COPYRIGHT Diskriminacijska analiza. Osnove

Transcription

1 3. Metode predviđanja poslovnih poteškoća U prethodnom poglavlju objekt razmatranja je bio povijesni razvoj omjera i njihove uporabe u predviđanju poslovnih potekoća. Treće poglavlje obrađuje statističko-metodološke specifičnosti metoda s naglaskom na one koje će biti koritene u ovom radu. U dijelu 3.4. ukratko će se prikazati dosezi ostalih metoda na ovom području Diskriminacijska analiza Za diskriminacijsku analizu moe se slobodno reći kako je kamen temeljac suvremenih metoda predviđanja poslovnih potekoća tvrtki. Edward Altman ju je uporabio godine 69 kao metodu koja koristeći različite omjere (izračunate temeljem podataka iz javnih računovodstvenih izvjeća) identificira one najrelevantnije za diskriminaciju između dvije grupe poduzeća: onih koja su u stečaju i onih koja to nisu. Gotovo sva istraivanja nakon Altmanovoga referiraju i citiraju ga, te (više ili manje uspješno) pokušavaju nadmašiti njegov široko raširen i korišten Z-score model. Osnove Diskriminacijska se analiza koristi za utvrđivanje najznačajnijih varijabli koje razlučuju pripadnost jednoj od dvije ili vie prirodno postojećih grupa. Moe biti jednostruka i viestruka, ovisno o broju nezavisnih varijabli. Ovdje će se pojasniti viestruka diskriminacijska analiza. Računski promatrano vrlo je slična analizi varijance jer je osnovna ideja diskriminacijske analize uvidjeti razlikuju li se grupe prema srednjoj vrijednosti pojedine varijable, te zatim koristiti tu varijablu za predviđanje pripadnosti pojedinoj grupi. U tom smislu, diskriminacijska analiza se može promatrati kao analiza varijance, odnosno njome se postavlja pitanje razlikuju li se značajno dvije ili više grupa s obzirom na srednju vrijednost pojedine varijable. Ako su dakle srednje vrijednosti određene varijable signifikantno različite u različitim grupama, moemo ustvrditi kako ta varijabla diskriminira između grupa. 69 Altman, Edward: Financial ratios, Discriminant analysis and the prediction of corporate bankruptcy, The Journal of Finance, vol XXIII, No. 4, Sept 1968., str

2 Uobičajeno je uključiti vie varijabli u model kako bi se vidjelo koja ima najveću diskriminacijsku snagu. U tom slučaju formira se matrica ukupnih varijanci i kovarijanci; isto tako i matrica varijanci i kovarijanci unutar grupa. Možemo usporediti ove dvije matrice kako bi utvrdili postoje li značajne razlike (uzimajući u obzir sve varijable) između grupa. Ova je procedura identična viestrukoj analizi varijance. Pretpostavke Kao to je već spomenuto, diskriminacijska analiza je računski vrlo slična viestrukoj analizi varijance koja se temelji na četiri osnovne pretpostavke: Normalna distribucija. Pretpostavljeno je da su podaci (za varijable) uzorak s normalnom distribucijom. Prekršaj ove pretpostavke ipak ne mora poništiti rezultate istraživanja, tj. rezultirajući testovi signifikantnosti još uvijek mogu biti pouzdani. Homogenost varijanci/kovarijanci. Pretpostavljeno je kako su matrice varijanci/kovarijanci varijabli homogene kroz grupe. Manje devijacije nisu toliko važne, no prije donošenja konačnih zaključaka potrebno je pregledati matrice varijanci i kovarijanci unutar grupa. U nedoumici iz analize se moe isključiti jedna ili vie grupa manje značajnih grupa te ponoviti ispitivanje. Nepostojanje korelacije srednjih vrijednosti i varijanci. Rezultati diskriminacijske analize mogu biti nesignifikantni ukoliko su aritmetičke sredine varijabli unutar grupa korelirane s varijancama ili standardnim devijacijama. U praksi se navedeni slučaj događa kada postoje ekstremne vrijednosti koje značajno odstupaju od aritmetičke sredine te povećavaju varijabilnost (varijancu) 70. Korektan izbor varijabli. Još jedna pretpostavka diskriminacijske analize je da varijable koje se koriste za diskriminaciju između grupa nisu potpuno redundantne. Jedna od računskih operacija koje se provode u diskriminacijskoj analizi je i invertiranje matrice varijanci/kovarijanci u modelu. Ukoliko je neka od varijabli potpuno redundantna s drugim varijablama ova matrica ne može se invertirati. Ovaj problem rješavamo izračunom tolerancije pojedine varijable. Vrijednost tolerancije za svaku varijablu, koja se izračunava kao 1-R 2 za promatranu varijablu, predstavlja udio varijance koja je specifična za tu promatranu varijablu. Kada je varijabla gotovo potpuno redundantna (i kao rezultat toga matrica se ne može invertirati) vrijednost tolerancije se približava nuli, te ju je potrebno isključiti iz analize. 70 eng. outlier 37

3 Stepwise metode procjene parametara Istraivači najčeće uključuju to je moguće veći broj varijabli u model diskriminacijske analize kako bi odredili one koje najviše diskriminiraju među grupama. Dakle, formira se model koji bi to je moguće bolje predviđao pripadnost određenog slučaja pojedinoj grupi. U stepwise diskriminacijskoj analizi model se stvara korak po korak. Na svakom koraku revidiraju se sve varijable i procjenjuju one koje najviše doprinose diskriminacijskoj snazi modela. Kod forward stepwise analize varijable se uključuju redom jedna po jedna, sukladno snazi diskriminacije. One koje su slabije u diskriminaciji među grupama ne uključuju se model. Backward stepwise analiza kreće suprotno od forward stepwise; ovdje se sve varijable uključuju u model, i zatim se redom isključuju one koje najmanje doprinose diskriminacijskoj snazi modela. Obje stepwise metode završavaju s optimalnim izborom varijabli koje diskriminiraju između grupa, pri čemu se koriste specifičnim F vrijednostima za svaku pojedinu varijablu. F je mjera veličine jedinstvenog doprinosa promatrane varijable diskriminacijskoj snazi modela; određivanjem gornje i donje granice F vrijednosti 71 uključivati u model. Funkcije klasifikacije i funkcije diskriminacije definira se opseg u kojem će se varijable Računalni programi koji apliciraju diskriminacijsku analizu izračunavaju funkcije klasifikacije, koje treba razlikovati od funkcija diskriminacije. Funkcije klasifikacije koriste se pri određivanju kojoj grupi svaku slučaj najvjerojatnije pripada. Ima ih isto koliko ima i grupa. Svaka funkcija omogućava izračun klasifikacijskih vrijednosti za svaki slučaj za svaku grupu, prema izrazu: S i = c i + w i1 *x 1 + w i2 *x w im *x m, gdje je S i vrijednost klasifikacije, i oznaka grupe, 71 eng. F to enter, F to remove 38

