~ - f Z'C-I (l-z)-iv/~dz=f:о г( ;) I-e-~Y за све - < v <, пшт први члан десне стране ве једначине не мже бити једнак другм, а први је различит д нуле за све. - < v <, јер функција Г (+ 1- iv/~) нема плва.

38 О једнм пступку збирљивсrи дивергентни редва э'3 д к а 3 тереме 4.1: 1) На снву Wiener-oвe тереме И3 Gэ{у)= f k (у -ч)а (I}fl)dI}-+О, У-НЮ, - при чему је k ('t) Е W (Wiепеr-в језгр) и А (t)=o (1), следи а Ј k. (у-ч) А (qfl) di) -+ О, у -НЮ, за свак k 1 (Т) Е и (-, ). - Специјалн 2) Из мжем изабрати k 1 ('[")=;(1 ('[")=t3x' (l_e-flт)х'-l e-~t. Ј k 1 (y-rt) А (Ijf3)dч-+ О, у-+ и следи А (t)=o(i) де ' (у) -+ О, У..., а датле на снву леме 4.1 излази 09' (у) -+ О, У -+ за свак пзитивн "1.' веће или мање д "1., чиме је терема 4.1 дказана. ГЛАВА V Сада ћем дказати инверзну терему или такзвану терему Tauber-ве прирде за пступак Оэ кја гласи: ТЕОРЕМА 5.1 Из збuрјьuвсlilи Оэ функције А (), тј. из o~ () = x~ Ј (1 - e(t-x) x-ep~-l e(t-x) -е А (!) dt -+ А, -+ и услва кнвергенције следи Нт inf min {)\ ('t)-a{t)}> -w(e)-+o, &-+0 (5.1) t-+<x> t~т~t+еtэ 3 3БОРКИR Ма1'еыатичr:г института

39 34 М. Маравиh. Ка шт је напменут у увду, дказ ве тереме извешћем у три етапе [7]. ТЕОРЕМА 5.2. Из и услва ' O~(x)=O(1), x~oo {А ('t)-a(t)} > -т, с (Т)-лс(t) (5.2) (кји је садржан у услву (5.1», где је с (t)= ett-e и),> 1 следи А (t)=o(1), t~oo. дказа ве тереме увешhем функцију А * () дефинисану у свру са А*()= та {-А (t)}. O~~X Из кнструкције ве функције видим: (а) А * () не пада, (б) А*();>:-А(), (в) А * () ј е н а ј м а њ а непадајућа функција кја задвљава услв (б), тј. кја је;>: - А (). 3адкзз тереме 5.2 биhе нам птребне следеhе леме:. ЛЕМА 5.1. Из 'услва (5.2) следи А (У)-А (x»-m-m 1 (yt-e_ xl-e), за свак у;>:;>:о, гд~ јеfll1... m/l0gл. ЛЕМА 5.2. пстји брј М> такав да је А () <1 ~(1-e-1»)( А* ()+М. (1-е- 1»)( ЛЕМА 5.3. пстји брј 0<8 < 1 и брј С >0 такви да је -А()<8А*()+С, за све ;>: д к а 3 леме 5.1: Означиhем са ~ (t) инверзну функцију функције а. (1), тј. 1 ~(t)=(logt)l-e.

40 једнм пступку збирљивсти дивергентни редва 35 Ставим ли t-fз(х) и 't'z=~(ь), нда, будуhq да су а:џ) и~(t) мнтн растуье функције, услв (5.2) мжем написати у. блику Мiп {А (~(ь»-a (~(x») >-т. ~~~л Нека је у> неки брј такав да је Л n <у<лn+ 1. (5.2') (5.3) Према неједначини (5.2') имам А {~(Ax)}-A {~(x)} >-т А {~(л2)}-а {~(л)} >-т А {~(лn )}-А {~(лn-1 )} > - т, А {~(y)} -А {~(лn )} > - т, дакле сабирањем дбивам Пшт је на снву (5.3) А {~(y)}-a {~(x)} >-т-тn. т j~ 1 у -n>---loglog л А {~(y)}-a {~()}>-m-ml1gl, где је т 1 =т/lgл. Ак у вј пследњј неједначини мест fз (у) напишем У. а мест 13 () напишем, дбиhем А (у)-а () > - т - 1П 1 1g а (у).,.. а: () =- -т-т! (ун~_t-е), за свак у>>о, (5.4) чиме је лема 2.1 дказана. д к а з леме 5.2: Пђим д израза а: () = Ј (1 - e(t-x) -6УС.-l e(t-x) -е А (1) dt = е x-э = Х I + f =- Ј1 +Ј2 О x-э (5.5)

41 86 М. МараввЬ у инtегра.ilу Ј1 минрираhем А (1) пмhу А* (t), Тј. са А (t) > -A*(t), а у ИН1егра.лу J i минрираћемо А (t) пмћу неједйачине (5.4). Пшт см узели да је А (0)=0, т је А * (t) > О, па је Ј1 = )t f -&. (1 - е(l-) - 6 )')(-1 e(i-х)с& А (t) ~~ > -9 > -1' f (1 - e(l-x)x-6))t-l e(l-x)~-6 А*(ђ ~~> Q > - А * ( - 9 ){(1 - е- l - 9 Ј'Х - (1 - е- 1 )'Х} > >-А*(- 9 ) {1-(1-е- 1 )'Х}. (5.6) Сада ћем минрирати интеграл Ј 2 Пшт је у њему t > - 6, т је према (5.4) А (ђ > А ( - ~e)-m-ml {t1-e_(x - е )l- е }, па је Ј2 > {А ( - xe)-m})tf (l_е(l-)- е )')(-1 е (t-x)x-e dt - е - m 1 1' Ј (1- e(i-х)ге)'х-l е (I-Х) -е {tl-e -(x-xe)l-e} dt. е x- э Псматрајм најпре интеграл Ј =!(1_e<t- Х)С 6 )')(-l е (I-Х)- е -е {tl-&- ( --' xe)l-e} dl е кји, заменм -& (t-x)= -~. псrаје I Ј = Ј (1-е-~)')(...,.lе-Ч( -xee)l-e -(- е ).-е} dt. &

42 Једнм пступку збнрљивсти дивергентии редва 37 Пшт је (-6 ~P-6 - (- 6 ) {(1-6-1 ~)'-6 _(I_x6-1 )1-6} = т је = l - 6 О ( 6-1 ) = 0(1) 1 Ј=О(I) Ј (l-e-~)x-1e-~d~ = 0(1), тј. О<Ј<, М1 Према тме је J z > (l-e- 1 )XA ( - 6 )-М., (5.7) где је М2 =m (1-е- 1 )Х +m 1 М 1 На снву (5.5), (5.6) и (5.7) дбивам O~(x) > - {1-(1-e-1)X} А * (- 6 ) +(I-e- 1 ). А (- 6 )-М. Как је према претпставци I О:() I ~M8' т је Ma >-{1-(l-е- 1 )Х}А*(- 6 )+(l-е- 1 )Х А (- 6 )-М., а датле је где је 1-(l-e-1)X А (- 6 ) < А*( - 6 )+М (l-е- 1 )Х Ак мест - 6 напишем, дбивам А()< 1-(1-e- 1 )X А*()+М (1 _ е-1)х,4' (5.8) чиме је лема 5.2 дказана. Д к а з леме 5.3: Нека је О < У < 1. Ставим O~(x)==" Ј (1_e<t-Х)г 6 )Х-' е(f-)г 6 А (/) dt = 6 О -у6 ="1 +)(1 =К 1 +К:!,. x-y~ (5.9)

43 38 М. Маравиh Интеграл К 1 мајрираhем пмhу неједначине (5.4), а интеграл К 2 пмhу неједначине (5.8). Как је у интегралу К1 О ~ t < - у & < Х, т је према (5.4) па је А (t) < А ()+m+m ( 1 - е - t 1 - e), -уе К 1 < {А ()+m} Ј (1- e(t-x)x-e )'lt-l e(t-x)x- e dt + & -у9 +m 1 ')(.Ј(I- e(t-)-е}х-lе(t-х)х-~(l"':е_tl-'е)dt. е Пследњи ннтеграјi на деснј страни ве неједначине, заменм -е (t - )= -~, пстаје 1 - О К = f (l-e-~)'x.-1 e-~ { 1-(Ј-(- е ~)l-e} de. Как је у x1- Q"":'(x-xe е)l-е = 1 - е {1-(I-xe- 1 ~)H)} = 1 - е О ( е- 1 Ю = ~ 0(1), т је xl - e К=О(I) f (l-е-ђ'х.-l e-~~d~=о(l), тј. О<К<"М&. У Према тме је К 1 < {А ()+m} {(1 - e- 1 -е)'х._(i-е-у)'х.}+м5 (5.10) На снву неједначине (5.8) следи. к з < 1-(I-е- 1 )'Х. xj(i_e't-х)х- е ј'х.-l е <t-- еа *(f)df + (l-е- 1 )'Х. е. -у е +М '. Ј (l_e(t-x)x-e))(-l е(t-х) -е df <: 4 6 """ -уе

44 једнм ПОСТУПКУ збирљивсти Дивергентни редва 39 (5.11) где је М а =М 4 (1 - е-у)к. Как је п претпставци I ае () I < МЗ, т је на снву (5.9), (5.10) и (5.11). - М. < a~ () < {А () + т} {(1- е Э )" - (1 - е-у)"} + +(1 - e- У )"{1-(I-е- 1 )"}А*(Х)+М5 +Мв, l-е-! тј. - А А* ( Ј-е-У )" 1-(I-е-l)" +m+ ()< l-е- 1 (1-е-1 - Э)"-(1-е-У)" () Как је 1 - е-у < 1 - е- 1, а пшт мжем узети двљн велик, рецим >, т је нда и 1-(1-e- 1 )" ---'1 "') ---< 1, за све > (1 - е-х -., " - (1 - е-у)" Пследњи члан ве неједначине мањн је д пзитивне кнстанте М7 за све >. Према тме дбивам -А () <8А*()+М чиме је лема 5.3 дказана. " 0<8<1, за све >' (5.12) д к а з тереме 5.2: Најпре ћем дказати да је функција А* () граничена. На снву њезине сбине (б), тј. да је на најмања непадајуhа функција кја је > - А () и на снву (5.12) дбивам А* () < 8 А* ()+М7, за све >, дакле излази А* () < ~ =МЗ, за све >, 1-8 (5.13) тј. А*()-О (1), X~.

