Metode poučavanja vjerojatnosti u školi

Transcription

1 Sveučilište J.J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Sveučilišni nastavnički studij matematike i informatike Antonela Mikulić Metode poučavanja vjerojatnosti u školi Diplomski rad Osijek, 2015.

2 Sveučilište J.J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Sveučilišni nastavnički studij matematike i informatike Antonela Mikulić Metode poučavanja vjerojatnosti u školi Diplomski rad Mentor: doc. dr. sc. I. Matić Komentor: dr. sc. Lj. Jukić Matić Osijek, 2015.

3 Sadržaj Uvod 3 1 Uvod u vjerojatnost Vjerojatnost u nastavi matematike u osnovnim i srednjim školama Veza vjerojatnosti i ostalih grana matematike Upoznavanje učenika s osnovnim principima vjerojatnosti Kontinuitet vjerojatnosti Teorija vjerojatnosti Prostor elementarnih dogadaja Klasičan pristup Statistički pristup Zakon velikih brojeva Vjerojatnost složenih dogadaja Nezavisni dogadaji Modeliranje vjerojatnosti dvaju dogadaja Vjerojatnost dvaju nezavisnih dogadaja Zavisni dogadaji Eksperimenti i simulacije Zašto je važno koristiti eksperimente pri poučavanju vjerojatnosti? Simulacija Korištenje tehnologije u eksperimentima i simulacijama Zaključak 35 Literatura 36 Sažetak 37 Summary 38 Životopis 39

4 3 Uvod Vjerojatnost je grana matematike koja ima široku primjenu u mnogim stvarnim situacijama. Na primjer, pri predvidanju vremenske prognoze, u kreiranju medicinskih dijagnoza ili pak računanju isplativosti nekih rizičnih odluka. Simulacije kompleksnih situacija se baziraju na vjerojatnosti, a doprinose kreiranju i dizajniranju objekata kao što su svemirske letjelice, autoceste... Upravo zbog toga, osnove vjerojatnosti dio su gradiva matematike koji se poučava u osnovnim i srednjim školama. Učenje na realnim problemima i jednostavna istraživanja omogućuju učenicima shvaćanje osnovnih principa vjerojatnosti budućeg dogadaja. Naglasak pri učenju bi trebao biti na eksperimentiranju koje učenike navodi na valjane zaključke, a ne isključivo na učenju definicija i pravila. Ukoliko učenici uspješno savladaju osnovne pojmove i zakone vjerojatnosti to im daje dobru podlogu za razumijevanjem apstraktnih zadataka s kojima će se susretati u kasnijem obrazovanju.

5 4 1 Uvod u vjerojatnost 1.1 Vjerojatnost u nastavi matematike u osnovnim i srednjim školama Učenici se s osnovnim pojmovima vjerojatnosti prvi puta susreću u osnovnoj školi. Nastavni plan i program predvida učenje vjerojatnosti u 7. razredu osnovne škole. Ključni pojmovi s kojima se učenici upoznaju su: slučajni dogadaj, relativna frekvencija te vjerojatnost slučajnog dogadaja. Od učenika se očekuje da mogu navesti elementarne dogadaje i odrediti koji su povoljni za zadani dogadaj te da znaju odrediti vjerojatnost slučajnog dogadaja. Vjerojatnost se obraduje i u četvrtim razredima prirodoslovno-matematičkih gimnazija te tehničkih škola koje imaju četiri sata matematike tjedno u četvrom razredu. Učenici ponove naučeno u osnovnoj školi, ali i definiraju osnovna svojstva vjerojatnosti, proučavaju načine zadavanja vjerojatnosti te se bave uvjetnom vjerojatnošću dogadaja. 1.2 Veza vjerojatnosti i ostalih grana matematike Vjerojatnost je grana matematike koja ima široku primjenu u svijetu oko nas. Koristi se za razna predvidanja i testiranja dogadaja. Vjerojatnosni principi primjenjuju se pri izračunima vremenske prognoze, u usporedbi DNK nizova ili pak kod proučavanja igara na sreću. Osnovne vjerojatnosne principe moguće je povezati i s ostalim matematičkim temama kojima se učenici bave u osnovnim i srednjim školama. Vjerojatnost povezujemo s: razlomcima i postotcima, učenici ih mogu koristiti pri odredivanju vjerojatnosti nekog dogadaja. omjerima, učenici usporedujući vjerojatnosti dvaju dogadaja odreduju njihove omjere. statističkim podacima, svrha vjerojatnosti je odgovoriti na pitanja povezana sa statistikom. Izvodenjem eksperimenta sakupljamo statističke podatke i na temelju tih podataka odredujemo vjerojatnost dogadaja.

6 5 1.3 Upoznavanje učenika s osnovnim principima vjerojatnosti Učenicima mladeg uzrasta razumijevanje vjerojatnosti budućeg dogadaja ponekad nije logično. Oni mogu biti uvjereni da će se pri bacanju pravilno izradene igraće kockice sigurno pojaviti broj 4. Argument za takvo vjerovanje može biti to što je 4 njihov najdraži broj. Kako bi kod učenika uklonili moguće početne zablude, dobro je započeti učenje vjerojatnosti u školi fokusom na moguće, nemoguće te sigurne dogadaje. Aktivnost Je li dogadaj moguć, nemoguć ili siguran? Neka učenici na temelju različitih dogadaja odluče jesu li oni mogući, nemogući ili sigurni. Mogući primjeri dogadaja su sljedeći: Sutra će padati kiša. Ako kamen baciš u vodu, on će potonuti. Drveće će pričati s nama danas poslijepodne. Sunce će svanuti sutra ujutro. Doris će noćas zaspati u 20 : 30. Ove godine ću imati dva rodendana. Ako je danas petak, sutra će biti subota. Neka učenici samostalno izmisle neke dogadaje te odrede jesu li oni mogući, nemogući ili sigurni. Važno je da učenici primjete da su neki od mogućih dogadaja više vjerojatni od drugih. Na primjer, ako je Ivan izvrstan u trčanju, vrlo je vjerojatno da će biti dobro rangiran u utrci iako to nije sigurno. Ipak, vjerojatnije je da će biti dobro rangiran nego da će biti loše rangiran. Za predvidanje vjerojatnosti ishoda nekog dogadaja učenicima pomažu razni instrumenti, primjerice pravilno izradene igraće kockice, novčići, vreća napunjena raznobojnim lopticama, kolo sreće... Proces istraživanja vjerojatnosti nekog dogadaja provodi se u tri različite faze:

