Jarðskjálftagreining á háhýsi með kúluplötum

Transcription

1 Háskóli Íslands Jarðskjálftagreining á háhýsi með kúluplötum Sigurður Bjarni Gíslason Meistaraverkefni við umhverfis- og byggingarverkfræðiskor Apríl 2005

2

3 Verkefni þetta er 15 eininga meistaraverkefni í byggingarverkfræði við Umhverfis- og byggingarverkfræðiskor Háskóla Íslands Leiðbeinendur voru: Dr. Bjarni Bessason prófessor við umhverfis- og byggingarverkfræðiskor HÍ og Hrund Einarsdóttir verkfræðingur hjá VSÓ Ráðgjöf ii

4 iii

5 Efnisyfirlit Kafli nr. Bls. 1 Inngangur Bakgrunnur Markmið Efnistök ritgerðar 1 2 Aðferðafræði greiningar Jarðskjálftagreining Inngangur Almenn sveiflufræði Aðferð jafngilds stöðukrafts Fjölforma svörunarrófsaðferð Einingaraðferðin Inngangur Einingar 14 3 Kúluplötur Uppbygging kúluplatna og hugmyndafræði Eiginleikar kúluplatna og notkunardæmi 18 4 Greining Höfðatorgsturns Lýsing á byggingu Reiknilikön Nálganir líkans Reiknilíkan með kúluplötum Reiknilíkan með hefðbundnum plötum og T-bita Reiknilíkan með þykkri hefðbundinni plötu Nálganir reiknilíkananna Álag Eiginþyngd Notálag Snjóálag Vindálag Jarðskjálftaálag Álagsfléttur Notmarkafléttur Brotmarkafléttur Jarðskjálftafléttur Eiginsveiflugreining Grunnsveiflutími byggður á EC Sveiflugreining byggð á einingaraðferðinni Reiknilíkan með kúluplötum Reiknilíkan með hefðbundnum plötum og T-bita Reiknilíkan með þykkri hefðbundinni plötu 46 iv

6 4.7 Svörun byggingar Skúfkraftar Færslur Láréttar færslur vegna jarðskjálfta Láréttar færslur vegna vinds Niðurbeygjur Velta Hönnun burðarsúlu í kjallara Samanburður háhýsa 63 5 Samantekt og niðurstöður 67 6 Lokaorð 69 Heimildir 70 v

7 Myndalisti: Mynd nr. Bls. Mynd 2.1: Einnar frelsisgráðu sveifill. (Carr, 1994) 4 Mynd 2.2: Hröðunarróf fyrir einn jarðskjálfta (Naeim). 7 Mynd 2.3: Bygging nálguð sem margir punktmassar. (Chopra, 2001) 7 Mynd 2.4: Margra frelsisgráðu kerfi nálgað sem mörg óháð einnar frelsisgráðu kerfi. (Chopra, 2001) 9 Mynd 2.5: Fjaðurfræðilegt svörunarróf mismunandi jarðvegsflokka (EC8). 12 Mynd 2.6: Plötueining og himnueining mynda skeljaeiningu. 15 Mynd 3.1: Hefðbundið kúlukerfi. ( 17 Mynd 3.2: Kúlukerfi þar sem kúla er innsteypt í forsteypta plötu. ( 18 Mynd 3.3: Kúluplata með stórum kringlóttum götum ( 19 Mynd 3.4: Planmynd kúluplötuþakvirkis sem tengir tvær byggingar (þykku línurnar) saman. ( 20 Mynd 3.5: Bubbledeck þversnið sem er 285 mm á þykkt. 20 Mynd 3.6: Samanburður á burðargetu og eiginþyngd kúluplatna og hefðbundinna platna ( 21 Mynd 4.1: AutoCAD teikning venjulegrar hæðar ofan fyrstu hæðar. 24 Mynd 4.2: ETABS líkan sömu hæðar og á myndinni hér við hliðina á. 24 Mynd 4.3: Þrívíddarmynd af Höfðatorgsturninum, horft að norðaustan. 25 Mynd 4.4: Þrívíddarlíkan Höfðatorgsturns á ljósmynd sem tekin er yfir túnið hjá Höfða. Önnur hús Höfðatorgsins er ekki teiknuð inn á myndina. 26 Mynd 4.5: Nálganir skáveggja með hornréttum veggjum (í plani). 27 Mynd 4.6: Krossveggjanálgun skáveggjar. 28 Mynd 4.7: Sniðmynd af 200 mm plötu og T-bita. 29 Mynd 4.8: Bitakerfi hefðbundnu 200 mm platnanna. 30 Mynd 4.9: Fullstífar plötur og innspenntar í veggi. 31 Mynd 4.10: Ólínuleg hegðun byggingarhluta (hysterisis loop) 32 Mynd 4.11: Vindálag á Höfðatorgsturn. 38 Mynd 4.12: Hönnunarróf fyrir Reykjavík og Selfoss. 39 Mynd 4.13: Þyngdarhröðun Reykjavík sem hlutfall af g. 40 Mynd 4.14: Höfuðásar byggingarinnar 44 Mynd 4.15: Hlutfall örvaðs massa í hvora meginstefnu sem fall af fjölda sveifluforma þegar kúluplötur eru notaðar. 44 Mynd 4.16: Fyrsta sveifluform Höfðatorgsturns með kúluplötum. 45 Mynd 4.17: Þriðja sveifluform Höfðatorgsturns með kúluplötum (vinda). 45 Mynd 4.18: Samanburður framlags skúfkrafts hverrar hæðar í x-stefnu skv. aðferðum jafngilds stöðukrafts (JSK) og svörunarrófsaðferð (RSP). 47 vi

8 Mynd 4.19: Uppsafnaður skúfkraftur í x-stefnu skv. fjölforma svörunarrófi. 48 Mynd 4.20: Samanburður á heildarjarðskjálftaþyngd og skúfkrafti fyrir þrjár útfærslur Höfðatorgsturns í jarðskjálfta í x-stefnu. 49 Mynd 4.21: Samanburður á færslum hæða þegar ólíkar gólfplötur eru notaðar vegna hönnunarjarðskálfta í Reykjavík. 50 Mynd 4.22: Samanburður á færslum hæða þegar ólíkar gólfplötur eru notaðar vegna hönnunarjarðskálfta á Selfossi. 51 Mynd 4.23: Áhrif vindu á færslur (Naeim: 1989, 156). 52 Mynd 4.24: Færslur stífnimiðju og punkts í norðurenda. 53 Mynd 4.25: Færslur hverrar hæðar í hönnunarjarðskjálfta í Reykjavík. 54 Mynd 4.26: Mestu færslur vegna hönnunarvinds. 57 Mynd 4.27: Þægileikastig bygginga vegna vinds af lágri tíðni. (Bachmann, 1995). 58 Mynd 4.28: Niðurbeygjur á 285 mm kúluplötum. 59 Mynd 4.29: Niðurbeygjur 200 mm plötu með bitum. 60 Mynd 4.30: Þrívíddarmynd af niðurbeygjum í 330 mm gólfi. 60 Mynd 4.31: Hjámiðja og þrýstisvæði í stigakjarna í y-jarðskjálfta. 62 Mynd 4.32: Langjárn 700 mm súlu. 63 Mynd 4.33: Staðsetning Höfðatorgs og Skuggahverfis og hæstu byggingar þeirra. Lituðu deplarnir sýna staðsetningu turnanna. 64 Mynd 4.34: Tvenn hönnunarróf með fyrstu sveiflutímunum annars vegar fyrir Höfðatorgsturninn og hins vegar fyrir Skuggahverfisturninn. 65 vii

9 Töflulisti: Tafla nr. Bls. Tafla 4.1: Kennistærðir líkans. 23 Tafla 4.2: Færslur platna og hlutfallsleg stífni þeirra m.v. plötur D1 og D5. 28 Tafla 4.3: Samanburður hæðar og massa fyrir mismunandi gólfkerfi. 31 Tafla 4.4: Áhrif reglu byggingar á val á jarðskjálftagreiningaraðferð. 34 Tafla 4.5: Eiginþyngd gefin upp í ýmsum einingum. 35 Tafla 4.6: Notálag á flöt og nálgað notálag á hverja hæð. 35 Tafla 4.7: Minnkað notálag skv. lækkunarstuðlum. 36 Tafla 4.8: Sveifluform, sveiflutímar og hlutfall örvaðs massa [í %] eftir áttum og snúning um ása fyrir kúluplötur. 43 Tafla 4.9: Sveifluform, sveiflutímar og hlutfall örvaðs massa [í %] eftir áttum og snúning um ása fyrir hefðbundnar 200 mm plötur. 46 Tafla 4.10: Sveifluform, sveiflutímar og hlutfall örvaðs massa [í %] eftir áttum og snúning um ása fyrir hefðbundnar 330 mm plötur. 46 Tafla 4.11: Fyrstu 15 sveifluform kúluplötuútfærslu Höfðatorgsturns og útreikningur á E Ei. 49 Tafla 4.12: Stuðullinn θ sem hlutfall af 0,1 fyrir bygginguna staðsetta í Reykjavík með og án kúluplatna. 55 Tafla 4.13: Hámarksfærsla, -vinda og -hröðun hágildispunkts og stífnimiðjupunkts byggingar á efstu hæð með mismunandi gólfkerfum í jarðskjálfta (RVK og SEL) og í vindi. 56 viii

10 Útdráttur Gerð er jarðskjálftagreining á 16 hæða skrifstofubyggingu sem á að reisa í Reykjavík. Ætlunin er að nota kúluplötur í öll gólf en það eru steinsteyptar plötur með kringlóttum holrýmum þannig að þær hafa tvíása burð. Þessi bygging verður sú fyrsta á Íslandi sem hefur kúluplötur sem gólfkerfi. Gerð eru reiknilíkön í tölvu. Í þeim er framkvæmdur samanburður á áhrifum jarðskjálfta á bygginguna með mismunandi gólfkerfum. Einnig eru könnuð áhrif þess að staðsetja bygginguna á Selfossi í staðinn fyrir í Reykjavík. Helstu niðurstöður eru: Hægt er að bæta við tæplega tveimur hæðum fyrir sömu heildarhæð byggingarinnar séu kúluplötur notaðar í stað hefðbundinna bitaplatna Töluvert minni jarðskjálftakraftar verka á bygginguna séu kúluplötur notaðar í stað hefðbundinna bitaplatna Vegna mikils vindflatar verður byggingin einnig fyrir umtalsverðum vindkröftum sem reynast ráðandi við hönnun burðarvirkjanna English abstract An earthquake analysis is done on a 16 floor office building, that is planned to build in Reykjavik, Iceland. The intention is to use so called Bubbledeck as a floor system, these are biaxial hollow slabs with spherical bubbles. This building will be the first one in Iceland having biaxial hollow slab as a floor system. Computer models are made. Using these models a comparison is done on the earthquake effects of the building with different floor systems. Additionally the impact of placing the building in Selfoss (a stronger earthquake zone in South-Iceland) is examined. Among the main conclusions are: Almost two floors can be added for a fixed total height of the building if Bubbledecks are used instead of normal slabs with beams The building will sustain considerably smaller earthquake forces as a result of using Bubbledeck instead of normal slabs with beams Due to large wall surfaces, wind load is dominant for lateral load design ix

11 1 Inngangur 1.1 Bakgrunnur Ráðgert er að byggja húsaþyrpingu sem fengið hefur nafnið Höfðatorg og verður reist við gatnamót Höfðatúns og Borgartúns í Reykjavík. Í þyrpingunni er áætlað að reisa háhýsi, hér eftir nefnt Höfðatorgsturn, sem mun verða fullbúið um mitt ár Hálfu ári síðar verður allt Höfðatorg tilbúið. Verktakafyrirtækið Eykt reisir Höfðatorg. Þegar þetta er skrifað liggur lokahönnun turnsins ekki fyrir. Það sem liggur hins vegar fyrir er að svokallaðar kúluplötur verða notaðar sem gólfkerfi í byggingarnar. PKhönnun sér um arkítektúrhönnun Höfðatorgs og VSÓ Ráðgjöf um burðarþolshönnun. Höfundur hefur fengið aðstöðu hjá VSÓ Ráðgjöf við vinnu þessa verkefnis. 1.2 Markmið Meginmarkmið þessa verkefnis er að framkvæma jarðskjálftagreiningu á Höfðatorgsturninum og bera saman áhrif þess að nota svokallaðar kúluplötur og hefðbundin staðsteypt bitagólf. Kúluplötur hafa ekki verið notaðar áður á Íslandi í nokkurt mannvirki svo vitað sé. Það er von höfundar að hægt verði að hagnýta niðurstöður verkefnisins varðandi burðarþolshönnun turnsins og að verkefnið geti orðið liður í því að leiðrétta eða fínstilla núverandi arkítektahönnun. Það má því segja að hér sé á ferð ítarleg skoðun á hönnunartillögum arkítekts. 1.3 Efnistök ritgerðar Eins og komið hefur fram mun vera gerð jarðskjálftagreining á einni ákveðinni byggingu, eða Höfðatorgsturninum svokallaða. Búið verður til þrívítt líkan í tölvu. Byggingareiningar hússins eru settar inn þ.e. gólf, veggir, súlur og þak og þeim gefnir viðeigandi eiginleikar t.d. þykktir veggja og fjaðurstuðlar efna svo eitthvað sé nefnt. Mismunandi álag er keyrt á reiknilíkanið, þ.e. notálag (e. imposed load), eiginálag, vindálag og jarðskjálftaálag og þessu álagi fléttað saman í álagsfléttur samkvæmt evrópustaðli um álag, Eurocode 1 (EC1). Þegar velja átti forrit til að nota við sveiflugreiningu stóð valið á milli þriggja forrita sem annaðhvort VSÓ Ráðgjöf eða Háskóli Íslands áttu. Þetta voru forritin SAP2000 (sjá heimildaskrá), ETABS (heim.skrá) og ANSYS (heim.skrá). ANSYS er mjög öflugt og víðtækt einingaraðferðarforrit (e. finite element program: FE-program) en ekki hentugt fyrir þetta verkefni. SAP2000 og ETABS eru frá framleiðandanum CSI (Computers and Structures Inc.) og eru gerð fyrir mismunandi verkefni. SAP2000 er eins og ANSYS að því leyti að það er gert fyrir mjög víðtæka notkun og er jafnt hægt að greina venjulegar húsbyggingar sem og flóknar tannhjólastæður í vélum. ETABS varð fyrir valinu vegna þess að það er sérhannað fyrir greiningu og burðarþolshönnun húsa. Tiltölulega auðvelt er að fá fram safnstærðir eins og vægi í einum bita og skúfkraft á einni hæð svo eitthvað sé nefnt. Segja má til einföldunar að ETABS sé

12 eins og SAP2000 að grunninum til, en öllu sem ekki viðkemur húsbyggingum er sleppt í forritinu og allt notendaviðmót miðast við byggingu. Einnig er víðtækur hönnunarhluti í forritinu sem ekki er í SAP2000. Loks var plötuhönnunarforritið SAFE notað en það er einnig frá CSI. Notkun kúluplatna, sem ráðgerðar eru sem gólfkerfi í byggingunni, verður metin og borin saman við önnur gólfkerfi. Bornir verða saman ýmsir eiginleikar mismunandi gólfkerfa svo sem sveiflutímar, skúfkraftar, vægi, færslur, lárétt hröðun hæða, vinda, og velta ásamt ýmsu öðru. Í jarðskjálfta- og burðarþolsgreiningu verður farið eftir evrópsku byggingarstöðlunum. Enn sem komið er hafa staðlarnir ekki komið út í sinni endanlegu mynd en á Íslandi er leyfilegt að hanna eftir forstöðlunum. Vitnað er til þeirra með svigum, en styttingar nafna þeirra notuð. Álagsstaðallinn EC1 (Eurocode 1: FS ENV :1994) og steypustaðallinn EC2 (Eurocode 2: FS ENV :1992 ) eru notaðir en þeir eru í raun forstaðlar. Það sem kallað er EC8 í þessu verkefni (Eurocode 8: pren ) er í raun lokauppkast af þeim evrópska jarðskjálftastaðli sem mun taka gildi á næstu misserum þegar þetta er skrifað. Í svigunum verður einnig tilvitnun í ákveðna kafla eða jöfnur staðalsins þegar það hentar. 2