45 40 М. МараВIJЬ ИЗ - А()< А*() и нејмначj<lliе (5.13) с~еди А(»-Мв, за све >, (5.14) а на снву неједначина (5.8) и (5.13) следи (1 -'- e-1)x А () < МВ +М4 =Ме (1-е- 1 )Х (5.15) Из (5.14) и Џ>.15) закључујем да је 4 () "'" (1), -+, (5.16) чиме је терема 5.2 дказана. В) у тереми 5.2 резнвали см на језгру кје није Wienerв и дказал.и см да је А () = О (1), -+ ОО. При дказивању тереме 5.1 кристиhем лему 4.1 кја тврди да из a~(x)-+a,x... oo и A(x)-ОСl),-+ следи +00 д~(x).. Ј k (- t) А (t b ) dt-+ А, 'H~ (5.17) - "- где је k ( - t) једн Wiener,oi3o језгр дефинисан са: Ь {1-е- Ь (x-t» "1..-1 е- Ь (-О за О ~ t -- k (-ђ = ' "'=::: ""'" {. О, иначе и Ь=(1-О)-l. Из (5.17) на снву Wiепеr-ве тереме следи Jk 1 (X-t)А(i Ь )di-+а!k 1 (t)df, -н - - З,а cl}a~y функцију'k 1 :(t) Е и ( - ОО, + ). Према тме мжем за k 1 (t) изабрати специјалну функцију из класе Ll дефинисану на следеhи начин: k 1 (t) = { 1; за О < 1< Е О, иначе, ", па ј@ +ф 8 Ј k1 ( - t) А (tb) dt= Ј А (tb) dt -+ А Ј dt= АЕ, -+ ();) -ф ~8 6

46 Једнм пступку збирљи8ости :Iивергентни редва 41 тј. ~ f А (f b ) df-+a, -+, или шт је ист, '%-8 + +е f А (tb) df -+ А, -+ С) Д к а з тереме 5.1. ИЗ и услва кнвергенције (5.1) + Х+8 Ј А (tb) df -+ А, -+ lim inf тјп {А (v) -А (и)} ;> -(1)(Е') -+0, Е' -+0 (5.18) и-+,i";vo;;;;u+8'uэ следи тврђење ве тереме тј. следи А () -+ А, -+ Да бисм т дказали, пре свега треба да видим как гласи услв кнвергенције за функцију А (f b ). Тврдим да је за њу размак кнвергенције (tb, (t+e)b). ИЗ видим да мжем учинити да бу де ( t + Е)Ь < tb + Е' tb - 1 ак сам Е изаберем двљн мал. Ставим ли t b = и, нда грња неједначина дбива блик и+е)ь < и t Е'и Э Дакле, размак ЏЬ, Џ+Е)Ь) садржан је у размаку (и, Џ+Е'и Э ), па је тјп {А (1: Ь )-А иь));> тјп {А (v)- А (и)}= W (е', и) = W (е', tb). t..;r..;t+e U";VO;;;;и+s'u Э С бзирм на услв (5.18) имам Нт inf W (е', t b );> -W (Е')-+О, Е-+О t-+oo аер е' -+ О, кад е -+ О), а т значи да је W (8', fb) > - w (8') + О (1),

47 42 '. '.М. Маравиh. па је Ставим тiп {А ('С Ь ) - А (tb)} > - w (е')+о (1). (5.19) t';;;t.;;;t+e +е ~ I А (cb)d't-ae () и бразујм разлику X~8 ае ()-А ( Ь)= ~ ј {А ('cb)-а (xb)}dt'. На снву (5.19) имам па +е (је (X)-A(xь»~j mir. {А (t'b)-a ( Ь)} dt'>- w(e')+o(i), Е,;;;т.;;;+е је А ( ь ) <: Нт sup б е ()+ W (е') <: <: A+W{B'). Как, с бзирм на (5.18), w (е')... О, е... О, т је Нт sup А ( ь ) <: А... (5.20) Псматрајм сада разлику Как т је је +е бв ()-А «+е)ь)= 2- ( {А (t'b)-a «+ е)ь)} dc е.. та {А (t'b)-a «+е)ь)} <: w (6')+0 (1),,;;;т.;;;+в а давде је.. А «Х+6)Ь) >б е (x)-w (е')+ (1), па је Нт infa «+е)ь» Нт iпfба()-w(е')=а-w(е').... x... ~

48 Једнм пступку збирљивсти дивергентни редва 43 Пшт W (Е') -+ О, Е -+ О, т је Нт inf А ( Ь ) > А. "-+00 (5.21) На снву (5.20) и (5.21) следи тј. А (xb)-+а, А()-+А, -+, -+, чиме је терема 5.1 дказана., г л а в а VI 10. Свакј функцији t (), интеграбилнј у размаку 0:< :< 21t, мжем придружити један Fqurier-в ред а t (),..., -Е.. + L (а\l COS v + b v sin vx). 2 \1=1 Непрекиднст функције t () у тачки = није двљна за кнвергенцију вг реда у тј тачки, већ су за т птребни извесни суплементарни услви кји намећу приличн граничење псматранј функцији. 20 У вези с тим намеће се питање, пстје ли пступци збирљивсти кји мгу успешн сумирати Fourier-ве редве, јасн, пстављајуhи функцији t () мање граничење нег шт се т затева у случају бичне кнвергенције. Такве прирде је Fejer-ва терема, кја казује да је Fourier-OB ред функције t () збирљив (С, 1) ка суми 1 -{t(x + О) + f( - 2 за свак за кје вај израз има смисла. Специјалн, Fourier-в ред функције f() је збирљив (С, 1) ка суми f() у свакј тачки у кјј је функција t () непрекидна. Н а r d у и L i tt 1 е w d [6] су дказали: Ак је i<xo+h)~t(xo)=o( О)} 11)' ћ-+~o, log --- Ihl (6.1) нда је Fourier-в ред функције t () збирљив В У тачки ка суми t ( ), тј.

49 44 м Маравиh где је у слв (6.1) затева д функције више нег непрекиднст у тачки Х '* д М r g а п [12} је дказа једну пштију терему, Плазеhи претпсгавке КОЈа Је пштија д претпставке (6.1), а где пзитивна функција ср () за велике вреднсти д задвљава извесне суплементарне услве, н је дказа да је S(u;xo)=J.. ao + ~ (avcosvxo+bvsinvxo) 2 џ";;;и збирљив Ve ка суми f ( )' тј. да jt S (и; Xo)-t f (Х,,) (Ve), и Мже се извршити једна прирдна генерализација бични Furiеr-ви редва и такви редви зву се генералисани Fourierви редви. Терија ви редва мнг се разли~ује д терије бични Furiеr-ви редва. Нека је D /ieka кначна бласт т - димензиналнг Еуклидвг прстра, 'а D граница те бласти. Са * значим затврену бласт, тј. 0*=0+[;. Псматрајм диференцијални задатак са граничним услвм ДU+лU=О 'у О И=О на Ђ. (6.2) Означим са Л\, Л:, Ла"" спствене вреднсти прблема (6.2), а са Ф1 (р), Ф3 (р), Фs (р),.. дгварајуье спствене функције. He~a је функција f (П)интеграбилна у бласти DФ и нека Р Е D. Ставим а џ = Ј f(l1) фv (П) d VN, D* * м r е (11) је ДOKa~ao да пстје непрекидне ФУIJкције чи јн furlеr-ви редви нису збнрљиви В У неким тачкама.

50 Једнм пступку збирљивсти дивергентнн редва 45 Ј У ау кефицијенти генералисанг Fourier-вг реда п сп {'ним функцијама Ф. (Р), аташиранг функцији f (П) у тачки П=Р, тј. 1 (Р) r-j ~ а фу (Р). (6.3) 40. На прблеме збирљивсти генералисани Furiеr-ви редва примењени су д сада Riesz-в и o~ - пступак. Применм Rieszвг пступка бавили су се Bochner [3], Minaksbisundaram [10], Л е в и l' а н [9] и А v а d 11 а п i [1], а применом o~ пступка В. Г. Авакумвиh [2]. Ак је f (П) апслутн интеграбилна функци}а у бласти D, а равна нули на јј, S. Minakshisundaram [10] је дказа да је у свакј тачки, где је 1 (П) непрекидн, Fourier-в ред f (Р) '"'" ~ а. Ф. (Р) збирљив (R, л., k), сам ак је k> 8/2' Ак је 12 (П) интеграбилна функција у бласти D*, Л е в и т а н [9] и А v а d h а п i (1] су пказали да ист важи за k> 1/2, дк за 0< k < 1/2 збнрљивст (R, А, k) реда ~ а Фv(Р), ка шт је пзнат, није лкална сбина функције 1 (П). 50. Нека t (П) L% (D*), Р Е О, k > О. Riesz-ву средину реда k развитка (6.3) значим са 1 (А )k CJk(P;X)= ~ 1- ~ а. Ф.(Р), r(k+l»).v;;a;x (6.4) а Riesz-ву средину развитка у бични т-струки Fourier-в интеграл функције, равне t (П) за П Е D*, а нули иначе, значим са где је Gk(P;X)= * 1 Ј( l--ld t k t {а*(р;vt)}, - r(k + 1) 1 Ј 1 t~/4 - a*(p;vt)= t(п) - --Ј mi2 (гvt)dvп. D* (2 1t )",/2 г",/2 (6.5) Са г см значили растјање тачака Р и П, а са Јр () Bessel-ву функцију реда р. Означим са 8 призвљан пзитиван брј, а са О в мнжину тачака бласти D чије тстјање д УЈ није мање д е. Левитан [9] је дказа следеhу терему: Нека је k*='(m-l)/2, k>k*, k=i+'oi>o це брј, 0< б < 1, Пстји кнстанта С=Се таква, да ак Р Е О е, нда за Х -+ важе следеhе прцене: 1) Ак је l>k*+i, нда је lak(p;x)-аz(р;)l< C~; (6.6) "Х

51 4б М.Маравиh 2) Ак јеl < k*, нда је I O'k (Р; ) - а; (Р; ) 1< Се ;;~ (б.7) X(k- "*)/2, 3) Ак је k* < 1<. k*+ 1, нда је I 0k СР; ) - а; (Р; ) ~ -.f~. (б.8) &l2 Из прu.ена(б.6), (6.7),' (б.8) иједне Всhпеr ве тереме [3] следи: Ак t (П) Е L2 (D*), нда је развитак функције f (п) п спственим функцијама' диференцијалнг задатка са граничним. услвм (6.2) збирљив Riеsz-вим срединама реда веьег д (т - 1)/2 ка СУN!И t (Р) У свакј у~утращњј тачки Р бласти D* у кјј је функција f (П) непрекидна. Дакле, пд вим услвима збирљивст Riеsz-вим срединама зависи 'д лкални сбина функције t (П). ' Сада се пставља питање за кје вреднсти 6 и, О~-Збирљивст реда ~ a v Фу (Р) зависи сам д лкални сбина функције t (П). О тме гври терема V.. А v а k u m v i са [2] кја је један аналгн тереме Hardy-Littlewood-a [6Ј В-збирљивсти бични Furiеr-ви редва. Да бисм је краье фрмулисали, значим са D једну двдимензиналну бласт, са D њезин руб, а са D* = D + D затврену бласт. Минималн тстјање тачке Р д рубаd ОЗН8- чим са lр. Нека је 2n g (г)= - 1 f {f (г, ср) - t (О,О)} d ср,. 2", где су г и ср пларне крдинате тачке П, а пл је у тачку Р, тј. t (Р)= t (0,0). Даље нека је р а (t)= 'УТ f g (г)ј. (гут) dr, О < Р ~ Iр Та терема гласи: Претпставке: (i) Нека је функција t (п) апслутн, 1 интеграбилна у бласти D*. (Н) Нека је 1/2< е < 1 и > 3/4 1) _ 1/2. Тврђење: Да би ~ ау Фу (Р) бил збирљив пступкм : ка суми t (Р), птребн је и двљн да а (!) буде збирљив пступкм : ка суми нула (лкални услв у тачки П = Р). 60. Напишим израз (6.4) у блику интеграла О'н (Р; ) = 1 f (1 -..!.)k d, ( :L a v Фу (Р)} (6.9) r(k+ 1) ' l.v~ t