7 6 1. predvidanje, faza u kojoj učenici predvide ishod dogadaja na temelju vlastitih uvjerenja, 2. eksperimentiranje, faza u kojoj učenici provode eksperiment kako bi istražili vjerojatnost predvidenog dogadaja, 3. zaključivanje, faza u kojoj učenici na temelju eksperimenta dolaze do zaključka o vjerojatnosti nekog dogadaja. Aktivnosti koje slijede ili varijacije istih potrebno je s učenicima ponoviti više puta s istim ili različitim instrumentima. Aktivnost Utrka boja prema vrhu Kreirajte kolo sreće kao na slici 1. i pokažite ga učenicima. Neka učenici predvide koja će boja češće biti rezultat vrtnje kola sreće. Vrtite kolo sreće dok ne popunite tablicu sa slike 1. Tablicu popunjavajte tako da nakon svake vrtnje upišete X u odgovarajući stupac od dna prema vrhu. Pobjednička boja je ona čiji je stupac prvi ispisan. Slika 1: Primjer kola sreće i tablice korištenih u aktivnosti Utrka boja prema vrhu

8 7 Učenici trebaju aktivnost Utrka boja prema vrhu ponoviti nekoliko puta te zaključiti koja će boja vjerojatnije pobjediti i zašto. U aktivnostima kao što je Utrka boja prema vrhu moguće je proučavati ishode vjerojatnosti različitih dogadaja koristeći različito obojena kola sreće kao na slici 2. Slika 2: Primjeri kola sreće koji se mogu koristiti u aktivnosti Utrka boja prema vrhu U aktivnosti Utrka boja prema vrhu možemo koristiti i neprozirnu vreću u koju smo stavili loptice jednake veličine i težine, ali različite boje. Ipak, prednost kola sreće kao instrumenta za proučavanje vjerojatnosti ishoda nekog dogadaja je što učenici mogu primjetiti koliki je udio odredene boje u odnosu na cijelo kolo sreće. Vrlo su važni različiti razmještaji i udjeli boja u kolima sreće. Učenici ne shvaćaju odmah da vjerojatnost pojavljivanja odredene boje ovisi samo o njegovom udjelu na kolu sreće, a ne i o položaju. Učenici mogu učinkovito povezati činjenicu da je vjerojatnost neke boje kao ishoda vrtnje kola sreće veća ukoliko je udio te boje na kolu sreće veći, kreirajući tablice u koje upisuju pojavljivanje neke boje kao rezultata vrtnje. Nakon kreiranja tablica učenici su u stanju povezati tablicu i odgovarajuće kolo sreće.

9 8 Slika 3: Povezivanje kola sreće i odgovarajuće tablice pojavljivanja boje Na slici 3. prikazano je učeničko objašnjenje o povezivanju tablice pojavljivanja boje s odgovarajućim kolom sreće. Učenik je najprije zaključio da ovisno o broju mogućih ishoda može smanjiti broj mogućih rješenja. Spojio je slova B i G jer je zaključio da se ishodi b i c pojavljuju podjednak broj puta što po slici najviše odgovara kolu sreće označenom slovom G. Tablicu označenu slovom A povezao je s kolom sreće H jer je uvidio da su se ishodi a i b pojavili samo jednom, ishod d nekoliko puta, a ishod c najviše puta. Takav rezultat najlakše je očekivati vrtnjom kola sreće označenog sa H. U aktivnostima koje slijede učenici neće odmah biti u stanju predvidjeti te kasnije valjano zaključiti zašto je neki dogadaj vjerojatniji, već će biti potrebno diskutirati o tome. Aktivnost Zbroji pa zapiši Načinite igraću kockicu kojoj će na različitim stranama pisati brojevi 1, 1, 2, 3, 3, 3. Kockicu bacite dva puta te zbrojite ishode (brojeve) koje ste dobili nakon bacanja kockice. Kako bi pratili koji se zbroj najčešće pojavljuje kreirajte tablicu kao na slici

10 9 4. Postupak ponavljajte sve dok jedan red tablice ne bude u potpunosti ispunjen. Prije početka ove aktivnosti neka učenici predvide koji će red tablice biti prvi popunjen. Slika 4: Tablica za aktivnost Zbroji pa zapiši Nakon aktivnosti Zbroji pa zapiši neka učenici odgovore na sljedeća pitanja: Koji je broj pobijedio najviše, a koji najmanje puta? Ako bi igrali ponovno ovu igru za koji bi broj rekli da će pobjediti? Koji je ishod na tablici nemoguć? Koji je ishod na tablici najviše vjerojatan? Neka učenici obrazlože svoje odgovore. Za vrijeme razgovora o dobivenim rezultatima u prethodnoj aktivnosti nastavnik treba otkriti ideje i načine zaključivanja učenika o vjerojatnosti pojavljivanja nekog ishoda. Osnovna ideja ove aktivnosti je da učenici zaključe kako suma bačenih kockica ne ovisi isključivo o sreći. Neki ishodi ove aktivnosti su više, a neki manje vjerojatni zbog dizajna kockice odnosno učestalosti pojavljivanja odredenih brojeva na kockici. 1.4 Kontinuitet vjerojatnosti Kako bi učenici shvatili da je neki ishod manje ili više vjerojatan od drugog potrebno je upoznati ih s kontinuitetom vjerojatnosti izmedu nemogućeg i sigurnog ishoda. Na ploči nacrtajte dužinu te njen lijevi kraj označite s Nemoguć ishod, a

11 10 desni kraj Siguran ishod. Iznad dužine napišite Vjerojatnost pojavljivanja plave boje kao ishoda vrtnje. Razgovarajte s učenicima o različitim pozicijama dužine te kako bi izgledalo odgovarajuće kolo sreće za tu poziciju. Pokažite učenicima kola sreće sa slike 5. jedan po jedan. Neka učenici povežu vjerojatnost pojavljivanja plave boje kao ishoda vrtnje odgovarajućeg kola sreće s odredenom točkom na dužini. Slika 5: Kontinuitet vjerojatnosti Aktivnost Dizajniraj svoju vreću Učenicima podjelite radne listove kao na slici 6. Na ploči nacrtajte dužinu kojoj su krajnje točke nemoguć ishod i siguran ishod. Na toj dužini označite točku koja je udaljena za 20% dužine od lijevog kraja. Neka učenici tu točku označe na svojim radnim listovima. Objasnite učenicima da oni trebaju odlučiti koliko će kvadratića u vreći na slici obojati odredenom bojom kako bi vjerojatnost njenog nasumičnog izvlačenja bila jednaka onoj na crti. Postupak ponovite s različito označenim točkama na dužini. Na dnu svakog radnog lista učenik treba pojasniti zašto je odredeni broj kvadratića obojao istom bojom.

12 11 Slika 6: Radni list za aktivnost dizajniranja vreće Ovu aktivnost moguće je s učenicima ponoviti i u realnom svijetu s pravom neprozirnom vrećom i lopticama jednake veličine i težine, ali različite boje. Naglasite učenicima da ćete loptice promiješati jer pozicija loptice u vreći ne utječe na vjerojatnost njenog izvlačenja. Izvlačenjem malog broja loptica možete dobiti neočekivane odgovore, zbog toga je potrebno aktivnost ponoviti i s većim brojem izvlačenja loptice. Nakon ove aktivnosti možete učenicima reći da vjerojatnost nekog dogadaja A možemo izraziti brojem P (A) za koji vrijedi: 0 P (A) 1. Vjerojatnost nemogućeg dogadaja je jednaka 0, a vjerojatnost sigurnog dogadaja je jednaka 1.