13 2 Aðferðafræði greiningar 2.1 Jarðskjálftagreining Inngangur Í EC8 eru tíundaðar þrjár aðferðir sem leyfilegt er að nota við jarðskjálftagreiningu bygginga við mismunandi aðstæður: Aðferð jafngilds stöðukrafts (e. lateral force method of analysis) Fjölforma svörunarrófsaðferð (e. multi- modal response spectrum analysis) Ólínuleg tímaraðagreining (e. non-linear time-history analysis) Sú fyrstnefnda er stöðufræðileg (e. statical) og má nota hana fyrir einfaldar og reglulegar byggingar, þær tvær síðarnefndu eru hreyfðarfræðilegar (e. dynamical). Aðferð jafngilds stöðukrafts hefur verið í notkun í fjölmörg ár og er beiting aðferðarinnar tiltölulega einföld en fjölforma svörunarrófsaðferðin hefur verið að ryðja sér til rúms síðastliðin ár á verkfræðistofum (Kassegne). Ef tímaraðagreiningu er beitt má sjá svörun byggingar sem fall af tíma á meðan fjölforma svörunarrófsaðferð leggur aðeins mat á hágildi svörunar. Tímaraðagreiningin er oftast tímafrekust. Ólínulegri tímaraðagreiningu verður ekki beitt hér í þessu verkefni. Í næstu undirköflum verður gerð grein fyrir almennri sveiflufræði sem og aðferð jafngilds stöðukrafts og fjölforma svörunarrófsaðferð Almenn sveiflufræði Nú skulu sýnd stuttlega helstu undirstöðuatriði sveiflufræði sem aðferðirnar í EC8 grundvallast á. Byggt er á umfjöllun Chopra um sveiflufræði (Chopra, 2001). Til einföldunar er fyrst byggt á einnar frelsisgráðu kerfi (e. SDOF), þar sem heildarmassinn er punktmassi sem fastur er á efri endann á massalausa innspennta stöng (Mynd 2.1). Þannig kerfi er kallað sveifill (e. oscillator). Værum við að herma vatnstank sem sæti á tiltölulega mjórri súlu, hefðum við hér góða nálgun. Fyrir stöðufræðilegt ástand, þ.e. þegar krafturinn p er fasti, má stilla upp jöfnu fyrir kraftajafnvægi: kv = p (2.1) Hér er k stífnistuðull, v færsla og p punktkraftur sem beitt er lárétt á massann. 3

14 Mynd 2.1: Einnar frelsisgráðu sveifill. (Carr, 1994) Ef krafturinn p breytist með tíma höfum við hreyfðarfræðilegt ástand og jafna (2.1) breytist í afleiðujöfnuna (2.2), en hún inniheldur nokkrar nýjar breytur; c er deyfnistuðull, m er massi, v er hraði (m.t.t. undirstöðu), v er hröðun (einnig m.t.t. undirstöðu) og p(t) er utanaðkomandi kraftur sem fall af tíma t: mv + cv + kv = p() t (2.2) Sé sveiflinum leyft að sveiflast í þýðri (e. harmonic) sveiflu án utanaðkomandi krafta og án nokkurrar deyfni, þ.e. p(t)= 0 og c=0, þá verður jafnan: En lausn jöfnu (2.3) er hornafallajafnan (2.4): k v = v m (2.3) k k vt () = Asin t+ Bcos t (2.4) m m En hér eru A og B sveifluútslögin og samkvæmt þekktum fræðum stærðfræði og eðlisfræði (Benson, 1996: 331) er k/ m eigintíðni (e. natural frequency) kerfisins og táknast með ω. 4

15 Grunnsveiflutíma sveifilsins má ákvarða sem: 2π m T = = 2π (2.5) 1 ω k 1 Þegar lárétt hröðun g verkar á undirstöðu sveifilsins og undirstaðan sem áður var kyrr hreyfist breytist jafna (2.2). Áhrif stífni og deyfni í jöfnunni eru háð færslu og hraða sveifilsins m.t.t. botns hans en áhrif massans eru háð heildarhröðun kerfisins. Enginn utanaðkomandi kraftur p(t) verkar á kerfið annar en hröðunin og verður jafnan því: mv ( + g) + cv + kv= 0 (2.6) Þegar við flytjum lið utanaðkomandi hröðunar yfir jöfnumerkið má líta á þann lið sem utanaðkomandi kraft p(t) og við ritum: mv + cv + kv = mg (2.7) Deyfni á sér stað í öllum raunverulegum byggingum og byggist á efniseiginleikum hennar. Í sveiflufræði er venja að skilgreina deyfnistuðul sem λ = cc en hann gefur cr deyfni sem hlutfall af krítískri deyfni. Jafna (2.3) inniheldur ekki deyfni en þegar það er gert er eigintíðnin háð deyfnistuðlinum á eftirfarandi hátt: ω ω λ 2 = 1 (2.8) D Þetta á við um deyfnistuðul λ < 1, þ.e. fyrir undirdeyfð kerfi. Deyfnistuðullinn, λ, er gjarnan um 0,05 í byggingum og má þá sjá í hendi sér að eigintíðnin minnkar aðeins lítillega eða um 0,1 % þegar deyfnin kemur inn. Fyrir frjálsa sveiflu með samskonar deyfni (þ.e. öll undirdeyfð kerfi, t.d. hús) gildir að sveifluútslag minnkar með hverri lotu á eftirfarandi hátt (Chopra, 2001: 52): u u i i+ 1 2πλ = exp 2 1 λ (2.9) Hér er u útslag (e. amplitude) fyrir lotu i og u i i + er útslag fyrir næstu lotu á eftir. 1 Þegar deilt er með m í jöfnu (2.7) fáum við að stuðullinn við hraðann er c/ m. Í sveiflufræði er krítísk deyfni c gefin sem: cr c = 2m k m = 2mω (2.10) cr 5

16 Með því að nýta okkur þá niðurstöðu fáum við eftirfarandi uppfærslu á jöfnu (2.7): (2.11) 2 v+ 2λωv+ ω v = g Hægt að leysa margar slíkar jöfnur með klassískri lausn diffurjafna (Chopra, 2001: 29). Almenn lausn jöfnu (2.11) er hins vegar fólgin í tegri Duhamels sem lýsir tímaháðum færslum sveifils: 1 t λω ( t τ ) vt () = g e sin ω ( t τ) dτ D ω (2.12) 0 Þar sem svokölluð svörunarrófsgreining gengur út á það að þekkja hágildi svörunar við jarðskjálftaáraun þá er ætlunin að leggja mat á hágildi tegurs Duhamels. En svörunarrófið var fyrst kynnt af Biot og Housner (Naeim, 1989: 57). Þar er lýst hámarkssvörun dempaðs einnar frelsisgráðu sveifils (e. oscillator) (Mynd 2.1) við mismunandi tíðnir eða sveiflutíma við mismikla deyfingu. Hröðunargildin eru tölugildi, því er aðeins um jákvæða hröðun að ræða á svörunarrófinu. Með því að reikna hágildissvörun fyrir mörg mismunandi einnar frelsisgráðu kerfi má fá fram svörunarróf, eitt róf fyrir hvert deyfingarhlutfall. Þannig eru svörunarróf almennt háð bæði eigintíðni og deyfingarhlutfalli. Færsluróf ( S ) er því: d 1 t λω ( t τ ) S ( ω, λ ) = max g e sin ω ( t τ) dτ d n n D 0 t ω (2.13) Gervihraðaróf, S, og hröðunarróf, S v a, er hægt að skilgreina út frá færslurófinu í gegnum samböndin: S = S = S (2.14) 2 ( ω, λ ) ω ( ω, λ ) ω ( ω, λ ) a n n n v n n n d n n Þegar talað er um svörunarróf byggingar er oftast átt við lárétt hröðunarróf hennar enda oftast athygliverðara að skoða lárétta hröðun hæða heldur en lóðrétta hröðun. Mynd 2.2 sýnir normeraða hámarkssvörun hröðunar, ( ) a S T, fyrir ákveðinn jarðskjálfta og einnar frelsisgráðu kerfi með 5 % deyfingu sem fall af sveiflutíma. Rófið sýnir m.ö.o. mögnun yfirborðshröðunar sem fall af eiginsveiflutíma kerfisins með 5 % deyfni. 6

17 Mynd 2.2: Hröðunarróf fyrir einn jarðskjálfta (Naeim). Nú setjum við fram hreyfijöfnu kerfis með margar frelsisgráður en sleppum áhrifum deyfni fyrst um sinn: mv + kv = p() t (2.15) Hér eru feitletraðir þeir stafir sem tákna fylki eða vigra, því er m massafylki, k stífnifylki og p (t) kraftvigur. Hægt er að nálga hús sem röð af punktmössum sem raðast hverjir ofan á aðra (Mynd 2.3). Hér eru punktmassarnir í hlutverki gólfa á hverri hæð. Þá verða stuðlarnir í jöfnunum hér að framan; m og k að stuðlafylkjunum m og k. Massafylkið m verður hornalínufylki með massa einnar hæðar í hverju hornalínustaki. Stífnifylkið k verður eins konar áhrifafylki fyrir stífni þar sem fram kemur hvaða lárétta krafta þarf til að viðhalda stöðu aðliggjandi hæða þegar einni hæð er gefin einingafærsla. Mynd 2.3: Bygging nálguð sem margir punktmassar. (Chopra, 2001) 7

18 Stak k segir okkur því hvaða áhrif það hefur á lárétta stífni hæðar i að gefa hæð j ij einingahliðarfærslu þannig að engin önnur hæð færist úr stað. Stak k þar sem i = j ij (hornalínan sjálf) táknar lárétta stífni þeirrar hæðar. Við lausn hreyfijöfnu (2.15) er heppilegt að beita svokallaðri normalfallaðferð, en þá er jöfnunni umbreytt til normalhnita, q () t. Færsluvigurinn (e. displacement vector) v er þá skrifaður sem summa af margfeldi normalhnita q () t og sveifluforma Φ. Tímaháð svörun kerfisins verður því: N r r r= 1 v() t = φ q () t = Φq () t (2.16) Hér er Φ N N fylki sem inniheldur N sveifluform sem eru óháð tíma og q () t er vigur sem inniheldur N tímaháð normalhnit kerfisins. Þar sem Φ er óháð tíma verða tímaafleiður færslunnar eftirfarandi: v () t = Φq () t og v() t = Φq () t. Með því að setja jöfnu (2.16) inn í jöfnu (2.15) fáum við: N N r r r r r= 1 r= 1 mφ q () t + kφ q () t = p() t (2.17) Með því að margfalda í öllum liðum í gegn með T φ fæst: n N N T T T φ φ + φ φ = φ n r r n r r n r= 1 r= 1 m q () t k q () t p() t (2.18) Vegna þverstæðni (e. orthogonality) (Chopra, 2001: 407) hverfa allir liðir í summunni nema þar sem r=n. Jafnan verður: ( φ T mφ ) q () t + ( φ T kφ ) q () t = φ T p() t (2.19) n n n n n n n Einnig er hægt að setja þetta fram á eftirfarandi hátt: M q () t + K q () t = P() t (2.20) n n n n n T T Hér er M = φ m φ almassi (e. generalized modal mass), K = φ k φ alstífni (e. n n n n n n T generalized modal stiffness) og P() t = φ p () t alkraftur (e. generaliazed modal n n force). Í jöfnu (2.20) sjáum við svörunina q () t fyrir mörg óháð einnar frelsisgráðu kerfi n (Mynd 2.4) með massa M (merkt n M á mynd), stífni n n K og örvandi kraft P() t, n 8

19 eða M A () t eins og á mynd ( A () t er gervihröðun n-ta sveifluforms einnar n n n frelsisgráðu kerfis). Mynd 2.4: Margra frelsisgráðu kerfi nálgað sem mörg óháð einnar frelsisgráðu kerfi. (Chopra, 2001) Mynd 2.4 sýnir okkur hús sem margra frelsisgráðu kerfi nálgað sem mörg óháð einnar frelsisgráðu kerfi. Jarðskjálftakrafturinn sem verður til vegna n-ta sveifluforms dreifist á hæðir byggingarinnar eftir dreifingu massa hæðanna ásamt lögun sveifluformsins. Með því að meta vegið meðaltal vægis jarðskjálftakraftanna um botn byggingarinnar finnum við átakshæð heildarjarðskjálftakrafts n-ta sveifluforms, h n. Hvert sveifluform á sér því birtingarform sem er einnar frelsisgráðu sveifill með ákveðinn sveiflutíma og ákveðna deyfingu. Með því að leggja saman massa allra sveiflanna fáum við heildarmassa byggingarinnar. Vægi frá hverju sveifluformi um botn byggingarinnar er eftirfarandi: M () t = h V () t (2.21) bn n bn Í jöfnunni er V () t heildarskúfkraftur vegna n-ta sveifluforms (Mynd 2.4). Jafna bn (2.21) setur fram vægi fyrir n-ta sveifluform en heildarvægið frá öllum sveifluformum er þó ekki summan af þessum vægjum. Ástæðan fyrir því er að hágildi vægis á sér ekki stað á sama tímapunkti fyrir öll sveifluformin og því er hér aðferðum beitt til að leggja mat á hágildi vægis. Þessi aðferð er sambærileg þeirri sem sett er fram í jöfnu (2.27) hér örlítið síðar og er þá vægi hvers sveifluforms inni í sviganum. 9

20 Með því að deila í gegnum alla liði með og þá fæst: M í jöfnu (2.5) má endurskrifa jöfnu (2.20) n 2 P() t n q + ϖ q = (2.22) n n n M Sé þessi jafna leyst fyrir q () t fáum við færslur vegna n-ta sveifluforms, en til eru N n slíkar jöfnur, ein fyrir hvert sveifluform. Þetta má skrifa á fylkjaformi: n Mq + Kq = P() t (2.23) Hér er M hornalínufylki almassa M, K er bandfylki alstífni (hornalínufylki með n þremur hornalínum með stökum í, önnur stök eru núll) K og P () t er vigur alkrafts P() t. n Þegar deyfni er tekin með í reikninginn breytist jafna hreyfingar fyrir margra frelsisgráðu kerfi í jöfnu (2.2). Sú jafna er umskrifuð með því að setja inn breytur úr jöfnu fyrir ódeyfð kerfi (jafna (2.16)), en þar eru φ r eiginsveifluform kerfisins án T deyfni. Því næst er margfaldað með φ í öllum liðum eins og í jöfnu (2.18) og að n lokum eftir umskrift fengið: n N n n nr r n n n r= 1 M q () t + C q () t + K q () t = P() t (2.24) M, n K og P() t var áður skilgreint og auk þess gildir eftirfarandi: n n C = φ c φ (2.25) T nr n r Jafna (2.24) gildir fyrir öll n { 1,..., N} = og þessar N jöfnur er hægt að setja fram á fylkjaformi: Mq + Cq + Kq = P() t (2.26) M, K og P(t) voru áður kynnt í jöfnu (2.23) og C er fylki sem ekki er hornalínufylki með stuðlunum C. nr Jafna (2.24) er sambærileg við jöfnu (2.7). Þess vegna má nota Duhamel-tegrið (jafna (2.12)) til að finna tímaháða svörun normalhnita, eða nota ígildi svörunarrófs til að 10

21 ákvarða hágildi svörunar fyrir normalhnit hvers sveifluforms. Lokaskrefið er svo að finna hágildi svörunar með því að leggja saman framlag frá öllum sveifluformunum. Þar sem hágildi normalhnitanna falla ekki saman í tíma hafa verið þróaðar ýmsar aðferðir við að meta hágildi svörunar. Mjög oft er valið að nota sem mat kvaðratrótina af kvaðratsummu (e. SRSS Square Root of Sum of Squares), en aðrar aðferðir eru líka til (Chopra, 2001: 556). Þannig fæst hágildi færslu sem: v max N 2 ( φn qn,max ) (2.27) n= 1 = Aðferð jafngilds stöðukrafts Aðferðina sem fjallað verður um hér má einnig nefna einforma svörunarrófsaðferð því hún notar aðeins fyrsta sveifluformið í hvora átt fyrir sig. Til þess að nota megi aðferð jafngilds stöðukrafts þarf að uppfylla nokkur skilyrði (EC8: ). Eitt þeirra er hámarks eiginsveiflutími fyrsta eiginsveifluforms: 4 T T C 1 (2.28) 2,0s Stuðullinn T er gefinn í staðlinum (EC8: Tafla 3.2) sem 0, 4s, því gildir að C T 1, 6s. Þetta er uppfyllt eins og kemur síðar í ljós. Önnur skilyrði sem þarf að 1 uppfylla varða reglu byggingar í hæð. Þar má nefna að burðarhlutar þurfa að vera samfelldir á milli hæða og lárétt stífni þarf að vera samfelld á milli hæða (EC8: ). Skemmst er frá því að segja að byggingin uppfyllir ekki þau skilyrði sem varðar reglu í hæð þar sem kjallararnir eru mun stífari en aðrir hlutar byggingarinnar. Af þessum sökum er ekki leyfilegt að nota aðferð jafngilds stöðukrafts með réttu fyrir þessa byggingu en verður það samt gert í þessu verkefni til samanburðar við svörunarrófsaðferð. Til að dreifa heildarjarðskjálftakraftinum er fyrsta sveifluform byggingarinnar í hvora meginátt fyrir sig notað. Hægt er að dreifa jarðskjálftakraftinum á hæðir byggingarinnar hlutfallslega eftir útsveiflum sveifluformsins. Kraftinum má líka dreifa línulega með hækkandi krafti eftir hæð byggingar ef hæðir hæðanna eru þær sömu og massar þeirra eru þeir sömu. Hér verður þó fyrri tilbrigði aðferðarinnar valið. Dreifing skúfkraftanna sem jarðskjálftinn veldur á hverja hæð fyrir sig er samkvæmt eftirfarandi jöfnu: F = F i b s m i s j i m j (2.29) 11

