OFERTAS DE TRABALLO FIN DE GRAO GRAO EN MATEMÁTICAS CURSO 2012/13

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1 OFERTAS DE TRABALLO FIN DE GRAO GRAO EN MATEMÁTICAS CURSO 2012/13 Área de coñecemento Alxebra Os teoremas de incompletitude de Gödel Director/a Javier Barja Pérez En un artículo publicado por Kurt Gödel en 1931, con el título "Sobre sentencias formalmente indecidibles en los Principia Mathematica y sistemas afines I", se encuentra lo que se conoce como el Teorema de incompletud de Gödel. Dice,textualmente, " Teorema VI: Para cada clase recursiva primitiva y - consistente K de fórmulas, hay un signo de clase r, tal que ni v Gen r ni Neg(v Gen r) pertenecen a Flg(K) (donde v es la variable libre de r) Se trata de estudiar este primer teorema de incompletitud de Gödel relativo a la incompletitud de la aritmética y el segundo teorema de incompletitud relativo a la imposibilidad de probar la consistencia misma de un sistema formal que incluya los exiomas de la aritmética elemental. De una indiscutible importancia no sólo como teoremas (meta) matemáticos, sino en la lógica (en la teoría de sistemas formales) y en la filosofía, así como las consecuencias que de él se han derivado no sólo la respuesta negativa a la pretension de David Hilbert de confiar en un número finito de procesos puramente lógicos para evitar problemas, sino en las consecuencias positivas como es la propuesta de funcion recursiva como modelo de funcion efectivamente calculable. Davis, M. The undecidable. Basic papers on undecidable propositions, unsolvable problems and computable functions (1965), Raven Press, Hewlett, N.Y. Enderton, H.B. A mathematical introduction to logic (1972), Academic Press. Gödel K. Uber formal unentscheidbase Satze der Principia Mathematica und verwandter Systeme. Monatshefte für Mathematik und Physik, vol 38 (1931), Gödel K. Obras Completas. Introducción y notas J.Mosterin (1981), Alianza Editorial, Alianza Universidad, n 286, 430 Kleene, S. C.Introduction to metamathematics (1971)Wolters-Noordhoff, Mendelson, E. Introduction to Mathematical Logic 4Ed (1997), Chapman Hall. Yasuhara, N. Recursive function theory and logic (1971), Academic Press Área de coñecemento Álxebra A inconmensurabilidade nos Elementos de Euclides e a construción dos 5 sólidos platónicos. Director/a Celso Rodríguez Fernández - Interpretación da Inconmensurabilidade no Libro X dos Elementos. - Actualización das demostracións de Euclides. - Clasificación dos distintos tipos de rectas (primeira binomial,... sexta binomial, binomial, primeira bimedial, segunda bimedial, maior,..., primeira apótoma,...,apótoma,..., menor,...) e relacións entre eles. - As extensións de Q. - Relacións entre o libro X e a construcción dos 5 sólidos platónicos; a saber, tetraedro, hexaedro, octoedro, dodecaedro e icosaedro. - O alumno deberá facer unha revisión do dos 9 primeiros libros dos elementos e dar unha versión actualizada das demostracións do Libro X. - Analizarase a influencia do Libro X na construción dos 5 sólidos platónicos, no Libro XIII.

2 Área de coñecemento ALGEBRA Extensiones separables de cuerpos Director/a Emilio Villanueva Nóvoa Apoyándose en la noción de extensión separable algebraica y de la de base de trascendencia de una extensión de cuerpos, se planteará el concepto de extensión separable y, utilizando extensiones linealmente disjuntas se trataría de obtener el criterio de Mac Lane y el teorema de Schmidt. La aplicación a cuerpos perfectos cerrará el tema. Una buena formación en Algebra es muy recomenmdable. En concreto es imprescindible cierta soltura en la utilización de los conceptos correspondientes a la asignatura de Estructuras Algebraicas El tema es de gran importancia para quienes deseen iniciar su formación en Geometría Algebraica o en Teoría de Números, por ello se recomienda que quien pretenda realizar el trabajo tenga su interés centrado en alguno de esos temas. Se considera necesario que el alumno sea capaz de utilizar bibliografía matemática en Inglés. Área de coñecemento Alxebra EXTENSIÓN DE LOS TEOREMAS DE SYLOW A GRUPOS RESOLUBLES Director/a Leoncio Franco Fernández Se trata de extender los teoremas de Sylow, del caso de un grupo de orden n y para una potencia de p, al de un divisor m de n primo con n/m y para grupos resolubles (los teoremas de P Hall). 1. Resumen de los teoremas de Sylow y de series de subgrupos [2, 4, 5] 2. Pi-grupos, grupos nilpotentes y resolubles. Grupos pi-separables [2, 3, 5] 3. Pi-subgrupos de Hall. Los teoremas de Hall [2, 3, 5] [1] Gorenstein D. Finite groups, Harper & Row 1968 [2] Hall, M. The theoty of groups, Macmillan 1959 [3] Kurosh, A.G.Theory of groups, Chelsea 1960 [4] Lang, Algebra, Addison-Wesley 1965 [5] Rotman, J. Theory of groups, Springer 1995 Área de coñecemento Alxebra Los teoremas de las unidades de Dirichlet y de finitud del número de clase de los cuerpos de números. Director/a Leoncio Franco Fernández Se comienza con una introducción a los cuerpos de números y sus divisores primos. Luego se exponen la llamada geometría de números y la teoría de Minkowski, que llevan a teoremas clásicos de teoría de números algebraicos como los citados en el título de este trabajo. 1. Cuerpos de números algebraicos [3, 4, 5] 2. Geometría de números. Teoría de Minkowski [4] 3. Finitud del número de clase [1,4, 5] 4. Teorema de las unidades de Dirichlet [1,4, 5] [1] Adams-Goldstein, Introduction to Number Theory, Prentice Hall 1976 [2] Cassels-Fröhlich, Algebraic Number Theory, AP 1967 [3] Lang, Algebraic number theory, Addison-Wesley 1970 [4] Neukirch, Algebraic number theory, Springer 1999 [5] Weiss, Algebraic number theory, MacGraw-Hill 1963 Área de coñecemento Álxebra Construcións universais en categorías Director/a Manuel Ladra González Categorías e funtores. Funtores adxuntos. Límites: Obxecto final, produtos, igualadores, pullbacks. Colímites: Obxecto inicial, coproductos, coigualadores, pushouts. Exemplos en álxebra, topoloxía e ciencias da computación. Bibliografía: J. Adámek, H. Herrlich, G. E. Strecker, Abstract and Concrete Categories. The Joy of Cats, John Wiley and Sons, Inc, B. C. Pierce, A taste of category theory for computer scientists, 1988.