13 12 2 Teorija vjerojatnosti Vjerojatnost je mjera pojavljivanja odredenog ishoda nekog dogadaja. To je mjera izvjesnosti dogadaja (Franklin, 2005.). Učenici su vjerojatnost dogadaja odredivali na dužini koja je prikazivala kontinuitet izmedu nemogućeg i sigurnog ishoda. Sada znaju usporediti vjerojatnost jednog ishoda u odnosu na drugi, ali još uvijek ne znaju izmjeriti vjerojatnost slučajnog dogadaja. Definiranju vjerojatnosti možemo pristupiti na dva različita načina ovisno o zadanom problemu, klasičnim pristupom i statističkim pristupom. U nastavku ćemo se upoznati s oba pristupa, ali prije toga ćemo se upoznati s prostorom elementarnih dogadaja. 2.1 Prostor elementarnih dogadaja Razumijevanje koncepta mogućih ishoda i prostora elementarnih dogadaja vrlo je važno za razumijevanje vjerojatnosti. Prostor elementarnih dogadaja nekog eksperimenta je skup svih mogućih ishoda tog eksperimenta, taj skup najčešće označavamo grčkim slovom Ω. Ukoliko je prostor elementarnih dogadaja jednočlan skup onda pokus ima samo jedan mogući ishod. Takav pokus nazivamo deterministički pokus. Prostor elementarnih dogadaja koji ima više elemenata koristimo kada postoji više mogućih ishoda nekog pokusa. Takav pokus nazivamo slučajan pokus. Primjer Pri bacanju pravilno izradene igraće kockice prostor elementarnih dogadaja jednak je skupu svih mogućih ishoda tog pokusa, tj. prostor elementarnih dogadaja jednak je: Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Dogadaj vezan uz dani slučajan pokus je podskup prostora elementarnih dogadaja tog pokusa. 2.2 Klasičan pristup Često se susrećemo s eksperimentima kojima je broj svih mogućih ishoda konačan, a svi ishodi su jednako vjerojatni.

14 13 Ukoliko su svi ishodi jednako mogući, a skup svih ishoda dogadaja konačan, klasičnim pristupom vjerojatnost definiramo kao omjer broja povoljnih ishoda i broja svih mogućih ishoda nekog dogadaja. Prema tome, vjerojatnost P nekog dogadaja A je jednaka: Primjer P (A) = broj povoljnih ishoda broj svih mogućih ishoda. Svaki od ishoda 1,..., 6 pri bacanju pravilno izradene igraće kockice je jednako moguć. Stoga je vjerojatnost bilo kojeg od mogućih ishoda bacanja pravilno izradene igraće kockice jednaka 1. 6 Bacanjem pravilno izradenog novčića mogući ishodi su pismo i glava. Oba ishoda su jednako moguća pa je vjerojatnost jednog od tih ishoda jednaka Statistički pristup Statističkim pristupom možemo odrediti vjerojatnost dogadaja kojem nisu svi ishodi jednako mogući ili poznati. O vjerojatnosti nekog dogadaja možemo zaključiti na temelju sakupljenih podataka u ranije provedenim eksperimentima. Na primjer, vjerojatnost da će rukometaš zabiti iz slobodnog udarca može se pretpostaviti na temelju njegovih prethodnih slobodnih udaraca. Ovaj način zaključivanja o vjerojatnosti dogadaja ima znatnu primjenu u stvarnom svijetu. Aktivnost Je li novčić pravilno izraden? Mogući ishodi bacanja novčića su pismo i glava. Ukoliko je novčić pravilno izraden, vjerojatnost bilo kojeg od tih ishoda je jednaka 1. Bacite novčić 100 puta i 2 na temelju dobivenih rezultata zaključite je li novčić pravilno izraden. Problemu Je li novčić pravilno izraden? pristupili smo statistički. Ovaj problem jedino možemo riješiti pomoću eksperimenta utvrdivanjem frekvencije pojavljivanja dogadaja glava ili pismo. Relativna frekvencija f A dogadaja A dana je na sljedeći način: f A = broj pozitivnih ishoda broj ponavljanja eksperimenta.

15 14 Za relativnu frekvenciju uvijek vrijedi: 0 f A 1. Relativna frekvencija nekog dogadaja se stabilizira nakon ponavljanja eksperimenta dovoljno mnogo puta. Ako eksperiment ima svojstvo stabilnosti relativnih frekvencija, tada je vjerojatnost dogadaja A moguće aproksimirati relativnom frekvencijom dogadaja A. Prema tome vrijedi da je vjerojatnost P dogadaja A jednaka: 2.4 Zakon velikih brojeva P (A) = f A. Zakon velikih brojeva je naziv pojave da se relativna frekvencija povećanjem nezavisnih ponavljanja pokusa stabilizira u okolini nekog broja. Veći broj testiranja osigurava veću količinu podataka i informacija o dogadaju. Zaključivanje na temelju istraživanja daje nam vjerodostojnije rezultate ukoliko je broj ispitanika veći. Točnije podatke ćemo dobiti ukoliko istraživanjem obuhvatimo 1000, nego 5 ispitanika. Veći broj nezavisnih izvodenja pokusa omogućuje nam točniju aproksimaciju vjerojatnosti dogadaja. Aktivnost Sakupi svih šest! Neka učenici kreiraju listu brojeva od 1 do 6, neka bacaju kockicu i označe ishod bacanja znakom X kod broja kojeg dobiju. Kockicu trebaju bacati sve dok ne označe vrijednosti svih brojeva barem jednom. Ponovite postupak pet ili šest puta. Prokomentirajte s učenicima dobivene rezultate. Učenici će primjetiti da se neki brojevi ponekad pojavljuju više, a neki manje puta. Nekad će trebati manje, a nekad više bacanja kako bi sakupili sve vrijednosti. U raspravi se fokusirajte na to da podaci variraju za male količine podataka. Spojite sve podatke, tada će se oni ujednačiti, odnosno sve vrijednosti će biti dobivene podjednak broj puta. Sljedeća aktivnost je dizajnirana kako bi pomogla učenicima s idejom da učestalost ishoda prikažu razlomkom.