22 þar sem F i er láréttur jarðskjálftakraftur sem verkar á hæð i, F b er heildarskúfkraftur sem verkar á byggingu uppsafnað frá öllum hæðum, m eru massar hæðanna og s er útslag fyrsta sveifluforms. Þegar massar hæðanna eru nær jafnir á milli hæða styttist m út úr formúlunni og eftir standa færslur og heildarskúfkraftur. Heildarskúfkraftinn getum við áætlað með eftirfarandi nálgun: F = S ( T) m λ (2.30) b a 1 Hér er S ( T ) fallgildi svörunarrófsins sem gefin er í jöfnu (2.14), m er heildarmassi a 1 byggingarinnar og λ er leiðréttingarstuðull. Heildarskúfkrafturinn sem byggingin verður fyrir er stefnuháður og T 1 er fyrsti sveiflutími í hvora meginstefnu fyrir sig. Fyrsti sveiflutíminn er áætlaður skv. aðferðum gefnum í kafla Fjölforma svörunarrófsaðferð Þegar staðlað svörunarróf (sbr. EC8) er búið til er fjöldinn allur af hröðunarrófum, eins og það á myndinni, settur saman og eitt róf búið til úr þeim öllum; eins konar fágað meðaltalsróf. Þessi hröðunarróf byggja á tímaröðum sem mældar eru við svipaðar jarðvegsaðstæður (sama jarðvegsflokk). Staðallinn (EC8) gefur formúlu fyrir slíku rófi sem byggist á jarðvegsflokki á byggingarstað og yfirborðshröðunargildi sem lesið er úr hröðunarkortum sem Byggingarstaðlaráð gaf út með þjóðarskjali. Rófið er eins konar álag sem sett er á bygginguna. Þess konar róf kallast fjaðurfræðilegt svörunarróf (e. elastic response spectrum). Mynd 2.5: Fjaðurfræðilegt svörunarróf mismunandi jarðvegsflokka (EC8). 12

23 Rófið á myndinni hér fyrir framan (Mynd 2.5) sýnir hlutfall svörunar af yfirborðshröðun sem fall af sveiflutíma (reiknað er með 5 % deyfni byggingar). Þar sjáum við fimm jarðvegsflokka, A til og með E, en A er klöpp. Það svörunarróf, sem tekur tillit til ólínulegrar hegðunar byggingar, kallast hönnunarróf (e. design spectrum) byggingar. Það er unnið úr fjaðurfræðilegu svörunarrófi (Mynd 2.5) en við jöfnurnar er tvinnað hegðunarstuðli byggingar, q, og lágmarksgildum svörunar á ákveðnum tímabilum rófsins. Svörunarrófin fyrir Höfðatorgsturninn, sem reistur er á klöpp, er að finna síðar í ritgerðinni (fjórði kafli). Alltaf þegar einhver hámarksáhrif vegna jarðskjálftakrafts eru skoðuð, svo sem kraftur, færsla eða hröðun massa, þá eru áhrif frá hverju sveifluformi sett inn á eftirfarandi hátt: E E = E (2.31) 2 Ei Þar sem E er gildi jarðskjálftaálagsins frá sveifluformi númer i (EC8: Jafna 4.16). Ei Sjá má hvernig jarðskjálftamassinn er reiknaður með þessum hætti (Tafla 4.11). 2.2 Einingaraðferðin Inngangur Greiningarforrit sem notuð eru við hönnun bygginga í dag notast nær eingöngu við þá aðferð sem ýmist nefnist smábútaaðferðin eða einingaraðferðin (e. finite element method) en við munum notast við síðari þýðinguna hér eftir. Aðferðin byggist á því að nálga samfellt kerfi (byggingu), sem í raun og veru hefur óendanlega margar frelsisgráður (færslur og snúninga), með tölulegu líkani sem hefur endanlegan fjölda frelsisgráða. Því er einingaraðferðin nálgunaraðferð. Þetta reiknilíkan er gert úr mörgum byggingarhlutum sem nefndir eru einingar (e. elements). Hver eining verður fyrir færslu og út frá stífni einingarinnar er krafturinn sem á hana verkar metinn. Þessi dreifðu staðbundnu (e. discrete) kraftgildi er lögð saman eftir vægi þeirra og mynda önnur kraftgildi í nálægum hnútpunktum; í þessu tilfelli flytja þau því krafta í hnútpunkta eininganna. Einingar í líkaninu geta verið nálgaðar með ýmsum hætti. Þannig má nálga veggi með skeljaeiningum (e. shell elements) og grindur með stangareiningum (e. member elements). Þannig einingar eru settar inn í samverkandi líkan sem á verka kraftar, færslur og snúningar. Slík verkefni voru fyrst um sinn einfölduð verulega og leyst með handreikningum, síðan tók forritunin við. Forritunin fylgir sömu aðferðarfræði og leysir verkefnin á kerfisbundinn og einfaldaðan hátt, aðeins með margfaldaðri reiknigetu. Litlar einingar, sem bundnar eru saman eftir mismunandi jaðarskilyrðum, 13

24 eru látnar verða fyrir kröftum, færslum og snúningum sem hafa þekkt áhrif á hverja einingu og með þeim fræðum sem einingaraðferðin og ýmsar orkuaðferðir gefa okkur, verður hegðun þessa einingakerfis þekkt. Með tilkomu tölvunnar verður runa verkefnalausna sem slíkra auðveldlega framkvæmd en í stað kemur þörfin fyrir að raða og velja úr þeim miklu upplýsingum sem forritin gefa. Eftirfarandi meginskref eru innifalin í einingaraðferðinni (Ragnar Sigbjörnsson, 2001): Skipting kerfisins í einingar. Ákvörðun eiginleika eininganna. Samtenging eininganna og framsetning kerfisjafna Meðferð jaðarskilyrða Lausn kerfisjafna og útreikningar á afleiddum stærðum Ætlunin með þessum skrifum er ekki að upplýsa lesenda um allt innihald einingaraðferðarinnar og jöfnur hennar heldur einungis það sem sérstaklega er talið nauðsynlegt í þeirri greiningu sem hér verður fjallað um. Ef lesandi vill kynna sér grundvallaratriði einingaraðferðarinnar er til fjöldinn allur af heimildum sem kynna hana (sjá t.d. Cook, 2002) Einingar Eins og áður hefur komið fram eru einingarnar nálganir á þekktum byggingarhlutum. Í húsbyggingu geta þessar einingar t.d. verið veggur, súla, gólf, biti eða þak. Þessar byggingareiningar eru í langflestum tilfellum of stórar til þess að standa einar og sér sem ein eining í líkani þar sem kraftar geta einungis færst á milli eininga í gegnum hnútpunkta þeirra sem og að færslur takmarkast af fjölda hnútpunkta. Því eru þessar einingar gerðar það litlar að ásættanleg nálgun við raunveruleikann fáist í kraftadreifingu og færslu. Ekki mega heldur einingarnar vera of litlar, þá eykst fjöldi þeirra til muna og tölvan sem framkvæmir reikningana nær ekki að framkvæma þá innan ásættanlegra tímamarka. Því er ekki heldur hagur í því að minnka einingarnar um of en best er að prófa sig áfram og sníða stakk eftir vexti og reynslu. Í þessari greiningu hefur höfundi þótt eðlilegt að hafa það viðmið að ferhyrndar planeiningar séu nálægt hálfum metra á kant. Einingarnar geta verið með ýmsu sniði, en plötueiningar eins og t.d. gólfplötur eru oftast ferhyrningar með fjórum hnútpunktum eða þríhyrningar með þremur. Þessum mismunandi einingum er skeytt saman eftir því sem þurfa þykir en til að full samvirkni sé á milli þeirra þurfa hnútpunktar samliggjandi eininga að vera sameiginlegir. Nánast allar einingar þess líkans sem tekið verður fyrir eru skeljaeiningar (e. shell elements) sem herma annað hvort gólfplötur eða veggi. Þessar einingar hafa 6 14

25 frelsisgráður í hverjum hnútpunkti (3 færslur og 3 snúninga). Þar að auki eru gólfplöturnar gerðar stífar í eigin plani og reiknast sem ein heild (e. rigid diaphragm). Til útskýringar á samsetningu eiginleika tveggja einingakerfa (þ.e. skeljaeining) er gott að skoða mynd. Mynd 2.6 sýnir hvernig plötueining hefur í hverjum hnútpunkti (aðeins einn er sýndur á mynd) snúning um tvo ása samsíða plani einingarinnar og færslu í stefnu hornrétta á planið. Himnueiningin hefur í hverjum hnútpunkti færslu í tvær stefnur samsíða plani einingarinnar og snúning um ás hornréttan á planið. Í þriðja hluta myndarinnar sjáum við þessa eiginleika saman komna, þ.e. 6 frelsisgráður í hverjum punkti. Mynd 2.6: Plötueining og himnueining mynda skeljaeiningu. Sú skeljaeining sem notuð er í greiningunni fyrir veggi og gólf er einföld ferhyrningsskeljaeining (e. simple quadrilateral shell element). Sú eining hefur stífnifylki upp á í sjálfri sér, sem er síðan flutt yfir á heildar (e. global) kerfið. Því næst er stífni skeljaeiningarinnar og álag á eininguna sett saman til þess að móta kerfisjöfnuna. (Wilson, 2001). Þessi kerfisjafna er svo grundvöllur fyrir allri greiningu einingaraðferðarinnar. 15

26 16

27 3 Kúluplötur 3.1 Uppbygging kúluplatna og hugmyndafræði Plöturnar sem fyrirhugað er að nota í gólfum Höfðatorgsturns eru nefndar kúluplötur og er þá átt við gólfplötukerfi sem nefnist Bubbledeck. Hægt er að hanna kúluplötur í ýmsum stöðluðum þykktum og auk þess er hægt að auka eða minnka vægisburðarþol innan hverrar þykktar. Það er einfaldlega gert með því að velja missver járn í járnamotturnar í efri- og neðri brún. Hægt að bæta við járnum eftir þörfum, t.d. í efri brún yfir súlum. Til útskýringar skoðum við hvernig ein plastkúla fellur ofan í möskva járnamottunnar (Mynd 3.1): Mynd 3.1: Hefðbundið kúlukerfi. ( Myndin sýnir plastkúlu sem hefur járnamottur ofan og neðan við sig. Til að ráða hæð gólfsins eru plastkúlurnar í ýmsum stærðum ásamt því að hægt er að fá breytilega möskvastærð. Hluti af uppbyggingu kerfisins er að kúlurnar passa með efsta og neðsta hlutann inn í möskvann þannig að rétt virk hæð fáist á gólfþverniðið. Hægt er fá heilar forsteyptar einingar á byggingarstað. Þá er allur undirsláttur óþarfur. Algengari útfærsla er þó að fá hálfforsteyptar plötur sem kúlurnar eru settar ofan á (Mynd 3.2). Kúlurnar ganga eilítið ofan í steypuna og eru tilbúnar til að fá efri járnamottuna ofan á sig þegar þær koma á staðinn. Með þeirri lausn þarf aðeins að slá upp undirstöðusúlum og -bitum og töluverður tímasparnaður verður. 17

28 Mynd 3.2: Kúlukerfi þar sem kúla er innsteypt í forsteypta plötu. ( Hugmyndafræðin að baki kúluplötunum er að skipta út steypu sem hefur ekki áhrif á burð gólfsins fyrir léttar kúlur. Hér er um sömu grunnreglu að ræða og í kasettuloftum en þar eru holrýmin ferköntuð í botni plötunnar og eins konar bitamöskvar myndast á milli holrýmanna. Í kúluplötunum eru holrýmin kúlulaga en staðsett í miðju plötuþvernsiðinu. Eins og margreynt er, er kúluformið ótrúlega hæft til burðar. Þekkt er að Kínverjar og Rómverjar nýttu sér bogaburðarformið í ýmis konar byggingar og brýr fyrir aldaröðum síðan. Skeljavirkni þessara burðarforma hjálpaði til við að bera álagið og leiddi krafta sem komu ofan frá niður meðfram boganum. Auðvelt er að ímynda sér efri hluta hálfkúlu í þessu hlutverki sem útvíkkaða mynd af bogabrú. Neðri hluti kúlunnar er samhverfur og tekur aftur við þeim kröftum sem bárust meðfram jaðri kúlunnar. Kerfið er orðið samhverft og lokað og má segja að kúluplöturnar hagi sér nánast eins og samfellt efni þar sem kraftar berast óhindrað um plötuna. 3.2 Eiginleikar kúluplatna og notkunardæmi Kúluplöturnar eru berandi í báðar stefnur plansins og hafa þann kost umfram hefðbundnar holplötur, sem aðeins hafa burð í eina stefnu. Segja má að að forminu til séu kúluplötur útfærsla af holplötum en einni vídd hafi verið bætt við. Þá er ekki tekinn til sá eiginleiki holplatnanna að þær séu forspenntar. Með þessum tvíása burði opnast möguleikar sem áður voru torveldir í hönnun með holplötum; t.d. að gera stór göt í gólf án þess að þurfa að hanna fjöldann allan af burðarbitum umhverfis götin eða leysa það með öðrum hætti (Mynd 3.3). 18

29 Mynd 3.3: Kúluplata með stórum kringlóttum götum ( Annað dæmi um hvernig gera má stór göt án þess að setja neina bita eða súlur undir jaðrana er í Kaupmannahöfn. Þar má sjá tvær byggingar tengdar saman með þakplötu algjörlega án súlna (Mynd 3.4). Hafið er um 30 m og gatið sjálft er um 31 m í þvermál. Þetta var leyst með sérhannaðri 600 mm þykkri kúluplötu með tvöföldu lagi af plastkúlum. Einn helsti kostur kúluplatnanna er að með minni rúmþyngd þeirra og meiri virkri hæð verður vægisburður meiri og hægt er að spanna lengri höf og hafa lengra bil á milli súlna en í hefðbundinni steinsteyptri plötu. Erfitt er að meta þennan eiginleika til fjárhagslegs hagræðis þegar bera á saman tvo kosti gólfkerfa. Hins vegar er ljóst að vaxandi eftirspurn er eftir húsbyggingum með opnum breytanlegum rýmum, með léttum milliveggjum og fáum súlum, sem gefur kost á breytilegri nýtingu. Þá er ljóst að ekki er eftirsjá í súlu eða burðarvegg sem hverfur í nýrri hönnun. Kúluplatan sem höfundur velur í Höfðatorgsturninn er 285 mm á þykkt. Lengsta haflengdin á milli súlna í Höfðatorgsturninum er 9,4 m. Þetta er lengra haf en venjulega er á milli súlna í byggingum með hefðbundnar staðsteyptar plötur. Ljóst er að hefðbundin staðsteypt plata með þykkt innan skynsamlegra marka getur ekki brúað þá haflengd. Þá þyrfti annað hvort að minnka haflengdina með fleiri súlum á milli eða bæta við bitakerfi sem situr undir plötunni og bæta þannig við óþarfa hæð. 19

30 Mynd 3.4: Planmynd kúluplötuþakvirkis sem tengir tvær byggingar (þykku línurnar) saman. ( Mynd 3.5 sýnir þversnið þeirrar kúluplötugerðar sem valin hefur verið. Dökka lagið neðst í steypunni er sá hluti sem er forsteyptur og koma kúlurnar innsteyptar í forsteypta hlutann og skaga upp úr. Einnig kemur efri grunnbendingin sem hluti forsteypta hlutans ásamt skerbendingu. Mynd 3.5: Bubbledeck þversnið sem er 285 mm á þykkt. 20

31 Eftir að plötunum hefur verið komið fyrir á réttum stöðum er aukajárnum bætt við bendinguna eftir þörfum ofan við efri grunnbendingu. Aukajárnin eru aðallega staðsett ofan við súlur og innveggi þar sem tog er í hámarki í efri brún platnanna. Það sem á eftir að gera í framhaldinu er að steypa plötuna þannig að hún nái 285 mm í heild sinni. Mynd 3.6 birtir athygliverðan samanburð á hefðbundnum plötum og dæmigerðum kúluplötum. Þar er m.a. vægisþol og eiginþyngdir platnanna bornar saman. Þar kemur t.d. fram að hægt er að fá sambærilegt vægisþol með notkun kúluplötu eins og með notkun hefðbundinnar staðsteyptrar plötu, en með því að nota einungis helminginn af rúmmáli steypunnar. Hefðbundið BubbleDeck BubbleDeck sama þykkt sama burðargeta Burðargeta Eiginþyngd Hlutfallsleg gildi í % af hefðbundnu gólfi Burðargeta Eiginþyngd Eiginþyngd / Burðargeta 3:1 1:1 1,5:1 Töluleg gildi í % af hefðbundnu gólfi Burðargeta Eiginþyngd Nýtingarhlutfall steypunnar 100% 300% 200% Eða á mannamáli - BubbleDeck veitir... sömu burðargetu með 50% steypu tvöfalda burðargetu með 65% steypu Mynd 3.6: Samanburður á burðargetu og eiginþyngd kúluplatna og hefðbundinna platna ( Ýmsar tilraunastofur t.d. í Danmörku, Þýskalandi, Hollandi og Bretlandi hafa kannað eiginleika kúluplatnanna. Nokkrir þeirra eiginleika sem kannaðir hafa verið eru: vægisþol, beygjustífleiki, skúfstyrkur, gegnumbrot við súlur, nauðsynlegar skeytilengdir, brunaeiginleikar, skrið og hljóðburður. Tækniháskóli Danmerkur (TDU) gerði tilraunir á skúfstyrknum og komust þau að þeirri niðurstöðu með 188 mm kúluplötu að skúfstyrkurinn væri 81 % af skúfstyrk hefðbundinnar plötu sömu þykktar ( Hlutfall fjarlægðar álags frá undirstöðu, a, og þykkt plötu, d, var a/ d = 1,4 í tilraununum. 21

