Ana Ćosić PRIMJENA TEORIJE GRAFOVA KOD PROBLEMA TRANSPORTNE OPSKRBE BANKOMATA PRIVREDNE BANKE ZAGREB

Transcription

1 SVEUČILIŠTE U RIJECI EKONOMSKI FAKULTET Ana Ćosić PRIMJENA TEORIJE GRAFOVA KOD PROBLEMA TRANSPORTNE OPSKRBE BANKOMATA PRIVREDNE BANKE ZAGREB DIPLOMSKI RAD Rijeka 2014

2 SVEUČILIŠTE U RIJECI EKONOMSKI FAKULTET PRIMJENA TEORIJE GRAFOVA KOD PROBLEMA TRANSPORTNE OPSKRBE BANKOMATA PRIVREDNE BANKE ZAGREB DIPLOMSKI RAD Predmet: Teorija odlučivanja Mentor: dr.sc. Alemka Šegota Student: Ana Ćosić Studijski smjer: Marketing JMBAG: Rijeka, srpanj 2014.

3 SADRŽAJ 1. UVOD Problem i predmet istraživanja Svrha i cilj istraživanja Znanstvene metode Struktura rada OSNOVE TEORIJE GRAFOVA Povijest teorije grafova Problem Königsberških mostova Problem osam dama Mogućnosti primjene teorije grafova Graf i podgraf Šetnje, putevi i povezanost grafa Tablica incidencije ALGORITMI Minimalno razapinjuće stablo Primov algoritam Kruskalov algoritam Najkraći put u grafu Dijkstrinov algoritam Floydov algoritam PROBLEM TRANSPORTNE OPSKRBE BANKOMATA PRIVREDNE BANKE ZAGREB U GRADU RIJECI Poslovanje PBZ banke Tržište novca Tržište kapitala Devizno tržište Kartično poslovanje Bankomati kao elementi povezivanja Problem i analiza transportne opskrbe bankomata Privredne banke Zagreb... 28

4 4.4. Minimizacija troškova transportne opskrbe bankomata Privredne banke Zagreb ZAKLJUČAK LITERATURA POPIS TABLICA POPIS GRAFIKONA POPIS SLIKA... 44

5 1. UVOD U uvodnom dijelu rada definiran je 1) problem i predmet istraživanja, 2) svrha i ciljevi istraživanja, 3) znanstvene metode te 4) struktura rada Problem i predmet istraživanja Problem istraživanja u diplomskom radu je ispitati i analizirati primjenu teorije grafova na problem transportne opskrbe bankomata Privredne banke Zagreb u gradu Rijeci. Za navedeni problem istraživanja moguće je definirati predmet istraživanja: istražiti i utvrditi koje su osnove teorije grafova, algoritama i primjena određenog algoritma na problem transportne opskrbe bankomata Privredne banke Zagreb Svrha i cilj istraživanja Svrha i cilj istraživanja ovog diplomskog rada proizlazi iz navedenog problema istraživanja. Svrha istraživanja je znanstvenim metodama istražiti primjenjivost teorije grafova na primjeru transportne opskrbe bankomata Privredne banke Zagreb u gradu Rijeci. Cilj je istražiti kako se teorijom grafova mogu minimizirati troškovi transportne opskrbe bankomata Privredne banke Zagreb. Da bi se ostvarili svrha i cilj istraživanja u diplomskom radu, potrebno je odgovoriti na slijedeća pitanja: 1) Što je teorija grafova? 2) Koji se algoritmi primjenjuju u teoriji grafova? 3) Kako Privredna banka Zagreb djeluje, kao posrednik, na nacionalnom tržištu? 1