16 15 Aktivnost Kolika je šansa? Načinite radni list kao na slici 7. Za svaki par učenika pripremite jedno kolo sreće kojemu je jedna polovina crvene, a druga plave boje. Prodiskutirajte s učenicima kolika je vjerojatnost da je ishod vrtnje kola sreće plava boja. Slika 7: Radni list korišten u aktivnosti Kolika je šansa? Podijelite učenicima radne listove. Označite točku 1 na dužini kontinuuma i 2 konstruirajte okomicu iz te točke na sve ostale dužine na radnom listu. Neka svaki par učenika zavrti kolo sreće 20 puta i na dužini s krajnjim točkama 0 i 20 zabilježi koliko je puta ishod vrtnje bila crvena, a koliko plava boja. Primjerice, ako je 13 puta ishod vrtnje bila plava, a 7 puta crvena boja označite na dužini kojoj su krajnje točke 0 i 20 mjesto koje odgovara broju 13. Ukoliko konačni rezultat svih vrtnji nije 10 crvenih i 10 plavih ishoda, razgovarajte s učenicima o mogućim razlozima za to. Nakon toga, neka učenici ponove postupak. Dobivene rezultate dodajte rezultatima prethodnih 20 bacanja. Na trećoj dužini u kvadratić upišite broj nezavisnih vrtnji kola sreće, odnosno broj 40, te označite broj ishoda kojima je rezultat vrtnje bila plava boja. Ponovite ovaj postupak još najmanje dva puta. Ako je moguće, kolo sreće vrtite 200 puta. Diskutirajte s učenicima o dobivenim rezultatima. Neka učenici samostalno pokušaju odrediti vjerojatnost plave boje kao ishoda vrtnje kola sreće i neku je pokušaju zapisati u obliku razlomka.

17 16 Uzastopni brojevni pravci korišteni u prethodnoj aktivnosti iste su dužine i predstavljaju konačan broj nezavisnih izvodenja pokusa. Kada bi rezultate nacrtali na jednoj dužini, pozicija rezultata prikazivala bi razlomak kojemu je brojnik jednak broju povoljnih ishoda, a nazivnik ukupnom broju nezavisnih izvodenja pokusa. Većim brojem ponavljanja, označena točka će se približavati točki 1 koju ste označili 2 na samom početku aktivnosti. Prethodna aktivnost može se koristiti i za prikupljanje podataka s drugim uredajima. Prije crtanja okomice na dužini pokušajte s učenicima pretpostaviti koja bi točka najbolje opisivala vjerojatnost promatranog dogadaja. Nakon crtanja okomice promatrajte kako se rezultat približava okomici povećanjem broja nezavisnih ponavljanja pokusa. Ukoliko su učenici savladali postotke, objasnite im da se vjerojatnost nekog dogadaja može izraziti u postotcima. Aktivnost Bacanje čaše Omogućite plastične čaše svakom paru učenika u razredu. Neka učenici kažu na koje načine čaša može pasti na pod. Koja od mogućnosti (dno na podu, vrh na podu, strana na podu) je najvjerojatnija, a koja je najmanje vjerojatna? Neka svaki par učenika baci čašu 20 puta na pod te zabilježi na koji je način pala. Neka svi čaše bacaju na sličan način kako bi osigurali objektivne rezultate. Zabilježite rezultate svih parova te raspravite o njima. Nakon toga sve podatke spojite te razgovarajte o zajedničkom rezultatu eksperimenta. Iz zajedničkog rezultata zaključite o frekvenciji svakog od mogućih ishoda. Relativna frekvencija ishoda zajedničkog rezultata aproksimira stvarnu vjerojatnost ishoda. U prethodnoj aktivnosti nemoguće je logički predvidjeti rezultat prije njenog izvodenja. Ipak, nakon što su skupljeni podaci od 200 neovisnih bacanja čaše, sigurnije ćete predvidjeti rezultat sljedećih 100 bacanja. Nakon što skupite podatke od 1000 neovisnih bacanja, bit ćete još uvjereniji u mogućnost predvidanja rezultata. Veći broj neovisnih izvodenja eksperimenta dovodi do sigurnije i točnije aproksimacije vjerojatnosti nekog ishoda. Ukoliko ste odredili da je vjerojatnost da će čaša pasti na stranu jednaka 4 odnosno 80% to je empirijski podatak jer je baziran na 5 rezultatima eksperimenta. Ovakve aktivnosti, kao primjeri definiranja vjerojatnosti statističkim pristupom, zahtjevaju veliki broj ponavljanja. Zbog toga u ovakvim aktivnostima korištenje tehnologije može uvelike pomoći.

18 17 Kako bi provjerili jesu li učenici usvojili znanja u prethodnim aktivnostima, predstavite im sljedeći problem: Ivan je zavrtio kolo sreće deset puta. Ishod vrtnje kola sreće tri je puta bila plava boja, a ostalih sedam puta ishod je bila crvena boja. Ivan je zaključio da je vjerojatnost plave boje kao ishoda vrtnje jednaka Josip je zavrtio isto kolo sreće sto puta. Ishod vrtnje kola sreće 53 je puta bila plava boja, a ostalih 47 puta ishod je bila crvena boja. Josip je zaključio da je vjerojatnost plave boje kao ishoda vrtnje podjednaka vjerojatnosti da je ishod vrtnje crvena boja. Neka učenici razmisle i argumentiraju vjeruju li više Ivanovom ili Josipovom zaključku. Pokušajte kreirati kolo sreće koje su koristili Ivan i Josip. Ishodi slučajnog pokusa često se ponavljaju neočekivanim redoslijedom. Primjerice, ishod bacanja pravilno izdradenog novčića može biti pet puta uzastopce glava. Uredaji poput kola sreće, igraćih kockica ili loptica u neprozirnoj vreći učenicima daju intuitivan osjećaj za shvaćanjem nesavršene distribucije slučajnosti. Ipak, učenicima je često teško shvatljivo da ishod jednog izvodenja pokusa ne utječe na ishod sljedećeg izvodenja. Ukoliko pri bacanju pravilno izradenog novčića nekoliko puta uzastopno ishod bude pismo, učenici su često uvjereni da će sljedećih nekoliko puta biti veća vjerojatnost da će ishod pokusa biti glava. Zbog toga je učenicima potrebno objasniti da pravilno izradeni novčić nema memoriju i da je vjerojatnost glave, odnosno pisma kao ishoda bacanja novčića jednaka 1 pri svakom izvodenju pokusa. Provjerite 2 jesu li učenici shvatili da pri nezavisnom izvodenju pokusa više puta ishod jednog izvodenja pokusa ne utječe na ishod sljedećeg izvodenja pokusa. Nikolina ima sretni novčić koji je bacila mnogo puta. Sigurna je da je novčić pravilno izraden, odnosno da je vjerojatnost da će ishod bacanja novčića biti glava jednaka vjerojatnosti ishoda pismo. Nikolina je bacila novčić šest puta i ishod bacanja je bila glava šest puta za redom. Zbog prethodnih bacanja uvjerena je da će ishod sljedećeg bacanja biti pismo. Je li Nikolina u pravu? Kolika je vjerojatnost da će pri sljedećem bacanju ishod biti glava, a kolika da će biti pismo? Neka učenici odgovore na pitanja i argumentiraju ih.