32 Tækniháskólinn í Darmstadt í Þýskalandi (TUD) gerði tilraunir á gegnumbroti súlna í kúluplötum. Í ljós kom að skúfstyrkurinn væri % af skúfstyrk hefðbundinnar plötu sömu þykktar. Hlutfallið a/ d var 3, 7 í tilraununum. Schnellenbach-Held og Pfeiffer (2002) fullyrtu að brotform væru með svipuðu móti og hjá hefðbundnum plötum. Þau gerðu tillögu um að sleppa notkun kúlna í kringum súlur til að forðast gegnumbrot og sögðu að með því mætti ná sama gegnumbrotstyrk eins og í hefðbundnum plötum sömu þykktar. Ef niðurstöður eru teknar saman sést í stuttu máli að vægisburðarþol kúluplötu er töluvert meira en fyrir hefðbundna plötu, en skúfstyrkur og hljóðburður kúluplötu er eilítið minni en fyrir hefðbundnar plötur. Skrið, nauðsynlegar skeytilengdir og brunaþol er sambærilegt fyrir báðar tegundir af plötum ( 22

33 4 Greining Höfðatorgsturns 4.1 Lýsing á byggingu Höfðatorgsturninn, sem er staðsettur við gatnamót Borgar-, Höfða- og Skúlatúns, er 16 hæða háhýsi og auk þess með tvær hæðir neðanjarðar. Ákveðið var að staðsteypa veggi og súlur byggingarinnar en gera gólfið úr svokölluðum kúluplötum (e. Bubbledeck ). Þessi ákvörðun hefur verið tekin í hönnunarferlinu og mun höfundur einnig halda sig við hana í greiningunni. Til samanburðar verður þó einnig skoðuð hönnun með staðsteyptum plötum. Húsið er byggt á klöpp, er í mikilvægisflokki III og mun verða hannað í meðal seigluflokki skv. EC8 (DCM e. Ductility Class Medium). Mynd 4.1 sýnir grunnflöt einnar venjulegrar hæðar ofan þeirrar fyrstu teiknaða í AutoCAD. Burðarveggir og -súlur eru fylltar með svörtum lit á teikningunni. Mynd 4.2 sýnir hins vegar eininganet af sömu hæð í reiknilíkaninu sem notað var við burðarþolsgreininguna í ETABS. Myndin sýnir einnig glögglega hvernig skástæðir veggir eru nálgaðir með stalllaga veggjum í FE-líkaninu. Notaðar eru skeljaeiningar fyrir veggi með kantlengd u.þ.b. 0,5 m. Súlur voru nálgaðar með bitaeiningum og plötur voru hafðar stífar (e. rigid diaphragm) og því í reynd hver hnútpunktur í plötu með 6 frelsisgráður. Til gamans eru hér birtar upplýsingar um helstu kennistærðir kúluplötulíkansins (Tafla 4.1), svo sem fjölda eininga, stærð stífniskrár og keyrslutíma líkansins í tölvu. Tölvan sem notuð var hefur tvo reikniörgjörva sem hvor um sig er 3 GHz (reiknigetan er því á bilinu 3-6 GHz). Tafla 4.1: Kennistærðir líkans. Stærðir líkans Fjöldi skeljaeininga Fjöldi rammaeininga Fjöldi punkteininga Fjöldi jafnvægisjafna Fjöldi eiginsveifla í greiningu 25 Stærð stífniskrár 1,9 GB Keyrslutími 4-5 klst. 23

34 14m 31m Mynd 4.1: AutoCAD teikning venjulegrar hæðar ofan fyrstu hæðar. Mynd 4.2: ETABS líkan sömu hæðar og á myndinni hér við hliðina á. 24

35 Grunnflötur byggingarinnar er um 14m 31m og hún er um 56 m á hæð að kjöllurum frátöldum. Eins og sjá má á myndunum er megin hluti skúfveggjanna öðru megin í húsinu og kraga svo plöturnar út á opna svæðið sem er stutt nokkrum súlum og stigakjarna. Að nokkru leyti má líkja byggingunni við byggingarkrana (Mynd 4.3), því að á svipaðan hátt og þegar vindur sem verkar þvert á kranann tekur í arm hans vinda láréttir kraftar frá t.d. vindi og jarðskjálftum upp á bygginguna. Nánar verður fjallað um áhrif vindu í kafla Mynd 4.3: Þrívíddarmynd af Höfðatorgsturninum, horft að norðaustan. Á fyrri stigum hönnunar var ekki gert ráð fyrir stigakjarnanum við vinstri súlulínuna (Mynd 4.2). Hringstigi rétt utan við útlínu byggingar þar við hliðina á átti að þjóna notendum sem flóttaleið, þar var einnig veggstubbur sem standa átti út úr byggingunni þvert á langhliðina. Fyrsti eiginsveiflutími byggingarinnar fyrir þá útfærslu var tæpar tvær sekúndur. Þegar kom í ljós að embætti byggingarfulltrúa í Reykjavík samþykkti ekki hringstiga upp á 16 hæða hús sem flóttaleið voru tvær flugur slegnar í einu höggi með því að koma nýjum stigakjarna fyrir. Fyrsti eiginsveiflutíminn í x-stefnu minnkaði og til varð hæf flóttaleið, enda var aðalstigakjarninn í vinstra neðra horni planmyndar ekki nóg. Ekki virtist skipta máli hvort kjarninn væri staðsettur þar sem 25

36 hann er sýndur (Mynd 4.1) eða færður ofar á planmynd sem nemur einni súlu (5m). Nánast sami fyrsti sveiflutími var í báðum tilvikum. Mynd 4.4: Þrívíddarlíkan Höfðatorgsturns á ljósmynd sem tekin er yfir túnið hjá Höfða. Önnur hús Höfðatorgsins er ekki teiknuð inn á myndina. 4.2 Reiknilikön Nálganir líkans Í Höfðatorgsturninum eru ekki allir veggir hornréttir m.v. hnitakerfi hússins (Mynd 4.1). Því er gerð sú nálgun í líkaninu að veggir sem ekki eru hornréttir á hnitakerfi líkansins hafi hornrétta hluta. Þessir hlutar hafa endapunkta í sömu punktum og upphaflegu veggirnir og er reynt að haga bútuninni þannig að svipað langir veggir séu sitt hvoru megin hins raunverulega veggjar. Þessi nálgun er nauðsynleg til að gera einfalda handvirka bútun veggja og gólfa mögulega. Ef um skáveggi er að ræða, verður ekki hjá því komist að ferhyrningseiningar sem eru á gólfum verði ílangar og langt frá því að vera ferningslaga. Þannig einingar geta skapað ónákvæmni í útreikningi krafta. Höfundi finnst þægilegra að hafa hönd í bagga þegar að bútun eininga kemur, því hefur hann valið þessa aðferð hér. En nú kemur upp spurningin hvort þessi nálgun sé nægjanlega góð þegar kemur að kröftum sem á vegginn verka. Er skúfstífnin sú sama þegar kraftur verkar á skástæðan vegg m.t.t. hnitakerfis og þegar sami kraftur verkar á stalllaga vegg sem fylgir global hnitakerfi og nálgar skástæða veggi (Mynd 4.5)? Til þess að rýna þessar vangaveltur voru gerðar tilraunir í greiningarforritinu ETABS. Mynd 4.5 er planmynd þar sem við sjáum 6 dæmi um veggi samtengda plötum á mismunandi hátt. Veggirnir eru steinsteyptir og eru 250 mm á breidd og er fjaðurstuðull þeirra stórlega rýrður til að fá sjáanlegar færslur (þ.e. vegna fárra aukastafa) enda skipta færslurnar sjálfar ekki máli heldur samanburðurinn á færslunum. Hver eining plötunnar er 1 m 2 en hver plata er þó skilgreind sem fullstíf eining (e. rigid diaphragm) sem verður ekki fyrir innri formbreytingum í eigin plani. Settur var 1000 kn láréttur kraftur á hverja plötu í andhverfa y-stefnu og færslur á massamiðju plötunnar bornar saman. Ef við leysum jöfnu (2.1) fyrir stífnina sést að hún er í öfugu hlutfalli við færsluna. Því er óhætt að meta stífni beint út frá færslum. 26

37 Mynd 4.5: Nálganir skáveggja með hornréttum veggjum (í plani). Á efri hluta myndarinnar hér að framan sjást þrjú dæmi; í líkaninu til vinstri (D5) eru veggirnir eins og þeir eru í raun og veru, í miðjunni (D6) eru þeir nálgaðir svipað eins og gert er í líkani Höfðatorgsturnar og líkanið til hægri (D7) er öllu lélegri nálgun þar sem veggstubbum á milli er sleppt. Neðri hluti sömu myndar sýnir þrjú samskonar dæmi nema hvað veggurinn er skástæðari. Gerður er samanburður á færslum þessara platna og þ.a.l. stífni veggjanna (Tafla 4.2). Athyglivert við niðurstöðurnar er að stífnin í fyrstu tveimur dæmum efri hlutans ber nokkuð vel saman (þ.e. D5 og D6) og sýnir það að um góða nálgun er að ræða. Í fyrstu tveimur dæmum neðri hlutans (þ.e. D1 og D2) munar um 14 % að síðari veggurinn sé jafnstífur þeim fyrri. Hins vegar er þriðja útfærslan í báðum tilvikum léleg nálgun og munar þar um 3 10 til 4 10 á stífleika. 27

38 Tafla 4.2: Færslur platna og hlutfallsleg stífni þeirra m.v. plötur D1 og D5. Plata nr. Færslur [mm] Stífnihlutfall D5 0,825 1 / (D5/D5) = 100% D6 0,848 1 / (D6/D5) = 97% D7 1,319 1 / (D7/D5) = 63% D1 1,618 1 / (D1/D1) = 100% D2 1,882 1 / (D2/D1) = 86% D3 2,265 1 / (D3/D1) = 71% Veggirnir sem verið er að nálga í Höfðatorgsturninum eru nokkurs konar samblanda af þessum tveimur tilvikum (þ.e. D2 og D6) og því má áætla að stífnin sé í minnsta lagi 90% af stífni upprunalega veggjarins. Gerð var önnur tilraun með að nálga skávegg og fólst hún í því að nálga hann með krossvegg. Þar sést að nálgunin breytir ekki massamiðju veggjarins (Mynd 4.6). Þessa nálgun telur höfundur vera jafnvel betri en stallanálgunina hér að framan. Þar sem hornrétt lengd veggjarins breytir sér ekki er stífnin í hvora átt fyrir sig sú sama og á upprunalegum vegg enda var það niðurstaða tilraunarinnar að færslan og þar af leiðandi stífnin breyttist ekki. Til að styðja þessa niðurstöðu enn frekar eru það þekkt fræði að lengd veggja skipti meginmáli varðandi stífni þeirra. Mynd 4.6: Krossveggjanálgun skáveggjar. 28

39 Að lokum setti höfundur þessa krossveggjanálgun inn í líkan Höfðatorgsturnar til að athuga hvort stífnin myndi aukast. Til að kanna þetta var fyrsti sveiflutíminn í þessa höfuðátt skoðaður, enda er sveiflutími bygginga háður stífni þeirra samkvæmt jöfnu (2.5) fyrr í ritgerðinni. Niðurstaðan var eftirfarandi: Ekki var nema um tæplega 1 % munur á sveiflutímanum og því ekki ástæða til að eltast við nálgunina vegna þess að ýmislegt annað myndi tapast í nákvæmni nálgunar. Þar má sérstaklega nefna ranga dreifingu krafta frá gólfi á undirliggjandi veggi Reiknilíkan með kúluplötum Aðalreiknilíkan byggingarinnar miðast við að nota kúluplötur í allar plötur turnsins. Kúluplöturnar sem höfundur notar eru 285 mm á þykkt og vega 4,6 kn/m 2 (Mynd 3.5). Í neðri grunnbendingu eru 16 mm þykk járn en 6 mm í efri brún og er möskvastærðin að meðaltali 125 mm í báðum tilvikum. Einnig er aukajárnum oft bætt við ofan efri grunnbendingar til að auka vægisburðarþol yfir súlum og innveggjum. Þyngd kúluplatnanna er sambærileg við þyngd hefðbundinnar plötu að þykkt 182 mm. Ákvörðun um þykkt kúluplötunnar var tekin út frá þeim niðurbeygjum og vægisburðarþoli sem reiknað var út. Sjá nánar um niðurbeygjur síðar í kafla Reiknilíkan með hefðbundnum plötum og T-bita Annað líkan var gert til samanburðar þar sem staðsteyptar plötur ásamt T-bitum í þverstefnu byggingar voru notaðar í stað kúluplatna. Plöturnar voru hafðar 200 mm á þykkt. Til að uppfylla niðurbeygjukröfur byggingarreglugerðar þurfu T-bitarnir að skaga 400 mm niður úr plötunni (Mynd 4.7) og ná þvert yfir súlurnar í x-stefnu, alls 5 bitar (Mynd 4.8). Með því móti er hægt að búa til heilstæða hönnun sem bera má saman við kúluplötuútfærsluna. Bitarnir voru reiknaðir skv. EC2. Reyndust niðurbeygjurnar verða mestar tæpir 20 mm þegar langtímaáhrif (m.a. skrið) voru tekin með í reikninginn. Mynd 4.7: Sniðmynd af 200 mm plötu og T-bita. 29

40 Einnig hefði verið hægt að bæta við súluröð eftir miðri byggingunni til að minnka niðurbeygjurnar og beygjuvægið og losna þannig við bitana, en svo var litið á að staðsetning súlnanna og mikið bil á milli þeirra hafi verið ófrávíkjanlega krafa í hönnunarferlinu. Mynd 4.8: Bitakerfi hefðbundnu 200 mm platnanna Reiknilíkan með þykkri hefðbundinni plötu Þriðja leiðin til að uppfylla niðurbeygjukröfur byggingarreglugerðar hefði verið að nota 330 mm þykka plötu og sleppa bitunum. Flatarþyngd slíkrar plötu er 8,25 kn/m 2. Þyngd platnanna í byggingunni myndi þá aukast um 81 % miðað við þyngd kúluplatnanna! Þetta hefði þýtt aukning á heildarþyngd byggingar sem nemur um 29 %. Tafla 4.3 ber saman þyngdir allra platnanna og tapar hæðir vegna aukinna þykkta. Athyglisverð niðurstaða er að með því að fara úr 200 mm hefðbundnu platnakerfi með bitum, í 285 mm kúluplötur græðum við tæplega 2 hæðir. Við reiknum við muninn á 600 mm gólfkerfi og 285 mm gólfkerfi og margföldum með 18 hæðum. 30

41 Tafla 4.3: Samanburður hæðar og massa fyrir mismunandi gólfkerfi. Gólfkerfi Töpuð hæð Aukinn massi [m] [Hæðir] Gólfkerfi Bygging Kúluplötur 285 mm Hefðb. plötur 200 mm + bitar 5,67 m 1,66 18% 7% Hefðb. plötur 330 mm 0,81 m 0,24 81% 29% Hér eftir í kafla 4 fer lýsing á álagsforsendum og greiningu turnsins. Vert er að taka fram að þær niðurstöður sem koma fram eru alltaf niðurstöður úr fjölforma svörunarrófsaðferð og eiga við kúluplötuútfærsluna nema annað sé sérstaklega tekið fram. 4.3 Nálganir reiknilíkananna Í þessum kafla verða tilteknar nokkrar nálganir sem gerðar voru á eiginleikum burðarhluta og gólfa. Einnig verður greint frá vali á jarðskjálftagreiningaraðferð. Gerð var nálgun sem varðar stífni líkansins: Allar plöturnar eru reiknaðar sem fullstífar í plani og eru engar innbyrðis færslur í plani platnanna leyfðar (e. rigid diaphragm). Þar að auki er platan innspennt að einhverju leyti í veggina (Mynd 4.9). Á myndinni er mismunafærsla hæða og h er hæð hverrar hæðar. Mynd 4.9: Fullstífar plötur og innspenntar í veggi. 31