6 4) Gdje su smješteni bankomati Privrene banke Zagreb u Rijeci? 5) Kako pronaći optimalni put između bankomata Privredne banke Zagreb u Rijeci? 1.3. Znanstvene metode Pri istraživanju i formuliranju rezultata istraživanja u odgovarajućoj kombinaciji korištene su slijedeće znanstvene metode: o metoda analize, o metoda sinteze, o metoda indukcije i dedukcije, o metoda komparacije, o metoda kompilacije, o metoda dokazivanja, o metoda klasifikacije, o metoda deskripcije, o povijesna metoda Struktura rada Rezultati istaživanja predočeni su u pet međusobno povezanih dijelova. U uvodu su navedeni problem i predmet istaživanja, svrha i ciljevi istraživanja, znanstvene metode i struktura rada. Naslov drugog dijela rada je osnove teorije grafova u kojem se obrađuje povijest teorije grafova (problem Königsberških mostova I problem osam dama), mogućnosti primjene teorije grafova, pojam grafa i podgrafa, šetnje, putevi i povezanost grafa i tablica incidencije. 2

7 Naslov trećeg dijela rada je algoritmi. Za pronalaženje minimalnog razapinjućeg stabla teorijski se obrađuju Primov i Kruskalov algoritam, dok se za pronalaženje najkraćeg puta teorijski obrađuju Dijkstrinov i Floydov algoritam. Problem transportne opskrbe bankomata Privredne banke Zagreb u Rijeci je naslov četvrtog dijela rada u kojem se obrađuje poslovanje Privredne banke Zagreb (tržište novca, tržište kapitala, devizno tržište i kartično poslovanje), bankomati kao elementi povezivanja, problem i analiza transportne opskrbe bankomata Privredne banke Zagreb i minimizacija troškova transportne opskrbe bankomata Privredne banke Zagreb. U poslijednjem dijelu, zaključku, obavljena je sistematizacija cjelokupnog diplomskog rada, te su navedene spoznaje do kojih se došlo. 3

8 2. OSNOVE TEORIJE GRAFOVA Teorija grafova je jedna od najvažnijih matematičkih disciplina, koja proučava zakonitosti na grafovima (Divjak i Lovrenčić, 2005). Kao posebna matematička disciplina, stara je tak oko pet desetljeća. U posljednjih dvadeset godina teorija grafova doživljava neobično intenzivan razvoj zahvaljujući sve većoj proizvodnji i primjeni elektroničkih računala (Pašagić, 1998). Teorija grafova omogućuje da se matematički problemi formuliraju i rješavaju na jedinstven način Povijest teorije grafova Temelje teorije grafova postavio je švicarski matematičar Leonhard Euler ( ), koji je godine riješio jedan od najstarijih problema, problem Königsbergških mostova. D. Koenig je napisao prvu knjigu iz torije grafova, čime se razvila teorija grafova kao posebna matematička disciplina, koja je stara tek oko šest desetljeća. Grupirao je rezultate iz svih objavljenih radova u kojima se objašnjava pojam grafa. Od tada graf je opće prihvaćen pojam. Jak razvoj istraživanja u teoriji grafova započinje 60-ih godina i traje sve do danas. Samo u desetak godina, točnije od do broj objavljenih radova se udeseterostručio. Danas postoji mnogo časopisa, prvenstveno američkih i mađarskih, koji objavljuju samo znanstvene članke vezane za teoriju grafova i njenu primjenu. Teorija grafova posebno se potiče u Mađarskoj, SAD-u, Kanadi, Rusiji, Češkoj i Slovačkoj. Intenzivan razvoj i veliku popularnost je doživjela zahvaljujući naglom razvoju modernih informacijskih tehnologija. Također, grafovi postaju univerzalni matematički jezik kojim je moguće opisati najrazličitije i sasvim apstraktne matematičke strukture (Golemac i suradnici, 2012). Stoga su glavne domene teorije grafova informatika i primjenjena matematika, posebno kombinatorna optimizacija. 4