19 18 3 Vjerojatnost složenih dogadaja Bacanje pravilno izradene igraće kockice, izvlačenje loptice iz vreće su primjeri u kojima promatramo vjerojatnost jednog dogadaja. Moguće je promatrati i vjerojatnost složenih dogadaja. Vjerojatnost dvaju dogadaja odreduje se eksperimentom koji zahtjeva dvije aktivnosti koje opisuju ishod. Primjeri takvih eksperimenata su bacanje dviju kockica, izvlačenje dviju loptica iz vreće ili pak odredivanje vjerojatnosti pojavljivanja kiše i zaboravljanja kišobrana. Učenike s vjerojatnosti složenih dogadaja možemo upoznati aktivnostima koje se temelje na nepoštenoj igri. Neka učenici nakon provodenja aktivnosti ispitaju sve moguće ishode igre kako bi ustvrdili je li ona poštena. U aktivnosti koja slijedi, rezultat igre će vrlo vjerojatno biti u suprotnosti s intuitivnim idejama učenika. Učenici će zbog toga imati motiv za analiziranjem igre. Aktivnost Pošteno ili ne? Za ovu aktivnost potrebna su tri učenika, označimo ih s A, B, C, i dva pravilno izradena novčića. Neka učenici bacaju novčiće 20 puta i ovisno o ishodu neka si zapisuju bodove: učenik A dobit će jedan bod ako su rezultat dvije glave učenik B dobit će jedan bod ako su rezultat dva pisma učenik C dobit će jedan bod ako su rezultat mješavina pisma i glave Igrač koji nakon 20 bacanja osvoji najviše bodova je pobjednik. Igru odigrajte više puta. Nakon svake igre, neka učenici izraze mišljenje o tome je li igra poštena te neka predvide pobjednika sljedeće igre. Nakon što su svi u razredu odigrali igru, kolektivno raspravite o tome je li ona poštena, neka učenici argumentiraju svoje mišljenje. Zajednička analiza prethodne aktivnosti vjerojatno će ići u sljedećem smjeru: tri su moguća ishoda (dvije glave, dva pisma te jedna glava i jedno pismo). Svaki ishod ima jednake mogućnosti. Igra bi trebala biti poštena. Kako god, nakon više ponavljanja igre učenici će zaključiti da učenik C najčešće pobjeduje. Ovaj zaključak je u suprotnosti s tvrdnjom da su svi ishodi jednako mogući. Rubel (2006., 2007.) je koristila sličnu aktivnost s dva novčića s učenicima od petog

20 19 do jedanaestog razreda. Pitala ih je kolika je vjerojatnost dobivanja glave i pisma na novčićima. Otkrila je da je mnogo učenika (54%) na pitanje odgovorilo točno, ali njihovi argumenti su bili neispravni. Oko 25% učenika odgovorilo je da je vjerojatnost ishoda 1 jer su moguća tri različita ishoda. 3 Ohrabrite učenike da analiziraju problem te neka izvedu sve moguće ishode. Konačno, učenici bi trebali zaključiti da postoji samo jedan način da se pojave dvije glave ili dva pisma, ali su dva načina na koji se mogu pojaviti pismo i glava. Slika 8: Mogući ishodi igre u aktivnosti Pošteno ili ne? Na taj smo način dobili četiri moguća ishoda, a ne tri. Dobivanje mješavine glave i pisma odgovara dvama od četiri ishoda. Zbog toga je taj ishod vjerojatniji od preostala dva. Vjerojatnost pojavljivanja mješavine pisma i glave je 1 2. Još jedan primjer igre kod koje je moguće razmatrati je li poštena ili ne je igra Kamen, škare, papir. Kamen, škare, papir je igra u kojoj dva igrača koriste isključivo ruke. Igrači istovremeno pokazuju unaprijed odredene znakove za jedan od tri oblika: kamen, škare ili papir. Kamen pobjeduje škare, škare pobjeduju papir, a papir pobjeduje kamen. U slučaju da oba igrača pokažu isti znak rezultat je neriješen. Kada promatramo vjerojatnost složenih dogadaja postoji faktor koji dosad nismo proučavali. Važno je zaključiti ovisi li vjerojatnost jednog dogadaja o drugom ili su oni nezavisni. Proučit ćemo vjerojatnost složenih dogadaja oba tipa, onih s nezavisnim varijablama, ali i onih sa zavisnim. 3.1 Nezavisni dogadaji U aktivnosti Pošteno ili ne? smo proučavali rezultate nezavisnog bacanja dvaju novčića. Rezultat bacanja jednog novčića nema utjecaj na rezultat bacanja drugog

21 20 novčića. Takav eksperiment je primjer u kome promatramo vjerojatnost dvaju nezavisnih dogadaja. Nezavisni dogadaji su oni u kojima rezultat jednog dogadaja ne utječe na rezultat drugog dogadaja u eksperimentu. Isto se dogada i kada bacamo dvije igraće kockice, ishod prve ne utječe na ishod druge kockice. Najčešća greška kod bacanja dvaju novčića ili igraćih kockica je problem razlikovanja dvaju dogadaja, posebice kada su ishodi kombinirani, kao što smo zbrajali ishode bacanja dviju kockica u aktivnosti Zbroji pa zapiši. Problem bacanja dvaju pravilno izradenih novčića već smo ranije proučili, a sada ćemo proučiti problem bacanja dviju pravilno izradenih igraćih kockica i zbrajanja njihovih ishoda. Pretpostavimo da smo više puta nezavisno bacali dvije pravilno izradene igraće kockice i zbrojili ishode na njima, neka su dobiveni rezultati kao na slici 9. Slika 9: Primjer rezultata bacanja dviju pravilno izradenih igraćih kockica i zbrajanja ishoda na njima više puta Jasno je da nisu svi ishodi jednako mogući te da broj 7 kao ishod eksperimenta ima veću vjerojatnost pojavljivanja u odnosu na ostale. Kako bi si ovo pojasnili, učenici bi mogli proučavati zbroj kojih brojeva daje broj 7. To su brojevi 1 i 6, 2

22 21 i 5 te 3 i 4. Ipak, isto je toliko kombinacija za dobivanje broja 6 i 8 kao zbroja ishoda dviju kockica. Čini se da je vjerojatnost pojavljivanja brojeva 6 i 8 jednaka vjerojatnosti pojavljivanja broja 7. Ipak, to nije točno. Pretpostavimo da smo eksperiment ponovili još jednom. Ovaj put neka učenici bacaju dvije pravilno izradene igraće kockice različite boje, te neka ishode bacanja zapisuju u tablicu kao na slici 10. Slika 10: Primjer rezultata bacanja dviju pravilno izradenih igraćih kockica različite boje i zbrajanja ishoda na njima više puta Rezultat velikog broja bacanja dviju kockica nas navodi na shvaćanje da je rezultat svake ćelije u tablici jednako vjerojatan. Ipak, u cijeloj je tablici najviše ćelija čija je suma jednaka 7. Dakle, ishod 7 može se pojaviti na šest različitih načina, a ne samo tri. Brojevi 6 i 8 mogu se pojaviti na pet različitih načina i zbog toga je njihova vjerojatnost manja. Vjerojatnost da će ishod eksperimenta biti broj 7 je 6, 36 odnosno 1 obzirom da imamo 36 mogućih ishoda od čega je 6 povoljnih. 6 Kako bi kreirali prostor elementarnih dogadaja dvaju nezavisnih dogadaja dobro je koristiti tablice ili dijagrame koje dogadaje razdvajaju i prikazuju sve moguće kombinacije njihovih ishoda. Tablica na slici 10. dobar je način prikazivanja prostora elementarnih dogadaja kada promatramo dva nezavisna dogadaja.