52 Једнм пступку збирљивс:rи дивергентни редва 47 и бразујм разлику; ИЗ16еђу (6;9). и (6.5) Ok(PjX)-Z(Р;)= 1 Ј(l- ~)kdt{a(pjvt)}=tjk(x) (6.10). Г~+l) Х где је A(P;Vi} = L ауфу(р)-о*(рј Лу~t VТ) Псматрајм специјалан случај т = 2. тј. k* = 1/2. k = > 1/2. Са так дефинисаним k прцена (6.7) узима вакав блик: Ак је 1 < 1/2, тј. 1 - О, 1/2 < < 1 (јер је k=o + 8> 1/2), нда је Ok(x)=al>(X)=O( 1 11 )=o(x-h(i>-1-)_e~) (6.11) x 2 (I>-з) за свак е > О. На снву (6.11), леме 2.1 и тереме 2.1 мжем дhи д закључка o~ - збирљивсти реда L ау фу (Р). На вај начин, пд специјалнм претпставкм да f (П) Е U- (D*), а у случају кад је 3/4 < G < 1, длазим д следеhег пштрења тереме В. Г. А в а к у м в и h а [2]. ТЕОРЕМА 6.1. Претпставке: (ј) f(п) Е L2 (D*), (Н) 3/4 < G < 1 и ')(.> 1. Тврђење: Да би ред LауФу(Р) би збирљив o~ ка суми '(Р), fiоliiребн је и двљн да ~ (t) буде збирљив : ка суми нула. Дказ: Из (6.11) на снву леме 2.1 следи (6.12) На (6.12) применим сада терему 2.1 кја у вм случају гласи: Из 01 () = (Х - (l-е» следи O~(x)=o(l), Х-+ОО, за свак ')(.>1. (6.13)

53 48 М. М8ј18ВиЬ Према тме И3 (6.12) следиhе тврђење (6.13), ак 'је ~ (0- ~) - е = 1 - е Как је 1/2 < 0< 1, а е мжем учинити призвљн малим, т је 3/4 < е < 1 и за те е важи (6.13), тј. [ <1- e<t"-х)х-э)'х.dt { ~, ауфу(р)-а*(р;vт)} = i..v~t = ~ (1 _e(j1y- )- е }'Х. ау фу (Р) - [, (l_е<t~)-э)'х. dt{a*(p; Vt)}= лу=е;;; =0(1), Х-+-ОО. (6.14) Пшт је у нашем случају m=2, т је a*(p;~ђ = ~ [1 (п)vtј1 (rvђd Рп. ётавимр ли в у (6.14), дбивам 2~r D* ~ (1- e(ay-)-е)'х. ау Фv(Р)= Ау'::;; " = f (l_e<t-х)х- е }'Х. dt {2 1 ", [ f(п) 'ОЈ, Ј1 (г уђ d ~п} +0 (1)= п* = f(l-е<t-х)х-е)'х t dt {( f + Ј) (1 (п) Vf Ј 1 (г 'Јђ d ~П)}+О(l) = Кр О*--Кр == Ј (1-e(t-x) -е ј'х. ;'" dt {Ј 1 (П) 'Ј! Ј 1 (г уђ ~ ~ П} + Кр + f (1- e(t-x) x-е)'х. 21~ d, { f 1 (П) 'Y~ Ј 1 (г 'У!) d ~п} +0 (1) = О*-Кр (6.15)

54 једнм пступку збирљивсти дивергентни редва 49 где см са К р значили круг плупречника р (О < Р < lр) са центрм у тачки Р. Сада Ьем прценити интеграле Ј; и Ј;. У свру лрцене интеграла Ј; ставим Н= ~ ff(п) 'Ј/Ј 1 (г УЋ d Р П = 21С К р r (6.16) УВОђењем пларни крдината (г, q» са плм у тачки Р, дбивам 2" Р 2" р1/т Н 1 =! (Р) _1_ ј drp {Ј 1 (г {ђ d(r vt) = {(Р)._~ f dq> јј1 (и) du. 2~. 21С О О О О На снву пзнате релације Ј 1 (и) = - Ј ' (и) имам 2" Р 1/7 H 1 =-f(р) 2 1 л ј dq> Ј Jo'(u)da= О Даље је = - {СР) {Ј (р Yt) -Ј (О)} =f(p) +0 (1), (~. (6:17) 1 J2:f јр H2=-~ dp {f(г,q»-{(о,о)}vtјt(гvt)сlг= р 2" = У! [Ј 1 (rvi) dr _1 f {{(г, q»-f(о, О)} dq>=. 27t О О Р =Vt Ј J 1 (rvt)g(r)dr=a(t). (6.18) Из (6.16), (6.17) и (6.18) излази Н= f(p) +0 (1) +а (t)..! (6.19) 4 Збрник Матеыатичкг института

55 56' '.. М; 'Маравиh Пшт' јео:. регуларан пступак' збирљивсти; 'ас бзирм на претпставку функцији а (t) и с бзирм на (6.19) дбивам J~ =f(p)+o (1), Х-+ ОО. (6.20) Сада ћем прценити интеграл Ј; = r (1 - е(t -~)Х-ЭУ.. _1_ d t { Ј f(п) '(ј Ј 1 (г vt) dp Л} =. '.. 21t. Г. О D*-Kp = Ј t(п) dfл-1- Ј (1 - e(t-)гэ}'х. dt ({! Ј1 (г Vt)}= 2тсг D*'-'-КрО = - Ј f(п)h(гј )dfп. D*-K p где је h(r; )= 1_ r (l-еи-) x-~'x. dtп1t Ј1 2тсг. О (г Vt)}. В. Г. А в а к у м в и h [2] је дказа да је h(r;x) _ ( ~+(~-Э)'Х.), -+. Одавде излази h(r;x)=o(l), -+, за све x>{2(20-1)}-1. (6.21) Как је 1> {2 (20-1)}-1 за свак О> 3/4, т за наше псматране вреднсти д В и важи (6.21), па је према тме На снву (6.15), (6.20) и (6.22) излази L (1- е(дv-х)х-э)'х. ау Фv (Р)= t (Р) +0 (1), -+00, ".'... ду;;;;; '; " - ~ ~~;-- ", ч.име j~ T~O~мa ~l::,дказана... '."1'. '0"" 't '.... ~.. ~. ::~,: (6.22)

56 О Једнм пступку збирљивсти дивергентни редва 51 Упређујуhи ву терему са теремм В. Г. Авакумвиhа [2] видим да је у њј ')(. мање нег шт је у тереми В. Г. Авакумвиhа, јер је /2 >, (1/2 < е < 1). али на важи сам за 3/4<0< 1 уз претпставку t(п)еl2(d*), дк спменута терема В. Г. Авакумвиhа важи за 1/2 < 6 < 1 уз пштију претпставку t(п)е LA (D*). (Сааштен на седници Мат. института 28-XI-56) ЛИТЕРАТУРА (IЈ А v а d h а п 1 Т. V. - Оп Ље summabllity of еigепfuпсtlп ерапs/пs 1, Ј. lndlan Math. Soc. XVIJI, 1 (1954), (2) А v а k u m v 1 с V. О. - ОЬес dle Еlgепwеrtе der Sсhwlпguпgsglе/сhuпg, Math. Scand. 4 (1956), (3Ј В с h п е r S. - Summаtlп! multlple Fourier series Ьу spherlcal mеапs, Trans. Аmегlсап Math. Soc. 40 (1936), (4Ј С h а п d r а s е k h а r а п К. - М / п а k s h 1 s u п d а r а m S. - Турlсаl теапs ВтЬау (5Ј Н а r d у О. Н. - Dlvergent Serles, Oxford а! Ље Сlаrепdп Press, (6Ј Н а r d у апd L ј t t 1 е w d - Some new спvеrgепсе criterla for Four/er ser/es,.4.nnall della Scuola Normale Sup. dl Pisa (2) 3 (1934), [7Ј К а р а м а т а Ј. - О једнм пштем О-инверснм ставу, Рад Југ. академије, 261 (81), Загреб [8Ј К п р р К. - ТЬес/е uпd Апwепduпgеп der uпепdнсhеп Rеihеп, IV Auflage, ВеrНп und Heldelberg, Sрrlпgеr-Vеrlаg, (9Ј Л е в и т а н Б. М. - О разлжении п сбственниым Функциям пера тра Лапласа, Дклады Академии наук СССР, ХС.N9 2 (1953), РОЈ м 1 п а k s h / s u п d а r а m S. - ОП ерапslп Iп еlgепfuпсtiпs of boundary value probiems IIJ, Ј. lndian Math. Soc. б (1942), [IIJ М r е С. N. - Оп the аррllсаtiп of Все)' s method to the summatlon of Fourier serles, Ргс. Nat. Acad. Sc. 11 (1925), (l2ј м r g а п О. W. - Оп the new спvегgепсе crlteria for Рисlес serfes of H9rdy and LIШеwd, Annali della Scuola Normale Sup. dl Pisa (2) 4 (1935),..' ;(А, (13] V а) / r п О. - Remarques sur lа sommatloq' es сl elle'" i.~r\i\ САНУ \ methodes de М. ВсеЈ, Rendic. Clrc. Mat. Ра{еџт! fw wn \"у; -:r G ==-Ј 1=.0.,,_

57 52 М. Maravlc SUR UN PROCEDE ОЕ SOMMA ТlON SERIES DIVERGENTES DES par М. MARAVIC Се travai1 est consacre а l'etude d'un рссме de sommation (Щ) defini par (0.1) respectivement par (0.2). Се procede. ainsi que сеlиј de Valiron, represente ипе suite continue de procedes essentiellement differents enfre еи, de sorte qu'a chaque е correspond ип autre intervalle de convergence de lа forme (1, 1) == О, 1+8), quelque soit lе nombre positif ')(.. Le procede s'applique ауес succes аи problemes de sommation des series de Fourier generalisees. Entre de nombreuses questions que sou1eve се procede, l'auteur s'est Ьrnе аи questions suivantes: Dans 1е premier ochapitre il demontre ип theoreme de nature abe1ienne, c'est-a-dire ип theoreme donnant les proprietes limites du procede de sommation lorsqu'on сппаlt 1es proprietes correspondants de lа fonction. Dans lе deuxieme chapitre п demontre lе Љесеmе 2.1 dans lequel, du fait que 1а mуеппе de Riesz a k () tend vers lа уа1еис limite ауес ипе vitesse determinee, п conc1ut que a~ () tend vers cette тёmе va1eur limite рис tous 1es ')(. > k, k etant ип entier, positif. Dans 1е troisieme chapitre est donne ип theoreme ayant trait а lа comparaison des sommabilites a~ pour 1es differentes va1eurs de. La demonstration du theoreme est donnee sous ипе supposition speсја1е (3.1) qui limite sa generalite. Dans lе quatrieme chapitre п donne lе 1етmе 4.1 permettant de conclure que, de А () -+ А (a~), -+, t::n supposant А (1) ~ 0(1), А (Ь)(Ь - (1-6)-1) est sommable vers А par 1е procede a~ dont 1е пуаu est сеlиј de Wiепеr. А l'aide de се lеmmе, s'appuyant sur lе Љесете de Wiener, п demontre lе theoreme d'inclusiol1 4.1, qui еп сеаlitе, n'est pas 1е Љесеmе d'inc1usion proprement dite а cause de 1 а supposition faite sur 1а fпсtiп А (t). Dans 1е cinquieme chapitre п а traite Је рсыеmе d'inversion du procede a~. Оп у demontre que de a~ () -+ А -+ et de lа спvergence (5.1) suit А (t) -+ А, t -+. ЕпНп, dапs lе sixieme cllapitre п donne ипе аррliсанп du procede a~ аи problemes de sommation des series de Рисјес generalisees. Оп lа trouve зu theoreme 6.1 qui est demontre еп appliquant le theoreme 2.1, le lemme 2. 1 et ипе evalaution de Levitao (6.7).. ј "....".~.... ).. "'.., ~~... ~,r...,:.~..;.. ::~. ::.~ ~p 1--'~'"