3 D. E. Rydeheard, R. M. Burstall, Computational category theory, Prentice Hall International, Área de coñecemento Álxebra Introdución de coordenadas nun plano afín Director/a Manuel Ladra González Axiomas do plano afín. Dilatacións e translacións. Construción do corpo. Teorema de Desargues. Teorema de Pappus. Bibliografía: E. Artin, Geometric Algebra, Interscience Publishers, Inc., New York, R. Hartshorne, Foundations of Projective Geometry, W. A. Benjamin, Inc., New York Área de coñecemento Álxebra Corpos finitos e a súa aplicación ós códigos cíclicos Director/a Nieves Rodríguez González Estudo dos corpos finitos e o uso dos mesmos para a codificación e descodificación mediante códigos cíclicos. Ter superada a materia "Ecuacións Alxebraicas" e, cursar ou ter cursado, a materia "s Correctores e Criptografía". Ser capaz de ler bibliografía en inglés.. Área de coñecemento Álxebra A categoría de R- Módulos Director/a M. Purificación López López Estudo do carácter monoidal da categoría de R-módulos. Módulos proxectivos de tipo finito. Teorema de Morita. Ter superada a materia de Estructuras Algebraicas. Ser capaz de ler bibliografía en inglés. Área de coñecemento Álgebra Cónicas y cuádricas proyectivas Director/a María Jesús Vale Gonsalves El objetivo de este trabajo es hacer un estudio de las cónicas y cuádricas proyectivas, su clasificación, y la relación con las cónicas y cuádricas afines. Se deberán introducirse previamente nociones tales como espacio proyectivo, variedad proyectiva y proyectividad. Área de coñecemento Álxebra Representacións de grupos e aplicación da teoría de caracteres. Director/a Rosa María Fernández Rodríguez O alumno fará unha introdución ás representacións de grupos finitos mediante o uso da estreita relación de aquelas cos módulos. Entre as aplicacións obterá unha demostración do teorema de Burnside utilizando a teoría dos caracteres. Ter superadas as materias Estruturas Alxebraicas e Ecuacións Alxebraicas. É recomendable cursar a materia Álxebra, Números e Xeometría. O alumno debe ser capaz de ler textos en inglés.

4 Área de coñecemento ÁLXEBRA Grupo de Brauer dun anel conmutativo Director/a José Manuel Fernández Vilaboa Trátase de introducir a noción de álxebras de Azumaya como unha xeneralización das álxebras centrais simples sobre un corpo e de definir o grupo de Brauer dun anel conmutativo R: Br(R). Complementarase co establecemento de un funtor dende a categoría de aneis conmutativos ata categoría de grupos abelianos e con o estudo de varios exemplos e relacións entre grupos de Brauer. Área de coñecemento Álxebra Algebra lineal sobre anillos de Dedekind Director/a Leovigildo Alonso Tarrío Los anillos de Dedekind surgen en teoria de números y geometría algebraica. Estos anillos pueden no tener la propiedad de factorización única de elementos, es decir, no siempre son dominios de ideales principales. Sin embargo, si consideramos ideales en vez de elementos, esta factorización es posible. En este trabajo veremos cómo esta propiedad se traduce en un teorema de clasificación de los módulos al estilo de la ya conocida de los dominios de ideales principales. Haber superado la asignatura Estructuras algebraicas.. Área de coñecemento Álxebra Curvas elípticas sobre corpos finitos e as súas aplicacións en criptografía. Director/a José Luis Gómez Pardo As curvas elípticas sobre corpos finitos proporcionan unha familia de grupos abelianos finitos nos que se pensa que o problema do logaritmo discreto (PLD) é especialmente difícil debido a que só se coñecen algoritmos xenéricos (de complexidade exponencial) para resolvelo, o que fai que teñan un grande interese criptográfico. O traballo comezará polo estudo xeneral de curvas elípticas e a súa estrutura de grupo, pasando despois a centrarse no caso de curvas elípticas sobre corpos finitos, no PLD sobre as mesmas, e nos algoritmos dispoñibles para resolvelo. Como aplicación estudaranse o esquema de cifrado de Elgamal e o esquema de sinaturas dixitais ECDSA, baseados en curvas elípticas. É recomendable ter cursadas ou estar cursando as materias s Correctores e Criptografía e Álxebra, Números e Xeometría e ser capaz de ler bibliografía en inglés. Bibliografía: D. Hankerson, A. Menezes, and S. Vanstone, Guide to Elliptic Curve Cryptography. Springer, J. Hoffstein, J. Pipher, J.H. Silverman, An Introduction to Mathematical Cryptography. Springer, Standards for Efficient Cryptography 1 (SEC 1): Elliptic Curve Cryptography, version 2.0, en Área de coñecemento Álgebra Algunos casos del último teorema de Fermat Director/a Javier Majadas Soto Se estudiarán algunos casos particulares del último teorema de Fermat. Se utilizarán solo métodos elementales y conocimientos básicos de la teoría de enteros algebraicos (siendo el libro P. Samuel, teoría algebraica de números más que suficiente para estos métodos). Es muy conveniente haber cursado o estar cursando la asignatura Álgebra, Números y Geometría, y manejar con soltura los contenidos de la asignatura Ecuaciones Algebraicas.