23 22 Stablasti dijagram prikazan na slici 11. je još jedna dobra metoda prikazivanja prostora elementarnih dogadaja za bilo koji broj nezavisnih dogadaja. Slika 11: Prostor elementarnih dogadaja prikazan stablastim dijagramom Aktivnost Proučavanje dogadaja s više faza Sljedeći primjeri prikazuju dogadaje s više faza načinjenih od nezavisnih dogadaja. Zbroj dvaju ishoda bacanja pravilno izradenih igraćih kockica je paran broj. Rezultat dviju uzastopnih vrtnji kola sreća je plava boja. Rezultat bacanja četiriju novčića je barem dva puta bila glava. Neka učenici predvide i argumentiraju vjerojatnosti navedenih dogadaja. Neka provedu eksperimente više puta i usporede rezultate s predvidenim vjerojatnostima. Prokomentirajte stvarne rezultate s predvidenima. Na kraju, ukoliko je moguće, odredite stvarnu teorijsku vjerojatnost kao dio konačne analize eksperimenta.

24 Modeliranje vjerojatnosti dvaju dogadaja Jedan od načina kojima možemo odrediti teorijsku vjerojatnost nekog dogadaja s više faza je da zapišemo sve moguće ishode te brojimo povoljne ishode za dogadaj. Ovaj način je učinkovit, ali ima ograničenja. Što ako nisu svi ishodi jednako vjerojatni? Na primjer, vjerojatnost ishoda plave boje kao rezultata vrtnje kola sreće može biti 1. Modeliranje područja svih mogućih ishoda korisno je mladim učenicima, 4 ali i starijima pri rješavanju težih problema. Primjer koji slijedi temelji se na analizi prikupljenih podataka. Učenici vole proučavati podatke. Moguće je s učenicima odrediti koji kineski horoskopski znak je najčešći u razredu. Odredite svim učenicima u razredu koji su znak kineskog horoskopa. Obzirom da su svi rodeni u razmaku od malo više od godinu dana samo će se dva znaka izmjenjivati. Ta dva znaka neka predstavljaju nezavisne dogadaje našeg eksperimenta. Slika 12: Modelirano područje vjerotnosti dvaju dogadaja Recimo da smo analizom podataka ustvrdili da je 64% razreda rodeno je u godini ovce, a ostalih 36% u godini majmuna. Na slici 12. podaci su prikazani modeliranjem područja. Područje ovce veće od područja majmuna te je učenicima lakše zaključiti i da je vjerojatnost da je neki od učenika ovca u kineskom horoskopu veća od vjerojatnosti majmuna.

25 Vjerojatnost dvaju nezavisnih dogadaja Pri izražavanju u razredu važno je paziti na riječi i fraze i, ili, barem te ne više od jer one mogu učenike dovesti do krivih zaključaka. Primjerice, učenici često ne shvaćaju da je kod veznika ili istinit i onaj dogadaj u kome vrijede obje tvrdnje. Pretpostavimo da je rodenje u svakom godišnjem dobu jednako vjerojatno. Slika 13: Prikaz vjerojatnosti da je učenik roden u proljeće i u znaku ovce 1 4 Na slici 13. je vidljivo da učenici rodeni u proljeće pod znakom ovce sačinjavaju od 64% odnosno 16% ukupno promatrane populacije. Učenicima bi ovakvo zaključivanje trebalo biti jasno jer su na taj način već zaključivali kod množenja razlomaka. Neka su A i B nezavisni dogadaji, vjerojatnost da su se dogodili dogadaji A i B označimo s P (A B). Slovom A označimo dogadaj učenik je roden u proljeće, a slovom B dogadaj učenik je roden u znaku ovce. Vjerojatnost dogadaja A jednaka je 1 16, a dogadaja B je. Vjerojatnost da je učenik roden u proljeće i u znaku ovce 4 25 je jednaka: P (A B) = P (A) P (B) = = 4 25 = 0.16

26 25 Slika 14: Prikaz vjerojatnosti da je učenik roden za vrijeme ljeta ili u znaku majmuna Zaključivanje na temelju slike 14. je učenicima kompliciranije. Četvrtina učenika rodena je za vrijeme ljeta, a 36% njih rodeno je u godini majmuna. Ipak neki od učenika su rodeni i za vrijeme ljeta, ali i u godini majmuna. Na slici je ta ćelija označena tamnijom plavom bojom. Pri računanju vjerojatnosti da je učenik roden za vrijeme ljeta ili u znaku majmuna trebamo paziti da učenike za koje vrijedi oboje ne brojimo dva puta. Vjerojatnost da se dogodio dogadaj A ili B označimo s P (A+B). Slovom A označimo dogadaj učenik je roden za vrijeme ljeta, a slovom B dogadaj učenik je roden u znaku majmuna. Vjerojatnost dogadaja A jednaka je 1 9, a dogadaja B je Vjerojatnost da je učenik roden za vrijeme ljeta ili u znaku majmuna je jednaka: P (A + B) = P (A) + P (B) P (A B) = = = 0.52 Prema tome, 52% populacije je rodeno za vrijeme ljeta ili u znaku majmuna. Ovakav način prikazivanja problema je učenicima manje apstraktan od prikaza pomoću jednadžbi ili stablastih dijagrama. Korištenje veznika i i ili moguće je učenicima pojasniti vizualno, taj način je puno učinkovitiji i učenici tada lakše pamte kako odrediti vjerojatnost dvaju nezavisnih dogadaja.

27 Zavisni dogadaji Zavisni dogadaji su oni kojima ishod drugog dogadaja ovisi o ishodu prvog. Primjer Pretpostavimo da u neprozirnoj vreći imate pet loptica. Dvije loptice su plave, a preostale tri su žute boje. U prvom izlačenju slučajnim odabirom ste izabrali lopticu plave boje. Kolika je vjerojatnost da ćete u drugom izvlačenju izabrati lopticu žute boje, ako u vreću niste vratili prethodno izabranu plavu lopticu? U ovom primjeru dva puta izvlačimo lopticu iz vreće pa razlikujemo dva dogadaja. vjerojatnost drugog dogadaja ovisi o ishodu prvog. Ovi su dogadaji zavisni. Označimo vjerojatnost dogadaja B uz uvjet da se dogodio dogadaj A sa P (B A), tada je ona jednaka : P (B A) = P (A B). P (A) Označimo slovom A dogadaj u prvom izvlačenju izabrana je loptica plave boje, a slovom B dogadaj u drugom izvlačenju izabrana je loptica žute boje. Tada je vjerojatnost da se dogodio dogadaj B uz uvjet A jednaka: P (B A) = 3 4. Primjer Izlazak iz zatvora Pretpostavite da ste zatvorenik u dalekoj zemlji. Kralj te zemlje se sažalio nad vama i nudi vam mogućnost izlaska. Prikazuje vam labirint kao na slici 15.