42 Hafa skal í huga að þær greiningaraðferðir sem hér verður farið í gera ráð fyrir því að byggingar lúti allar lögmálum línulegrar fjaðurfræði. Til að bæta við áhrifum ólínulegrar hegðunar þeirra er svokölluðum hegðunarstuðli, q, bætt við. Hegðunarstuðullinn segir okkur til um hve vel mannvirki getur tekið upp jarðskjálftaorkuna með því að þola ólínulegar (e. plastic) formbreytingar. Mynd 4.10 sýnir hvernig byggingarhluti formbreytist fyrst línulega (rauð píla í miðju hnitakerfis) og eyðir svo orkunni (tekur upp orkuna) með því að formbreytast ólínulega. Ferillinn endurtekur sig meðan mannvirkið verður fyrir kröftum sem gefa færslur. Myndin er nálgun á ólínulegri hegðun en ferillinn hegðar sér fyrst línulega og byrjar svo að beygja af leið með minnkandi fjaðurstuðli. Ef δ < δ nýtist uppsöfnuð e stöðufræðileg orka (þríhyrningslaga svæði undir miðjupílu) til að taka upp jarðskjálftaorkuna en færslan er þá á línulegu sviði. Ef δ < δ < δ fæst plastísk e y,max hysteresis slaufa. Orkuupptakan sem á sér stað er flatarmál slaufunnar, U H. Lárétti ásinn getur verið annað hvort færsla eða hornsnúningur og lóðrétti ásinn getur verið annað hvort kraftur eða vægi. Mynd 4.10: Ólínuleg hegðun byggingarhluta (hysterisis loop) Á myndinni táknar δ y,max mestu færslu sem byggingarhlutinn þolir með ásættanlegum skemmdum. Til er stuðull sem segir til um seiglu mannvirkis; seiglustuðull µ (e. ductility coefficient): 32

43 µ δ y,max = (4.1) δ e Seiglustuðullinn er mjög skyldur hegðunarstuðlinum enda lýsa báðir stuðlarnir ólínulegri hegðun mannvirkis og orkuupptöku. Hegðunarstuðullinn er gjarnan á bilinu 1,5-3,0 fyrir steinsteyptar byggingar og er bygging með hegðunarstuðul 1,5 tiltölulega nálægt því að hegða sér fjaðurfræðilega. Hegðunarstuðulinn q er fundinn á eftirfarandi hátt: q = q k 1, 5 0 w (4.2) Í þessari jöfnu er q 0 grunngildi hegðunarstuðuls sem er háð tegund burðarkerfis og reglu byggingar í hæð (EC8: ) og k w stuðull sem tekur tillit til ráðandi brotforms burðarkerfis sem hefur veggi. Þar sem byggingin er í meðal seigluflokki og flokkast sem torsionally flexible system eða kerfi sem taka mikla vindu á sig þá er q = 2,0. Fyrir þessa tegund af burðarkerfi er k skilgreint á eftirfarandi hátt: 0 w kw = (1 + α ) / 3 1 (4.3) 0 Í jöfnu (4.3) er α hlutfallið á milli heildarhæðar og lengdar ráðandi veggja í byggingunni. Þar sem α er í öllum tilvikum stærra en 2 fær k w sjálfkrafa gildið 1. Stuðullinn k má þó aldrei verða lægri en 0,5. Hegðunarstuðullinn lækkar sem nemur w 20 % fyrir byggingar sem eru óreglulegar í hæð (EC8: (3)). Af þessum ástæðum er hegðunarstuðulinn q= 1, 6. Nánari umfjöllun er að finna í staðlinum (EC8: ). Til að velja þá greiningaraðferð sem nota má í samhengi við planreglu og hæðarreglu byggingar, t.d. samhverfu, notum við töflu hér að neðan (Tafla 4.4) sem er hluti sambærilegrar töflu í EC8 (EC8: Tafla 4.1). Hún segir okkur að sé hvorki regla á plani byggingar né á milli hæða (eins og gildir fyrir Höfðatorgsturninn) skuli nota svörunarrófsgreiningu. Fyrsta hæð Höfðatorgsturns hefur langan aukavegg og því aðra stífni en hinar hæðirnar og kjallararnir hafa steypta útveggi sem einnig gefur aðra stífni. Því má segja að byggingin sé ekki regluleg í hæð. Jafnvel þótt staðallinn banni notkun jafngilds stöðukrafts er þeirri aðferð beitt til greiningar á Höfðatorgsturninum til samanburðar. Sé byggingin óregluleg í plani en regluleg í hæð (Tafla 4.4) má nota aðferð jafngilds stöðukrafts enda hefur byggingin þegar uppfyllt aukaskilyrði um fyrsta sveiflutímann (EC8: Tafla * Neðanmálsgrein). Þetta er breyting frá þeim Evrópuforstaðli sem enn er í notkun á Íslandi þegar þetta er skrifað. Í gildandi Evrópuforstaðli hefði slík bygging þurft að fara í gegnum svörunarrófsaðferð. 33

44 Tafla 4.4: Áhrif reglu byggingar á val á jarðskjálftagreiningaraðferð. Regla byggingar Leyfð nálgun Plan Hæð Líkan Línul. greining Já Já Í plani Einföld Já Nei Í plani Svörunarróf Nei Já Í þrívídd Einföld Nei Nei Í þrívídd Svörunarróf 4.4 Álag Eiginþyngd Helstu byggingarhlutar Höfðatorgsturnarins eru kúluplötur, staðsteyptir veggir og súlur, gler og útveggjaklæðning. Kúluplöturnar eru 285 mm á þykkt og eru forsteyptar plötur að hluta til sem innihalda stórar plastkúlur (Mynd 3.5). Plastkúlurnar falla inn í járnbent net sem liggur ofan og neðan við þær. Þessar plötur hafa rúmþyngdina 16 kn/m 3 sé litið á allt þversniðið sem eina heild. Til samanburðar hafa járnbentu staðsteyptu veggirnir rúmþyngdina 25 kn/m 3. Veggirnir eru ýmist 300 mm eða 250 mm að þykkt og fer þykkt þeirra minnkandi með hæð frá jörðu. Súlurnar eru sívalningslaga og ýmist 700 mm eða 500 mm í þvermál eftir hæð frá jörðu þ.e. hve mikið þær þurfa að bera. Glerið hefur flatarálagið 0,6 kn/m 2. Auðvelt var að setja álagið frá glerinu inn í líkanið sem jafndreift línuálag. Álagið varð þá um 2 kn/m og var það sett á veikburða (e. dummy) stálprófíl sem tákna á glerið á köntum gólfplatna á hverri hæð. Einnig var sett inn álag frá niðurhengdum loftum og gólfefnum upp á 1,25 kn/m 2. Tafla 4.5 sýnir eiginálag á Höfðatorgsturni með mismunandi hætti. Þriðji dálkur töflunnar lýsir nokkrum álagstegundum sem verka á einni hæð til að gefa lesanda meiri tilfinningu fyrir álagsstærðunum. Gólfflötur hverrar hæðar er brúttó um 380 m 2. Í þeirri tölu eru meðtaldir stigagangar og lyftuop. Til samanburðar er í töflunni einnig sýnt eiginálag 200 mm staðsteyptrar plötu með T- bita og eiginálag 330 mm plötu án bita (sbr. lýsing í köflum ). 34

45 Tafla 4.5: Eiginþyngd gefin upp í ýmsum einingum. Álagstegund Grunng. álags Álag í reiknilíkani Álags- Heildarálag á hæð [m.v. h = 3,42m] flokkur Kúluplötur-285 4,56 kn/m 2 - jafndr. álag ~1730 kn Hefðb. bitapl. 200 mm 5,4 kn/m 2 - jafndr. álag ~2150 kn Hefðb. 330 mm plötur 8,25 kn/m 2 - jafndr. álag ~3140 kn Veggir-300 (Kj.-4. hæð) 7,5 kn/m 2 25,7 kn/m línuálag ~1540 kn Veggir-250 ( hæð) 6,25 kn/m 2 21,4 kn/m línuálag ~1280 kn Súlur-700 (Kj.-7. hæð) 9,6 kn/m 32,8 kn/stk. punktkraftu ~230 kn Súlur-500 ( hæð) 4,9 kn/m 16,8 kn/stk. punktkraftu ~120 kn Gler 0,6 kn/m 2 2,05 kn/m línuálag ~130 kn Niðurh. loft + gólfefni 1,25 kn/m 2 - jafndr. álag ~470 kn Í töflunni sést þyngdarleg hægræðing í því að nota kúluplötur. Með minni þyngd eru lengri haflengdir milli súlna mögulegar og sveiflutími styttist. Sveiflutímarnir verða teknir nánar fyrir síðar í þessari ritgerð Notálag Höfðatorgsturninn er hannaður sem skrifstofubygging með stórum opnum rýmum. Hægt verður að setja upp létta milliveggi nánast hvar sem leigjendum / kaupendum dettur í hug innan þessara opnu rýma. Allar hæðir hússins ofan fyrstu hæðar eru hannaðar samkvæmt þessu. Notálag á þeim verður (skv. EC1) 3 kn/m 2. Á fyrstu hæðinni verður hægt að vera með veitingastað eða svipaða starfsemi, þar er notálagið 5 kn/m 2. Í tveimur kjallarhæðum eru geymslur þar sem einnig er gert ráð fyrir flatarálagi upp á 5 kn/m 2. Á þakinu, sem ekki er manngengt nema til viðgerða, er notálagið 1 kn/m 2. Álag í stigahúsi er eins og í skrifstofurýminu 3 kn/m 2. Tafla 4.6 sýnir notálag eftir hæðum. Tafla 4.6: Notálag á flöt og nálgað notálag á hverja hæð. Álagstegund Álag Álag á hæð Notálag (Kj.-1. hæð) 5 kn/m 2 ~1900 kn Notálag ( hæð) 3 kn/m 2 ~1140 kn Notálag þaks 1 kn/m 2 ~380 kn Heimild er í EC1 staðlinum fyrir því að minnka stöðufræðilega notálagið með lækkunarstuðlum α og α (e. live load reduction factor). Fyrri lækkunarstuðullinn, A α, tekur tillit til stærð burðarflatarins A : A n 35

46 α 5 7 A 0 = ψ + 1, 0 (4.4) A 0 A Hér er ψ = 0, 7 álagsfléttustuðull (EC1: Tafla 9.3) og A er 10 m viðmiðunarflatarmál og A er flötur áhrifasvæðis sem viðkomandi burðareining þarf að bera. Þar sem áhrifasvæðin eru mismunandi var ákveðið að reikna með meðalburðarfleti súlna sem reyndist um 24 m 2. Þannig fékkst stuðullinn α = 0,92. A Síðari lækkunarstuðullinn, α, tekur tillit til þess að ekki sé fullt álag á öllum hæðum n í einu: α 2 + ( n 2) ψ 0 = (4.5) n n En hér er n fjöldi hæða úr sama álagsflokki ( n > 2 ) sem er fyrir ofan burðarveggi eða burðarsúlur. Tafla 4.7 sýnir hvernig notálagið minnkar eftir hæðum vegna lækkunarstuðlanna. Gildin á kjallarahæðunum voru ekki minnkuð. Ásett álag er margfaldað með báðum minnkunnarstuðlunum til að fá út lokagildi á notálagi. Þessi minnkuðu álagsgildi eru notuð í brotmarkafléttunum utan við jarðskjálftafléttuna. Tafla 4.7: Minnkað notálag skv. lækkunarstuðlum. Hæð Flokkur Álag Minnkað álag N - q [kn/m 2 ] α A α n q*α A *α n [kn] 16 H 1,0 0,92 1,00 0,92 15 B 3,0 0,92 1,00 2,75 14 B 3,0 0,92 1,00 2,75 13 B 3,0 0,92 0,90 2,48 12 B 3,0 0,92 0,85 2,34 11 B 3,0 0,92 0,82 2,26 10 B 3,0 0,92 0,80 2,20 9 B 3,0 0,92 0,79 2,16 8 B 3,0 0,92 0,78 2,13 7 B 3,0 0,92 0,77 2,11 6 B 3,0 0,92 0,76 2,09 5 B 3,0 0,92 0,75 2,08 4 B 3,0 0,92 0,75 2,06 3 B 3,0 0,92 0,75 2,05 2 B 3,0 0,92 0,74 2,04 1 C 5,0 0,92 1,00 4,58 36

47 4.4.3 Snjóálag Snjóálagið á þakinu, sem er hallalaust, er reiknað með eftirfarandi jöfnu: 2 2 = µ = 0,8 0,6 1 2,1 = 1,0 (4.6) i e t k s CCs kn m kn m Hér er µ i formstuðull snjóálagsins, s k grunngildi snjóálagsins á jörðinni, C e affoksstuðull og C t hitastuðull. Þessi gildi eru ákvörðuð út frá EC1-2-3 og þjóðarskjali Vindálag Vindálag var ákvarðað skv. EC1-2-4 og þjóðarskjali. Grunngildi vindhraða v fyrir ref,0 vind með 50 ára meðalendurkomutíma á Íslandi er 35,5 m s (einnig er v = 35,5 m/ s) og miðast við yfirborðsflokk II, þ.e. hrýfislengdina z ref 0 (m)=0,05 m. Þessi vindhraði samsvarar 37,1 m/s meðalvindi sem mældur er í 10 mínútur í 10 metra hæð yfir yfirborði jarðar miðað við hrýfislengdina z 0 (m)=0,03 m. Þessi vindhraðamæliaðferð er í samræmi við reglur Alþjóðlegu veðurstofunnar (WMO) og er oftast notuð á veðurathugunarstöðvum hér á landi. Fyrrnefnd gildi eru gefin í þjóðarskjali álagsstaðalsins. Hér var látið nægja að skoða vindáraun á langhliðar byggingarinnar því sú stefna hefur mest áhrif. Grunnvindþrýstingur er skilgreindur og reiknaður á eftirfarandi hátt, þar sem ρ er rúmþyngd lofts: 3 ρ 2 1, 25 kg / m 2 N kn q = v = (35, 5 m/ s) = 788 0, 79 (4.7) ref ref m m Vindþrýstingur er samsettur úr framlagi vindþrýstings vindmegin og hlémegin, hvort um sig er fundið á eftirfarandi hátt: w= q c ( z) c (4.8) ref e p Hér er c svokallaður formstuðull en hann tekur tillit til lögunar byggingar og c ( z ) p e er áhrifastuðull (e. exposure factor) sem tekur tillit til landslagsaðstæðna. Áhrifastuðullinn c er fundinn á eftirfarandi hátt: e c z c z c z ( ) = ( ) ( ) 1+ e r t k T c ( z) c ( z) r t (4.9) Hér er k = 0,18 skv. þjóðarskjali, c ( z ) = 1,0 er hitastuðull skv. staðli og c ( z ) er T t r hrýfisstuðull sem er reiknaður á eftirfarandi hátt: 37

48 c ( z) = k ln( z/ z ) (4.10) r T 0 Í þessari jöfnu er z 0 = 0,03m hrýfislengd skv. þjóðarskjali. Einnig má nefna að mögnunarstuðullinn c = 0,94. d Þrýsti- og sogsvæðin á langhliðunum skiptast í tvennt eftir hæð skv. EC1-2-4 og var skiptingin við 10. hæð byggingarinnar. Sameiginlegt vindálag þrýstings (jafna (4.8)) á framhlið og sogs á bakhlið var um 3,1 kn/m 2 í efri hlutanum en 2,8 kn/m 2 í neðri hlutanum (Mynd 4.11). Athyglivert er að framlag þessara vindkrafta til veltuvægis um botn hússins er meiri en framlag jarðskjálftakrafta til vægis. Einnig má nefna að heildarvindkraftur á bygginguna er um 6 % (5.184kN / kN) af þyngd byggingarinnar. Mynd 4.11: Vindálag á Höfðatorgsturn. Auk þess sem hér er komið fram; að vindur hafi meiri áhrif á burðarþolshönnunina en jarðskjálfti, þá er vindurinn það tíður að athyglivert væri að áætla áhrif hans á sveiflur byggingarinnar. Einna athygliverðast er að skoða þær sveiflur sem verða vegna vinds sem kemur fyrir nokkrum sinnum á ári. Sveiflutími byggingarinnar er langur og því er lægsta eigintíðnin á tíðnisviði vindsins. Af slíkum sveiflum gætu stafað talsverð óþægindi fyrir fólkið sem þar vinnur. Því væri áhugavert að gera hreyfðarfræðilega (e. dynamic) greiningu á áhrifum vinds á þessa byggingu Jarðskjálftaálag Stærð jarðskjálfta er gjarnan mæld á Richter-skala, en fleiri stærðarskalar eru þó til. Einnig eru til áhrifaskalar sem lýsa staðbundnum áhrifum jarðskjálfta. Þekktasti áhrifaskalinn er Mercalli-skalinn (Naeim, 1989: 19). Við hönnun bygginga er venja að nota útgildi láréttrar hröðunar til að skilgreina jarðskjálftaálag. Lárétt hröðun er oftast metin sem hlutfall af þyngdarhröðun. 38