5 . Área de coñecemento Análisis Matemático Ideales de operadores quasi normados Director/a Manuel Antonio Fugarolas Villamarin Se trata de estudiar algunos ideales de operadores: Operadores nucleares, Operadores integrales Operadores Sumantes y operadores asociados a S-números. Conocimientos previos de Análisis Funcional Ninguna Área de coñecemento ANÁLISE MATEMÁTICA Teoremas de puntos fixos de operadores definidos en espazos de dimensión infinita Director/a Alberto Cabada Fernández Neste traballo estudiaranse os teoremas de puntos fixos de operadores definidos en espazos de dimensión infinita. Ademáis do celebérrimo teorema de Krasnoselskii e as máis salientables das súas xeneralizacións, estudaranse outro tipo de resultados para operadores definidos en espazos parcialmente ordenados. Para iso farase un estudo da teoría do grao topolóxico e do índice de Leray Schauder. Tamén se estudarán a súa aplicación á existenza de solución de ecuacións diferenciais. Área de coñecemento ANÁLISE MATEMÁTICA Desigualdades Integrais. Director/a Alberto Cabada Fernández Neste traballo estudaránse diversas desigualdades que afectan a integrais de funcións de variable real. Ademáis das ben coñecidas desigualdades de Hölder ou de Gronwall-Bellman, serán probadas, entre outras, desigualdades dadas por Bihar, Pachpatte ou Salpagarov. Tamén se fará unha aplicación deste resultados para probar a existenza de solución de ecuacións integrais e diferenciais. Área de coñecemento Análise Matemática FUNCIONES ARMÓNICAS. EL PROBLEMA DE DIRICHLET Director/a José María Paredes Álvarez Se trata de abordar el estudio de las funciones armónicas en dos dimensiones a partir de la teoría de funciones holomorfa. Su desarrollo va encaminado a la resolución del problema de Dirichlet en un disco. Haber cursado la asignatura Variable complexa, así como de algunos aspectos referentes a ecuaciones en derivads parciales. Dado que para la realización de este trabajo se requiere un manejo de los conceptos y resultados de la asignatura variable compleja, sería lógico que los alumnos que quieran acceder a él hubiesen cursado tal asignatura, por lo que la elaboración del mismo se llevaría a cabo en el segundo cuatrimestre, salvo que el alumno la haya cursado en años anteriores. Área de coñecemento Análise Matemática FAMILIAS DE FUNCIONES HOLOMORFAS. CONVERGENCIA Y COMPACIDAD

6 Director/a José María Paredes Álvarez Se trata de introducir una métrica d en el espacio H(U) con las propiedad de que la convergencia relativa a dicha métrica sea la de la convergencia uniforme sobre los compactos del abierto U. Se identificarán los conjuntos compactos de dicho espacio y se probarán algunos resultados sobre la convergencia de sucesiones de funciones holomorfas. Haber cursado las asignaturas que impliquen un conocimiento de los conceptos a tratar: función holomorfa, convergencia uniforme, distancia, compacto,.. Dado que para la realización de este trabajo se requiere un manejo de los conceptos y resultados de la asignatura variable compleja, sería lógico que los alumnos que quieran acceder a él hubiesen cursado tal asignatura, por lo que la elaboración del mismo se llevaría a cabo en el segundo cuatrimestre, salvo que el alumno la haya cursado en años anteriores. Área de coñecemento Análise Matemática EL TEOREMA DE FACTORIZACIÓN DE WEIERSTRASS Director/a José Mª. Paredes Álvarez Se trata de realizar un estudio de las funciones enteras. Los productos infinitos, tanto numéricos como funcionales, será la herramienta a utilizar, con el doble objetivo de representar una función entera como un producto infinito y construir funciones enteras con ceros prefijados. Tener un buen conocimiento acerca de series numéricas y funcionales, así como de los distintos tipos de convergencia de las mismas. Haber cursado la asignatura Variable complexa. Dado que para la realización de este trabajo se requiere un manejo de los conceptos y resultados de la asignatura variable compleja, sería lógico que los alumnos que quieran acceder a él hubiesen cursado tal asignatura, por lo que la elaboración del mismo se llevaría a cabo en el segundo cuatrimestre, salvo que el alumno la haya cursado en años anteriores. Área de coñecemento Análise Matemática Clasificación de campos de vectores. Estabilidade estrutural Director/a Fernando Costal Pereira Á hora de buscar modelos matemáticos para o estudar o comportamento dun determinado proceso, resulta de gran interese ter agrupados nunha mesma clase de equivalencia todos aqueles campos que presenten no esencial o mesmo comportamento. Trátase de estudar cales son as distintas clases de equivalencia que poden aparecer en función do que se entenda por esencial. Outra cuestión importante a ter en conta, é que a dinámica dun sistema non se vexa afectada por pequenas perturbacións, é dicir, que o campo sexa estruturalmente estable, estudo que se abordará empezando polo caso lineal e vendo as dificultades que xorden ao pasar a campos non lineais. É fundamental coñecer e manexar con soltura, os diferentes temas estudados nas materias de ecuacións diferenciais ordinarias do grao en matemáticas. Área de coñecemento ANÁLISE MATEMÁTICA Teorema de Stone Weierstrass Director/a Juan José Nieto Roig Es bien conocido que los polinomios de coeficientes reales son densos en el conjunto de las funciones continuas sobre un intervalo compacto (resultado de K. Weierstrass del año 1885). Se detallará la demostración de este resultado conocido como Teorema de Weierstrass. Una generalización de este resultado se debe a M.H. Stone en el año1937. Dicha generalización es de una gran elegancia y sencillez y se conoce como el Teorema de Stone Weierstrass. Se estudiarán sus principales implicaciones y consecuencias, entre las que cabe destacar la completitud del sistema trigonométrico. Área de coñecemento ANÁLISE MATEMÁTICA INTRODUCIÓN ÁS DISTRIBUCIÓNS

7 Director/a Análise Matemática Área de coñecemento Director/a RODRIGO LÓPEZ POUSO Trátase de que o alumno coñeza os aspectos fundamentais da Teoría das Distribucións iniciada por L. Schwartz, facendo fincapé nas súas aplicacións ao estudo das ecuacións diferenciais e tamén nos aspectos básicos dos espazos funcionais implicados. Cálculo fraccionario versus cálculo clásico Rosana Rodríguez López O traballo consiste nunha introdución ao Cálculo Fraccionario, como xeralización da diferenciación e integración clásica a ordes arbitrarios non enteiros, de interese non só dende o punto de vista matemático, senón tamén no eido das aplicacións á física ou á enxeñaría. Será obxecto do traballo a realización dunha comparación entre os diferentes conceptos de derivada fraccionaria (e propiedades básicas relativas ao cálculo fraccionario) con respecto aos conceptos e propiedades correspondentes dende o punto de vista clásico. Algúns elementos do cálculo fraccionario poderán ser combinados para a resolución dalgunhas ecuacións diferenciais de orde fraccionaria sinxelas con respecto ás derivadas fraccionarias de Riemann-Liouville e Caputo. Tamén poderá será obxecto do traballo a recopilación de aplicacións de diferentes modelos fraccionarios á predición do comportamento de fenómenos a diversos campos: Matemáticas, Física, Química, Bioloxía, Economía, etc. O emprego de programas de cálculo simbólico permitirá visualizar diferentes propiedades así coma o comportamento das solucións de ecuacións de orde fraccionaria. Ter superadas as materias Introdución ás Ecuacións Diferenciais Ordinarias Ecuacións Diferenciais Ordinarias Series de Fourier e Introdución ás Ecuacións en Derivadas Parciais Ter coñecementos de programas de cálculo simbólico Área de coñecemento Análise Matemática Aspectos topolóxicos da dinámica discreta Director/a Miguel Antonio del Río Vázquez Consideraranse algúns conceptos topolóxicos básicos do estudo abstracto da dinámica discreta, incidindo especialmente naqueles que tratan de expresar ou medir a complexidade dinámica dun sistema, como son a transitividade, a entropía topolóxica e as distintas nocións de caos. Área de Director/es Análise Matemática Iniciación á Teoría da Medida e Integración abstractas Rosa Mª Trinchet Soria Área de coñecemento ANÁLISE MATEMÁTICA Segundo o propio H. Lebesgue indicaba hai case un século, a Física leva, de xeito natural, á consideración de funcións de dominio (ás que chamaremos no que segue funcións de conxunto), como, por exemplo, masa, cantidade de calor, cantidade de electricidade, etcétera. As medidas abstractas (positivas, reais, ) servirán para dar forma a estas funcións de conxunto. O obxectivo deste traballo é iniciar o estudo destas medidas, no que prestaremos certa atención ás medidas definidas a través de integrais respecto a medidas.