28 27 Slika 15: Primjer labirinta korištenog u primjeru Izlazak iz zatvora Na početku i na svakom raskrižju morate zavrtiti odgovarajuće kolo sreće i prema boji ishoda kola sreće morate pratiti put u labirintu. Kralj vam je dao mogućnost da izaberete u kojoj će od ponudenih soba biti ključ vaše slobode. Koju sobu trebate izabrati kako bi vjerojatnost vašeg izlaska iz zatvora bila veća? Navedeni problem moguće je istražiti eksperimentom, a eksperimenti su uvijek dobar put prema odredivanju stvarne vjerojatnosti dogadaja. Takoder je moguće modelirati područje za dani problem.

29 28 Slika 16: Model područja za problem iz primjera Izlazak iz zatvora Na slici 16. prikazan je model područja za problem iz primjera Izlazak iz zatvora. Na prvom raskrižju vjerojatnost odlaska u sobu B je 3. Na drugom raskrižju vjerojatnost odlaska u sobu B je od postojeće vjerojatnosti, odnosno Zaključujemo da je vjerojatnost odlaska u sobu A jednaka 7, a u sobu B Model područja ne može uvijek riješiti vjerojatnosni problem. Ipak, takav način dobar je za početne probleme s kojima se učenici susreću jer je baziran na postojećem znanju o razlomcima, a iz njega je moguće izvesti i više simboličkih zaključaka. Slika 17. prikazuje stablasti dijagram sa zapisanim vjerojatnostima istog problema. Slika 17: Stablasti dijagram za problem iz primjera Izlazak iz zatvora

30 Nakon nekoliko prikazivanja problema stablastim dijagramom učenicima će on postati prihvatljiviji i jednostavniji za kreirati. Stablastim dijagramom moguće je prikazati i kompliciranije probleme od promatranih. Učenici bi trebali biti sposobni povezati svaku granu stablastog dijagrama s odgovarajućom ćelijom modeliranog područja. Prikaz modeliranjem područja iskoristite kako bi učenicima objasnili zašto je vjerojatnost svake cjelovite grane dobivena množenjem vjerojatnosti odredenih dijelova te grane. 29

31 30 4 Eksperimenti i simulacije 4.1 Zašto je važno koristiti eksperimente pri poučavanju vjerojatnosti? Postoji mnogo razloga zbog kojih pri poučavanju vjerojatnosti s učenicima treba koristiti eksperimente. Provodenje eksperimenata i zaključivanje na temelju istih posebno je važno u razredima s osrednjim ocjenama. Stvarni vjerojatnosni problemi rješavaju se pomoću eksperimenta ili simulacija. Učenicima korištenjem eksperimenta pokazujemo novi način rješavanja problema koji ne susreću često u nastavi matematike. Zaključivanje o rezultatima eksperimenta se temelji na logici i intuiciji, a ne na apstraktnim, učenicima nerazumljivim pravilima. Provodenjem eksperimenata eliminiramo mogućnost pogadanja točnog odgovora. Eksperimenti učenicima daju pozadinu za shvaćanje teorijskog modela problema. Primjerice, zaključak da je vjerojatnost dobivanja dviju glava jednaka 1 umjesto 1 u aktivnosti Pošteno ili ne? učenicima je jasniji nakon 4 3 provodenja te aktivnosti. Eksperimentima pomažemo učenicima da uvide koliki je udio jednog ishoda dogadaja u odnosu na cjelokupan broj izvodenja pokusa. Za beskonačan broj nezavisnih izvodenja pokusa relativna frekvencija dogadaja jednaka je vjerojatnosti dogadaja u teoriji. Učenicima je učenje pomoću eksperimenata zanimljivije i zabavnije. Pokušajte koristiti eksperimentalnu metodu u razredu kad god je to moguće, kreirajući zanimljive probleme koje je potrebno proučiti. Ukoliko je moguće, dobro je i teoretski analizirati eksperiment. Rezultat je potrebno usporediti s predvidenim rezultatom. Provodenjem eksperimenta, počinjemo s problemom, dizajniramo i implementiramo način rješavanja problema te na posljetku analiziramo dobiveni rezultat.

32 Simulacija Simulacija je tehnika koja se često koristi pri rješavanju kompleksnih problema u kojima je važna vjerojatnost nekog ishoda. Simulacije se često provode zbog toga što su promatrane realne situacije previše komplicirane, opasne ili skupe. Kako bi mogli odrediti koji je ishod realnog problema vjerojatniji, simulacijski model mora biti pravilno dizajniran. U simulacijskim modelima vjerojatnosti ishoda moraju se podudarati s vjerojatnostima ishoda realnog problema. Na primjer, kod kreiranja rakete, velik broj povezanih sustava ima neku vjerojatnost neuspjeha. Različite kombinacije malih neuspjeha ili kvarova mogu uzrokovati velike probleme s radom rakete. Poznavanje vjerojatnosti odredenih neuspjeha ili potencijalnih kvarova dijelova rakete pomaže nam pri ispravljanju i redizajniranju rakete u svrhu boljeg i sigurnijeg rada. Nije pametno testiranje rakete provoditi u realnom svijetu jer je opasnost velika. Umjesto toga, bolje je napraviti model koji simulira rad rakete sa poznatim vjerojatnostima odredenih sustava i testirati ga više puta uz pomoć računala. Računalom je moguće simulirati na tisuće letova i procijeniti kolika je stvarna vjerojatnost neuspjeha ili pada. Primjer Primjer problema rješivog simulacijom Ovaj problem i model su preuzeti iz materijala razvijenih iz Quantitative Literacy Project (Gnanadeskian, Schaeffer, Swift, 1987). Na slici 18. prikazan je dijagram koji povezuje sustave A i B cijevima za navodnjavanje. Dano je pet crpki kojima je vjerojatnost kvara u svakom trenutku jednaka 1 2. Ukoliko se crpka pokvari, voda ne može proći kroz tu stanicu. Primjerice, ako se crpke 1, 2 i 5 pokvare, voda može teći samo crpkama 4 i 3.

33 32 Slika 18: Prikaz modela za navodnjavanje koji povezuje sustave A i B Promotrimo sljedeća pitanja: Kolika je vjerojatnost da će voda teći u svakom trenutku? Koliko bi se crpki, u prosjeku, trebalo popraviti kako bi vjerojatnost prolaska vode iz mjesta A u mjesto B bila zadovoljavajuća? Kolika je vjerojatnost da će stazom koja povezuje crpke 1 i 2 teći voda cijelo vrijeme? Sljedeći koraci su korisni kao vodiči kroz svaku simulaciju: 1. Identificirajte ključne komponente i pretpostavke problema. Ključna komponenta kod problema s vodenim crpkama je stanje crpke. Svaka crpka radi ili ne. Pretpostavka problema je da crpka radi s vjerojatnošću Izaberite slučajni uredaj za testiranje ključnih komponenti. Moguće je izabrati bilo koji slučajni uredaj kojemu su ishodi postavljeni prema vjerojatnostima ključnih komponenti. U našem slučaju ishod bacanja pravilno izradenog novčića može predstavljati radi li odredena crpka ili ne.