58 Збрнuк радва С.А.н. L V - МаШе.маШички инсdlишуdl КНЈ. б, 1957 Recuetl des travaux de /' Academ/e Seгbe des Sc/ences L V Jnst/tut Mathemat/que.Ni б ЧА(ЛАВ В. СТАНОЈЕВИЋ О ИНТЕГРАБИЛНОСТИ НЕКИХ ТРИГОНОМЕТРИСКИХ РЕДОВА 1. Јунг и Клмгрв (в. (1], стр ) испитивали су услве пд кјима ред 1 с (1.1) t () '"" - а + L aycos у 2 1 претставља Фуријев ред. Јунг је дказа да ред (1.1) претставља Фуријев ред ак је низ {ау} граничене варијације, а = (1), и ак је ( 1.2) L!day!lg(v + 1)<00. и=о.од Клмгрва птиче став: Ак је низ {ау} квази-кнвексан. а = 0(1), Шада је ред (1.1) Фуријев ред. 2. Оба та става садржи СТАВ 1. Нека је ау = G!:v ~y = 0(1), где је {G!:yJ граничен.е варијације, {~} квази-кнвексан. и! 13y! ::;;'м. Ак је (2.1) L IfЗуд G!:vjlg(v + 1) < О Шада је ред (1.1) Фурuјt.ОВ ред. Дказ. Из 1 тl SN () = - G!:o ~o + ~ G!:y~vCOS у 2 11=1

59 ,П :,.--" -' -.~_.- --_._----_.--~.... _~ Ч. В. СтаНОЈевић применм Абелве трансфрмације, дбиhем где је п-ј n-l Sn (Х) - ~ ~,,~ сс" D" (Х) + ~ «УН ~ ~" Dv (Х) + а п Dn (),,::.0 V=O 2. Х S1П- 2 Дирилев језгр. Пнвнм применм Абелве трансфрмације, налазим да је n-2 = ~ (v + 1) {ccv +1 ~z~v+~ccv+l ~13"+1 }к,,() +(п-l) ccn~~/i-l к п _ 1 () V=O где је Х )2 1 1 S1П (v + 1)"2 к,,()= v + 1 ( sin ~ ) Фејерв језгр. Стга је n-2 n-l SN () = ~ ~Џ ~ ССу Оу(Х) + V=O (2.2) + ~ (v+l){o:v+l~2~v + ~ccy+l~~v+t}kv(x) + \1=0 Ак је =!= О, пследња два члана на деснј страни у (2.2) теже О, када п ~ ОО, И стга где је sn () ~ {(Х), "" {() = ~ ~yl\ccvd" () + V=O "" + ~ (v + I){CCЏ+1~2~џ + ~CC~+l~~"+l}Ky(x),,=0

60 интеграбилнсти неки тригнметриски редва 55 ИнтеГРliшуhи у размаку (0,'It), лак се налази да је f I t () I dx ~ М i I ~y А av I1g (v + 1) + О +N~ (v+l) {\аџ+ја1руl + \A«V+tA~+1\} = Sl+S2' 11=0 Збир Sl је кначан према (2.1). Пшт је низ {~џ} квази-кнвексан и ~v=o(l), имам (v+ 1) I А{3Н1 I =0 (1)= 0(1) а как је {а џ } граничене варијације, т је ас S2 < N' ~ (v+ 1) I ~z~vl +N" ~ I Ааџl V=O 11=0 ас Према тме S" је такђе кначн. Применм става: Ак један ii1purohomeii1pucku ред кнвергира, изузев у једнј шачки, ка једнј иншеграбилнј функцији, шада је ii1aj ред Фуријев ред, дбивам да је ред (1.1) са av=t%v~v' Фуријев ред. За а џ == 1 став 1 свди се на став Клмгрва, а за ~џ == 1. дбија се Јунгв резултат. 3. Незнатнм изменм услва за {av} и {ј3џ}, дбиhе се СТАВ 2: Нека је 1 ас. - а + ~ а џ cos v 2 v=l Фуријев ред једне L (О, п) - иншеграбилне функције fp (). Ак је низ {~џ} квази-кнвексаll и ~,=(){l) шщаје ред (1.1) са av=av~v, Фуријев ред. дбиhем Д к а з. Двструкм' применм Абелве" трансфрмације n-2 (3.1) SN ()= ~ (v+ 1) А2 ~v't"v ()+(n - 1) A~nTn -1 ()+iзn ~n () 11=0 где је 1 п fpn ()= -а + ~ av cos v 2 v=1 1 v 't"v(x)=- ~fpk(x) v+ 1 k=o.

61 56 Ч. В. СтанЈевиh Ак је Ф О, пследња два члана у (3,1) теже ка О, када п ~ ОО, И стга s" () тежи ка када 11 ~ ОО. а {(Х)= ~(v+l)aii~v",\i(x) \1=0 Интегришуhи у размаку (О, 1t), дбиhем (3.2) Ј I f (Х) I dx ~ i (v+ 1) I А2 f3v I f I Ту ()1 dx. Према Хардију и Литлвуду [2] имам fl",v(x)ldx~m flrp () I dx а из (3.2) дбијам п п f 1f (x)ldx:5:.m!lrp(x)ldx i(v+l)ia2~vl " Стга је функција f () интеграбилна. (Саllшli1ен на седници Mali1. инсшиli1уша 29-ЈЈ-1956) ЛИТЕРАТУРА (1) А. Z У g m u п d - Trlgonometrlcal Serles, 2 ed., Chelsea, New York, (1952). (2) О. Н а r d у and Ј. Е. L I t "t 1 е w d - А Маlтаl Theorem wlth Functlontheoretlcal Appllcations. Acta Math. 54, (1930),

62 ON INTEGRABILIТY ОР Оп IntegrabIlity 01 certaln trlgonometrlcal series 57 CERT AIN TRIGONOMETRICAL SERlES (1.1) 1. The problem of Ьу С. У. ST ANOJEVIC 1 а,(),,-,-а 2 + ~aycosvx v=1 being а Fourier series, was considered Ьу Young and Ko1mogorov [1]. Young proved that the series (1.1) is а Fourier seгies, јl { ау } is 01 bounded variation, ау= (1), and јl. "" (1.2) ~ I ~ а. 11g (v + 1) < V=O ТЬе following theorem is due to Ko1mogorov: 11 { ау} is quasiconvex and а.= (1), then the seгies (1.1) is а Fouгieг seгies. 2. Both of these theorems are contained јп the following thеrешs. THEOREM 1. Let ау = а Р.. = О (1) where {ау} is 01 bounded vaгiation, {Pv} quasi-convex, and I ~. I < м. 11 а (2.1) ~ I Р.. ~a. 11g (v+ 1) < "=О then the series (1.1) is а Fouгieг seгies. THEOREM 2. Let ) "" -а + ~a"cos vx 2 v=1 Ье а Рuгјег seгies / а L (О, п) - integгable lunction,(). 11 {р,,} is quasi-convex, and Ру = 0(1), Љеn the seгies (1.1), with ay=ay~y, j.~ а Рuгјег seгies.

63 Збрник радва С.А.н. '" v - Маii1е.маii1ички ин':шишуii1 Klb. 6, 1957 Recueil des travaux de [' Academie Serbe des Scienus L V IпsШиt Mathematique М 6, 1957 АНТОН БИ:nИМОВИЋ О ГЕОМЕТРИСКИМ ПАРАМЕТРИМА У другј плвини деветнаестг века пјмви прменљиве величине и функције пчели су улазити у прграме средњи шкла. У двадесетм веку у напредним земљама били су уведени чак и елементи више математике. Примена разнлики функцинални веза дбила је ширку ппуларнст и дала значајне резултате у развитку не сам математичкг већ и пштег људскг знања. У средњу шклу та примена је била уведена, а стаје и сада углавнм у бласти анализе, у бласти квантитативни днса. Насупрт анализи, кја је пчела да перише не сам сталним већ и прменљивим величинама, елементарна геметрија се кнзервативн придржавала старг, гтв Еуклидвг, начина излагања средњшклскг материјала. Еуклидва сбина геметриски блика, њива непрменљивст, чак њива смрзнутст, стаје и даље на снази. Оснве аналитичке геметрије, унесен е заједн са снвама више математике, нису утицале на карактер излагања и материјал елементарне геметрије.' Лгичка структура геметрије је дминирала у излагању тг предмета и стављала у сенци друге важне сбине елементарне геметрије ка шклскг материјала за развијање дубљи прстрни претстава везани са прменљившhу ти блика п фрми, величини и плжају. Еуклидва лгичка снва излагања елементарне геметрије, сама п себи д капиталне важности,не сам шт није развијала прстрне претставе, већ и је, братн, сужавала и граничавала прирдну људску фантазију у бласти ти претстава. Услед те ЈIOгичке дминације у елементарну геметрију није ушла идеја прменљивсти, а нарчит недстаје чист геметриска прменљивст, не nрменљивст ни величина кје, сачињавају елементе некг геметри~кг бјекrа,'рецим, страна и углва тругла, већ прменљивст самг блика у целини, тругла 'ка блика кји има свју фрму, величину и плжај и мења те сбине бил услед трансфрмације бил услед неки други разлга. Савремена виша геметрија са упштеним прстрима разли~ чити сбина бави се прменљивgшпу геметриски бјеката у

64 60 А. Биnимвиh врл ширкј И апстрактнј фрми, али те нве бласти нису јш утицале на излагање и материјал елементарне геметрије. При излагању елементарне геметрије узети у бзир нва дстигнуhа савремене математике врл је тежак задатак. Али баш на тме задатку сад се мнг ради. Тај задатак је нарчит тежак збг тга шт уншење нви идеја мже штетити тлик важну, у васпитнм днсу. лгичку структуру геметрије. Неки успе у тј бласти је ствар далеке будуhнсти, али нека мдификација излагања важни истина елементарне геметрије извдљива је и у данашње време, при садашњем брју часва MaTe~ матике и при садашњем плжају тг предмета у савременм систему средњшклске наставе. Први крак у тм правцу бил би цењивање геметрискг бјекта у целини анализм ни битни геметриски сбина кје припадају свима геметриским бјектима. Т се цењивање врши пмhу пручавања фрме, величине и плжаја и увђења нарчити параметара: параметара фрме, параметара величине и параметара плжаја.\) У савременј математичкј литератури пјављују се чак нарчите гране геметрије: геметрија фрме (geometry of form), геметрија величине (geometry of size) и геметрија плжаја (geometry of position).2) Циљ вг члан ка је пказати у кјј се фрми мже увести у наставу тај нви елемент пручавања геметриски бјеката у целини. Интуитивн увђење пјмва фрме, величине и плжаја некг геметрискг бјекта не претставља тешкhе. Два геметриска бјекта су исте фрме, ак је један бјект геметриски сличан другм. Два геметриска бјекта исте фрме су и исте величине. ак је растјање између две тачке првг бјекта једнак растјању две дгварајупе тачке другг бјекта и. најзад. два геметриска бјекта су истг плжаја, ак се све тачке првг бјекта пклапају са дгварајуhим тачкама другг бјекта исте фрме и исте величине. За брјн цењивање фрме. величине и плжаја увде се бил апстрактни бил именвани брјеви, кји се зву параметри. Означим са /,брј параметара фрме. са g брј параметара величине и са р брј параметара плжаја некг геметрискг бјекта и пручим на примерима те параметре. Т пручаваље се врши у тку целкупне наставе как планиметрије так и стереметрије. Пре свега наведим примере геметриски бјеката без параметара фрме (f = О). За те бјекте сам назив бјекта птпун дређује Њ~гo~Y' фрму. ') В.нашу књигу - Геметриске снве рачуна са диадама. 1. Диадll и афинр. Беr:рад ) W. Retve аnd C.Tuttes -'Prilctlca1 МаЉетаtlа Refrtsher