4 1,2, m predstavlja m varijabli, c i konstanta za i-tu grupu, w ij vrijednost pondera za j-tu varijablu u izračunu vrijednost klasifikacije za i-tu grupu, x j vrijednost promatranog slučaja za j-tu varijablu. Izračunom S 1, S 2, do S i (za i grupa) za pojedini slučaj, lako je utvrditi kako klasificirati navedeni slučaj u onu grupu za koju je vrijednost klasifikacije najveća 72. Također se moe izračunati posteriori vjerojatnost vjerojatnost da promatrani slučaj zaista pripada određenoj grupi, to se postie izračunom Mahalanobis udaljenosti. Mahalanobis udaljenost je mjera udaljenosti između dvije točke u prostoru koji je definiran sa dvije ili vie koreliranih varijabli. Uobičajeno je razmišljati o Euklidskom prostoru u kojem udaljenost između dvije točke moemo izmjeriti ravnalom (metrom, itd.) to je stoga što varijable (duljina, širina, visina) nisu korelirane. No kada postoji više od tri dimenzije, ili kada su one u određenom ne-ortogonalnom odnosu 73 Euklidska udaljenost više nije adekvatna mjera, te se koriste Mahalanobis udaljenosti. Stoga se za svaku grupu u istraivanju moe odrediti srednja vrijednost (točka) za sve varijable u višedimenzionalnom prostoru koji je definiran modelom. Ove se točke zovu centroidi grupe. Za svaki pojedini slučaj moe se izračunati Mahalanobis udaljenost od navedenog slučaja do svakog centroida grupe, i sukladno ovome, slučaj se svrstava u grupu kojoj je najbliži, tj. ondje gdje je Mahalanobis udaljenost najmanja. Koristeći Mahalanobis udaljenosti mogu se izračunati posteriori vjerojatnosti naknadnu vjerojatnost da pojedini slučaj pripada određenoj grupi, a koja je proporcionalna Mahalanobis udaljenosti do centroida grupe. Budući da se izračunava nakon klasifikacije, znajući vrijednosti ostalih varijabli, naziva se posteriori vjerojatnost. 72 Npr., ako ima četiri grupe, a S 3 za slučaj X je veća od S 1, S 2 i S 4, slučaj X pripada trećoj grupi. Iznimka su a priori klasifikacijske vjerojatnosti koje su bitno nesuglasne, o čemu će vie riječi biti u tekstu koji slijedi. 73 Moemo vizualizirati grafom u kojem su osi X i Y pod određenim ne-pravim kutom (ne-ortogonalne). 39

5 Funkcija diskriminacije ima i-1, tj. jedna manje od broja grupa. U slučaju kada postoje dvije grupe, postoji samo jedna funkcija diskriminacije koja je analogna funkciji višestruke regresije 74 : Grupa = a + b 1 *x 1 + b 2 *x b m *x m, gdje je a konstanta, b 1, b 2, b m koeficijenti regresije. Varijable s najvećim standardiziranim koeficijentom regresije (standardizirani b, odnosno Beta) najviše doprinose snazi predviđanja pripadnosti pojedinoj grupi. No kada postoji više od dvije grupe, varijable s velikim Beta koeficijentom samo pokazuju kako su bitne pri klasifikaciji, i kako doprinose diskriminacijskoj snazi modela, ali ne govore između kojih točno grupa diskriminiraju. Promatranjem srednjih vrijednosti funkcija preko grupa mogu se identificirati karakteristike i specifičnosti funkcije. Nakon izračuna funkcija diskriminacije testira se statistička signifikantnost, odnosno izračunava se korelacija između varijabli u modelu i korelacija između funkcija diskriminacije. Razumljivo, u obzir treba uzeti samo statistički signifikantne funkcije. Kada je model zavren i funkcije diskriminacije su izračunate, ostaje za vidjeti koliko dobro postignuti model predviđa kojoj grupi pojedini slučaj pripada. Ovdje se suočavamo s problemom sučeljavanja 'a priori' (prethodnog) i 'post hoc' (naknadnog) predviđanja. Naime, ako se formira model diskriminacije koritenjem određenih podataka, te se zatim procjenjuje točnost predviđanja uvrtavanjem određenog slučaja X iz istih podataka pokušavamo se okoristiti poznatom nam vjerojatnoću pripadnosti slučaja X grupi A. Jer budući je model formiran koritenjem i slučaja X, poznata je vjerojatnost točne klasifikacije navedenog slučaja. Općenito, uvijek se dobiva loija točnost klasifikacije kada se uvrtavaju slučajevi koji nisu bili koriteni za formiranje modela. Drugim riječima, post hoc predviđanja uvijek su točnija od a priori predviđanja, to je i logično jer je tee predvidjeti budućnost nego pronaći model koji će dokazati neto to znamo da se dogodilo. Zaključuje se kako se pri koritenju diskriminacijske analize ne smije klasificirati novi slučaj oslanjajući se na vjerojatnosti prethodnih izračuna, nego je potrebno prikupiti nove podatke kako bi ispitali korisnost i vrijednost funkcija diskriminacije. Ukoliko rezultati 74 Neće se ulaziti u problematiku višestruke regresije jer bi to prelazilo okvire ovog rada. 40