49 Mynd 4.12 sýnir hönnunarróf jarðskjálfta í Reykjavík og á Selfossi fyrir klöpp (jarðvegsflokkur A) byggt á EC8. Hegðunarstuðull er q = 1, 6. Rætt er um myndun rófa í kafla Um er að ræða róf sem eru kvörðuð með grunngildum hröðunar sem er 0,1 g í Reykjavík og 0,4 g á Selfossi byggt á hröðunarkorti í þjóðarskjali (sjá heimildaskrá). Mesta svörunin er í báðum tilvikum fyrir eiginsveiflutíma á bilinu 0,15-0,4 s en fer svo ört lækkandi með hækkandi eiginsveiflutíma. Fyrsti sveiflutími byggingarinnar er um 1,5 s, þá er svörunin minni en helmingur hámarkssvörunar. Af þessari ástæðu er tvíbent að gera bygginguna stífari og minnka sveiflutímann, þá eykst svörunin að sama skapi. Hönnunarróf RVK og Selfoss Hönnunarhröðun [hlutfall af g] 0,7 0,65 0,6 0,55 0,5 0,45 0,4 0,35 0,3 0,25 0,2 0,15 0,1 0,05 0 Hönnunarróf SELFOSS Hönnunarróf RVK 0 0,5 1 1,5 2 Sveiflutími [s] Mynd 4.12: Hönnunarróf fyrir Reykjavík og Selfoss. Mynd 4.13 sýnir hröðunarkort fyrir Reykjavík og staðsetningu Höfðatorgs. Ofan gulu skálínunnar er 10 % g en neðan hennar 15 % g. Kortin sýna lárétta hönnunarhröðun í jarðskjálfta sem séu 10 % líkur á að verði yfirstigin á 50 ára tímabili; eða á líftíma eins húss. Þetta er talið ásættanlegt öryggi og samsvarar 475 ára meðalendurkomutíma. 39

50 4.5 Álagsfléttur Mynd 4.13: Þyngdarhröðun Reykjavík sem hlutfall af g Notmarkafléttur Notmarkaástand tekur aðeins til niðurbeygja platna, sem við förum ekki mikið út í hér. Kannað var hvort hægt væri að nota þá þykkt af kúluplötu sem valin var, eða 285 mm, og þá var notmarkaflétta notuð. Það reyndist mögulegt að uppfylla skilyrðin sem byggingarreglugerð (gr ) setur varðandi hámarksniðurbeygjur. Notmarkafléttan sem skoðuð var er skrifuð í jöfnu (4.11): G " + " P " + " Q " + " ψ Q (4.11) kj k k1 0i ki j 1 i> 1 Fyrsti liðurinn er eiginálag, annar liðurinn er álag í forspenntum einingum (sem við höfum ekki), þriðji liðurinn er aðal breytilegt álag (e. main variable action) sem er hjá okkur notálag. Fjórði liðurinn er auka breytilegt álag (e. accompanying variable action). Við höfum ekki neitt auka breytilegt álag sem hefur áhrif á niðurbeygju gólfa að undanskildu snjóálagi sem aðeins hvílir á þaki hússins. Vindálag og snjóálag er því ekki hluti af notmarkafléttunni. Hér er notað fullt notálag án lækkunarstuðla. Fléttan verður: Brotmarkafléttur 1 EIGIN " + "1 NOT (4.12) Hér eftir fer álagsflétta fyrir brotmarkaástand (EC1-1 - Jafna 9.10): 40

51 γ G " + " γ P " + " γ Q " + " γ ψ Q (4.13) Gj kj P k Q1 k1 Qi 0i ki j 1 i> 1 Í þessari fléttu er fyrsti liðurinn eiginálag, γ er álagsstuðull, annar liðurinn er álag í forspenntum einingum (ekki notað hér), sá þriðji er aðal breytilegt álag og fjórði liðurinn er auka breytilegt álag (e. accompanying variable acion). Byrjum á því að skoða notálag sem aðal breytilegt álag og vind sem auka breytilegt álag: 1, 35 EIGIN " + "1, 5 NOT " + "0, 9 VINDUR (4.14) Hér notum við notálag með lækkunarstuðli skv. umfjöllun í kafla Stuðulinn við vindálagið fáum við, því γ ψ = 1, 5 0, 6 = 0, 9. Þar sem augljóst er að áhrif snævar í 0 svo hárri byggingu eru lítil sem engin, þá er álagsfléttu með snjó sleppt. Þegar við lítum á vindinn sem aðal breytilegt álag og notálag sem auka breytilegt álag þá fáum við eftirfarandi fléttu: 1, 35 EIGIN " + "1, 5 VINDUR" + "1, 05 NOT (4.15) Stuðulinn við notálagið fáum við, því að γ ψ = 1, 5 0, 7 = 1, Jarðskjálftafléttur Hér eftir fer álagsflétta fyrir jarðskjálftaálag (sem einnig er brotmarkaflétta) (EC1-1 - Jafna 9.12): G " + " P " + " γ A " + " ψ Q (4.16) kj k I Ed 2i ki j 1 i 1 Í þessari fléttu er fyrsti liðurinn eiginálag, annar liðurinn er álag í forspenntum einingum (ekki notað hér), þriðji liðurinn jarðskjálftaálag og fjórði liðurinn er breytilegt álag. Breytilega álagið getur aðeins verið notálag í okkar tilfelli þar sem bæði vindálag og snjóálag hefur ψ = 0. Enda er nánast útilokað líkindafræðilega að 2 vindur með 50 ára meðalendurkomutíma og jarðskjálfti með 475 ára meðalendurkomutíma hendi samtímis. Skv. EC8 (grein 4.2.4) er fléttustuðullinn í síðasta liðnum margfaldaður með stuðlinum ϕ =0,8 sem tekur tillit til tengdrar notkunar hæðanna (að þær hafi samtímanotkun). Jarðskjálftafléttan verður því: 1 EIGIN " + "1,0 A " + "0,8 0,3 NOT (4.17) Ed Hér er γ = 1, 0 fyrir byggingar af mikilvægisflokki III (venjuleg bygging) A I Ed er hönnunarjarðskjálftaálag (samtímis í x-stefnu og y-stefnu) og ψ = 0,3 fyrir breytilegt 2 álag. 41

52 4.6 Eiginsveiflugreining Grunnsveiflutími byggður á EC8. Til að áætla fyrsta ráðandi sveiflutíma (x-átt í Höfðatorgi) gefur EC8 okkur tvær aðferðir. Sú fyrri á reyndar bara við um byggingar sem eru innan við 40 m á hæð, þótt Höfðatorgsturninn sé um 55 m (ofan jarðar), fylgir aðferðin hér: T = C H = m = s (4.18) 3/4 3/4 0,075 (55 ) 1,51 1 t Gildið C er reiknað gildi sem notað er fyrir skúfveggjabyggingar (EC (4)). t Hin síðari felst í því að nota láréttar fjaðurfræðilegar færslur á toppi byggingarinnar sem verða vegna þyngdarkraftsálags (1 eiginþyngd + 0,3 notálag) er verkar lárétt á hana. Hér var notast við færslu massamiðju þaksins. Þá fæst: T = 2 d = 2 0,0176m = 1, 46s (4.19) 1 Eins og sést liggja þessir sveiflutímar í kringum 1,5 sekúndur en það er einmitt gildið sem tölvan skilar úr eigingildisgreiningu eða T 1 = 1, 49s eins og sést í töflu hér aðeins aftar (Tafla 4.8). Því má segja að í þessu tilviki hafi nálgunarformúlurnar verið mjög nærri réttu gildi fyrsta sveiflutímans. Hins vegar er ljóst að þessi nálgunarformúla á einnig við um útfærsluna með hefðbundnum 200 mm plötum og í 330 mm plötum en í báðum þeim tilfellum var fyrsti sveiflutíminn T = 1, 63s Sveiflugreining byggð á einingaraðferðinni Reiknilíkan með kúluplötum Reiknilíkanið í ETABS var notað til að finna 25 fyrstu sveifluform byggingarinnar. Í raun er óþarfi að taka svo mörg sveifluform með í greininguna, en út frá sveifluformunum sjálfum má áætla hve mörg þeirra eru í raun nauðsynleg. Ákveðnar lágmarkskröfur eru settar í staðlinum (EC8: ) varðandi nauðsynlegan fjölda sveifluforma sem nota á í svörunarrófsaðferðinni þannig að hún sé marktæk. Þar þarf annaðhvort 90 % massans í hvora átt fyrir sig að vera örvaður eða að sérhvert sveifluform sem leggur til meira en 5 % sé innifalið. Þar sem þetta er uppfyllt með 8 fyrstu sveifluformunum þurfum við hvorki að uppfylla fleiri skilyrði né reikna með fleiri sveifluformum. Þrátt fyrir þessar lágmarkskröfur eru samt 25 sveifluform notuð í þessari greiningu. Tafla 4.8 sýnir fyrstu 10 sveifluformin fyrir reiknilíkan með kúluplötu. Þar sjáum við sveiflutímana og hve mikinn hluta massans sveifluformin örva í hvora átt fyrir sig. Gerð er sú nálgun að engin örvun eigi sér stað í lóðrétta 42

53 stefnu enda heimild fyrir slíkri nálgun í EC8 að ákveðnum skilyrðum uppfylltum (EC (1)). Tafla 4.8 sýnir hlutfall örvaðs massa sem snýst um höfuðásana og einnig uppsöfnuð (e. cumulative) gildi örvaðs massa. Þessi gildi má einnig lesa af línuriti hér að neðan (Mynd 4.15). Mynd 4.14 sýnir höfuðása byggingarinnar x, y og z. Tafla 4.8: Sveifluform, sveiflutímar og hlutfall örvaðs massa [í %] eftir áttum og snúning um ása fyrir kúluplötur. Form Tími UX UY ΣUX ΣUY RX RY RZ ΣRX ΣRY ΣRZ 1 1,490 47,09 0,66 47,09 0,66 1,04 73,55 13,90 1,04 73,55 13,90 2 1,308 1,31 57,66 48,40 58,32 94,24 2,10 0,20 95,29 75,65 14,10 3 0,538 11,29 0,57 59,69 58,88 1,18 20,76 52,36 96,47 96,40 66,45 4 0,410 14,18 0,10 73,87 58,98 0,05 2,67 0,21 96,52 99,08 66,67 5 0,300 0,06 15,80 73,93 74,78 2,21 0,00 0,01 98,74 99,08 66,68 6 0,202 2,87 0,00 76,80 74,78 0,00 0,22 2,12 98,74 99,29 68,79 7 0,146 8,41 0,01 85,21 74,79 0,00 0,47 9,24 98,74 99,76 78,03 8 0,134 0,07 6,00 85,29 80,79 0,64 0,00 0,00 99,37 99,77 78,03 9 0,124 0,68 0,10 85,97 80,89 0,01 0,03 2,58 99,38 99,79 80, ,089 1,36 0,00 87,34 80,89 0,00 0,04 0,74 99,39 99,83 81,36 Fyrstu þrjú sveifluformin eru mjög hrein og falleg (Tafla 4.8). Fyrsta sveifluformið, sem hefur sveiflutímann 1,49 s, nær að örva um 47 % massans í x-stefnu (UX) og eins og sjá má einnig um 74 % með snúningi (e. rotation) um y-ás (RY). Einnig er einhver vinda um lóðrétta ásinn. Þetta er í góðu samræmi við þá staðreynd að bygging sem er að miklu leyti með veggjakjarna öðru megin og súlur hinum megin fái á sig vindu þegar láréttur kraftur verkar hornrétt á langás hennar. Í öðru sveifluformi á sveiflutímanum 1,31 s örvast um 58 % massans í y-stefnu sé litið til höfuðáttanna en 94 % um x-ásinn sé litið á snúning. Þriðja sveifluformið með sveiflutímann 0,54 s er að mestu leyti vinda um lóðrétta ásinn, eða 52 % prósent massans sem snýst um hann. Fjórða sveifluformið er aðallega færsla í x-stefnu og það fimmta í y-stefnu. Séu aðalatriðin tekin saman má segja að fyrsta sveifluformið sé virkast í x-átt, annað í y-átt og að hið þriðja sé virkast m.t.t. vindu. 43

54 Mynd 4.14: Höfuðásar byggingarinnar Mynd 4.15 sýnir hlutfall örvaðs massa í tvær meginstefnur líkansins þegar kúluplötur eru notaðar. Þar sést að jarðskjálftinn nær með fáum sveifluformum að örva mikinn hluta massans í hvora meginátt fyrir sig. Hlutdeildarstuðull 100 Örvað hlutfall massa byggingar X-hlutdeild Y-hlutdeild Sveifluform Mynd 4.15: Hlutfall örvaðs massa í hvora meginstefnu sem fall af fjölda sveifluforma þegar kúluplötur eru notaðar. 44

55 Mynd 4.16: Fyrsta sveifluform Höfðatorgsturns með kúluplötum. Mynd 4.17: Þriðja sveifluform Höfðatorgsturns með kúluplötum (vinda). Myndirnar hér á undan (Mynd 4.16 og Mynd 4.17) sýna fyrsta og þriðja sveifluform byggingarinnar fyrir kúluplötuútfærsluna. Færslurnar eru ýktar til auðveldara sé að greina form sveiflunnar. Í báðum tilvikum er horft á byggingarnar að sunnan Reiknilíkan með hefðbundnum plötum og T-bita Tafla 4.9 sýnir niðurstöður fjölforma sveiflugreiningar Höfðatorgsturns með hefðbundinni staðsteyptri plötu með T-bitum (sjá nánar í kaflagrein 4.2.3). Taflan sýnir fyrstu 5 sveifluform hefðbundinnar 200 mm plötu með T-bitum. 45

56 Tafla 4.9: Sveifluform, sveiflutímar og hlutfall örvaðs massa [í %] eftir áttum og snúning um ása fyrir hefðbundnar 200 mm plötur. Form Tími UX UY ΣUX ΣUY RX RY RZ ΣRX ΣRY ΣRZ 1 1,626 46,00 0,80 46,00 0,80 1,29 71,93 14,89 1,29 71,93 14,89 2 1,492 1,53 57,21 47,53 58,01 93,78 2,44 0,14 95,07 74,37 15,03 3 0,558 12,11 0,65 59,64 58,66 1,22 21,94 51,59 96,29 96,31 66,62 4 0,446 14,29 0,05 73,94 58,71 0,05 2,76 0,32 96,33 99,07 66,94 5 0,327 0,02 16,12 73,96 74,83 2,40 0,00 0,04 98,73 99,07 66,98 Ekki er um mikinn mun að ræða á milli sveifluforma fyrir reiknilíkan með kúluplötum og reiknilíkan með hefðbundnum plötum. Sveiflutímarnir eru lítið eitt hærri en hlutföllin halda sér nokkurn veginn. Í raun er eina merkjanlega breytingin að sveiflutímarnir hafa allir aukist um 4-14 %. Fyrsti sveiflutíminn er orðinn 1,63 s, annar er orðinn 1,49 s og sá þriðji 0,56 s. Ástæðan fyrir þessari aukningu er að heildarmassinn er orðinn meiri ásamt því að stífnin er orðin minni. Þetta er útskýrt nánar í kafla Reiknilíkan með þykkri hefðbundinni plötu Í kafla er komið með aðra lausn á gólfkerfi, sem er 330 mm hefðbundin staðsteypt plata án bita og gefur hún eftirfarandi niðurstöður 5 fyrstu sveifluforma: Tafla 4.10: Sveifluform, sveiflutímar og hlutfall örvaðs massa [í %] eftir áttum og snúning um ása fyrir hefðbundnar 330 mm plötur. Form Tími UX UY ΣUX ΣUY RX RY RZ ΣRX ΣRY ΣRZ 1 1,624 49,97 0,21 49,97 0,21 0,33 76,80 13,06 0,33 76,80 13,06 2 1,371 0,60 59,21 50,57 59,43 95,36 0,99 0,33 95,69 77,78 13,39 3 0,580 9,11 0,47 59,68 59,89 1,00 18,27 54,11 96,69 96,06 67,50 4 0,452 15,24 0,08 74,92 59,98 0,05 3,06 0,00 96,74 99,12 67,50 5 0,325 0,03 15,56 74,95 75,54 2,03 0,00 0,00 98,77 99,12 67,50 Þessi sveifluform eru mjög svipuð þeim fyrir 200 mm gólfplötu, nema að annar og þriðji sveiflutímar hafa breyst. 4.7 Svörun byggingar Skúfkraftar Þegar jarðskjálfti verður og lárétt hröðun verkar á botn bygginga, þá verða þær fyrir skúfkröftum sem dreifast eftir hæðum bygginganna. Til eru aðferðir til að gefa dreifingu skúfkraftanna milli hæða. Fjölforma svörunarrófsaðferð er dæmi um slíka aðferð. Einnig gefur aðferð jafngilds stöðukrafts okkur tvo aðra möguleika til að nálga dreifingu skúfkraftanna (kafli 2.1.3). 46