8 Área de coñecemento Analise Matemática Transformada de Fourier, Transformadas de Fourier discretas. Aplicacións. Director/a Francisco Javier Fernández Pérez O traballo consta de dúas partes, na primeira estúdase a transformada de Fourier, a súa inversa e as principais propiedades, así como a aplicación á resolución dalgún problema de ecuacións en derivadas parciais. Na segunda parte adícase a transformada de Fourier discreta, e a súa aplicación ó tratamento dixital de imáxenes, procesamento de señais e ó estudo das características da estructura xeométrica dunha imaxe. Área de coñecemento Análise Matemática A hipótese de Riemann Director Haber superado a materia: Series de Fourier e Introdución ás Ecuacións en Derivadas Parciais. Juan José Nieto Roig Describir o enunciado da famosa Hipótese de Riemann e a súa relación con distintos campos da matemática (teoría de números, variable complexa, probabilidade, física matemática, criptografía, computación, etc ) e algunhas das súas implicacións. Área de coñecemento Estatística e Investigación Operativa Unha Introdución á Programación Estocástica Director/a M. Angeles Fernández Fernández O obxectivo deste TFG é que o alumno/a faga unha revisión dos modelos de Programación Linear Estocástica, así como de a Programación Enteira Estocástica. Fará ademais una breve revisión de aplicacións da devandita programación. Sería conveniente que o alumno cursara a materia Programación Linear e Enteira. Bibliografía: Alonso-Ayuso,A.;Escudero,L.; Pizarro-Romero,C. (2009) Modeling and Introduction to Stochastic Programming. Servicio de Publicaciones. Universidad Rey Juan Carlos. Área de coñecemento Estadística e Investigación Operativa El Problema de la Mochila: Resolución y Aplicaciones Director/a Julio González Díaz El problema de la mochila es uno de los problemas de programación matemática más estudiados. Informalmente, modela una situación en la que un viajero está preparando su mochila y no le caben todas las cosas que querría llevarse. Se trata entonces de encontrar la configuración óptima de la mochila, metiendo aquellos objetos que resulten en una utilidad mayor para el viajero. A pesar de su sencillez de planteamiento, este problema generaliza otros problemas combinatorios

9 clásicos y tiene gran cantidad de aplicaciones. Por otro lado, su resolución mediante algoritmos eficientes es un tema de investigación todavía muy activo. En este trabajo de fin de grado el alumno tendría que familiarizarse con el modelado de este problema y estudiar algunas aplicaciones y algoritmos de resolución. Área de coñecemento Estadística e Investigación Operativa Introducción a la Elección Social. El Teorema de Arrow Director/a Balbina Virginia Casas Méndez Este trabajo consta de una parte inicial de introducción a la Teoría de la Decisión relativa al estudio de funciones de preferencia y la representación por medio de funciones de utilidad. En segundo lugar se efectuará una introducción a la Teoría de Elección Social: esta disciplina se ocupa del estudio de los procedimientos e instituciones que permiten a grupos de individuos, pertenecientes por ejemplo a una determinada organización política o social, realizar una toma de decisiones basándose en las preferencias de todos los miembros del grupo. El tema central del que se ocupa la Teoría de la Elección Social es el de elaborar reglas de votación. Al comenzar los estudios en este campo, Arrow probó su conocido teorema de imposibilidad. Éste establecía que si se imponen unas pocas condiciones, totalmente sencillas y naturales, las únicas reglas que las cumplían eran las dictatoriales. Desde los trabajos de Arrow, la Teoría de la Elección Social ha experimentado un gran desarrollo. Cabe mencionar los denominados resultados de posibilidad y las reglas de decisión colectivas. Referencias: [1] Social choice mechanisms. V. I. Danilov y A. I. Sotskov,Springer Verlag, Cursar la materia Teoría de Juegos puede ser conveniente, incluso aunque se haga de forma más o menos simultánea a la realización del trabajo fin de grado. Área de coñecemento Estadística e Investigación Operativa Programación multiobjetivo: fundamentos, soluciones y algoritmos Director/a Balbina Virginia Casas Méndez Este trabajo comenzaría analizando la formulación del problema de programación multiobjetivo y de las condiciones para la eficiencia en este contexto. En este punto se revisarán resultados clásicos como las condiciones de Karush-Kuhn-Tucker. Se estudiarían diferentes métodos de obtención de soluciones: la optimización lexicográfica, la suma ponderada de objetivos, o la programación por metas entre otros. Por último se estudiarían algoritmos como el símplex multicriterio y una introducción a la dualidad y al análisis de la sensibilidad en este contexto. Los conceptos y métodos se ilustrarían con problemas tomados de la vida real y haciendo uso de herramientas informáticas. Referencias: [1] Ehrgott, M. and Wiecek, M. M. (2005). Multiobjective programming. In: Multiple Criteria Decision Analysis. State of the Art. Surveys. J. Figueira, S. Greco and M. Ehrgott (eds.) Springer. Área de coñecemento Estatística e Investigación Operativa Exemplos notables de Probabilidade e Estatística Director/a Manuel Febrero Bande O obxectivo deste traballo é desenrolar nun entorno informático amigable exemplos notables da didáctica da Probabilidade e da Estatística complementando ferramentas xa existentes como o paquete TeachingDemos do programa R. Soltura co paquete estatístico R A cumprimentar pola CDAA.