6 dobiveni uključivanjem novih slučajeva ne naruavaju diskriminacijsku snagu modela, moe se zaključiti kako je formiran kvalitetan model diskriminacijske analize. Uz navedeno, uvijek valja imati na umu kako uzročno-posljedične veze događaja u prolosti nikada ne mogu biti garancija istih veza u budućnosti, ma kakav model bio formiran Nelinearni regresijski modeli Dvije varijante nelinearnih regresijskih modela interesantne su pri istraživanju poslovnih potekoća; logit i probit. Logit model za predviđanje poslovnih potekoća tvrtki među prvima je uporabio Ohlson Koristeći već standardne financijske omjere tvrtki pokuao je formirati model vjerojatnosti stečaja. Probit model se može koristiti u istoj funkciji. Osnove Nelinearni modeli izračunavaju odnos između vie nezavisnih varijabli i zavisne varijable. U ovom smislu, identična je viestrukoj regresiji, no za razliku od nje, ne rezultira linearnim (pravocrtnim) odnosom između nezavisnih i zavisne varijable. Nelinearni modeli ostavljaju istraivaču na volju da samostalno pretpostavi je li zavisna varijabla logaritamska, eksponencijalna, ili koja druga funkcija nezavisne varijable. U svakom slučaju, nelinearni model će procijeniti odnos između zavisne i nezavisnih varijabli na isti način kao i svi regresijski modeli: y = f (x 1, x 2,, x n ) Nelinearni modeli mogu biti prikriveno linearni; tada se radi o u biti linearnim modelima. Kad god je moguće nelinearni model transformirati (npr. logaritmiranjem) u linearni preporuča se to isto i učiniti. Modeli koji su 'istinski' nelinearni često su kompleksni modeli na koje utječe mnotvo nezavisnih varijabli koje je teko definirati, te stoga izborom konačnog broja nezavisnih varijabli preostaje nasumična fluktuacija (rezidualna varijabilnost), odnosno pogreka. Ovaj se problem rjeava različitim funkcijama minimizacije pogreke, koje će biti ukratko objašnjene. 75 Ohlson, James: Financial ratios and the probabilistic prediction of bankruptcy, Journal of Accounting Research, Vol. 18, No 1, Spring 1980, str

7 Logit i probit modeli Nije neobično da je nezavisna varijabla po prirodi binarnog karaktera, tj. da može imati samo dvije vrijednosti. Tada se procjenjuje model koji opisuje vezu između dvije ili vie kontinuiranih nezavisnih varijabli i binarne zavisne varijable. Linearnoj višestrukoj regresiji ne može se implicirati binarnost, tj. ako se željenu binarnu zavisnu varijablu označi nulom i jedinicom ne moe se "natjerati" linearnu viestruku regresiju da ne isporuči rezultate koji su izvan skupa od 0 do 1. Rjeenje dolazi u drugačijem izrazu regresijskog problema; umjesto predviđanja egzaktno binarne varijable moemo predviđati kontinuiranu zavisnu varijablu y koja prirodno lei unutar 0 < y < 1 granica. U logit regresijskom modelu predviđene vrijednosti zavisne varijable nikada neće biti manje ili jednake 0, niti veće ili jednake 1, to se postie slijedećom regresijskom jednadžbom: e y 1 e ( b0 b1*x1... bn *xn ) ( b0 b1*x1... bn *xn ) Vidljivo je kako bez obzira na koeficijente regresije i veličine nezavisnih varijabli x ovaj model uvijek daje rezultate u okviru 0 do 1. Naziv logit dolazi zbog činjenice da se ovaj model jednostavno moe linearizirati logističkom transformacijom: log e {1/(1-y)} = b 0 + b 1 *x 1 + b 2 *x b n *x n Probit regresijski model naziva se tako zbog normalne vjerojatnosti (eng. normal probability). Naime, možemo pretpostaviti kako je zavisna binarna varijabla funkcija nezavisne varijable s normalnom distribucijom. Prostor ispod krivulje normalne distribucije moemo nazvati normalnom vjerojatnoću (NV). Tada moemo pisati: NV(y) = NV (b 0 + b 1 x b n x n ) 42

8 Funkcija maksimiziranja sličnosti (eng. maximum likelihood, koristi se kao funkcija minimiziranja gubitka eng. loss function) izračunata je za logit i probit modele i glasi: izraz glasi: log(l 1 ) = i n = 1 [y i *log(p i ) + (1-y i )*log(1-p i )], gdje je log(l 1 ) prirodni logaritam sličnosti (log-likelihood), y i promatrana vrijednost za slučaj i, p i očekivana vjerojatnost. Za nul-model, odnosno za model koji ima samo intercept, bez koeficijenata regresije, log(l 0 ) = n 0 *(log(n 0 /n)) + n 1 *(log(n 1 /n)), gdje je n 0 broj slučajeva s vrijednoću 0, n 1 broj slučajeva s vrijednoću 1, n ukupan broj slučajeva. Logit i probit modeli su specijalni slučajevi EGB2 modela (eksponencijalni generalizirani beta druge vrste). U predviđanju poslovnih potekoća nedavno je predloeno korištenje nešto naprednijih verzija EGB2 modela, pod nazivom lomit i burrit modeli. Oni su bazirani na prirodnim logaritmima Lomax i Burr3 varijacija, a opisali su ih i usporedili s tradicionalnim logit i probit modelima Barniv i McDonald 1999., te ustvrdili kako "neznatno, ali signifikantno pojačavaju snagu modela" 76. Funkcije minimizacije pogreške Kod standardne višestruke regresije regresijske se koeficijente procjenjuje minimiziranjem rezidualne varijance (sume kvadrata reziduala) oko linije regresije. Svaka devijacija promatrane vrijednosti od rezultata dobivenog regresijom predstavlja gubitak, pogreku. Stoga se moe reći kako je cilj metode najmanjih kvadrata minimizacija ove pogreške. No mogu se koristiti i druge funkcije minimizacije; umjesto minimiziranja sume kvadrata devijacija može se odabrati smanjivanje sume apsolutnih devijacija (što je katkad korisno za otkrivanje ekstremnih vrijednosti - eng. outlier). 76 Barniv, Ran; McDonald, James B.; Review of Categorical Models for Classification Issues in Accounting and Finance, Review of Quantitative Finance and Accounting; Jul 1999; 13, 1; ABI/INFORM Global, str