9 Problem Königsberških mostova U 18. stoljeću Königsberg je bio grad u istočnoj Pruskoj (danas je to grad Kalingrad u Rusiji) kroz koji su prolazila dva rukavca rijeke Pregel, koja su okruživala otočić Kneiphof (Divjak i Lovrenčić, 2005). Na rijeci je bilo sedam mostova koji su povezivali četiri dijela grada odvojena rijekom kao što je prikazano na slici 1. Slika 1: Königsberški mostovi Izvor: Fošner, M. i Kramberger, T. "Teorija grafova i logistika", Fakultet logistike, Maribor, Problem je glasio: da li je moguće da stanovnici Königsberga prošetaju svojim gradom tako da šetnja započne na jednom dijelu grada, obuhvati svih sedam mostova točno jedanput, te završi u početnoj točki? Euler je taj problem riješio tako da je napravio model, kojeg danas nazivamo grafom. Vrhove su predstavljali dijelovi grada odvojeni vodom, dok su bridove predstavljali mostovi. Problem je tada glasio: da li je moguće proći kroz sve bridove točno jeanput i vratit se na početak. Euler je riješio postavljeni problem te dao odgovor, da šetnja gradom nije moguća, ukoliko dijelove grada ne povezuje paran broj mostova. Danas se takvo obilaženje naziva Eulerova staza. 5

10 Problem osam dama U časopisu "Berliner Schachzeitung" godine prvi put je objavljen tzv. problem osam dama, koji glasi: na koliko se načina mogu postavit na šahovsku ploču osam dama, tako da se međusobno ne napadaju? Svakoj šahovskoj figuri se može pridružiti jedan graf. Problem osam dama prvi je riješio slijepac dr. Nauck, i to na 92 načina, odnosno pronašao je 92-ije kombinacije kako se dame mogu posložiti na šahovsku ploču, a da jedna drugu ne napadaju. Zanimljivo je da je poznati matematičar i fizičar rješavajući isti problem, pronašao tek 72-ije kombinacije riješenja. Jedini način na koji se to može objasniti je da tada još uvijek nisu postojale metode za rješavanje ovakvih problema Mogućnosti primjene teorije grafova Teorija grafova ne prestavlja osnovnu matematičku teoriju nijedne prijmjenjene discipline, no u nizu znanstvenih grana postoje problemi koji se rješavaju ili im se rješenja bitno olakšavaju primjenom teorije grafova. Tako se primjenjuje, na primjer, u kemiji, teoriji električnih automobila, biologiji, ekonomskim istraživanjima, sociologiji, organizaciji rada, lingvistici, logistici, te informatici. Također se prijemnjuje i u određenim matematičkim disciplinama kao što su teorija skupova, teorija igara i linearno programiranje. Teorijom grafova se mogu rješavati i problemi iz svakidašnjeg života. Na primjer, putevi ralica za čišćenje snijega, skupljanje smeća, čišćenje ulica, ispitivanje dalekovoda, određivanje ruta školskih autobusa mogu se modelirati uz pomoć teorije grafova. Za riješavanje tog problema koristi se varijacija problema kineskog poštara. Zatim, konstrukcija električnih mreža, cjevovoda, plinovoda, cesta i sl. riješava se pronalaženjem minimalnog razapinjućeg stabla, dok se problemom trgovačkog putnika pronalaze najisplatljivije rute i redoslijed transporta robe. Potraga za najkraćim putem vrlo je raširena u svakodnevnom životu. Popularna GPS tehnologija može se vidjeti u mnogim motornim vozilima kao metoda za pronalaženje pravog puta od jedne do druge 6