10 Área de coñecemento Estatística e Investigación Operativa Estimación nonparamétrica da densidade Director/a Alberto Rodríguez Casal A densidade dunha variable aleatoria é unha característica extremadamente importante da variable que permite comprender o seu comportamento. É, por tanto, moi importante poder estimala a partir dun conxunto de datos. Moitas veces se supoñen modelos paramétricos, como é a familia normal para facer esa estimación. Sen embargo é moi interesante dende o punto de vista práctico pode estimar a densidade sen facer esas suposicións paramétricas. Esas estimacións nonparamétricas ou flexibles, permitirían contrastar a propia validez das hipóteses paramétricas habituais. Neste traballo fin de grao preténdese introducir ao estudante na estimación non paramétrica da densidade O obxectivo é que o estudante comprenda a natureza do problema, así como coñeza algunhas das solucións ao mesmo, tanto as máis clásicas como algunha máis recente. De forma específica abordarase con detalle a estimación tipo núcleo da densidade, tratando o problema da selección automática da ventá. Preténdese levar a cabo un estudo de simulación que permita comparar as distintas propostas existentes para seleccionar este parámetro Bibliografía: Wand y Jones (1995) Kernel Smoothing. Chapman y Hall. Wasserman (2007) All of nonparametrics. Springer. O estudante deberá ter coñecementos de inferencia estatística, análise matemática. Deberá programar código en R así como ser capaz de ler textos en inglés. Área de coñecemento Estatística e Investigación Operativa Estimación de conxuntos: algoritmos para o cálculo do medial axis. Director/a Beatriz Pateiro López A estimación de conxuntos ten por obxectivo recuperar un conxunto descoñecido ou algunha característica importante do mesmo a partir dunha mostra de puntos do conxunto. A estimación de conxuntos está tendo na actualidade importantes aplicacións en campos como a análise de imaxes. O medial axis dun obxecto se define como o conxunto de puntos que teñen mais dun punto mais próximo na fronteira do conxunto e ven a ser coma o esqueleto do obxecto. Existen na literatura algoritmos para a computación do medial axis en conxuntos sinxelos como polígonos. O obxectivo deste traballo é facer unha revisión da literatura existente e implementar estes métodos na linguaxe R, o software mais empregado na actualidade na comunidade científica na área estatística. Coñecementos de programación Verosimilitud empírica Director/es César A. Sánchez Sellero La verosimilitud empírica es un método que permite realizar tareas de inferencia, adaptándose de manera muy flexible a la distribución del estimador o del estadístico de contraste. Además, permite la aplicación de una distribución asintótica ji-cuadrado muy sencilla, lo cual facilita las labores de inferencia. En este trabajo se propone revisar los elementos básicos del método de verosimilitud empírica, lo cual implica la utilización de multiplicadores de Lagrange. Se incluirá en el trabajo la inferencia por verosimilitud empírica con parámetros vectoriales. Se ilustrarán los métodos con ejemplos simulados, donde se podrían ver las ventajas de la verosimilitud empírica en distribuciones asimétricas. También se aplicará a datos reales. Bibliografía: Owen, A.B. (2001). Empirical likelihood. Chapman and Hall.

11 Estadística e Investigación Operativa Área de coñecemento. Haber superado las materias Elementos de Probabilidad y Estadística, Programación Lineal y Entera, Probabilidad y Estadística e Inferencia Estadística. Tener capacidad de leer bibliografía en inglés. Es preciso tener capacidad para la programación. R podría ser una herramienta adecuada. Máxima verosimilitud en Análisis de Supervivencia Director/es César A. Sánchez Sellero El Análisis de Supervivencia estudia tiempos de vida. Con frecuencia la medición de estos tiempos está sometida a muchas limitaciones. Por ejemplo, si se realiza un seguimiento hasta el final de tiempo de vida, este seguimiento se puede interrumpir por múltiples causas. En ese caso es necesario modificar las técnicas de inferencia, incluso para estimar la propia función de distribución. Para ello se emplea el principio de verosimilitud, que da lugar a estimadores muy populares como el estimador de Kaplan-Meier u otros similares. En este trabajo se propone revisar los conceptos de verosimilitud con datos censurados o truncados, incluyendo ciertas variantes, como la censura por intervalo. Se estudiarán las propiedades de sesgo y varianza de los estimadores, así como ciertas propuestas para mejorar estas propiedades. Se ilustrará el funcionamiento de los métodos con estudios de simulación, y se aplicarán a bases de datos reales. Área de coñecemento Estadística e Investigación Operativa Haber superado las materias Elementos de Probabilidad y Estadística, Probabilidad y Estadística e Inferencia Estadística. Tener capacidad de leer bibliografía en inglés. Es preciso tener capacidad para la programación. R podría ser una herramienta adecuada.. Área de coñecemento Estadística e Investigación Operativa Modelos de regresión con efectos aleatorios Director/a Wenceslao González Manteiga Se trata de revisar y describir los modelos de regresión con efectos aleatorios con respuesta cualitativa y continua que surgieron en los últimos años. Elaborar una posible lista de macros en R relacionadas con las distintas metodologías e ilustrar la potencialidad de los métodos en modelos de predicción de datos medioambientales y biomédicos que le serán suministrados al alumno. Haber cursado las asignaturas de Inferencia Estadística del Grado y aconsejable cursar la optativa de regresión y multivariante de cuarto curso. Se aconseja tener conocimientos de R. Área de coñecemento ESTATÍSTICA E INVESTIGACIÓN OPERATIVA Técnicas non paramétricas en regresión con deseño fixo. Director/a ROSA M. CRUJEIRAS CASAIS O obxectivo deste traballo fin de grao é familiarizar ao alumno/a coas técnicas de regresión non paramétrica en deseño fixo. De maneira máis específica, o traballo centrarase no estudo do estimador de Gasser-Müller en regresión simple. O traballo comprende as seguintes tarefas: a) Revisión dos modelos de regresión en deseño fixo. Axustes paramétricos (lineais e non lineais). b) Estimador de Gasser-Müller. Análise das súas propiedades mediante estudos de simulación.