57 Mynd 4.18 sýnir samanburð á því hvernig dreifingin er á skúfkröftum sem hver hæð leggur til skv. svörunarrófsaðferð (RSP) og aðferð jafngilds stöðukrafts (JSK), jafnvel þótt byggingin uppfylli ekki skilyrði sem leyfir notkun þeirrar síðarnefndu. Hér er miðað við álag í x-stefnu byggingar sem er krítískari hvað færslur varðar. Gildin sem táknuð eru með JSK gefa nálgun á skúfkraftadreifingu á milli hæða en gildin merkt RSP eru þau sem fást úr fjölforma svörunarrófsgreiningu síðarnefndu gildin eru nákvæmari. Jarðskjálftakraftur sem verkar á hverja hæð í hönnunarjarðskjálfta í Reykjavík STORY15 STORY13 STORY11 STORY09 STORY07 STORY05 STORY03 JSK RSP STORY01 BASEM Jarðskjálftakraftur [kn] Mynd 4.18: Samanburður framlags skúfkrafts hverrar hæðar í x-stefnu skv. aðferðum jafngilds stöðukrafts (JSK) og svörunarrófsaðferð (RSP). Með því að setja inn í jöfnu (2.30) fáum við F = 5650kN sem heildarskúfkraft fyrir b aðferð jafngilds stöðukrafts. Aftur á móti gefur fjölforma svörunarrófsaðferð okkur F = 3617kN. Aðferð jafngilds stöðukrafts gefur okkur því 56 % meiri b heildarskúfkraft heldur en fjölforma svörunarrófsaðferðin. Hönnunin verður mun nákvæmari með því að nota fjölforma svörunarrófsaðferð. Mynd 4.19 sýnir uppsöfnuð gildi skúfkrafts á hæðum Höfðatorgsturnar, sem eru raunveruleg gildi skúfkrafts á hverri hæð samkvæmt svörunarrófsaðferð og er því í samræmi við bláu gildin á fyrri mynd (Mynd 4.18): 47

58 STORY17 STORY15 STORY13 STORY11 STORY09 STORY07 STORY05 STORY03 STORY01 BASEM02 Skúfkraftur á hverri hæð í x-stefnu í hönnunarjarðskjálfta í Reykjavík skv. RSP Skerkraftur [kn] JSK RSP Mynd 4.19: Uppsafnaður skúfkraftur í x-stefnu skv. fjölforma svörunarrófi. Tafla 4.11 sýnir hlutfall örvaðs massa vegna fyrstu 15 sveifluforma Höfðatorgsturns. Síðustu tveir dálkarnir í töflunni tákna E úr jöfnu (2.31). Prósentutölurnar neðst eru Ei hlutfall af þyngdarhröðun sem margfaldast með þyngd byggingar til að fá út heildarskúfkraft. Hröðunargildin eru fengin úr svörunarrófi fyrir jarðskjálfta í Reykjavík (Mynd 4.34). Á myndinni sjáum við að heildarskúfkraftur í veikari stefnu byggingar (x-stefna) er kominn upp í 4,31 % af þyngd byggingar eftir 15 fyrstu sveifluformin. Ljóst er að hlutfallið mun ekki aukast sem nemur miklu þar sem veldisáhrifin eru svo mikil. Heildarskúfkraftur sem verkar á 200 mm bitaplötuútfærslu turnsins verður F = 3784kN í hönnunarjarðskjálfta í Reykjavík í x-stefnu skv. fjölforma b svörunarrófsaðferð. Heildarskúfkrafturinn fyrir 330 mm plötuna verður F = 4511kN. Álagsfléttan sem notuð er til að finna jarðskjálftaþyngd b byggingarinnar er jafna (4.17). Þyngdar- og skúfkraftsgildin fyrir þrjár útfærslur á Höfðatorgsturni eru sett fram í súluriti (Mynd 4.20). Öll skúfkraftsgildin eru um 4,0-4,2 % af heildarjarðskjálftakrafti hverju sinni. 48

59 Tafla 4.11: Fyrstu 15 sveifluform kúluplötuútfærslu Höfðatorgsturns og útreikningur á E Ei. Sv.form Sv.tími Massahlutfall Hröðun E Ei 2 E Ei [s] UX [%] UY [%] α g α g *ux α g *uy (α g *ux) 2 (α g *uy) 2 1 1,49 47,09 0,66 0,065 3,06 0,04 9,37 0,00 2 1,31 1,31 57,66 0, ,09 4,11 0,01 16,88 3 0,54 11,29 0,57 0, ,48 0,07 2,20 0,01 4 0,41 14,18 0,10 0,155 2,20 0,02 4,83 0,00 5 0,30 0,06 15,80 0, ,01 2,47 0,00 6,09 6 0,20 2,87 0,00 0, ,45 0,00 0,20 0,00 7 0,15 8,41 0,01 0, ,31 0,00 1,73 0,00 8 0,13 0,07 6,00 0, ,01 0,94 0,00 0,88 9 0,12 0,68 0,10 0, ,11 0,02 0,01 0, ,09 1,36 0,00 0,155 0,21 0,00 0,04 0, ,08 0,08 0,08 0,1525 0,01 0,01 0,00 0, ,08 0,00 3,56 0,1525 0,00 0,54 0,00 0, ,07 2,82 0,00 0,15 0,42 0,00 0,18 0, ,07 0,54 0,01 0,15 0,08 0,00 0,01 0, ,07 0,07 0,16 0,15 0,01 0,02 0,00 0,00 4,31 4,91 % a g % a g Þyngd og skúfkraftur Þyngd Þyngd Þyngd kn Skúfkraftur Skúfkraftur Skúfkraftur Kúluplötur Bitaplötur 200 mm Hefðb. 330 mm plötur Plötugerð Mynd 4.20: Samanburður á heildarjarðskjálftaþyngd og skúfkrafti fyrir þrjár útfærslur Höfðatorgsturns í jarðskjálfta í x-stefnu. 49

60 4.7.2 Færslur Láréttar færslur vegna jarðskjálfta Þrátt fyrir að vindur hafi meiri áhrif en jarðskjálfti á hönnun lóðrétts burðarkerfis byggingarinnar þá hefur jarðskjálftinn hér meiri áhrif á hliðarfærslurnar. Hönnunarróf er búið til út frá staðbundnu fjaðurfræðilegu svörunarrófi fyrir hönnunarjarðskjálfta í Reykjavík (kafli 2.1.4). Notaður er sérstakur hegðunarstuðull q til að minnka kraftáraunina á mannvirkið sem fjaðurfræðilega svörunarrófið gefur, þar sem tekið er tillit til ólínulegra áhrifa. Ólínulegu áhrifin geta stafað af myndun flotliða, núningi í tengingum o.fl. Sé stuðullinn q = 1 er bygging algjörlega á fjaðursviði. Höfðatorgsturninn hefur hegðunarstuðulinn q = 1, 6. Með því að nota hönnunararófið fást færslur sem eru um 1,6 sinnum minni en þær gætu verið ef byggingin hagaði sér fjaðurfræðilega. Þess vegna eru færslurnar margfaldaðar með q til að fá fjaðurfræðilegar færslur, sem væru mestu mögulegar færslur ef engin ólínuleg áhrif væru til staðar. Mestu færslur hæða vegna hönnunarjarðskjálfta í Reykjavík Hæðir Hefbundnar bitaplötur Kúluplötur KJ Færslur [mm] Mynd 4.21: Samanburður á færslum hæða þegar ólíkar gólfplötur eru notaðar vegna hönnunarjarðskálfta í Reykjavík. 50

61 Vegna vinduáhrifa er ljóst að mestu jarðskjálftafærslurnar verða í nyrðsta hluta byggingarinnar í x-stefnu. Þessar færslur verða bornar saman við leyfilegar færslur í evrópustaðlinum og í íslenskri byggingarreglugerð, annars vegar fyrir áraun sem miðast við Reykjavík og hins vegar við áraun sem miðast við Selfoss. Mynd 4.21 sýnir færslur hæðanna vegna jarðskjálfta með 475 ára meðalendurkomutíma í Reykjavík. Mynd 4.22 sýnir sams konar færslur ef byggingin er staðsett á Selfossi. Bornar eru saman færslur hæðanna, annars vegar fyrir hönnun með kúluplötum (285 mm og 16 kn/m 3 ) og hins vegar með hefðbundnum staðsteyptum plötum (200 mm og 25 kn/m 3 ) með bitakerfi. Gólfplatan sem er 330 mm þykk mun ekki verða tekin til samanburðar í kaflanum um færslur. Mestu færslur hæða vegna hönnunarjarðskjálfta á Selfossi Hæðir Hefbundnar bitaplötur Kúluplötur KJ Færslur [mm] Mynd 4.22: Samanburður á færslum hæða þegar ólíkar gólfplötur eru notaðar vegna hönnunarjarðskálfta á Selfossi. Byggingarreglugerð (gr ) gefur hámarkshliðarfærslur hæða á eftirfarandi hátt: H 0 62m Hliðarfærsla = = = 124mm (4.20) Hér er H 0 heildarhæð byggingarinnar sem er um 62 metrar þegar kjallararnir eru teknir með. Því er leyfð hliðarfærsla skv. byggingarreglugerð alls 124 mm. Eins og sjá má (Mynd 4.21) er þessari kröfu hvorki fullnægt í Reykjavík né á Selfossi, þar sem hliðarfærslurnar eru fjórum sinnum meiri en í Reykjavík. Því þyrfti annaðhvort að 51

62 stífa bygginga af eða nýta heimild byggingarreglugerðar til að skila sérstakri greinargerð um formbreytingar í því tilviki að byggingin sé í Reykjavík. Óþarfi er að reyna slíkt á Selfossi þar sem hliðarfærslurnar eru allt of miklar af völdum jarðskjálfta. Í slíkri greinargerð þyrfti að sýna að burðarvirkið og byggingin í heild myndi þola formbreytinguna, þá m.a. að formbreytingar valdi ekki skemmdum á öðrum byggingarhlutum, t.d. glerinu, og að formbreytingin valdi ekki vanlíðan fólks. Ekki er um sömu láréttar færslur að ræða í suðurenda byggingar og í norðurenda hennar. Mynd 4.23 sýnir áhrif misskiptingar stífni í plani á láréttar færslur byggingar: Mynd 4.23: Áhrif vindu á færslur (Naeim: 1989, 156). Myndin minnir óneitanlega á planmynd Höfðatorgsturnsins (Mynd 4.24). Því meir sem gólfið kragar út hornrétt á láréttan kraft án stífandi veggja, því meiri er færslan samsíða kraftinum vegna vinduáhrifa. Færslurnar vaxa í öðru veldi með lengd útkragandi gólfs m.v. lengd gólfs hjá skúfveggjum. Þetta er að sjálfsögðu nálgun. Þessi sérstaka lögun byggingarinnar hefur þ.a.l. áhrif á vindu hennar. Því leggur höfundur af stað með ákveðnar áhyggjur af áhrifum vindu. Mynd 4.24 sýnir hvernig jarðskjálftaálag í x-stefnu (austur-vestur) myndar mismiklar færslur í x-átt í stífnimiðju og í punkti í nyrðri endanum. Í stífnimiðju er færslan um 14 mm en um 70 mm þar sem færslurnar eru mestar í norðurenda. Munurinn er 56 mm sem dreifist á þá 30 m sem fjarlægðin er á milli punktunna. Þetta jafngildir snúningi sem er 0,11. Út frá þessum hágildum færslna má nálga hágildi hröðunar með því að miða við að hreyfing gólfs fylgi sínus-falli, þ.e.: v = A sin( ω t) = A sin(2 π f t) (4.21) Hér er A hámarksfærsla, f er tíðni fyrsta sveifluforms (1/s) og t er tíminn (s). 52

63 Mynd 4.24: Færslur stífnimiðju og punkts í norðurenda. Til að meta hröðun í sama punkti og gefur færsluna v, þá reiknum við tímaafleiðu færslunnar: 2 4 ( π ) sin(2 π ) (4.22) a = v = A f f t Þar sem hámark hröðunar skiptir hér aðeins máli, þá verður jafnan eftirfarandi: 2 { a} A π f max = 4 ( ) (4.23) Sú hröðun sem um ræðir í jöfnu (4.23) er lárétt hröðun hæðanna. Fyrrnefnd gildi fyrir efstu hæð byggingarinnar sjáum við í töflu í næsta undirkafla (Tafla 4.13) ásamt samskonar gildum fyrir hin gólfkerfin bæði fyrir jarðskjálfta í Reykjavík og á Selfossi og fyrir vind. Ekki er nóg að fullnægja kröfu byggingarreglugerðar um hámarkshliðarfærslu heldur þarf einnig að sjá til þess að færslur hverrar hæðar uppfylli evrópustaðla. Þessar 53

64 færslur kallast mismunafærslur og eru fengnar með því að draga heildarfærslur hverrar hæðar frá heildarfærslum hæðar sem er fyrir neðan. Mynd 4.25 sýnir mismunafærslur í x-stefnu sem fall af hæð. Mismunafærslur kúluplatna vegna jarðskjálfta í Reykjavík Hæðir KJ Færslur [mm] Mynd 4.25: Færslur hverrar hæðar í hönnunarjarðskjálfta í Reykjavík. Jarðskjálftastaðallinn (EC8: ) gerir eftirfarandi kröfu til mismunafærslna: dv 0,005h (4.24) r Hér er d r fjaðurfræðilegar mismunafærslur, v er lækkunarstuðull sem tekur tillit til lengri endurkomutíma jarðskjálfta sem veldur skemmdum á byggingareiningum sem eru ekki berandi, og h er hæð hverrar hæðar byggingarinnar. Jafnan gefur okkur eftirfarandi hámarkskröfu á mismunafærslu hverrar hæðar: 0,005h 0, mm d = = 34mm (4.25) r v 0,5 Hér var algengasta hæð hæðanna sett inn fyrir h og v sett sem 0,5 skv. staðli. Mynd 4.25 sýnir að þessi krafa er uppfyllt og engar mismunafærslur verða meiri en 11 mm. Byggingarreglugerðin setur kröfu um að hámarkshliðarfærsla hverrar hæðar yfirstígi ekki H /400 þar sem H er hæð hverrar hæðar nema að skilað sé inn sérstakri 54

65 greinargerð um formbreytingar. Þar sem H / 400 = 3420 mm / 400 = 8,55mm, þá þarf þessi greinargerð að fylgja með. Evrópustaðallinn gerir aðra kröfu þar sem mismunafærslur spila stórt hlutverk (EC8: ). Þetta snýst um hvort gera þurfi P- greiningu (2. gráðu áhrif) á byggingunni eða ekki. Sé jafna (4.26) uppfyllt er P- greining óþörf: P d tot r θ = 0,10 V h tot (4.26) Þetta gildi er samsett úr lóðréttu álagi (P tot ), mismunafærslu (d r ), skúfkrafti (V tot ) og hæð hverrar hæðar (h). Í töflu sem birt er hér fyrir neðan (Tafla 4.12) sést á hvaða hæð stuðullinn θ hefur hvaða gildi. Stuðullinn nær því aðeins að verða 57 % af mörkunum ef kúluplata er notuð og 65 % þegar hefðbundin plata með bitum er notuð. Því er í hvorugu tilfellinu nauðsynlegt að fara í P- greiningu. Tafla 4.12: Stuðullinn θ sem hlutfall af 0,1 fyrir bygginguna staðsetta í Reykjavík með og án kúluplatna. Kúlupl. (285mm) Hefðb. bitaplata (200mm) Hæð θ (hlutfall af 0,1) θ (hlutfall af 0,1) 16 17% 20% 15 19% 23% 14 23% 27% 13 27% 32% 12 32% 38% 11 38% 44% 10 43% 51% 9 48% 55% 8 51% 60% 7 55% 63% 6 56% 65% 5 57% 64% 4 55% 63% 3 52% 58% 2 45% 50% 1 32% 37% KJ1 4% 4% KJ2 2% 2% 55