9 Sve navedeno odnosi se i na logit i probit model, koji su, kako je već rečeno, specijalni slučajevi višestruke regresije. Dakle, može se koristiti nekoliko funkcija minimizacije. Uz navedenu sumu najmanjih kvadrata i apsolutnu devijaciju, jedna od redovno koritenih metoda je metoda ponderiranih najmanjih kvadrata. Klasična tehnika najmanjih kvadrata pretpostavlja kako je rezidualna varijanca oko linije regresije jednaka za sve vrijednosti nezavisne varijable. Ova pretpostavka identične varijance pogreke često nije realna, te se stoga uvrštavaju ponderi za pojedine varijable. No upravo navedene funkcije zapravo su dio formacije regresijskog modela, odnosno radi se o tzv. loss 77 funkcijama koje koristimo pri procjeni linije regresije. Tek nakon izračuna loss funkcije moe se zaista prijeći na njenu minimizaciju. Kod nelinearnih regresijskih modela poput logit i probit-a koriste se Levenberg- Marquardt algoritam, quasi-newton metoda, Simplex procedura, Hooke-Jeeves tehnika, Rosenbrock pretraivač uzoraka, Hessian matrica i standardne greke, i druge. Uobičajeni postupak za sve navedene funkcije minimizacije je unos početnih vrijednosti, početne veličine koraka i kriterija konvergencije. Sve metode počinju s određenim skupom početnih vrijednosti koje se potom sistematski mijenjaju od iteracije do iteracije, dok početna veličina koraka određuje koliko će se parametri mijenjati. Kriterij konvergencije određuje kada će se proces zaustaviti. Najveći problem kod svih funkcija minimizacije su lokalni minimumi. Kada funkcija 'padne' u lokalni minimum svakom iteracijom i svakim (manjim) korakom pogreška se povećava, to bi inače signaliziralo kako je optimalni rezultat pronađen; no kod lokalnog minimuma većim korakom, tj. pomicanjem parametara u sasvim drugo područje pogreka bi se mogla još smanjiti. Simplex metoda osobito je pogodna za rješavanje ovog problema. Simplex procedura pri svakoj iteraciji procjenjuje funkciju na m+1 točaka u m- dimenzionalnom prostoru. Kada postoji, npr. četiri parametra procjene četiri dimenzije, Simplex procjenjuje funkciju na pet točaka oko trenutačnog optimuma, a lik stvoren ovim točkama zove se Simplex. Budući da postoji jedna točka vie od broja dimenzija, ona usmjerava kamo ići kako bi se minimizirala pogreka. 77 Postoji problem adekvatnog prijevoda engleskih termina 'loss function', 'minimization of the loss function' i 'function minimization', koji ne znače uvijek isto, a koji se često koriste kao sinonimi. 44

10 Quasi-Newton metoda pri svakom koraku procjenjuje funkciju na različitim točkama radi izračuna derivacija prvog (nagib funkcije) i drugog reda (promjena i smjer nagiba). Levenberg-Marquardt algoritam koristi se pri primjeni metode najmanjih kvadrata. To je unaprjeđenje/modifikacija Gauss-Newtonove metode za postizanje minimizirajućeg rješenja problema nelinearnih najmanjih kvadrata. U usporedbi s ostalim tehnikama ova je metoda relativno jednostavna i brza, te se preporučuje pri analiziranju velikog skupa podataka. U određenom smislu najjednostavniji od svih algoritama, Hooke-Jeeves metoda pri svakoj iteraciji definira uzorak točaka pomicanjem parametara na način da se optimizira trenutna funkcija pogreke. Cijeli uzorak točaka tada se premjeta na novu lokaciju koja je determinirana ekstrapoliranjem linije iz prethodne bazne točke u novu. Ovo je efektivna metoda koja se može koristiti ako i quasi-newton i Simplex metoda ne uspiju dati dobre rezultate. Rosenbrock metoda potrage za uzorkom rotira prostor parametara (često se naziva i metodom rotacije koordinata), te moe pomoći ako ostale metode 'zakau'. No ipak, ovaj algoritam pretraživanja može prerano stati s minimizacijom pogreške ukoliko postoje specijalni slučajevi (kada rezultat procjene vrijednosti bude 0, u kojem slučaju se logaritam ne moe izračunati). Hessian matrica je matrica derivacija drugog reda (parcijalnih derivacija). Inverzija Hessian matrice aproksimira matricu varijanci/kovarijanci parametara procjene, te bi stoga trebao postojati inverzan odnos između derivacija drugog reda za određeni parametar i njegove standardne greške. Ova procedura postiže precizne asimptotske standardne greške za sve metode procjene Metoda višedimenzionalnih skala Metoda višedimenzionalnih skala (MDS) popularna je metoda društvenih znanosti, osobito sociologije i psihologije. U ovim područjima omogućava postavljanje pitanja kao što 45

11 je "Koliko je slična osoba X osobi Y?" i sličnih, te potom smisleno zaključivanje iz izvedenih dimenzija koje se 'kriju' iza odgovora. Primjenu u analizi poduzeća suočenih s poslovnim potekoćama MDS je naao nedavno 78. Relativno je jednostavna i intuitivna u tumačenju, te postavlja niske zahtjeve prema ulaznim podacima, tj. moemo analizirati bilo kakvu matricu sličnosti/razlika. Snaga MDS-a leži u sposobnosti geometrijskog reprezentiranja unutarnje strukture podataka u grafičkom kontekstu Euklidskog prostora niske dimenzionalnosti, čime omogućava način interpretacije objekta istraivanja blizak ljudskoj percepciji koja se temelji na osjetilu vida (karta objekata u prostoru jednostavnije i intuitivnije se percipira nego niz brojeva u tablici). Također, o objektu istraivanja a priori se ne mora znati gotovo nita; dovoljno je imati relevantne podatke. 79 Osnove Cilj multidimenzionalnog skaliranja je otkriti smislene, sadržajne dimenzije objekata istraivanja koje omogućuju pojanjenje promatranih sličnosti i razlika (u metodi predstavljenih udaljenostima) tih istih objekata. MDS pokuava urediti, aranirati ulazne informacije na način da razlike među njima predstavljaju udaljenosti u viedimenzionalnom prostoru. Tako se odnosi među objektima istraživanja mogu objasniti dimenzijama prostora kojima su reprezentirani. "Postoji vie načina definiranja udaljenosti dvije točke u prostoru, a svaki od njih urođen je određenom modelu prostora; odnosno svaki model prostora ima svoju funkciju udaljenosti. Neki od ovih modela su obični, neponderirani Euklidski prostor, ponderirani Euklidski prostor (poznat i kao INDSCAL model), Minkowski model, Attneave (city-block) prostor, itd." 80 O ovome treba voditi računa kada govorimo o prostornoj reprezentaciji vrijednosnih podataka. U radu će se koristiti model Euklidskog prostora. 78 Pogledati: Mar-Molinero, Cecilio; Serrano-Cinca, Carlos; Bank failure: a multidimensional scaling approach, European Journal of Finance; Jun 2001., Vol. 7 Issue 2, str Ovo je osobito korisno u studijama poslovnih potekoća kada ne moramo a priori znati pripada li poduzeće grupi uspjenih ili neuspjenih. 80 Grupa autora; An introduction to multidimensional scaling, Measurement & Evaluation in Counseling & Development; Apr 1991., Vol. 24 Issue 1, str