65 геметриским параметрима 61 Права, плу права, две паралелне праве, прав уга, квадрат днсн упште правилан мнгуга дређенг углва, кцка, упште правилан плиједар дређенг страна, лпта. круг, брја брја Примери геметриски блика са јrдним параметрм фрме (f = 1). Правуганик. Параметар фрме је апстрактан брј - днс једне димензије према другј (а: Ь). Рмб. За параметар фрме мжем узети, рецим, днс дијагнала рмба, - апстрактан брј. Уга. Пара метар фрме вг геметрискг блика је апстрактан брј: днс дгварајућег лука према плупречнику (~ = s: г). рецим, Елипса. Пара метар фрме је брјни ексцентрицитет елипсе, е=с:а. Учиним важне примедбе. Прирдн је цењивати фрму апстрактним брјем - неименваним брјем. Али иста фрма мже бити цењена и именваним брјем са именвањем sui generis, изабраним за дату фрму. И на тај начин, как изгледа, свди се цена фрме на цену величине, шт, у суштини није прирдн. Узмим уга, ка геметриски блик д две плу праве са заједничким пчеткм и наведенм блашhу равни на кју се днси тај геметриски блик. Јасн је да је сваки уга геметриски блик кји има сам дређену фрму и, ак см у стању да дредим ту' његву фрму, уга је птпун дређен. Апстрактни брј a=s: г птпун дређује уга и сваки други начин дређивања угла увек мже бити сведен на дређивање угла апстрактним брјем, брјем без икаквг именвања. Изрази:.. уга,,", "уга 1/3", "уга 15" птпун дређују углве. На жалст, истриски, ту се умешал именвање "радијан" и мже изгледати да је пара метар фрме угла именвани брј мерен у радијанима. Израз "у радијанима" и сам "радијан" треба тумачити не ка именвање, нег ка навђење начина кјим се мери уга апстрактним брјем. Так и цењивање фрме правуганика мжем вршити.. у квадратима", па чак и.. У пекама" и за јединицу узимати "квадрат" днсн "пеку" и тада параметру' фрме правуганика h: а, неименванм брју, дгвара би именвани брј "h квадрата" при а= 1 или "k стандардни пека" наслагани једна на другу. Тај пследњи начин писивања фрме правуганика мжда би би и најјаснији и најприрднији за једнг примитивнг зидара. Как би изгледал тумачење једначине. 1 а S1П а=а - - а

66 62 А. Билимвиh кад бисм пд а: пдразумевали и'менвани брј чије именвање треба дизати на степене. Мерење угла степенима или градима и њивим делима бил би мерење нарчит изабранм јединицм, јединицм sui geneгis.obo мерење има свје правдање у пгднсти у практичкј примени, а не. у терискм перисању углм ка геметриским бликм. Са савременг математичкг гледишта сва таква мерења фрме нсе јасн вештачки карактер. у пштем случају за цењивање фрме једнг истг геметрискг бјекта пмhу апстрактнг брја пстји више начина. Узмим, рецим, правуганик. Сем днса страна а: b=k 1 фрму истг правуганика мжем ценити и днсм једне стране и дијагнале, рецим, а: d=k 2, али између k 1 и k 2 треба да пстји веза; у вм случају је k~ (1 + kћ = Й. Ак за дређивање фрме правуганика узмем уга а: између дијагнале и стране а, између два пара метра фрме а и k 1 правуганика пстји веза: k 1 =cotg а, а између а и k 2 ва: k 2 =cos а. Как см навели, фрма елипсе мже бити дређена брјним ексцентрицитетм е=с: а, где је с 2 =а 2 _Ь 2, а а и Ь плусе елипсе. Назвим тај ексцентрицитет снвним. За дређивање фрме елипсе пстје јш и друге величине!), наиме јш два ексцентрицитета: е' и е" и три "спљштења" а, а', п" према дефиницијама: а-ь а=--, а а-ь а'=--, Ь " а-ь п =--. а+ь Пмhу сваке д ти величина мгу бити изражене све стале; напр. у зависнсти д снвнг ексцентрицитета е имам: е 2 -- e"~= -- n= 1- -У1-е е2 ', п' = 1 : (1-e 2 Y/2-1 = Ка примери прстрни бјеката са једним параметрм фрме мгу пслужити: правугли паралелепипед са квадратнм снвм, ваљак, купа. Примери геметриски блика са 1=2.. Труга. ПараМЕТРИ фрме - два угла или днси две стране према треьј. - Паралелграм. Параметри фрме - два угла једне стране са дијагналм и са другм странм или днси једне стране и дијагнале према другј страни. - Правугли паралелепипед. Параметри фрме - днси две димензије према треьј. - ЕlIИПСОИД. Параметри - днси две плусе према треьј. 1) R. Кбnlg und К. Welse. Mathematlsche Grundlagen des hoheren Geodesle und Kartographie. 1. В s. 4.

67 геметриским параметрима 63 Примери геметриски-бјекатаза- /= 1 и /=2 У двљнј мери разјашњавају суштину _ пјма парэ:метра фрме и према тме навђење примера фрме за /=3,4,5,..., п как у равни так и у прстру не претстзвља нарчите тешкhе у смислу pa3yme~ вања ПИТ8ња, али решавање ти питања затева извесну геметриску инвентивнст за чије развијање баш ви примери претстављају пгдан материјал. Пређим сад на пјам параметра величине. Пре свега треба нагласити да је птребн разликвати пјам параметра величине д пјма величине упште. И параметри фрме су величине, апстрактне или специфичнг именвања, или је њива улга различита д улге параметара величине. Пстје два случаја. 1. Геметриски блик је у птпунсти дређен сам параметрима фрме па чак и без такви параметара, сам називм. Такав геметриски блик нема параметра величине (g= 1). Примери: права, плуправа, прав уга (/=0); призвљан уга (/=0) има свју такзвану величину угла, али та величина у суштини је прирде параметра фрме, а не параметра величине; ксугли триједар има три параметра фрме (/=3). три угла, али нема параметра величине, ак за такав пара метар не узимам глбални иара.меlпар фр.ме - днс пвршине дгварајуьег сфернг тругла закљученг у триједру и пвршине целкупне сфере. Ксугли триједар са једним правим углм има два параметра фрме, са два права угла - један пара метар фрме и ртгнални триједар - ниједан. Ниједан д ти триједара нема параметра величине. Њив глбални параметар фрме је функција _ снвни параметара фрме. 2. Сами параметри фрме не дређују геметриски блик у птпунсти. Слични геметриски блици имају параметар величине и т сам један (g=l). За пара метар величине мжем узети дужину а дуж и кја спаја две фиксиране тачке на геметрискм блику. За дређену вреднст а геметриски блик мжем сматрати ка.мдел геметрискг i5лика дате фрме. Сваки други блик исте фрме мжем дредити или непсредн величинм а или днсм а: а, апстрактним брјем, раз.мер.м датг блика према мделу.тај апстрактни брј у вм случају такђе игра улгу параметра величине. Од пара метра а мже зависити нека пвршина S везана за геметриски блик. Та пвршина се изражава неким брасцем S =)..1 а 2, где је 1. t кефицијент прпрциналнсти, апстрактни брј, кји зависи сам д параметара фрме геметрискг блика. За случај запремине V имам бразац v =)..2 а 9, где је 1.2 ист так апстрактан брј, функција параметара фрме.

68 64 А; Биnимвиh Ак геметриски 9блик нема параметара фрме (1=0), кефицијенти 1..1 и 1.2 су ар~тметички брјеви. Так например, за пвршину квадратэ имам S=1.. 1 а 2, где је 1..1=1, а за запремину кцке V=1. 2 a S и 1.2=1. За сферу и лпту имам: 8=1..1 а", V=1.za s 4. где су I.. Ј = 41t И }.2=З '11". За параметар величине је узет плупречник. имам Ак геметриски блик има један параметар фрме k l нда Примери: правуганик и квадар (правугли паралелепипед са квадратнм снвм). Ь S ' аь - _ а 2 =1..1 а 2 са 1..1 = b:a=k 1 ; а T=2a 2 +4ah = 2 (1 +2k t ) а 2 =}.\ а 2, где су k 1 = h:a, 1..1 = 2(1+2k l ) = }.1(k l ). V=a2h=kJa8=1..2aS, где су }.2=k 1 =h:a. Тада Узмим јш случај блика са два пара метра фрме k 1 и k 2 је Пример. Правугли паралелепипед са димензијама а, Ь, с а за k l = Ь/а, k 2 = с/а. где је где је Приметим да за параметар величине мжем узети и величину неке пвршине днсн величину неке запремине. Такав пвршински днсн запремински пара метар величине мже бити изражен пмhу линискг пара метра величине. Та веза зависи у пштем случају д фрме геметрискг бјекта и према тме д параметара фрме. Так, нащ>имер ак за пвршински параметар величине узмем пвршину А великг круга лпте, пвршина S те лпте мже се изразити ка: S = 4А, а запремини V дгвара бразац v=~ 1_ Ав / 2 6 V 1с

69 геметриским параметрима 65 Ка други пример узмим ваљак пnупречника снве R и висине h са параметрм фрме k 1 = ћ: R. За параметар величине дредим пвршину снве ваљка А = 1'.R2. Целкупна пвршина S ваљка се тада изражава са а запремина V - kt А8/2 -ул. и сваки линиски елемент мже се изразити пмhу параметра фрме k 1 и пвршинскг параметра величине А. За R и h имам: Слична израчунавања се врше за случај запреминскг параметра R-(A/тe) 1/2, h=k 1 (А/те) 1/2. величине. Пређим сад на параметре плжаја. Решавање питања клик и какви пдатака треба да бу де наведен да се дреди плжај дређенг геметрискг бјекта, правлинискг, равнг или прстрнг, мже пслужити как дубљем пручавању сами кнкретни бјеката, так и упште развитку прстрни претстава. Наведена питања дређивања и упреднг цењивања плжаја геметриски бјеката и њи.ви елемената систематски се решавају у аналитичкј геметрији, али та иста питања у пчетнј фази мгу бити брађена уптребм материјала сам елементарне геметрије и треба да буду стављена у ту геметрију, аl{о се жели да се та геметрија слбди д укалупљене непкретнсти геметриски бјеката тлик штетне за развијање прстрни претстава. Ка снва за увђење параметара плжаја служе снвни задаци дређивања плжаја тачке на правј, у равни и у прстру. Сваки д ти задатака има и свју кнкретну фоdму у такзваним геметриским задацима на терену. ИЗ елементарне анализе ти задатака следује да се плжај тачке на правј дређује једним параметрм плжаја, рецим, растјањем једне д друге тачке узете за плазну (први клац. Плжај тачке у равни дређује се са два параметра, рецим са два растјања тачке д две тачке, крајева једне дужи кја је узета за базу; та два растјања мжем заменити и са два угла. Најзад за дређивање плжаја тачке у прстру треба знати три параметра плжаја тачке и т, рецим, у днсу на снвни труга Аве у прстру - уга између равни Аве и равни АВМ, кја прлази крз тачку М чији плжај дређујем, и два пара метра плжаја тачке М у равни АВМ у днсу на базу А В. 5 Збрник Математичкг института