11 točke na zemljopisnoj karti. Također, rezultati teorije grafova su veoma važni i korisni ljudima koji rješavaju logističke probleme (Fošner i Kramberger, 2009) Graf i podgraf Grafovi su jedna od osnovnih matematičkih struktura, te se pojavljuju u raznim oblicima i raznim situacijama. U matematici, posebno u teoriji grafova, graf je uređen par G=(V,E), gdje Ø V=V(G) predstavlja skup vrhova, a E=E(G) skup bridova disjunktni s V, a svaki brid e E spaja dva vrha u,v V koji se zovu krajevi od e (Veljan, 2001). Za krajeve u i v brida e se može reći da su incidentni sa bridom e. Odnosno, v i e su incidentni, ako je v jedan kraj brida e. Za dva vrha povezana s nekim bridom, te za dva brida s zajedničkim vrhom kaže se da su susjedni (Veljan, 1989). Ukoliko brid spaja neki vrh sam sa sobom tada se to naziva petlja. Grafovi se prikazuju na način da se vrhovi nacrtaju kao točke u ravnini, a bridovi kao crte koje spajaju vrhove grafa. Graf mora sadržavati najmanje jedan vrh, ali je moguće da ne sadrži bridove. Ne postoji određen način crtanja grafa. Graf sa samo jednim vrhom naziva se trivijalan, dok se sa više vrhova naziva netrivijalan. Graf je jednostavan ili prost ako nema petlje i dva brida ne spajaju isti par vrhova (Veljan, 1989). Postoje razne vrste grafova, a neke od njih su: 1. konačni i beskonačni grafovi, 2. usjmereni, neusmjereni i mješoviti grafovi, 3. multigrafovi. Skupovi vrhova i skupovi bridova ne moraju biti konačni, te se tada radi o beskonačanom grafu, no ako su oba skupa konačna, tada se kaže da je graf konačan. 7

12 Graf kod kojeg su sve grane jednostrano orijentirane naziva se usmjereni graf. Kod tekvih se grafova bridovi crtaju kao linije sa strelicom koja je usmjerena u smjeru u kojem je uspostavljena veza između dva vrha. Kod neusmjerenog grafa sve grane su orijentirane dvostrano, što znači da se kod takvih grafova bridovi crtaju kao linije bez strelica koje spajaju dva vrha, te se podrazujmeva da postoji veza u oba smijera. Mješoviti grafovi su grafovi koji nisu ni usmjereni ni neusmjereni, te između dva vrha postoje i jednosmjerne i dvosmjerne veze. U ovim grafovima jednosmjerne veze se uvijek crtaju strelicom, dok se crtanje dvosjmernih veza postiže na razne načine, kao na primjer: samo linijom bez strelica, linijom sa strelicama s obje strane ili dvjema linijama sa suprotno orjentiranim strelicama. Graf koji "dopušta" višestruke bridove, ali ne "dopušta" višestruke petlje se naziva multigraf. Pomoću prethodno navedenih grafova mogu se prikazati složeni problemi, kao primjerice: o Kretanje automobila kroz grad Rijeku može se predstavit grafom. Vrhove grafa predstavljaju raskrižja, dok bridove predtavljaju ceste koje ih spajaju. Ako se gleda skup svih cesta tada graf nije niti usmjeren, niti neusmjeren, već je mješovit. Ukoliko su sve ceste u gradu jednosmjerne tada je graf usmjeren. Ukoliko su sve ceste u gradu dvosmjerne tada je graf neusmjeren. o Multigrafom se u kemiji predstavlja struktura međusobnih veza atoma u molekulu. Graf oblika H = (Y,T), pri čemu je Y X i T podskup skupa U, koji sadrži sve one parove iz U, koji se sastoje samo od elemenata skupa Y, naziva se podgraf grafu G = (X,U). Dakle, podgraf iz danog grafa dobiva se na taj način što se uoči neki neprazan 8