12 Računski promatrano, MDS nema egzaktnu proceduru nego iterativno pronalazi konfiguraciju točaka u viedimenzionalnom prostoru koja najbolje aproksimira promatrane udaljenosti (tj. sličnosti/razlike). Koristi se, dakle, algoritam funkcije minimizacije koji premjeta objekte u prostoru definiranom određenim brojem dimenzija, te uspoređuje na svakom koraku koliko dobro udaljenosti među točkama predstavljaju sličnosti/razlike u ulaznim podacima. Na svakom koraku uspoređuje se stanje s prethodnim iteracijama, a proces zavrava kada je pronađena konfiguracija koja je minimizirala nepodudaranje pronađene konfiguracije točaka u prostoru sa stvarnim, promatranim udaljenostima među podacima. Mjera kojom se prosuđuje koliko dobro (ili loe) određena konfiguracija točaka u prostoru reprezentira matricu podataka naziva se stress (naziva se još i raw stress sirovi stress), a izračunava se po izrazu: Phi = [d ij - f ( ij )] 2, gdje je phi -mjera stress-a, d ij producirane udaljenosti s obzirom na dati broj dimenzija, ij -(delta ij) ulazni podaci, tj. promatrane udaljenosti, f ( ij ) -monotona, ne-metrična funkcija transformacije ulaznih podataka (udaljenosti). Koristeći iste oznake mogu se izraziti koeficijent alijenacije (K) i standardizirani stress (S): K=[1-{ d ij * ij } 2 / ( ij 2 )] S=[ (d ij - ij ) 2 / (d ij 2 )] Što je manja stress vrijednost, bolja je primjerenost reproducirane matrice udaljenosti stvarnoj matrici (odnosno veća je njihova sličnost). Ova sličnost (ili različitost) stvarnih nasuprot transformiranih udaljenosti može se vizualizirati Shepardovim dijagramom. Shepardov dijagram sučeljava transformirane udaljenosti na vertikalnoj osi (y) sa originalnim sličnostima na horizontalnoj (x); odatle negativan nagib (veća sličnost = manja reproducirana udaljenost, i obratno). Ovaj dijagram također daje uvid u step-funkciju (funkciju koraka). Ova linija prikazuje tzv. ^D vrijednosti, odnosno rezultate monotone tranformacije f( ij ) ulaznih podataka. Otkloni 47

13 tj. devijacije reproduciranih točaka od ove linije funkcije koraka ukazuju na nepodudaranje. 81 Grafikon 1. daje primjer Shepardova dijagrama. Grafikon 1. Primjer Shepardovog dijagrama 82 Pri definiranju modela potrebno je izabrati početnu konfiguraciju točaka; ona može biti zadana već postavljenom matricom ili se moe izabrati standardna Guttman-Lingoes konfiguracija. Potrebno je definirati minimalni i maksimalni broj iteracija, te epsilon vrijednost najmanju udaljenost koja će biti signifikantna (uputno je ovu vrijednost staviti na ništicu kako bi postigli što bolju podudarnost). Dimenzije Općenito uzevi, to se vie dimenzija koristi za reprodukciju stvarnih udaljenosti, veća je podudarnost stvarnih i transformiranih udaljenosti (i sukladno ovome, manja je stress vrijednost). Kad bi se ovo dovelo do krajnosti te bilo uzeto onoliko dimenzija koliko ima varijabli, podudarnost bi bila savršena; no cilj je reducirati promatranu složenost prirode kako bi mogli donijeti određene zaključke. Uz navedeno, jasno je kako izbor dvije ili tri dimenzije omogućava vizualizaciju dijagramom to bitno pojednostavljuje interpretaciju. Uobičajeni način odlučivanja koliko dimenzija uzeti naziva se scree test. Radi se o dijagramu koji sučeljava broj dimenzija s pripadajućim stress vrijednostima. Cilj je pronaći točku u kojoj se blagi pad stress vrijednosti 'izravnava', odnosno točku nakon koje se ne 81 eng. lack of fit, suprotno od goodness of fit 82 Izvor: Statistica 6.0 Electronic Manual, Stasoft Inc.,

14 događa značajan pad. Nadesno od ove točke nalazi se (najvjerojatnije) samo faktorski scree 83, tj. manje bitni faktori koji ne doprinose značajno snazi interpretacije. "Pojava 'lakta' u dijagramu daje uvid u prikladnu prostornu orijentaciju, nagovijetajući kako dodatne dimenzije iza ovog 'lakta' daju zanemariv doprinos podudarnosti stvarnih i transformiranih udaljenosti. No ipak, Arabie, Carroll, i DeSarbo 84 kritizirali su ovu metodu izjavom kako je "u praksi ovaj lakat prisutan koliko i Sveti Gral, te ova strategija rijetko donosi odlučujući odgovor." 85 Grafikon 2. Primjer scree- test dijagrama 86 U primjeru scree-testa na grafikonu 2. odlučili bismo se za dvije dimenzije jer nagib nakon ove točke vie nije toliko značajan. No budući da se i trodimenzionalni graf moe iscrtati (jer bi se po scree-test dijagramu također za to rjeenje mogli opredijeliti) i to bi se trebalo učiniti te usporediti rezultate analize. Konačni korak MDS analize jest interpretacija dimenzija. Stvarna orijentacija osi je proizvoljna i grafikon se moe rotirati u bilo kojem smjeru, bez posljedica za lakoću interpretacije rezultata, no još uvijek ostaje problem smislenosti dimenzija. 83 scree je eng. termin u geologiji; predstavlja hrpu sitnog kamenja koja se skuplja u podnožju stijene. Zamislimo li plavu liniju na grafikonu 2. kao nagib stijene treba postaviti pitanje u kojoj bi se točki skupljalo kamenje koje pada s vrha. Ta točka predstavlja optimalan broj dimenzija. str Arabie, P.; Carroll, J. D.; DeSarbo, W. S; Three-way scaling and clustering, 1987., Beverly Hills, Sage, 85 Grupa autora; An introduction to multidimensional scaling, Measurement & Evaluation in Counseling & Development; Apr 1991., Vol. 24 Issue 1, str Izvor: Statistica 6.0 Electronic Manual, Stasoft Inc.,