66 Láréttar færslur vegna vinds Vindur hefur öðruvísi áhrif á færslur byggingarinnar en jarðskjálftar og hefur þar vindálagsflöturinn mest að segja. Tafla 4.13 sýnir lárétta hámarksfærslu og -hröðun efstu hæðar Höfðatorgsturnsins fyrir jarðskjálfta í Reykjavík og á Selfossi og fyrir vind. Tafla 4.13: Hámarksfærsla, -vinda og -hröðun hágildispunkts og stífnimiðjupunkts byggingar á efstu hæð með mismunandi gólfkerfum í jarðskjálfta (RVK og SEL) og í vindi. Tilvik Innri færslur [mm] Vinda Hröðun [g] Stífnim. Norðurp. [ ] Stífnim. Norðurp. Kúluplötur (RVK) ,21 5,1% 25,4% Hefðb. 200 mm (RVK) ,25 4,7% 28,6% Hefðb. 330 mm (RVK) ,24 5,8% 28,2% Kúluplötur (SEL) ,85 20,3% 101,0% Hefðb. 200 mm (SEL) ,98 20,6% 113,4% Hefðb. 330 mm (SEL) ,93 23,5% 111,9% Kúluplötur (hönn.vindur) ,17 4,7% 20,8% Hefðb. 200 mm (h.vindur) ,19 4,7% 22,5% Hefðb. 330 mm (h.vindur) ,15 4,5% 18,3% Kúluplötur (25 m/s vindur) ,08 2,1% 9,4% Hefðb. 200 mm (25 m/s) ,08 2,1% 10,1% Hefðb. 330 mm (25 m/s) ,07 2,0% 8,2% Á töflunni sést að vindan í byggingu hefur í för með sér mikinn mun á láréttri hröðun eftir því hvar í plani byggingar viðkomandi er. Hröðun plötunnar getur verið allt að 5 sinnum meiri í nyrðri hluta hennar (í hágildispunkti) heldur en í stífnimiðju. Í töflunni sést að mesta hröðun sem verkar á 16. hæð í kúluplötukerfi í jarðskjálfta í Reykjavík er um fjórðungur af þyngdarhröðun jarðar. Þetta er því sveiflumögnun upp á stuðulinn 2,5. Litlu meiri hröðun er í hinum gólfkerfunum. Af öðrum hluta töflunnar að dæma yrði þessi bygging aldrei reist á Selfossi þar sem fólk og húsgögn myndu kastast til og hendast veggja á milli. Þar er lárétt hröðun sem nemur 1-12 % umfram g, allt eftir tegund gólfkerfis. Sama tafla birtir einnig niðurstöður hvað varðar hröðun vegna vinds. Þar er athyglivert að fyrir kúluplötur yrði reiknileg mesta hröðun í þeim vindi sem kemur fyrir 2-3 sinnum á ári allt að 9,4 % g. Eins og mynd á bls. 58 gefur til kynna (Mynd 4.27) er sú hröðun flokkuð sem mjög óþægileg. Þessi láréttu hröðunargildi eru hins vegar byggðar á mesta útslagi byggingar ef byggingin myndi sveiflast frjálst. Hún gerir það aftur á móti ekki þar sem vindurinn er tiltölulega stöðugur í eina vindátt og frávik vindhraðans ekki mjög mikil. Því má segja að frjálsum sveiflum af völdum vindsins séu settar ákveðnar skorður vegna stöðugleika vindsins. 56

67 Áhugavert að skoða áhrif vinds á færslur byggingarinnar. Vindurinn er tíðari en jarðskjálftar í eðli sínu. Það kemur t.d. oftar fyrir að vindálag nái helming hönnunarvinds en að jarðskjálftaálag nái helming hönnunarjarðskjálftaálags. Mynd 4.26 sýnir mestu gólffærslu vegna vindálags. Færslurnar eru í kringum 120 mm og munar litlu hvaða gólfkerfi er notað (þ.e. 285 mm kúluplötur eða 200 mm hefðb. plata með bitum). Í Reykjavík er ekki fjarri lagi að vindur með meðalhraðann 25 m/s komi fyrir tvisvar til þrisvar sinnum á ári. Vindstaðallinn (EC1-2-4: Jafna 7.1) gefur okkur að vindþrýstingur er háður vindhraða í öðru veldi. Færslur í vindi eru síðan háðar vindþrýstingi. Af þessum ástæðum getum við áætlað færslur í 25m svindi á eftirfarandi hátt: 2 2 = v (25 m s) 120mm 54mm hönnun v = (37,1 m s) = (4.27) 2 2 hönnun Þrýstingurinn er um 45 % af þeim þrýstingi sem hönnunarvindur gefur og því eru færslurnar það líka, þ.e. í kringum 54 mm nyrðst á efstu hæð. Mestu mögulegu hröðun munum við finna með því að beita jöfnu (4.23). Ástæðan fyrir þessari könnun er að meta hve óþægilegt það er að vera á efstu hæð í Höfðatorgsturninum þegar slíkur vindur geisar. Mestu færslur hæða vegna hönnunarvinds Hæðir KJ2 Hefbundnar plötur Kúluplötur Færslur [mm] Mynd 4.26: Mestu færslur vegna hönnunarvinds. 57

68 Áhrifin af vindinum eru ekki aðeins á bygginguna heldur líka á fólkið sem í byggingunni er. Áhrifin eru ekki aðeins eðlisfræðileg heldur einnig sálræn. Erfitt er að gera sér fyllilega grein fyrir þessum áhrifum en þó er hægt að meta áhrif hröðunarinnar sem fólkið verður fyrir út frá hliðarfærslum byggingarinnar. Mynd 4.27 sýnir viðmiðunarlínurit þar sem þægileikastig bygginga er metið út frá fyrstu eigintíðni í sömu átt og vindurinn ásamt mestu hliðarfærslu þeirra þegar vindur af lágri tíðni blæs. Inn á grafinu eru nokkrar byggingar og sýnt í hvaða flokki þær lenda til viðmiðunar. Hönnunarvindhraðinn í Empire State er t.d. 39 m/s sem er mjög svipað eins og hér á Íslandi. Mynd 4.27: Þægileikastig bygginga vegna vinds af lágri tíðni. (Bachmann, 1995). Höfðatorgsturn hefur fyrstu eigintíðni um 2/3 s og viðmiðunarfærslu upp á 52 mm skv. jöfnu (4.27). Færsla vegna sveiflna í vindhraðanum er hins vegar minni og væri eflaust ástæða til gera nánari skoðun á því. Hér er þrátt fyrir allt á ferð vísbending um að áhugavert væri að fara út í hreyfðarfræðilega (e. dynamic) greiningu á áhrifum vinds á bygginguna. Útreikninga á hröðun má sjá í töflu hér aðeins aftar (Tafla 4.13). Í þessari ritgerð hefur hingað til ekkert verið talað um þær byggingar sem umhverfis eru, en nú er mál að minnast á eina þeirra. Í þrívíddarlíkaninu (Mynd 4.17) á suðurgaflinum má sjá dyragöt á fimm hæðum ofan jarðar. Þessi dyragöt eru tenging við aðliggjandi byggingu sem verður á fimm hæðum ofan jarðar. E.t.v. er möguleiki að nýta sér þessa byggingu að einhverju leyti til að stífa Höfðatorgsturninn af og minnka heildarfærslur og þ.a.l. heildarhröðun hæða. Þó verður stífingin ekki í þeim enda hússins sem mest þarf á stífingu að halda. 58

69 Niðurbeygjur Eins og fyrr sagði var forritið SAFE notað til að kanna burð gólfanna og meta niðurbeygjur þeirra. Notast er við notmarkaálagsfléttu þegar niðurbeygjur eru skoðaðar, en hún er gefin upp í jöfnu (4.12). Forritið reiknar niðurbeygjur samkvæmt steypustaðlinum EC2 í útreikningum sínum (SAFE Manual: ). Ávallt var reiknað með rifnu þversniði og langtíma fjaðurstuðli sem var 1/3 af skammtíma fjaðurstuðli. Forritið reiknar út frá lágmarksjárnbendingu og því verða oft minni niðurbeygjur í raunveruleikanum heldur en forritið sýnir. Mesta niðurbeygjan, sem reiknuð er fyrir rifið þversnið í kúluplötunni, er 32 mm og verður hún á milli súlna í nyrðsta hluta hússins, þ.e. efst á planmynd (Mynd 4.1). Leyfileg niðurbeygja fyrir þá haflengd (9,4 m) eru tæpir 39 mm. Því er kröfum byggingarreglugerðar fullnægt. Vægisburðarþol var einnig nægjanlegt fyrir þá möguleika sem þessi þykkt af kúluplötu býður upp á. Mynd 4.28 sýnir niðurbeygjurnar en þar sjáum við t.d. að niðurbeygjan lengst til hægri á myndinni verður meiri en 31,5 mm niðurbeygju. Mynd 4.28: Niðurbeygjur [mm] á 285 mm kúluplötum. Líkanið með 200 mm hefðbundnum staðsteyptum plötum með bitum var einnig skoðað með tilliti til niðurbeygja. Reyndust niðurbeygjurnar verða mestar tæpir 20 mm þegar bitarnir voru reiknaðir með rifið þversnið. Þetta uppfyllir kröfur byggingarreglugerðar varðandi hámarksniðurbeygju. Mynd 4.29 sýnir þetta glögglega. 59

70 Mynd 4.29: Niðurbeygjur [mm] 200 mm plötu með bitum. Niðurbeygja 330 mm plötunnar var einnig skoðuð. Niðurbeygjan reyndist mest 36 mm á sama stað og hinar plöturnar. Þetta sjáum við á þrívíddarmynd hér fyrir aftan (Mynd 4.30). Mynd 4.30: Þrívíddarmynd af niðurbeygjum [mm] í 330 mm gólfi Velta Ætlunin hér er að skoða veltu í stigakjarnanum sem er við miðja vesturhlið hússins þar sem hann er talinn krítískur fyrir veltu (Mynd 4.1). Útreikningar eru gerðir fyrir 60

71 kúluplötuútfærslu Höfðatorgsturns í jarðskjálfta í Reykjavík. Jarðskjálftaflétta fyrir undirstöðuveggi (EC8: jafna 4.30) var notuð: E = E + γ Ω E (4.28) Fd F, G Rd F, E Hér er E eiginálag, γ er yfirstyrksstuðull sem verður 1,0, Ω er nýtingarhlutfall F, G Rd hönnunar (hér verður hlutafallið 1,5) og E er jarðskjálftaálag. F, E Reikna á út hvort hægt sé að setja undirstöðuveggi með hefðbundnum hætti undir veggina eða hvort setja þurfi bergfestur. Stigakjarninn ( 5m 2,5m ) er reiknaður sem ein eining sem hefur ákveðinn hámarks lóðréttan kraft og hámarksvægi í jarðskjálfta í hvora átt fyrir sig. Út frá vægi og þeim krafti sem verkar á botn stigakjarnans er hægt að meta hjámiðju kraftsins og þrýstisvæði kjarnans. Hjámiðjan er fundin með eftirfarandi hætti: M e = (4.29) N Hér táknar M vægi um ás sem er hornréttur á stefnu jarðskjálfta og N táknar áslægan kraft. Í hvoru tilviki fyrir sig (í jarðskjálfta í x og y-stefnu) var hjámiðjan um hálfur metri frá massamiðju stigakjarnans. Því deildist þrýstisvæði kraftsins á rétt rúman helming lengda veggjanna þegar um x-jarðskjálfta var að ræða. Þrýstisvæðið er nánast allur flötur veggjanna nema önnur styttri hlið kjarnans (lárétt hlið á mynd) þegar um y-jarðskjálfta er að ræða. Velta vegna x-jarðskjálfta er krítískari því hjámiðjan er hlutfallslega nær vegg en í y-jarðskjálfta. Mynd 4.31 sýnir hjámiðju og þrýstisvæði í y-jarðskjálfta (jarðskjálftans sem er ekki krítískur). Svæðið gæti eins speglast um miðjuna um láréttan ás, því myndin sýnir aðeins pósitífan y-jarðskjálfta. Í veltureikningum sem þessum er gert ráð fyrir því að þrýstingur sé á ákveðnum svæðum og tog sé á öðrum svæðum. Af því má skilja að byggingin lyftist upp og því er í raunveruleikanum ekki um línulega hegðun að ræða. Vegna þess að húsið lyftist upp eykst sveiflutíminn að sama skapi. 61

72 Mynd 4.31: Hjámiðja og þrýstisvæði í stigakjarna í y-jarðskjálfta. Leyfilegur jarðþrýstingur er 2,5 MPa (2500kN / m 2 ). Lóðréttur þrýstingur mátti ekki yfirstíga þau takmörk. Auðsótt var að uppfylla það með því að setja undirstöðu sem var 1,0 m að breidd allan hringinn undir veggjum stigakjarnans. Þá var jarðþrýstingurinn 1,9 MPa. Ekki er ætlunin að skoða fleiri veggi í þessari ritgerð m.t.t. veltu og leyfilegs jarðþrýstings. 4.8 Hönnun burðarsúlu í kjallara Þegar súla er hönnuð eru helstu kraftar sem á hana verka skoðaðir. Þá er helst að nefna samverkun normalkrafts og vægis sem mynda með sér samverkunargraf (e. interaction diagram) og skúfkrafta. Súlan þarf í fyrsta lagi að vera nógu sver til að taka upp áslægan þrýstikraft og í öðru lagi þarf hún að innihalda nógu stóran þverskurðarflöt af langjárnum. Í þriðja lagi þarf súlan að ráða við það vægi sem hún verður fyrir. Í fjórða lagi þarf að járnbenda súlu fyrir skúfkröftum með því að setja lykkjur utan um langjárnin, nógu þétt til að uppfylla kröfur staðalsins (EC2) um lágmarksskúfbendingu og til að mynda mótstöðu gegn skúfkröftum sem verka á súluna. Þar sem vægi vegna vinds um botn byggingarinnar er meira heldur en frá jarðskjálfta þegar bygging er í Reykjavík, þá er kjallarasúla hönnuð út frá brotmarkafléttunum með vindi (jafna (4.15)). Súlurnar í kjallaranum í Reykjavík eru allar hannaðar skv. versta tilviki súlna hvað varðar normalkraft, vægi og skúfkraft. Eftir að hafa skoðað samverkunargröfin og borið þau saman kom ég niður á þá hönnun að hafa kringlóttar súlur í neðstu 7 62

73 hæðunum og í kjöllurunum 0,7 m í þvermál. Nóg reyndist að setja 12 langjárn sem hvert um sig er 20 mm svert, því er um ca mm 2 þverskurðarflatarmál járnanna að ræða (Mynd 4.32). Það er um 1 % af þverskurðarflatarmáli súlunnar. Skúfmótstaðan í steypunni sjálfri í súlunni er nógu mikil til að standa gegn skúfkraftinum sem á hana verkar. Því er nóg að járnbenda með lágmarksskúfbendingu skv. EC2. Mynd 4.32: Langjárn 700 mm súlu. Athyglisvert er, þegar súlan var könnuð í byggingunni væri hún á Selfossi, að hönnun súlunnar væri á engan hátt öðruvísi. Einungis væri verið að nýta burðargetu hennar (samverkun normalkrafts og vægis) um nokkur prósent til viðbótar og hönnunin myndi halda sér. Ástæðan fyrir þessu er að áslægir kraftar á súlurnar spila svo stórt hlutverk í neðstu súlunum og skiptir því litlu máli hvort inn komi þónokkur auka láréttur kraftur sem veldur auknu vægi í súlunni. 4.9 Samanburður háhýsa Í þessari greiningu kemur fram sú niðurstaða að vindálag sé ráðandi álagstilfelli hvað snertir hönnun burðarkerfis byggingarinnar. Til að sannfærast um réttmæti þessarar niðurstöðu var greining og hönnun annars háhýsis í nágrenninu könnuð; nánar tiltekið 16 hæða bygging byggð á Skuggahverfisreitnum svokallaða við Lindargötu. 63

74 Mynd 4.33: Staðsetning Höfðatorgs og Skuggahverfis og hæstu byggingar þeirra. Lituðu deplarnir sýna staðsetningu turnanna. Skuggahverfisturninn er reistur á klöpp, hefur 0,15 g hönnunarhröðun (skv. þágildandi yfirborðshröðunargildi), hefur skúfveggi, er nánast jafnhátt og Höfðatorgsturninn. Með öðrum orðum er hér svipuð bygging við svipaðar aðstæður hvað varðar forsendur fyrir jarðskjálftaálag. Fyrsti sveiflutími Höfðatorgsturnsins er 1,49 s á móti 0,88 s í Skuggahverfisturninum (Hrund Einarsdóttir, 2001). Þar sem fyrstu sveiflutímarnir eru hærri en 0,4 s verður svörunin lægri en fyrir venjulegar lágreistar íslenskar byggingar en þær eru venjulega með fyrsta sveiflutíma vel undir 0,4 s. Mynd 4.34 sýnir tvenn hönnunarróf (fyrir jarðvegsflokk A) þar sem fyrstu sveiflutímar Höfðatorgsturns hafa verið teiknaðir inn á með grænum lit og sveiflutímar háhýsis í Skuggahverfi hafa verið teiknaðir inn á með rauðum lit. Ástæðan fyrir samanburðinum mun verða skýrð nánar í niðurstöðukaflanum (kafla 5). Af myndinni hér fyrir aftan (Mynd 4.34) og útreikningunum í töflu fyrr í ritgerðinni (Tafla 4.11) er hægt að sjá að heildarsvörun Höfðatorgsturnsins (þ.a.l. heildarskúfkraftur) ræðst langmest af fyrstu sveifluformunum sem örva mestan hluta massans í hvora stefnu fyrir sig. Einnig er hægt að sjá að aukist fyrsti sveiflutíminn að einhverju ráði þá minnkar fallgildi hröðunarinnar og minni heildarskúfkraftur myndast í byggingunni. Það er því ekki alltaf heppilegt að gera byggingu stífari, því þá getur heildarsvörunin orðið meiri en ella. 64