13 podskup Y skupa vrhova i udalje iz grafa svi ostali vrhovi zajedno sa bridovima koji su susjedni udaljenim vrhovima. U podgrafu ostaju samo bridovi koji povezuju čvorove iz Y (Cvetković, 1971) Šetnje, putevi i povezanost grafa Šetnja u grafu G je niz W = v 0 e 1 v 1 e 2... e k v k čiji članovi su naizmjence vrhovi v i i bridovi e i, tako da su krajevi od e i vrhovi v i-1 i v i, 1 i k. U jednostavnom grafu šetnja je potpuno određena samo nizom svojih vrhova v 0 v 1...v k. V 0 predstavlja početak šetnje W, dok v k kraj šetnje, te raspon u kojem traje šetnja predstavljen je od v 0 do v k. Vrhovi v 1, v 2,..., v k-1 su unutarnji vrhovi šetnje, a broj k se naziva duljina šetnje W (Veljan, 2001). Inverzna šetnja je šetnja dobivena obrnutim redoslijedom obilaska od W do W, odnosno od v k do v 0. Ukoliko je v 0 = v k šetnja je zatvorena. Ako su svi bridovi međusobno različiti tada se W naziva staza, no ako su svi vrhovi različiti onda se naziva put. Dakle, put je šetnja u kojoj su svi vrhovi različiti, ako isti vrhovi predstavljaju početak i kraj, tada se govori o zatvorenoj šetnji. Ciklus dužine k je lanac v 1,..., v k koji završava u istom vrhu u kojem i počinje (Cvetković, 1971). Graf je povezan ako postoji put koji povezuje svaka dva vrha, odnosno koji povezuje sve vrhove u grafu. Ukoliko se ne povezuju svi vrhovi u grafu tada je graf nepovezan Tablica incidencije Graf se može prikazati na još jednostavniji način, a to je tablicom incidencije. U tablici incidencije stupci i redovi predstavljaju vrhove grafa, dok polje u tablici na križanju stupca i retka predstavlja težinu brida koja spaja ta dva vrha. Težina brida se koristi 9

14 kako bi se na najjednostavniji način iskazala mjera udaljenosti između dva vrha. Ukoliko dva vrha nisu spojena bridom, tada se podrazumjeva da im je udaljenost beskonačna ( ), međutim, to se ne unosi u tablicu incidencije već se to polje ostavlja prazno. Budući da je tablicu incidencije najlakše shvatiti na primjeru, na slici 2 je prikazan graf na temelju kojeg će se izraditi tablica. Graf je povezan bridovima, te je naznačena točna težina bridova koji povezuju pojedine vrhove. Slika 2: Postavljen zadatak Izvor: Izrada autora Za graf s prikazane slike, pripadajuća tablica incidencije glasi: Tablica 1: Tablica incidencije postavljenog zadatka na slici 2 A B C D E F A B C D E F Izvor: Izrada autora 10

15 Kao što se može vidjeti, tablica incidencije je simetrična s obzirom na glavnu dijagonalu te se na glavnoj dijagonali pojavljuju samo nule, jer je udaljenost od vrha do samog sebe jednaka nuli. 11

16 3. ALGORITMI Algoritam je točno definiran postupak pri računanju, koji rješava neki određeni problem. Riječ "algoritam" vuče svoje korijene još iz 9. stoljeća, od perzijskog matematičara Muhammada ibn Musa al-khwarizmija. U svojoj knjizi je opisao postupke za računanje u indijskom brojevnom sustavu. Izvorna knjiga na arapskom nije sačuvana, a latinski prijevod se proširio europom pod nazivom "Algoritmi de numero Indurum" ("Al-Khwarizmi o indijskim brojevima") (Divjak i Lovrenčić, 2005). Po tom naslovu, danas algoritmima nazivamo postupke pri rješavanju problema. Pojam algoritma se koristi sve intenzivnije, prvenstveno od pojave računala, iako je nastao u matematici puno ranije. Prvi algoritam, koji se i danas koristi, nastao je u 3. stoljeću prije naše ere. Poznat je pod nazivom Euklidov algoritam, jer ga je prvi opisao grčki matematičar Euklid u svojoj knjizi "Elementi". Svojstva koja algoritam mora zadovoljavati dao je D.E. Knuth, a to su: o konačnost algoritam mora završiti nakon izvršenih konačno mnogo koraka: također, mora biti opisan pomoću konačnog broja operacija, a i svaka operacija mora biti konačne duljine. o definitnost svaki korak algoritma mora sadržavati nedvosmislene, rigorozno definirane operacije. o ulaz svaki algoritam mora imati 0 ili više ulaza. o izlaz svaki algoritam mora imati 1 ili više izlaza. o efektivnost algoritam mora biti efektivan, tj. mora biti takav da se može izvesti samo uz pomoć olovke i papira u konačno vrijeme (Divjak i Lovrenčić, 2005). 12