15 Moe se reći kako su dimenzije smislene ukoliko njihova interpretacija ostaje stabilna kada se podaci promijene. MDS se moe izvesti nekoliko puta na nasumično izabranom podskupu originalnog skupa podataka; dimenzije koje su stabilne kroz sve podskupove bi se trebale zadržati, a ostale odbaciti. Ipak, konačno je moda najvaniji idejni smisao dimenzije; ako se dimenzije ne mogu ni na koji način interpretirati gotovo nita ne znači stabilno rjeenje uz niske stress vrijednosti. Najjednostavniji i najčeći način interpretacije dimenzija je intuitivno izvesti zajedničke značajke objekata na ekstremnim krajevima dimenzije 87. Ako su objekti sa ekstremnim vrijednostima koordinate različiti po određenoj značajki od ostalih objekata, te ako su s druge strane (promatrajući istu os) objekti na krajnjim točkama različiti od ostalih po istoj toj značajki (i to po karakteristikama suprotno od ovih prethodnih), onda ovu se ova značajka moe koristiti za identifikaciju dimenzije. Analitička interpretacija dimenzija može se izvesti korištenjem višestruke regresije nad varijablama koje su na koordinatama različitih dimenzija, te internim hijerarhijskim clusteringom Ostale metode Ovdje će se ukratko iznijeti metode koje se manje (teorije kaosa) ili više (neuronske mree) koriste u predviđanju poslovnih potekoća poduzeća. One nipoto nisu trivijalne, niti manje kvalitetne, no njihov detaljan opis prelazio bi okvire ovog rada. 89 Teorija grubih setova 90 Teoriju grubih setova razvio je Zdzislaw Pawlak u 1980-tima. Jo je prilično nepoznata i slabo korištena u financijskim krugovima. (Ekstenzivno pretraživanje 87 Schiffman, S. S.; Reynolds, M. L.; Young, F. W.; Introduction to multidimensional scaling, New York: Academic Press, 1981., str Johnson. S. C; Hierarchical clustering schemes, Psychometrika 32, 1987., str Interesenti imaju iroke mogućnosti uvida u studije o ovim metodama u literaturi. 90 eng. Rough set theory 50

16 međunarodne literature koje su učinili Dimitras, Slowinski i Zopoundis 91 pronašlo je 158 radova objavljenih u razdoblju god. vezanih uz stečaj poduzeća; nijedno od njih nije sadravalo model predikcije stečaja koristeći teoriju grubih setova.) "Početna točka ove teorije je odnos nerazlučivosti - nerazlikovanja 92. Ovaj odnos identificira objekte istih značajki; objekti istih karakteristika smatraju se nerazlučivima i sukladno ovome identičnima ili sličnima. Odnos nerazlučivosti vodi grupiranju 93 elemenata istih karakteristika u granule nerazlučivih/sličnih objekata. U teoriji grubih setova ove se granule nazivaju i elementarni skupovi koncepti, i one su osnovni građevni elementi naeg svekolikog znanja. Svaka unija elementarnih koncepata je precizan ili jasan set; u suprotnom govorimo o grubom ili nepreciznom setu. Stoga grube setove izražavamo otprilike, usvajanjem ideje donje i gornje aproksimacije seta. Donja aproksimacija je unija svih granula koje su zaista u setu, dok je gornja unija onih koje su vjerojatno u setu. Razlika između donje i gornje aproksimacije je regija razgraničenja. Set je grub (neprecizan) ako ova regija nije prazna, tj. ako donja i gornja aproksimacija nisu identične, a jasan je (precizan) ako je regija razgraničenja prazna." 94 "Teorija grubih setova može se pojasniti promatranjem tri osnovne kategorije nepreciznosti u znanstvenim istraživanjima. Prva se odnosi na greku koja je slučajna, nasumična u prirodi; ova se nepreciznost opisuje statističkom teorijom vjerojatnosti. Potom, elementi ne moraju biti u samo jednoj (ekskluzivnoj) kategoriji nego mogu spadati u više od jedne kategorije po nepodudarajućim razinama; netočnost se odraava u nejasnoći pripadnosti setu, a opisuje logikom nejasnoće (eng. fuzzy logic). Treća kategorija pogreaka odnosi se na teoriju grubih setova, a korisna je kada su kategorije u koje objekti trebaju biti klasificirani neprecizne, ali mogu biti aproksimirane preciznim setovima." Dimitras, A.; Slowinski, R.; Zopoundis, C.; A survey of business failures with an emphasis on prediction methods and industrial applications, European journal of Operational Research, No. 90, 1996, str eng. indiscernibility relation 93 eng. clustering 94 Pawlak, Zdzislaw; Rough sets and decision analysis, INFOR, Vol. 38, No. 3, Aug 2000., str McKee, Thomas E.; Developing a bankruptcy prediction model via rough sets theory, International Journal of Intelligent Systems in Accounting, Finance and Management, Sep 2000; 9, 3; ABI/INFORM Global, str