70 А.. Билимвиh.. П'сле дређивања параметара плжаја тачке лак је преhи H~".дређивање параметара плжаја пједини геметриски: бјеката. '. За правлиниску слику - дуж или упште дати правлиниски систем тачака, р= 1, јер је двљн дредити плжај сам једне тачке слике на правј линији. Т ист се днси и на дређивање плжаја датг система тачака на датј кружнј линији. За слику у равни р=3, јер се плжај такве слике дређује плжајем две тачке д кји се друга налази на сталнм растјању д прве. Најзад за прстрни бјект, напр. за кцку, I.<oja је чврст везана за бил кји прстрни бјект, па према тме за сваки прстрни бјект имам р = 6, јер се једн теме кцке дређује сатри параметра, друг са два, јер је т тачка на сталнм растјању д прве тачке, и треье са једним параметрм ка тачка на сталним растјањима д две дате тачке. Тумачење пјмва параметара фрме, величине и плжаја тлик је лак и занимљив да не претставља никакве тешкhе у настави, треба сам увдити те пјмве у некј узаступнсти у вези са третираним материјалм и развиткм ученика. Усвајање ти пјмва је врл крисн как у днсу на знатн прширење прстрни претстава так иу пгледу на примене. Значај геметриски параметара знатн се прширује у вези са пручавањем прмене геметриски блика у зависнсти д прмене параметара. Најпрстија је улга пара метра величине, на је најјаснија ученицима и блиск је везана са пручавањем прмена релативн прсти алгебарски израза, чест са аритметичкм прценм у смислу веnи и мањи величина. Пручавање прмене фрме у вези са прменм параметара фрме спада у чист геметриску бласт. Прмена геметрискг блика сам са једним параметрм фрме веn даје грман материјал за пручавање геметриске фрме упште. Узмим најпрстији пример - пара метар фрме правуганика. Тај параметар игра грмну улгу у цењавању фрме предмета кји нас кружују - књига, свеска, 'табла стла, фасада зграде итд. Пара метар а:ь је главни елемент кји карактерише њиву фрму. Тај параметар служи естетским циљевима (златан пресек и друге пделе), па и практичним циљевима (динфрмат и др.), за цењивање развитка неке индустрије. Пргрес граljевинарства мжем ценити не 'сам висинм зграда, веn параметрм h: а кји' узи~а у бзир и смањење снве. Није д мањег интереса пручавање фрме ели псе днсн елипсида бртања K~O прве фрме тступања д круга днсн д сфере. Пчев д небески тела и наше Земље па д nелијица биљака и живтиња -,- све т има фрму кју у приближнм псматрању мжем математизирати у блику дефрмисане кружне днсн сферне фрме са различитим вреднстима параметара фрме.

71 геметриским параметрима 67 Баш при пручавању прменљивсти блика јасн се истичу сасвим различите улге параметара фрме и пара метра величине. Математичк писивање фрме треба да уђе у сазнање истм снагм ка шт је ушл у сазнање и у праксу писивање величине пмhу мерења дгварајуhи димензија. Већ двајање пручавања фрме д пручавања величине и мгућнст цењивања сам фрме пмhу брја велики је дбитак за шт дубље пручавање Прирде и за уптпуњавање материјала ка снве за инвентивну делатнст људскг дуа. Према тме спсбнст видети фрму и свесн је цењивати без бзира на величину ист так треба да бу де снвни елемент у савременј геметрискј настави. Најзад прменљивст параметара плжаја је, мжда, најбгатија рана за развитак прстрни претстава, јер је та прменљивст у вези са кретањем, прирднм дпунм геметрије. Јасн је да се мнг дубље пручавање геметрискг бјекта пстиже тиме шт се бјект пручава у различитим плжај има. Еуклидв пручавање бјекта увек гтв у истм плжају птпун је двљн, а мжда баш и најзгдније за лгичку анализу геметрискг материјала, али је н штетн за пручавање геметриски бјеката у целини, и т не сам ка индивидуални блика, већ ка чланва цели прдица ти блика везани пштим сбинама функциналнг карактера. Нама изгледа да дпуна бичнг материјала елементарне геметрије пјмвима параметара фрме, величине и плжаја, чак узимајуhи у бзир и њиву прменљивст, не претставља никакве тешкhе, занимљива је за ђаке и према тме је птпун савладљива. у ист време на је и врл важна ка увд у даља пручавања више геметрије, нарчит за прјективну и афину геметрију и за тплгију, једнм речи, за пручавање ни бласти геметрије и математике упште, кје су везане за трансфрмације, а анализа математички бјеката са гледишта трансфрмација и терија сами трансфрмација главни је де садржаја савремене математике. Пручавање наведени параметара је први крак за прдирање у ту математику. На крају треба истаhи да нве фрме геметрије - геметрија фрме, величине и плжаја јесу нви елементи, кји све више дижу аутритет математике ка универзалнг апарата не сам фрмалистичкг већ птпун прирднг садржаја кји бувата пјаве Прирде са сви њиви страна. (Сапштен на седници Мат. института 7-Ш-1956)

72 68 А. Биnимвиh SUR LES PARAMETRES GEOMETRIQUES Resume La variabilite des figures geometriques. Les parametres geometriques: 1. Ое la forme. 2. Ое la grandeur et 3. Ое lа position. Ееmples. Traitement des parametres geometriques а l'etude de geometrie elementaire..

73 Збрник радва С.А.Н. L V - МаШе.маШuчки инсшишут ННЈ. БЈ 1957 Recueil des travaux de lj Academle Serbe des Sclences L V 1nstltul Malhemallque.NJ ШЕФКИЈА РАЉЕВИЋ ПРИМЈЕДБА О ЈЕДНОМ МАRDЕN-ОБОМ СТ АБУ 1. Нека је п (1) I(z)=ao+a.z+... +anzn=a n П(Z-ZЈ) i=1 задани плинм п-тг степена и нека је _ п (1*) 1* (z) = Zn 1 (ljz) = а zn + а1 zn-l а n... а П (z -Zj) 1=1 плинм чије су нуле Z; = ljij симетричне у днсу на јединични круг I z 1 = 1. нула ма плинма (1) Нека је, даље, плинму (1) придружен низ плинма /} (z)= п-ј = L av' Zk, дефинисани релацијама k=o 10 (z) = f (z) (2) fj+1(z)=а~ј)fј(z)-а~~јl;{z), ј =0,1,..., п-l тј. и нека је (3) а (1+1) llm а (ј) - аи ). 7I(j) k - О k п-ј "'n-l-k низ призвда у кјима је 01+1 М/Н) = I a~) 12-1 а ~~j I ~, ј = О, 1, 2,..., п - 1. Тада вриједи вај Маrdеп-в, [1 ј стр. 150, став (42, 1)], СТАВ 1. А " у низу (3) има р негативни и п - р 110зитивни l1ризвда Pk, тада 110линм (l) и.ча р нула унутар и п - р нула ван јединичнг "руга I Z 1 = 1, а нема ни једне нуле на то.че "ругу.

74 70 Ш. Раљевиh 2. У тежњи да низвима (2) и (3) бувати и случај кад плинм (1) има и нула на јединичнм кругу, Marden је да такђер [1; стр. 157, став (44, 1)]. СТАВ 2. Ак је у низу призвда (3), за нек k < П, Призвд Pk=l=0, а У низу Плин.ма (2) Плин.м Ik+1 (z)=o, шада се n -k нула Плин.ма (1), иденiiiични са нула.ма Плин.ма Ik (z) из низа 12), налази на јединичн.м кругу I z I = 1. Пред тга. ак је р брј негативни Призвда Рј, ј = 1,2,..., k, i10лин.м (1) и.ма р нула унутар и q = k-p нула ван јединичнг круга. Овај став, међутим, није тачан, јер је при извђењу његва дказа учињена једна машка. Наиме, плинм блика ([1]; стр. 155, (44, 1» n-k - (4) '1'(z) = П (z - e lej ) ј=1 није једини плинм, чији дгварајуhи плинм блика (1*) има сбину да је (4*),~* (z)=( - l)n-k e- 1a '1' (z) Ту сбину има и плинм <1= n _ k (5) rp(z)= fi (z_е I8л ) ri[z2 - (Ру+ ~)zеl""v+е2lфv] 1.=1 у=1 Ру (5') <р* (z) = ( - 1 )n- k e- i а q> (z). п - k=т+2s, <1=01+02+'" 0 m +2 ('1'1 +0/ /5) кји, пред нула на јединичнм кругу, има и парве симетричн распређени нула у днсу на тај круг. Ак је, дакле, [1; стр. 156, (44,4)] (6) I(z)=q> (z)g(z)= = П (z_е I8л ) П IZ2_(рv+~)zејФv+е2IФv]fЬЈZЈ, 1.=1 1 =1 ~ Ру 1=0 т+k+2s=n, k гдје је g (z) = ~ Ь Ј zj плинм кји нема ни нула на јединичнм ј=о кругу ни парва симетричн распређени нула у днсу на та] круг, биhе (6*) '* (z)= 19* (z) с* (z)= ( - l)n-k e- ia q> (z) с* (z) а ={ - l)n-k eio Ь, an=bk

75 ПримЈедба О Једнм Marden-OBOM ставу 71 тј. (7) 'ј (z)=~* (z) Ш (z); 1; (z) = fp (z) g; (z) а (ј) - иl (Л. а (ј),-(- l)n-k e-1a b k m, Ј' -1 2 k -, п -} - -} -", днсн Обрнут, ак је Ik+J (z) == О, тада из (8) и (2) призлази да је плинм Ik (z) заједнички фактр и плинма 1 (z) и плинма 1* (z) Как у вм случају плинм Ik (z) нема бавезн све нуле на јединичнм кругу, т је чигледн да став 2., нак как је фрмулисан, није тачан. Примјер: 1 (z) = -6 - (9+5;) z+(9-15ђ z2+(4-10ђ z8+8 Z5 'Ј (z) (54+30i) z-(86-10i)z2 - (96+60ј) Z8+ + (72-40 i) Z4 12 (z)=3000i[2 i - (3+i) z - (1 +3 i) z2+2 ZS] Is(z)==O <р (z)=zs- ; {1+3i} z2- ~ (3+i)Z+i- 1t1) ( -!!.. 1) ( 1!!... i ) =(z-e z-v2e 4 z-v"2 e4 Овдје је: k=2, п - k=3, 01 = - 28, 02= -6000, р= 1, q= 1, а плинм 1 (z) има двије нуле (Z1 = -1/2, Z2= 1/2 + ;/2) унутар јединичнг круга, двије нуле (zз ~ - 3ј/2, z. = 1 +i) ван тга круга и сам једну нулу (Z5 ~ - 1) на тм кругу. 3. Напмињем да у вм случају плинм (8) има сбине плинма g(z) из става (45,2) [1; стр. 159], днсн да је плинм (8) идентичан са плинмм Ik (z), О км се гври у вјежби 2. [1; стр. 161]. у вези с тим видјети такођер [2; стр. 8] и [3]. (Са()ilштен() на седници Мат, института 5- VJ-1957)

76 72 Ш. РаљеВНђ ЛИТЕРАТУРА (1) М а r d е п М. - ТЬе geometry of Ље zeros of а р1упmlа1 1п а сmрlе varlаые, New-York, (2) D I е u d п п е Ј. - La theor1e ana1ytlque des р1упбmеs d'une varlabie. Мет Гlаl des sclences тatheтat/qlles, ХСШ, Parls, (3] D е а u R. - Sur les equatlons antireclproques, Mathesis, LVШ,.NJ 9-10 (1949), REMARQUE SUR UN THEOREME ОЕ М.. par S. RALJEVIC MARDEN L'auteur а remarque que lе рlупбmе (5) dont les coefficients satisfont а (5') а la propriete (4*) qui d'apres М. Marden [1, р. 155] caracterise le рlупбmе (4) D'autre part, le рlупбmе (5) possme des zeros еп dehors du cercle I z I = 1, се qui montre que lе ТЬ. (44, 1), [1, р. 157Ј n'est pas vrai.