12 c) Aplicación a datos reais. Referencias: Härdle, W. (1991) Smoothing Techniques: With Implementation in S. Springer. Hart, J. (1997 ) Nonparametric smoothing and lack of fit tests (Chapter 3). Springer. Ter superadas as materias do Módulo de Probabilidade, Estatística e Investigación Operativa. É recomendable que a/o alumna/o curse a materia Modelos de Regresión e Análise Multivariante (4º curso). Tamén é aconsellable que a/o alumna/o posúa coñecementos xerais do loxical R, así coma unha capacidade suficiente para ler e entender bibliografía en inglés. Área de coñecemento ESTATÍSTICA E INVESTIGACIÓN OPERATIVA Modelos autorregresivos de series de tempo Director/a ROSA M. CRUJEIRAS CASAIS Os modelos autorregresivos permiten modelar o comportamento dunha serie de observacións recollidas ao longo do tempo e que presentan unha dependencia feble entre elas. Neste traballo centrarémonos no estudo da modelización de tipo Box-Jenkins para series autorregresivas. O traballo comprende as seguintes tarefas: a) Introdución ás series de tempo. Estacionariedade. b) Modelos autorregresivos (AR). Función de autocorrelación. c) Estimación dos modelos AR. d) Diagnose e predición en modelos AR. e) Aplicación a datos reais. Referencias: Brockwell, P.J. e Davis, R.A. (2002). Introduction to Time Series and Forecasting. Springer (2ª edición).peña, D. (2005). Análisis de Series Temporales. Alianza Editorial. Ter superadas as materias do Módulo de Probabilidade, Estatística e Investigación Operativa. É recomendable que a/o alumna/o curse a materia Modelos de Regresión e Análise Multivariante (4º curso). Tamén é aconsellable que a/o alumna/o posúa coñecementos xerais do loxical R, así coma unha capacidade suficiente para ler e entender bibliografía en inglés. Área de coñecemento Estatística e Investigación Operativa Revisión de métodos de estimación no paramétricos de la función de regresión y algunas aplicaciones Director/a Luis Alberto Ramil Novo Se trata de revisar dos estimadores no paramétricos de la función de regresión que se definen mediante una generalización del método mínimo cuadrático. En el trabajo se examinarán aspectos de interés en la bibliografía reciente sobre los estimadores spline suaves (o smoothing spline), que se basan en estimaciones polinómicas locales, así como del estimador por series de Fourier. La revisión incluye el análisis de algunas aplicaciones en el proceso de estimación y evaluación de modelos de regresión. Las aplicaciones de estos métodos requieren la utilización del software disponible o de su desarrollo. - Haber cursado las asignaturas de Inferencia Estadística y Series de Fourier e introdución a las E.D.P. del Grado y recomendable la optativa de Modelos de regresión y análisis multivariante de cuarto curso. - Conocimiento a nivel básico de algún lenguaje de programación o de software estadístico (entorno estadístico R o similar).. Área de coñecemento Estadística e Investigación Operativa

13 Director/a Cálculo de índices de poder en juegos espaciales José Mª. Alonso Meijide En los inicios de la teoría de juegos con utilidad transferible, se consideraba que un juego simple estaba totalmente determinado a partir de su función característica. A partir de esta función característica, se calculan diversos índices de poder, entre los que destaca, el índice de Shapley- Shubik. En un juego espacial, además de la función característica, para determinar el comportamiento de los jugadores, se dispone de un conjunto de puntos, uno para cada jugador. La configuración espacial de estos puntos en el espacio proporciona información sobre las afinidades existentes entre los jugadores. En la literatura pueden encontrarse diversas modificaciones del índice de Shapley-Shubik que tienen en cuenta, además de la función característica del juego, la configuración espacial de los puntos asignados a cada jugador. El objetivo de este trabajo es revisar la literatura existente sobre índices de poder para juegos espaciales. Referencia: G. Owen (1995). "Game Theory". Academic Press. Cursar la materia Teoría de Juegos puede ser conveniente, incluso aunque se haga de forma más o menos simultánea a la realización del trabajo fin de grado.. Algunos elementos matemáticos empleados en la Mecánica de los Medios Continuos. Director/a Óscar López Pouso Contenidos: (1) Conceptos de cuerpo y deformación.teoremas integrales del Cálculo Vectorial.Campos gradiente. Fuerza. Ecuación del movimiento. (2) Definición de cuerpo como una variedad tridimensional con esquinas. Teoremas integrales del Cálculo Vectorial en variedades con esquinas. (3) Regularidad del potencial φ(x,t) conocida la regularidad del campo gradiente u(x,t) = grad φ(x,t). Existencia de potenciales regulares para campos gradiente regulares. Objetivos: Este Trabajo Fin de Grado (TFG) se propone con tres objetivos: - Por un lado, el estudio de ciertos conceptos y elementos muy conocidos e importantes de la Mecánica del Continuo, pero que ya no se estudian dentro del Grado en Matemáticas. - Por otro, continuar el Trabajo Académicamente Dirigido (TAD) del estudiante D. Néstor León Delgado (referencia [4]), cuyo objetivo fue el de conectar los conceptos matemáticos de la Mecánica del Continuo con los equivalentes de la Geometría Diferencial. - Por último, enfrentar al alumno con una cuestión no resuelta en la bibliografía (punto (3) de los contenidos), de una complejidad adecuada a un estudiante de último año de Grado en Matemáticas, sobre la que debe reflexionar y dar alguna respuesta. Motivación: La Mecánica del Continuo hace uso de numerosas herramientas matemáticas; un curso introductorio basado en los conceptos de la Mecánica Racional de Truesdell y Noll, como el expuesto en el libro de Gurtin [1], recurre a conceptos como el de cuerpo, que en términos matemáticos es una variedad con esquinas, y de deformación, que en términos matemáticos es un C 1 -difeomorfismo entre dos cuerpos que cumple ciertas propiedades.

14 Es natural, por otra parte, que en las obras de Mecánica del Continuo no se preste atención a esos conceptos desde el punto de vista matemático. Por ejemplo, Gurtin no incluye una definición completa de lo que entiende por cuerpo, remitiendo al lector al libro de O. D. Kellogg Foundations of Potential Theory, publicado por Springer en el año 1929 y reimpreso por Dover en Si combinamos los contenidos de los dos párrafos anteriores, llegamos a la conclusión de que tiene cabida una revisión de esos elementos desde el punto de vista de un matemático o, en este caso, de un estudiante de Matemáticas. Bibliografía: [1] Morton E. GURTIN. An Introduction to Continuum Mechanics. Academic Press, New York, [2] Dominic JOYCE. On Manifolds with corners. arxiv: , version 2, October [3] Steven G. KRANTZ y Harold R. PARKS. Geometric Integration Theory. Birkhäuser, Boston, [4] Néstor LEÓN DELGADO. Sobre las deformaciones en la Mecánica de los Medios Continuos. Trabajo Académicamente Dirigido por Óscar López Pouso y José Antonio Oubiña Galiñanes. Facultad de Matemáticas de la USC, curso [5] Richard B. MELROSE. Diferential Analysis on Manifolds with Corners, Massachusetts Institute of Technology. Unpublished notes. El estudiante debe ser capaz de leer bibliografía escrita en inglés. Modelos matemáticos de tráfico en estradas Director/a Alfredo Bermúdez de Castro Nunha primeira etapa trátase de facer unha revisión bibliográfica dos modelos que se empregan para simular o tráfico en estradas. Nunha segunda etapa escolleranse algúns modelos sinxelos que se resolverán con métodos numéricos axeitados A cumprimentar pola CDAA. Unha ampliación á resolución de ecuacións numéricas non lineares Director/a Carmen Rodríguez Iglesias No segundo tema da materia de Cálculo numérico nunha variable vense os métodos clásicos de dicotomía iteración funcional simple e o método de Newton-Raphson para No TFG proposto trátase de ampliar e visualizar dunha maneira máis madura algúns dos s impartidos no Grao. Simulación numérica do desconxelado de alimentos nun microondas. Director/a Dolores Gómez Trátase de describir e comprender as ecuacións en derivadas parciais que modelan o desconxelado de alimentos nun microondas. O modelo contemplará o acoplamento das ecuacións de Maxwell coa ecuación de transferencia da calor. O traballo incluirá a simulación numérica do proceso empregando o paquete Comsol. Deste xeito, preténdese que o alumno desenvolva as capacidades adquiridas ao superar a materia Modelización Matemática Ter superada a materia de Modelización Matemática.