17 Ulazni se podaci kodiraju i rangiraju po određenim pravilima, potom se konstruira model od n jednostavnih pravila odlučivanja. 96 Nelinearni dinamički modeli Nelinearni dinamički modeli su se pokazali uspjenima u predviđanju određenih endogeno determiniranih katastrofalnih sistemskih slomova. Uporabljujući ove modele moguće je iskoristiti karakteristike kaotičnog ponaanja koje moe biti predvidivo i determinističko, ali zbog ekstremne osjetljivosti na početne uvjete samo na kratki rok. "Kaotični sustavi, premda kratkoročno deterministički i predvidivi, čine se nasumični, slučajni. Uzmemo li kako zdravi sustavi pokazuju vie kaosa nego nezdravi (Goldbergerova hipoteza 97 ), moe se pretpostaviti da će sustavi u trenutku kada su blizu stečaju (ili je stečaj već pokrenut) pokazivati značajno manje kaosa mjerenog Ljapunovljevim eksponentima nego prije tog trenutka." 98 Ljapunovljevi eksponenti (LjE) mjere stupanj divergencije ili konvergencije dvije oblinje točke dinamičkog sustava. Pozitivni (negativni) LjE mjeri prosječnu eksponencijalnu divergenciju (konvergenciju) dvaju bliskih putanja. 99 Moemo reći da LjE mjeri stupanj osjetljivosti na početne uvjete mjerenjem prosječne eksponencijalne razine divergencije ili konvergencije obližnjih orbita u faznom prostoru. Po definiciji, svaki sustav koji ima pozitivan LjE je kaotičan; to je eksponent veći sustav bre postaje nepredvidiv. Izračunom razlika između LjE kalkuliranog za razdoblje kratko prije stečaja i LjE za razdoblje znatno prije stečaja, moe se dokazati Goldbergerova hipoteza. 96 Primjerice, pravilo br.1 u navedenom modelu McKee-a kaže: ako je omjer prihoda i ukupne imovine kodiran brojem 8, to znači da ovaj omjer ima vrijednost između 0,02 i 0,05, poduzeće treba rangirati u skupinu poduzeća koja nisu u stečaju. Očito je kako ovo pravilo ima samo jedan atribut; obično ih nema vie od dva do tri. 97 vidi u Goldberger, Ary L.; Nonlinear Dynamics, Fractals and Chaos: Applications to Cardiac Electophysiology, 1990., Annals of Biomedical Engineering, Vol. 18, str Lindsay, David H; Campbell, Annhenrie; A chaos approach to bankruptcy prediction, Journal of Applied Business Research, Laramie: Fall Vol. 12, Iss. 4; str Gencay, Ramazan; Dechert, W. Davis; The identification of spurious Lyapunov exponents in Jacobian algorithms, Studies in Nonlinear Dynamics and Econometrics, Massachusetts Institute of Technology, October 1996., 1 (3), str

18 Potrebno je spomenuti i tzv. butterfly efekt, poznat u literaturi o kaosu. Radi se o jednom od prvih primjera primijenjenog kaosa, i to kada pokret leptirovih krila uzrokuje značajnu promjenu cijelog meteorološkog sustava; ekonomistima ovo može biti poznato na vlastitim primjerima (naizgled beznačajna promjena u tijeku novca moe izazvati ogromne posljedice). Metodologija kaotičnih sustava općenito jo nije apsolutno definirana, a u financijskom okruženju osobito. Jasno je vidljivo kako su modeli koji se koriste u financijskim okruenjima, a koji su temeljeni na modelima kaosa jo u samom začetku. Ovo je vidljivo u postupku transfera pretpostavki (Goldberger) o kaotičnim sustavima iz kardiologije u financijsko upravljanje, a koje su (uspjeno!) učinili Lindsay i Campbell 100. Svakako, biti će interesantno promatrati evoluciju ovih metoda u ekonomiji. Metode umjetne inteligencije računalno učenje U procesu odlučivanja o poslovnim potekoćama poduzeća stručnjak ima izbor između osnovne tri mogućnosti: a) osloniti se na vlastitu prosudbu (iskustvo), b) uporabiti određenu statističko-matematičku tehniku (koje su obrađene u prethodno), i c) uporabiti ekspertni sustav sustav računalnog učenja odnosno umjetne inteligencije, o kojemu će biti riječi u nastavku. Ekspertni sustavi, odnosno računalni programi koji funkcioniraju kao stručnjaci u uskoj domeni predmet su interesa poslovnih istraivanja posljednja tri desetljeća. U srcu svakog ekspertnog sustava nalaze se pravila odlučivanja koja moraju biti rezultat paljive ekstrakcije od stručnjaka, te potom prevedena na strojno izvrivi kod. Slijedeće tri metode primjeri su strojnog učenja koji se relativno jednostavno mogu naći na tritu i koje se uspjeno koriste u predviđanju poslovnih potekoća. Njihova usporedba moe se naći u Katten, Michael W.; Adams, Dennis A.; Parks, Michael S.; A comparison of machine learning with human judgement, Journal of Management Information Systems, Vol. 9, No. 4, Spring 1993., str Ovaj transfer u biti ne mora biti toliko začuđujući; matematika je logistika svih znanosti. 53

19 ID3 - c4.5 J. Ross Quinlan razvio je interaktivni dihotomizator 3 (ID3) na Sveučilitu u Sydneyu kao nastavak CLS (eng. concept learning system) algoritma. ID3 stvara stablo odlučivanja iz fiksnog seta primjera 101 ; rezultirajuće stablo koristi se za klasifikaciju novih slučajeva. On nije inkrementalni (rastući) algoritam, to znači da uči iz fiksnog seta podataka i ne revidira stablo odlučivanja koristeći nove slučajeve. Podaci iz uzorka koji se koristi za učenje moraju ispuniti slijedeće uvjete: 1.) atribut-vrijednost opis; svaki slučaj mora biti opisan istim atributima i imati fiksni broj vrijednosti, 2.) predefinirane kategorije; atributi primjera moraju biti definirani, tj. ID3 ih ne uči, 3.) diskretne kategorije; kategorije moraju biti oštro razdvojene (ne smije biti preklapanja), 4.) dovoljan broj primjera; budući se koristi metoda induktivne generalizacije koja se ne moe dokazivati mora biti dovoljno slučajeva kako bi se razlučili oni relevantni od nasumičnih. C4.5 je ekstenzija ID3 algoritma koja se koristi kada nam nedostaju vrijednosti za neke atribute, zatim kada su kategorije kontinuirane, pri 'podrezivanju' stabla odlučivanja, derivaciji pravila, itd. 102 Rekurzivno particioniranje Jednako kao i ID3, rekurzivno particioniranje je tehnika indukcije pravila. Obje tehnike rezultiraju particioniranim (podijeljenim) prostorom uzorka koji sadrži regije u kojima se predviđa da će određena kategorija nastati. "Iako dakle sličan ID3, rekurzivno particioniranje ima mogućnost implementiranja kompenzatornih, nekompenzatornih i mijeanih strategija, dok je ID3 ograničen samo na nekompenzatornu strategiju budući mu nedostaje opcija linearne kombinacije. Jo jedna ključna razlika jest da rekurzivno particioniranje ima mogućnost vrednovanja križanjem 103 svojih stabala odlučivanja. Ovaj proces 'obrezuje' stablo odlučivanja 101 training set set za učenje 102 Više o ID3 u radu Wu, Chien-Hsing; Kao, Shu-Chen; Induction-based approach to rule generation using membership function, International Journal of Computer Integrated Manufacturing, 2002, Vol. 15, No. 1, str , te na web stranici 54