77 Збрник радва С.А.Н. L V - Мате.wатички институт К!Ь. 6, 1957 Recuell des fravaux de Ј' Academle Serbe des Sclences L V Insfltuf MafhematJque.Ni 6, /957 СТАНИМИF ФЕМПЛ О ЈЕДНОЈ РЕДУКЦИЈИ ПОТПУНОГ НОРМАЛНОГ ЕЛИГ1ТИЧКОГ ИНТЕГРАЛА ТРЕЋЕ ВРСТЕ Нека је L (k, '\') == FE (k, '\') - EF (k, "'), (1) где су F (k, "') и Е (k, "') нрмални елиптички интеграли 1 и 11 врсте мдула k и амплитуде,\" дк су F и Е дгварајуhи птпуни интеграли. Израз L (k, "') свди се на птпун,и нрмални елиптички интеграл 111 врсте Lеgепdrе-ва типа са параметрм - k 2 sin '" тј. L (k, "')=ctg '\' Vl-k 2 sin~'" [ПО ( -k 2 sin 2,\,) - р}, (2) а у свјј тези [1] пказа сам да је m-l ml(k,,\,)=fk2siп,,,siп'\'m_1+fk2siп,\, ~ sin"'v_1sin,\,v' (3) кадгд су задвљени услви у=2 tg '\'У+1+'\'У-1 =tg"'v V1-k 2 sin2,\" 2 v = 1, 2,... m-l, (4) 2t И брнут. При тме је '\'0 =, '\'1 = '\', '\'," = "2; величина '" се мже изразити ка функција д k. Пзнат је да се птпуни нрмални елиптички интеграл III врсте мже изразити кмбинацијама птпуни и нептпуни елиптички интеграла 1 и II врсте. Грњи резултат мгуhи ми је да изнађем један низ случајева у кјима се вакв изражавање врши пмhу сам п т п у н и интеграла. Према грњем је п ( kl 2 '1.) F F k 2 tg '" siп '" (., s1п 't' = +,/ slп 't'm-i + т v l-k 2 siп 2,\, m-i ) + Y~2 siп "'У-1 sin,\,у, (5)

78 74 С. Фемпл уз услве (4), при чему се прирдни брј т> 1 мже бирати призвљн. Так например за т = 2 дби сам бразац (6) (други члан на деснј страни брасца (3) тпада) при чему је k' кмплементаран мду мдулу k: k'=vl - '- 2 Овај бразац би је и раније пзнат, н н је дедуциран из пште метде кја је излжена у тези. За стале вреднсти т дбивају се птпун нви резултати. Так за m=3 дби сам (7) где siп 0/ мра З8двљавати једначину k 2 sin 4 0/-2,, 2 i ns 0/+ 2 sin 0/-1 =0 (8) кја даје једну једину вреднст за sin t у размаку (0,1) итд. у вм раду пказаhу да се мже дбити један низ нви вреднсти за птпуне нрмалне елиптичке интсграле III врсте кд кји за параметар п важи неједначина _k 2 < П < О и кји се изражавају сам птпуним интегралм 1 врсте истг мдула. Дказаhу, наиме, следеhи СТАВ: Кад гд низ амплитуда 0/1" (v=l, 2,..,m-l) задвљава т -1 једначину (9) v = 1, 2,... т - 1 ; тада је Fk! COS,Ј. "I :...k2. 2,1. ' т-l ) 'у V S1П 'у - k'2 (Sll1o/т_ l + ~SIi1/V-1S1П/v, т v=2 (10) и брнут.

79 једнј редукцији птпунг нрмалиг елиптичкг интеграл.!: треће врсте 75 д к а з вг става лак следи на снву једне Legendreве фрмуле [2] sin 0/ cos 0/ 10 V 1- k~sin20/ V l-k 2 sil1 s ~+k2 sin 0/ cos t sin Э cos 9 = 2V1-k2sin2'ir g Vl-k 2 sin 2 t V l-k 2 sin 2 Э - k 2 sin t costsin Э coso = F (k, 0)-cos 2 t П (-k 2 sin 2 0/, k, Э)- k,2 sin - 2 t ( k п - 2 cos 2 0/ ),k, е, l-k 2 sil1't l...,...k2siп~0/. ак се у вј стави 0= 2:-. Тада интеграли П и F (k, О) пстају 2 птпуни интеграли ПО и Р, па следи F 2.1. П ( k ) k' 2 -cos sin 2 t П ( k 2 cos 2 t ) '1' О - slп '1' k 2 sin 2 t,1-k 2 sin 2 t Ак се вреднст ПО ( - k 2 sin!l 0/) израчуна из ве једначине и стави у бразац (5), дбиhе се једначина (10), шт је требал пказати. За т = 2 дбива се један једини услв (9): ctg 2 t = а у једначини (10) тпада други члан у малј загради, так да се пет дбива бразац (6). Међутим, за т > 2 дбива се птпун нви низ вреднсти. Так например за т = 3 важи услвна једначина (8), а бразац (10) пстаје П ( k2cos2t ') FV 1 - k 2 sin 2 t!i 2 О - 1- k2sinto/ =. 3 k'2 [3 Vl-k slп 0/- k', ~k2 sin ta cos t (1 +sin t)], дк из једначина (9) v = 1, 2;ts = 2) за v = 1 следи ( 7t' тј. tg t2 = tgt V1-k 2 sin 2 0/, 2 днсн cos ~ v 1 - k 2 siп 2 0/ '

80 76 с. Фемпл На снву тга је. п (- k2 cos 2 '1}1 )= ~ (3 _ 2 k 2 sin 2 '1}1- k 2 _ k 2 sin 'I}I+k 2 sin s 'I}I), 1 - k 2 sin 2 \}r 3 k '2... а псле прширивања разлмка на деснј страни са sin \}r и примене једначине (8), ПО = (1 + sin \}r)(l-k 2 sin Чr). ( k2 cos 2 \}r ) l-k 2 sin z \}r F 3 k'z sin \}r При тме sin\}r има вреднст из једнзчине (8~. 3бг n=-k 2 sin 2 \}r грња једначина мже се писати у блику. п (- )= n+k2 (k + -у-=п) (l-kv=tl) Р. п+l 3k ' %V-п 3а веье вреднсти т, услвне једначине Ье се, разумљив, кмпликвати, али се из излженга види да су при ваквим редукцијама мду и параметар увек везани алгебарским једначинама. (Сапштен на седници Мат. института 27- VI-1956) ЛИТЕРАТУРА [1) с. ф е м п л - О ЈеднЈ линеарнј кмбинацији нрмални елиптички интеграла I и 11 врсте, Збрник радва МатеAlатичкг института С А Н 5 (1956), [2] А. Е п п е р е r - EllIptlsche Functlonen. У преради Р. Мiillеr-ц. НаНе а. S, SUR UNE REDUCTION DЕ L'INTEGRALE ELLIPTIQUE NORMALE COMPLETE DЕ III ESPECE рас S. FEMPL ОП sait que les integcales elliptiques normales completes de III espece se laissent exprimer par lа combinaison des integrales elliptiques normales completes et incompletes de 1 et 11 especes. Dans sa these [1], l'auteur а donne ипе suite de conditions (formule (9» auxquelles doivent satisfaire lе module et lе parametre de l'integrale de 111 espece pour qu'une telle integrale puisse etre ерсјтее а l'aide des seulesintegrales completes de 1 espece avec lе т~тe module. Dans сене note п donne, sous les memes conditions, ипе autre suite d'integrales de III espece (formule (10» s'exprimant а lа тапјесе precedente.

81 Збрник радва С.А.Н. '~V - Мате.матички институт КIII. 6, /957 Recueil des tгavaux de Z' Academle Seгbe des $clenel's L V Instltut Mathematlque.Nl 6, /957 ДРАГОЉУБ ПАВЛОВИЋ АРХИВСКА ГРАЂА О ЖИВОТУ МАРИНА ГЕТАЛДИЋА пзнатм дубрвачкм мат~матичару и физ-ичару XVH века Марину Геталдиhу, чије су заслуге за развј математике и физике признате већ давн у истрији математички наука, писан је д сада више пута и кд нас и на страни, али и 1I0ред тга његв живт није двљн пзнат. ОНО шт се д сада њему знал свдил се у главнм на биграфске пдатке кје је живту Геталдиhеву да дубрвачки биграф XVIII века Сар Цријевиh. 1 ) Ти пдаци, међутим, не сам шт нису били птпуни, већ нису ни увек тачни, пшт су стари дубрвачки биграфи писали, как је пзнат, биграфије знаменити Дубрвчана делм п писаним изврима али најчешhе п сеьању и усменј традицији. Цријевићева пдатке пнављали су затим сви ни кји су псле тга писали М. Геталдиhу, пчевши д Апендинија, па све д О. Кучере, чија расправа претставља и данас најбимнији и најптпунију приказ живта и рада знаменитг дубрвачкг математичара/!) Изузетак д вга чине днекле чланци Н. Салтиква 8 ) и М. Ванина 4 1, Први д њи дне је неклик вести узети из дубрвачкг Државнг арива, дк је други штампа једанаест Геталдиhеви писама, значајни за пзнавање и његва живта и рада. Ипак, и пред сви ти радва, жеља О. Кучере, изражена јш 1893 гдине, да се пдацима из Државнг арива у Дубрвнику светли птпуније нарчит пследњи перид Геталдиhева живта, стала је јш увек нестварена. Радеhи више гдина на испитивању аривске грађе за пзнавање живта и рада дубрвачки књижевника XVI и XVH, века ја сам узгред исписива и ]) Seгaphlnus Ceгva, Bibllotheca RаgUSIЩi М. S. Пре Цријевиhа Геталдиhеву живту и раду налазе се пдаци и у делу Игњ. Ћурђевиhа Vltae е! carmlna (изд. Српске академије наука, Збрник за ист., јез. и књижевнст срп. нарда, 11 дсљ. књига 7). 2) Дсадашња литература М. Геталдиhу: Appendini, Notizle 11, 1803, str Barbieгi, Оаllесја del Ragusei iiiustrf. Dubrovnik Е. Ое/Ш, Zeltschrfft far Mathematlk u. Physlk XXVII, М. Cantoг, Vor1esungen аьег Geschichte der Matematik Oton Кисега, О Marfnu Getaldicu. Rad. JAZU CXVII], В) N. Sa/tJkov, Souvenlrs спсегпап! 1е geometre Yougoslave Marinus Ghetaldf. Isls N2 78, уl. ХХIХ july ) М. Vanlno, М. Getaldlc 1 Isusovcl, Vrela 1 prlnosl 12, Sarajevo 1941.