34 33 3. Definirajte eksperiment. Eksperiment se sastoji od simuliranja odredenih ključnih komponenti sve dok situacija nije potpuno modelirana u nekom trenutku. U našem problemu eksperiment se može sastojati od pet uzastopnih bacanja pravilno izradenog novčića, pri čemu rezultat svakog bacanja opisuje radi li jedna crpka ili ne. 4. Provedite eksperiment više puta i zapišite rezultate. U sklopu ovog problema bilo bi dobro zapisivati rezultate pet nezavisnih bacanja novčića jer oni predstavljaju rad svih crpki. 5. Dobivene podatke iskoristite za kreiranje zaključka o problemu. Četiri su moguća puta kojima voda može doći iz mjesta A u mjesto B. Na slici su oni označeni parovima brojeva 1 2, 5 2, 5 3 i 4 3. Zbrojimo li sve rezultate u kojima je voda mogla proći barem jednim putem, možemo izračunati vjerojatnost da će voda teći iz mjesta A u mjesto B. Prva tri koraka su zanimljiva pri kreiranju simulacije jer u njima stvarni problem pretvaramo u problem koji simuliramo. Posljednja dva koraka jednaka su odredivanju vjerojatnosti dogadaja statističkim pristupom. Kreiranje modela koji opisuje realan problem je suština primijenjene matematike. Slijede primjeri problema kod kojih se simulacija koristi pri prikupljanju empirijskih podataka: Kolika je vjerojatnost u pitalici točno-netočno da ćete sedam puta odgovoriti točno, ako svaki put pogadate? Simulaciju je moguće izvesti bacanjem pravilno izradenog novčića. Kolika je vjerojatnost da su dvije od pet osoba rodene u istom mjesecu? Simulaciju je moguće izvesti pomoću kockice s dvanaest strana ili dvanaest različitih karata. Učenici često imaju problem s odabirom odgovarajućeg slučajnog uredaja za simulaciju problema. Kola sreće su uvijek dobar izbor jer je kod njih moguće samostalno kreirati vjerojatnosti pojedinih ishoda. Pravilno izradeni novčići su korisni kod dogadaja kojima je vjerojatnost jednaka 1 2. Pravilno izradena igraća kockica može se koristiti kod dogadaja čija je vjerojatnost jednaka višekratnicima broja 1 6. Takoder je moguće pronaći i kockice koje imaju 4, 8, 12 ili 20 strana.

35 Korištenje tehnologije u eksperimentima i simulacijama Elektronički uredaji dizajnirani su da nasumično ispisuju slučajne ishode dogadaja pritiskom gumba. Postoje programi i aplikacije koje simuliraju bacanje pravilno izradenog novčića, vrtnju kola sreće ili izvlačenje brojeva iz vreće. Kalkulatori mogu nasumično ispisivati slučajne brojeve koje je moguće interpretirati ovisno o problemu. Korištenje računala u eksperimentima i simulacijama je korisno ukoliko učenici shvaćaju da je vjerojatnost dogadaja jednaka izvodimo li ih uživo ili na računalu. Tehnologija nam odredene sadržaje čini dostupnijima te je pomoću nje moguće napraviti više nezavisnih izvodenja pokusa u manjem vremenu. Nastavnicima tehnologija štedi vrijeme jer ne moraju izradivati materijale pomoću kojih bi izvodili eksperimente. Učenicima je pomoću tehnologije lakše grafički prikazati svojstva i rezultate eksperimenta. Mnogi uredaji i programi omogućuju sporije i brže verzije izvodenja pokusa. Na primjer, u sporijim verzijama moguće je promatrati svaku vrtnju kola sreće ili bacanje novčića, a u bržim je grafički prikazano više vrtnji odjednom. Takoder je moguće prikazati samo rezultate eksperimenta. Broj ponavljanja eksperimenta može postaviti korisnik.

36 35 Zaključak Vjerojatnost je grana matematike sa širokom primjenom u stvarnom svijetu. Učenicima se ona može predstaviti na zanimljiv, njima razumljiv način. Nastavnici matematike bi trebali motivirati učenike za rad i u njima pobuditi želju za stjecanjem novih znanja. Osmišljavanje zanimljivih aktivnosti i primjera često je zahtjevan posao jer je potrebno paziti na aktualnost i prilagodenost teme. Svaki nastavik treba proučavati i pronalaziti zanimljive načine kojima bi zainteresirao učenike. Provodenjem eksperimenata i korištenjem tehnologije u nastavi matematike potičemo radoznalost učenika i u njima budimo želju za novim znanjima.

37 36 Literatura [1] J.A. Van de Walle, K.S. Karp, J.M. BayWilliams, Elementary and middle school mathematics: teaching developmentally. 7th ed., Allyn & Bacon, Boston, [2] M. Benšić, N. Šuvak, Uvod u vjerojatnost i statistiku, Sveučilište J. J. Strossmayera u Osijeku, Odjel za matematiku, Osijek, [3] L. Kralj, D. Glasnović-Gracin, Z. Ćurković, M. Stepić, S. Banić, Petica 7, udžbenik i zbirka zadataka za 7. razred osnovne škole, SysPrint, Zagreb, [4] S. Antoliš, A. Copić, Matematika 4, udžbenik sa zbirkom zadataka za 4. razred prirodoslovno-matematičke gimnazije, Školska knjiga, Zagreb, 2006.

38 37 Sažetak Glavna tema ovog rada su metode poučavanja vjerojatnosti u nastavi matematike. U radu smo se najprije upoznali s osnovnim pojmovima vjerojatnosti i pristupima njenog definiranja, a zatim i s vjerojatnošću složenih dogadaja. U radu se navode mnoge aktivnosti i primjeri koji su prigodni za obradu te nastavne cjeline. Aktivnosti i primjeri su prilagodeni interesima učenika. Na posljetku je naglašena važnost korištenja eksperimenata i simulacija pri poučavanju vjerojatnosti u školama.

39 38 Summary Main topic of my work are methods of teaching the probability in mathematics. First of all, we were introduced to the basic concepts of probability and different ways of approaching its definition. Secondly, and then with the probability of complex events. Many activities and examples suitable for this teaching unit are adduced in this work and adapted to the students interests. Ultimately, the importance of using experiments and simulations while teaching probability in schools were emphasized.

40 39 Životopis Antonela Mikulić je rodena 17. travnja godine u Zagrebu. Pohadala je Osnovnu školu Višnjevac, a nakon završetka osnovne škole upisala je III. Gimnaziju u Osijeku. Godine upisala je sveučilišni nastavnički studij matematike i informatike na Odjelu za matematiku u Osijeku.