15 Desenvolvemento de software paralelo para a resolución de EDPs usando o método de elementos finitos Director/a José A. Alvarez Dios Proponse a realización de programas en Fortran 2000 e MPI para a resolución de EDPs que aproveiten a capacidade de procesamento simultáneo das arquitecturas multinúcleo de última xeración. Os devanditos códigos deben comprender exemplos de esquemas paralelos de elementos finitos mediante descomposición de dominios e uso dun precondicionador ou do complemento de Schur. O estudante debe ter coñecementos de resolución numérica de ecuacións en derivadas parciais e de programación en Fortran usando librerías. Nese sentido, recoméndase ter cursado ou cursar Informática, Métodos Numéricos en Optimización e Ecuacións Diferenciais, e Análise Numérica de Ecuacións en Derivadas Parciais. Así mesmo, debe ter a suficiente competencia en lingua inglesa para ler bibliografía de carácter científico sobre o tema proposto. Desenvolvemento de software paralelo para a resolución de EDPs usando o método de diferencias finitas Director/a José A. Alvarez Dios Proponse a realización de programas en Fortran 2000 e MPI para a resolución de EDPs que aproveiten a capacidade de procesamento simultáneo das arquitecturas multinúcleo de última xeración. Os devanditos códigos deben comprender exemplos de esquemas paralelos de diferenzas finitas mediante coloreado ou outras técnicas. O estudante debe ter coñecementos de resolución numérica de ecuacións en derivadas parciais e de programación en Fortran usando librerías. Nese sentido, recoméndase ter cursado ou cursar Informática, Métodos Numéricos en Optimización e Ecuacións Diferenciais, e Análise Numérica de Ecuacións en Derivadas Parciais. Así mesmo, debe ter a suficiente competencia en lingua inglesa para ler bibliografía de carácter científico sobre o tema proposto. Análise e resolución numérica dun modelo de contacto dun sólido elástico sobre unha fundación. Director/es Juan M. Viaño Rey Trátase de analizar un método numérico para a resolución dun modelo de contacto sen e con rozamento dun sólido elástico sobre unha fundación ríxida e de resposta elástica. Incluirá: Busca de bibliografía e referencias para a descrición do problema mecánico e do modelo matemático e a súa análise. Descrición e análise dun método numérico para a súa discretización e resolución Programación en ordenador do método nun caso simple unidimensional ou bidimensional. Comparación de resultados cos obtidos en paquetes de elementos finitos (COMSOL) Escritura e presentación da memoria de resultados e conclusións. Ter cursado G Análise Numérica de Ecuacións en Derivadas Parciais Director/es Modelización e simulación numérica das deformacións termomecánicas de estruturas sinxelas usadas na Enxeñería Civil durante un incendio. Patricia Barral Rodiño Trátase de realizar: 1) A modelización matemática das deformacións termomecánicas sufridas por estruturas sinxelas de aceiro e/ou formigón usadas na Enxeñería Civil durante un incendio. 2) A simulación numérica utilizando COMSOL. Cursar ou ter cursado: Taller de Simulación Numérica, Modelización Matemática e Análise Numérica

16 de EDP. Modelado e simulación numérica en ecuacións en derivadas parciais. Director/a Peregrina Quintela Estévez Trátase de realizar a modelización matemática dun proceso real na mecánica de sólidos a partir da bibliografía existente. Ademais farase a simulación numérica dalgún sub-proceso involucrado, ben utilizando software comercial ou desenrolando un código propio. É imprescindible ter cursado Modelización Matemática e recoméndase ter cursado Análise Numérica de EDP. Director/a Generación de mallados en 2D: Triangulación de Delaunay combinada con una optimización de los nodos. Jerónimo Rodríguez García De cara a la resolución numérica de ecuaciones en derivadas parciales mediante el método de los elementos finitos es fundamental el poder obtener una triangulación de buena calidad del dominio de cálculo. En el presente trabajo, el alumno estudiará un método de generación de mallados para dominios en dos dimensiones. El método se basará en dos ingredientes fundamentales: i) la triangulación de Delaunay asociada a una nube de puntos contenida dentro del dominio que queremos mallar, ii) un algoritmo de optimización de la posición de los nodos del mallado [1]. En primer lugar el estudiante tendrá que documentarse sobre las propiedades de la triangulación de Delaunay así como seleccionar y programar un algoritmo que proporcione dicha triangulación para una nube de puntos dada. Durante la segunda parte del proyecto se estudiará e implementará la técnica de optimización de nodos presentada en [1]. [1] P.-O. Persson and G. Strang, A simple mesh generator in matlab, SIAM Review, 46 (2004), pp Se recomienda tener conocimentos básicos de Fortran90. Los algoritmos seleccionados se implementarán en Fortran90. Modelos matemáticos de sistemas de reaccións químicas Director/a Alfredo Bermúdez de Castro Área de coñecemento Director/a No caso dun tanque axitado a evolución das concentracións dos compostos presentes nun sistema de reaccións químicas está rexido por un conxunto formado por ecuacións diferenciais ordinarias e ecuacións numéricas (differential-algebraic equations). O traballo comezará pola introdución e o estudo destes modelos e seguirá polo establecemento de algoritmos eficientes para a resolución numérica, que serán implementados en ordenador. En particular, considerarase o caso en que coexisten reaccións lentas e rápidas, o que da lugar a sistemas mal acondicionados (stiff). Resolución numérica del problema de Dirichlet para el operador lineal de cuarto orden con métodos de gradiente conjugado. María Luisa Seoane Martinez El objetivo de este trabajo es la programación en ordenador de la aproximación numérica de la solución del problema de Dirichlet para el operador lineal de cuarto orden bidimensional mediante la resolución de una formulación mixta que permite expresarlo en términos de las