82 78 Драгљуб Пав,ювић сва аривска дкумен'l'а кја се тичу М. Геталдиhа и његве уже прдице. Без претензија, дакле, да дам птпуну биграфију М. Геталдиhа, ја ћу вде сапштити све не аривске вести кје мгу бити крисне будуhем писцу једне бимне и птпуне мнграфије вм заслужнм дубрвачкм научнаку, * * * Как је већ истака и стари Цријевиh, Марин Геталдиh је рђен у угледнј властескј прдици Геталдиhа (Ghetaldi), чији нардни блик, узгред буди речен, у старм Дубрвнику није гласи Геталдиh већ ГеШдвuh. б ) Датум и гдину рђења Гета л диhа не знам тачн, али се н мже дста приближн дредити. ВеЬ је Цријевиh би наша у пзнатм списку дубрвачке властеле Specchio да је М. Геталдиh би примљен у Велик вијеhе ка пунлетан члан 12-V-1588 гдине. 3најуhи да су дубрвачка властела чест била прглашавана пунлетним и пре навршене двадесете гдине и да су јш уз т стари Дубрвчани рачунали гдину рђења не д самг рђења већ д зачеhа (.. а спсерсiпе"), Цријевиh је дреди ка приближну гдину Геталдиhева рђења 1~66, и ту су гдину пнављали сви ни кји су касније писали М. Геталдиhу. Та гдина, неnе бити тачна, пшт у књизи свадбени угвра налазим да је тац Маринв начини угвр веридби са свјм будуhм женм Аницм тек 30 априла 1567 гдине 6 1, У угвру, кји није це исписан, није значен рк за венчање, али как је тај угвр регистрван три месеца касније и у књизи Registro moгitaggi 7 ), т је сигурн да је венчање бављен ускр псле тга. Када се при тме узме у бзир и чињеница да је Марин Геталдиh би најстарији син свји рдитеља 8 ), нда са мже узети скр ка сигурн да је н рђен 1568 гдине. у браку са женм Аницм, Маринв тац је има, пред Марина, јш четири сина, и т: Андрију, Симна, Мартлицу и Јаква 8 ). Шест дете била је кпи Ника, кја се збг недвљнг мираза није мгла удати и завршила је свј живт ка думна у манаб) у серији дкумената Testamenta notarlae 60 (1631) наnази се на стр. 61 тестамент Огае uxorls Andreae Mathael de Ghetaldls, кји је писан српскрв. језикм и КОЈИ пчиње:.ја Ора кћи Лукше Крившиhа и жена Ан,црије Гешдвиnа". Овај АндРиЈа Гетаnдиh је рђени брат Марина Гетаnдиhа; жени се 1623 удвицм Орм ГУ'lетиh, кја је пре тга биnа веь два пута удавана. 6) Pacta matrlmonlalia 9 fo 106 dle 30 аргшs 1567 S. Matheus Маг. Јас. de Ghelaldls е una pal te е! D. Anlza fl1la q. S. Andreae Магlh. de Restls е altera parte sponte... promlslt se domum suam traducturum... угвр није завршен. ') Regglstro Maritaggl, (О 49. D. Anlza flliа q. S. Andrea Магlh. de Restls desponsata. S. Маlhе Маг. Јас. de Ghetaldls 30.IV ) Треба напменути да је крајем 16 и пчеткм 17 века пстјаnа јш једна грана прдице Гетаnдиhа. Так је пред ца нашег математичара КОЈИ се зва Matheus Маг. Јас. de Ghetaldls. пстја и Malheus Магlпl de Ghetaldls кји је сасвим друг пице. 9) Specchlo Андрија је уша у В. Вијеhе 27.Х.1580, шт значи да је би сам гдину дана мnађи д мnађи д Марина, Симн 1l.VIII.1590, Мартnица 20.VII.1594, а Јакв 19.V.1597.

83 Аривска грађа живту МаРl!иа Геталдиhа 79 стируiо). Та жалсна судбина Нике Геталдиh јасн пказује да Ма ринв тац није би мнг имуhан. Свју младст Геталдиh је прве у Дубрвнику, завршивши ту снвну шклу И гимназију. Т његв шклвање трајал је д 1575, када му је бил седам гдина па све д 158d када је пста пунлетан. У снвнј шкли прву писменст је дби д свештеника Ивана, кји је тада би пстављен за репетитра са задаткм да "edocere debeat iuvепеs е! pueros gгаmmаtiсагп et humaпзs litteras"l1) дк су му у гимназији наставници били су Марин Цупан, Трифун Ктранин, Иван Кристифрвиh, Ф. Серднати. Дминик Тати и Виктр Басељи,12) Прва знања из рачуна и математике Геталдиh је најпра дби д Андрије Француза, кји је д би главни учитељ рачуна (abachista); а псле 1577 д Никле Матејина кји је ту дужнст врши све д краја XVI века. Н ) П завршенј гимназији, из кје је изне сва знања кја су била птребна ндашњем дубрвачкм властелину за вршеље чинвнички дужнсти, Геталдиh је дма псле ступања у Велик вијеhе пче дбијати разне дужнсти и звања кја су бичн ддељивана младим племиhима. Так је веь гдине 1590 би пстављен за капетана Јањине на Пељешцу. Ту дужнст, кја је била нека врста административнг и судскг управитеља места, Геталдиh је мра бављати пуни шест месеци, уз плату д дванаест грша дневн. Али ка шт је би случај са сталим младим дубрвачким племиhима, Геталдиh ту дужнст изгледа да није свати мнг збиљн, па је збг тга 16 јуна исте гдине би кажњен нвчанм глбм д двадесет и пет перпера шт је и без дбрења би напусти за извесн време мест свга службвања1'). Ид:уhе 1591 гдине н је веь један д двјице фичалз у уреду за наружање (Аrrnаmепt de scritta) и ту Ье дужнст вршити пвремен и касније. 15 ) Гдине 1593 налазим га ка претставника републике у уреду за прдају сли на Неретви I6 \. Идуhе 1594 гдине, међутим, Геталдиh је ради свји математички студија изгледа веь напусти Дубрвник, пшт га тада па све д 10) Test.Not. 49 ( ) : ho ипа flg1luo1a femlna а пте Nlcha, 1а qua1e perche sl е rlso1uta а farsl тпаса е tale flnira 1а sua vlta а1 servlto dl Dlo... рес clo еl1а potra e1egarsi qua1 monastiere che plu 11 рlасеrз". Ника је верватн рђена негде између , и У т време је веь била девјка за удају. Шт је мрала иhи у думне, главни разлг је бн сигурн слаб имвн стање њенга ца. 11) Cons. Rogatorum 58 ( ) /0 166; IbIdem 60 (1572) fo ) Cons. Rog. 63 ( ) /0 3, 5; Ib/d. 64 ( ), /0 105; lbld. 65 ( ), fo 57; Ibrd. 66 ( ), fo 89, 134, Cons. Rog. 63 ( ), /0 5; IbId. 64 ( ),/0 18. Н) Cons. Mlnus 60 ( ), / Die 16. VП, Captum fult de condemnando S. Marlnum МаЉ. de Ghetaldls, capltaneum Jagniae ad solv~ndum... Ipp. vlglntl clnque... propterea quod redierlt е зи capltanato..., а псле тга нви закључак:.captum fult de prcclplendo predlcto S. Marlno q. sub. раепа Ipp. centum debeat resldere contlnno Iп suo сарltапаtи, е! пп dlscedere е зио confinio. t.) Cons. Mlnus. 61 ( ) fo ) Cons. Rog. 73 ( ) /0 80, Dle 15.XII.l593. Marlnus МаЉ. de Ghetaldis, vепdltr salls Narentl (ХХ q. VH, е 1).

84 80 драгљуб Павлвиh 1603 гдине не налазим у аривским књигама. Т би се днекле слагал са ним шт н у предгвру свга дела "Variorum problematum collectio" (Млеци 1607) сам казује как је пуни шест ГО.Ј.ина прве на путвању п западневрпским земљама 1 1). П пвратку са свји студија Геталдиh је између 1600 и 1603 пет пвремен брави у Риму и У Венецији, где је припрема свје прве радве из математике и физике за штампу. У Риму н би верватн ста јш и дуже да му се срединм 1603 није дгдила једна незгда. У свм писму кје је јуна 1603 упути из Венеције свме прфесру Кристифру Клавију, н се жали как је изненада мра пбеhи из Рима да не би би кажњен за пкушај убиства над неким непзнатим чвекм. Ддуше, Геталдиh се правда да није има никак намере да тг чвека убије, али да је мим свје вље би увучен у свађу кја га је так разјарила да је у афекту истука свга пртивника мнг теже нег шт j~ у први ма намерава да учини 18 ). Свјим бекствм, Геталдиh се спаса затвра, али је зат би суђен "iп contumacio" да више гдина не сме длазити у папску државу. Из Венеције, Геталдиh се свакак веь у јесен 1603 врати у Дубрвник, пшт је веь ктбра исте гдине пче пнв дбијати разне чинвничке и диплматске службе. Так је 27-Х-1603 изабран за члана апелације (Collegio delle арреlаtiпi)19). Пчеткм идуhе, 1604 гдине, међутим, Геталдиhу је била ддељена једна дужнст кја му сигурн није била мнг п вљи. Одлукм Сената д н је би дређен да де на Стн и да тпчне са изградњм куле Пзвизд, кја се, как је пзнат, налази на брду изнад Стна и кја је имала да штити Ст н д ускчки напада са кпна 2О ). Два месеца касније, Геталдиh је изабран у Сенату за једнг д двјице капетана "creati pro custodii Stagni"21). Обе ве дужнсти биле су пасне и тешке, и не су бичн ддељиване дубрвачким племиhима ка нека врста казне пшт је бравак на Стну би пасан не сам збг брбе са ускцима, веь услед маларије кју су Дубрвчани називали "грзницм" (febre) и кју су приписивали рђавј клими. Ддуше ми не знам тачн разлг збг чега су Геталдиhу ддељене бе ве дужнсти на Стну дма псле његвг пвратка из Италије. Она прва дужнст зидању тврђаве мгла је бити дата Геталдиhу ка тада већ пзнатм физичару и математичару, али 17) М. Vanino, пав. дел, стр ) Jbidem стр Non credevo таl dover parhr dl Roma senza fat motto agll атlсl, та Iпtrаvеп~п а1 mondo cose сье пп sl pensano... Non dlmeno пе апс Iп quella colera пп ЬеЬЫ апlт' d'ammazzar10, s'e Ьепе m'haveva dato una gran causa, та cercavo Ьепе' dl 1egnar10. Ма perche пп sl mesurano 1 co1pl, {есl рњ сье пп vo1evo. 19) Speccllio ) Cons. Rog. 79 ( ) fo 59. Dle Marlnus Math. de ОЬеta1dls." electus pro mlttendo Stagnum. qul dare debeat Inltium fabrlcare castrl Posv lsd (ХХII q. щ. '21) Jbidem { 87 Dle Marlnus Mat. de Gheta1dls... electus pro unus е duobus capltaneos creandl pro custodll Stagnl (ХХII q. ХЩ.