20 podrezivanjem sumnjivih grana koje ne klasificiraju dobro kada se ispituju podacima koji nisu originalni, odnosno podacima koji nisu granu načinili." 104 Rekurzivno particioniranje je manje sklono predobroj podudarnosti podataka 105 stvara manja stabla odlučivanja. Ove ga značajke čine sličnijim ljudskim kognitivnim karakteristikama i ljudskoj naravi. Neuronske mreže Neuronske mreže eng. neural networks ime su dobile po svojoj strukturi koja pokuava imitirati mreu neurona u mozgu. One uče na primjeru; korisnik unosi reprezentativne podatke i poziva algoritme treniranja kako bi neuronska mreža automatski naučila strukturu podataka. Iznimno su popularne, i koriste se u vrlo različite svrhe; od geologije do financija 106. U području financija koriste se za predviđanje cijena vrijednosnica ("superiornom sposobnoću otkrivanja kratkoročnih obrazaca kretanja cijena dovele su u pitanje hipotezu nasumičnog kretanja cijena dionica" 107 ), u sustavima za trgovanje vrijednosnicama, pri određivanju cijena i ograđivanju od rizika derivata, na tritima deviza, pri rangiranju obveznica, u postupku odobrenja kredita, u prevenciji i detekciji financijskih malverzacija, u predviđanju poslovnih potekoća, itd. Neuronska mrea se sastoji od mnotva međusobno povezanih procesnih elemenata neurona organiziranih u slojeve slične stablu odlučivanja. Konfiguraciju ovih slojeva nazivamo arhitekturom neuronske mree. Slijedi opis često koritene arhitekture neuronske mreže. 103 eng. cross-validation : "Vrednovanje križanjem je proces procjene točnosti predviđanja modela, i to usporedbom (sučeljavanjem, krianjem) rezultata testnog uzorka podataka i rezultata uzorka podataka od kojih je model sačinjen." Statistica electronic manual, Statsoft, Inc. 104 Katten, Michael W.; Adams, Dennis A.; Parks, Michael S.; A comparison of machine learning with human judgement, Journal of Management Information Systems, Vol. 9, No. 4, Spring 1993., str eng. overfitting sample data 106 Odličan uvod u neuronske mree u financijama moe se naći kod Krishnaswamy, C.R.; Gilbert, Erika W.; Pashley, Mary M.; Neural network applications in finance: a practical introduction, Financial practice & education, Vol. 10, Issue 1, Spring/summer Krishnaswamy, C.R.; Gilbert, Erika W.; Pashley, Mary M.; Neural network applications in finance: a practical introduction, Financial practice & education, Vol. 10, Issue 1, Spring/summer i 55

21 Ulazni neuron dobiva određen broj inputa od originalnih podataka, ili od drugih neurona u mrei. Svaki input dolazi putem koji ima određenu snagu (teinu, ponder), a svaki neuron ima određenu inicijalnu vrijednost. Formira se ponderirana suma inputa, zatim se oduzima inicijalna vrijednost da bi se neuron aktivirao. Signal aktivacije se šalje kroz funkciju aktivacije (poznata i kao funkcija transfera) i producira se output neurona. Dakle, postoje tri osnovne vrste neurona; input (ulazni), sakriveni (u više slojeva), i output (izlazni). Input neuroni u biti uopće nisu neuroni; ove jedinice jednostavno slue unosu varijabli. Umrežavanjem neurona stvara se tzv. feedforward neuronska mreža, u kojem od ulaznih neurona signal teče preko sakrivenih slojeva neurona (ne vraćajući se) da bi eventualno došao do izlaznih jedinica. Ovo je najpoznatiji primjer arhitekture neuronske mreže, a naziva se Multilayer perceptron, i prikazana je na grafikonu 3. Postoje i rekurentne (feedback) mreže u kojima postoje veze unatrag prema ranijim neuronima, no imaju vrlo složenu dinamiku i u praksi su nestabilne. Grafikon 3. Neuronska mreža multilayer perceptron 108 Kao i druge metode računalnog učenja, neuronske mree najprije treba naučiti, istrenirati. Postoje metode nadgledanog i nenadgledanog treninga. Najpoznatiji primjer trening algoritma je back-propagation algoritam. Multilayer perceptron je nadgledana, feedforward mreža koja koristi back-propagation algoritam. The self organizing feature map (SOFM) je općeniti termin za nenadgledane neuronske mreže, primjerice Boltzmannov stroj i Kohonen feature map. 108 Izvor: 56

22 Ključno je pribaviti reprezentativne podatke koji će biti koriteni za učenje; potrebno je pokriti sve eventualnosti. Podaci se zatim dijele u dvije skupine; za učenje i za testiranje. Općenito, neuronske mree se koriste kao "crna kutija", to im se često i predbacuje. Naime, nije poznata priroda veza između inputa i outputa; podaci se unose, potom se dobivaju rezultati veza ostaje nepoznata. Naime, kada bi se poznavala priroda input-output odnosa ona bi se mogla modelirati direktno. Mreža ovaj odnos ne objašnjava, ali ga reproducira nakon treninga. Kada se neuronska mrea koristi umjesto diskriminacijske analize često ne uspijeva pravilno svrstati susjedne slučajeve. Ova slabost dolazi do izražaja u aplikacijama kao što su rating obveznica i predviđanje poslovnih potekoća, gdje je pripadnost bitno različitim grupama uvjetovana blagim razlikama u karakteristikama. Treba spomenuti kako se neuronske mreže koriste i umjesto metoda multidimenzionalnog skaliranja te "nadmašuju standardni algebarski pristup MDS-a." Garrido, Lluís; Gómez, Sergio; Roca, Jaume; Improved Multidimensional Scaling Analysis Using Neural Networks with Distance-Error Backpropagation, Neural Computation; 04/01/1999., Vol. 11 Issue 3 57