17 derivadas de segundo orden; este procedimiento presenta además la ventaja de preservar la simetría del problema original. Los sistemas finitodimensionales de matriz definida positiva resultantes de la discretización con elementos finitos afines de Lagrange se resolverán mediante el método del gradiente conjugado, que al trarse de problemas lineales convergerá en un número finito de iteraciones. Haber superado las materias Análise Numérica Matricial y Métodos Numéricos en Optimización e Ecuacións Diferenciais y estar matriculado en Análise Numérica de Ecuacións en Derivadas Parciais La transformada de Laplace aplicada a la resolución de problemas de transferencia de calor y masa. Director/a M.Carmen Muñiz Castiñeira En la primera parte del trabajo se introducen la transformada y la transformada inversa de Laplace junto con sus principales propiedades; se obtendrá la transformada de funciones elementales y de aquellas funciones más usuales en la resolución de problemas de valor inicial y de contorno para EDP. En la segunda parte se aplica la transformada de Laplace a la resolución de la ecuación de la difusión unidimensional en dominios acotados y no acotados bajo diversas condiciones iniciales y de contorno en el ámbito de problemas de transferencia de calor y masa. Estar familiarizado con el manejo de bibliografía en lengua inglesa. Aproximación dos autovalores dunha matriz polo algoritmo QR Director/a Pilar Mato O algoritmo QR, que data de principios dos anos 60, é un dos métodos máis empregados para o cálculo do conxunto dos autovalores dunha matriz cadrada calquera. Na práctica, antes de aplica-lo método QR, a matriz A transfórmase nunha matriz Hessemberg superior o que reduce considerablemente o seu coste computacional. O uso do método QR con traslacións permite mellora-la converxencia do método. Neste traballo trátase de elaborar un manual que responda ós seguintes ítems: -Exposición e análise do método e de diversas estratexias que se poden utilizar para melloralo. -Implementación dalgunha delas en FORTRAN 90 ou MATLAB. -Aplicación do método nalgún exemplo. Algunos aspectos teóricos del análisis de la convergencia de los métodos de resolución numérica de ecuaciones diferenciales ordinarias (EDO) Director/a Rafael Muñoz Sola Los conceptos de consistencia, estabilidad y convergencia son centrales en el estudio de los métodos numéricos para EDO. El objetivo del trabajo es la redacción de un documento que exponga los resultados fundamentales relativos a estos conceptos incluyendo sus demostraciones así como sus aplicaciones al estudio de las familias principales de métodos (Runge-Kutta, lineales multipaso y predictor-corrector). El trabajo debe incluir como mínimo: a) La caracterización de la consistencia de un método general (una familia típica de métodos que engloba Runge-Kutta, lineales multipaso y predictor-corrector de tipo P(EC) μ E. ) b) El resultado de que estabilidad y consistencia implican convergencia. c) La descripción de la estructura de las soluciones de la ecuaciones en diferencias lineales de k pasos ( item auxiliar necesario para abordar el punto siguiente) d) La caracterización de la estabilidad (teorema de Dahlquist). e) La equivalencia entre convergencia y estabilidad más consistencia en el

18 caso de los métodos lineales mutipaso. f) La necesidad de la consistencia para tener la convergencia, en el caso de los métodos de un paso. g) Resultados aplicables a los métodos predictor-corrector de tipo P(EC) μ. (Estos métodos no encajan en el método general citado más arriba.) Bibliografía: - CROUZEIX, MICHEL; MIGNOT, ALAIN L. (1989, segunda edición) Analyse Numérique des Équations Differentielles. Masson, Paris. [Primera edición: 1984] - CHARTRES, B. y STEPLEMAN, R., A General Theory of Convergence for Numerical Methods, SIAM Journal on Numerical Analysis, Vol. 9, No. 3, 1972, pp C. W. GEAR (1971) Numerical Initial Value Problems in Ordinary Differential Equations, Prentice- Hall, Englewood Cliffs, N.J. - HAIRER, ERNST; NØRSETT, SYVERT PAUL; WANNER, GERHARD (1987) Solving Ordinary Differential Equations I. Nonstiff Problems. Springer, Berlin HENRICI, PETER (1962) Discrete Variable Methods in Ordinary Differential Equations. Wiley, New York. - LAMBERT, JOHN DENHOLM (1973) Computational Methods in Ordinary Differential Equations. Wiley, London. - ORTEGA, JAMES M. (1972, primera edición ) Numerical analysis: a second course. - SKEEL, R. Analysis of fixed step-size methods, SIAM J. Numer. Anal, Vol. 13, No. 5, 1976, pp STOER, JOSEF; BULIRSCH, ROLAND (1993, segunda edición) Introduction to Numerical Analysis. Springer, New York. Haber superado la asignatura Métodos Numéricos en Optimización e Ecuacións Diferenciais. Tener bien asimilados los conceptos de teoría de matrices (normas, diagonalización, forma canónica de Jordan) y los conocimientos de Cálculo Diferencial en una y varias variables. El/la estudiante debe ser capaz de leer bibliografía escrita en inglés... "A Hundred-dollar, Hundred-digit Challenge", by Nick Trefethen, Oxford University. Director/a Óscar López Pouso. En su curso Problem Solving Squad, el profesor Trefethen (Mathematical Institute, Universidad de Oxford) propone cada semana a los estudiantes la resolución de un problema cuya solución final es un número real. En el número de enero/febrero de 2002 de SIAM News (Vol. 35, nº 1), Trefethen publicó una lista de diez de esos problemas, anunciando que premiaría con $100 a aquel individuo o grupo que los resolviese con el mayor número de decimales exactos. La mayor parte de estos problemas, que se proponen a los aspirantes a realizar una tesis doctoral, son demasiado difíciles para un alumno de cuarto curso del Grado en Matemáticas. Sin embargo, un cierto número de las soluciones obtenidas por individuos y grupos participantes pueden ser encontradas en la red. Por ello, este Trabajo Fin de Grado (TFG) se propone con el objetivo de que el estudiante efectúe una búsqueda de esas soluciones, las clasifique y las estudie, aportando siempre que pueda su propio punto de vista o su propia versión. Bibliografía: [1] [2]