17 3.1. Minimalno razapinjuće stablo Pojam stabla u 19. stoljeću uveo je Arthur Cayley proučavajući posebne klase grafova, koji prikazuju određene kemijske spojeve. Ti su grafovi imali jedno važno svojstvo, a to je da nisu sadržavali cikluse (Divjak i Lovrenčić, 2005). Stabla se primjenjuju za rješavanje problema povezivanja udaljenih lokacija mrežom. Na primjer, kad se trebaju povezati lokacije u raznim gradovima, a koncesionar mreže različito naplaćuje veze između pojedinih gradova. Dakle, stabla se najviše primjenjuju za probleme kod kojih je potrebno područja povezat telefonskom, električnom, plinskom ili cjevovodnom mrežom. Dakle, graf koji ne sadži niti jedan ciklus, a povezan je, naziva se stablo. Vrh stabla se naziva listom, dok se šumom naziva graf koji ne mora izričito bit povezan, ali ne smije sadržavat ciklus. Udaljavanjem bilo koje grane iz stabla dobiva se graf koji nije povezan (Cvetković, 1971). Konstruiranje razapinjućeg stabla nije složen posttupak, ali je poželjno da razapinjuće stablo ima i neka dodatna svojstva, kao sto je minimalna/maksimalna suma težina bridova. Shodno tome, minimalno razapinjuće stablo je stablo čija je duljina svih bridova najmanja. Minimalno razapinjuće stablo se primjenjuje kada se, na primjer, želi izgraditi željeznička pruga između više gradova uz namanji trošak. Problem pronalaska minimalnog razapinjućeg stabla se još naziva i engl. minimum spanning trees ili MTS problem. Najpoznatiji algoritmi za rješavanje problema minimalnog razapinjućeg stabla su: o Primov algoritam, o Kruskalov algoritam. 13

18 Primov algoritam U teoriji grafova se Primovim algoritnom pronalazi minimalno razapinjajuće stablo za povezani težinski graf, odnosno pronalazi se podskup onih grana u grafu koje formiraju stablo tako da uključuje sve vrhove. Ukupna težina stabla treba biti minimalna. Utemeljitelj Primovog algoritama je Vojteh Jarnik, ali se nije samo on istaknuo kao glavni već i informatičar Robert Prim i Dijkstra. Zbog te činjenice Primov se algoritam naziva i DJP algoritam, te Jarnikov algoritam. Temeljna ideja algoritma je postepeno povećavati veličinu stabla, tako da se počne od jednog čvora, pa sve dok se ne povežu svi čvorovi. Algoritam se sastoji u tome da se proizvoljno odabere jedna točka koja odmah postaje dio grafa, a svaka sljedeća točka dodaje se ukoliko se ustanovi da je udaljenost između bilo koje točke iz grafa i bilo koje slobodne točke najmanja upravo za tu točku i neku točku koja je već u grafu. Postupak se uzastopno nastavlja, dok se ne povežu sve slobodne točke, tj. dok sve točke ne budu uključene u graf. Naravno, pri tome treba paziti da tržina brida bude minimalna. Na kraju graf predstavlja traženo minimalno razapinjajuće stablo. Primovim algoritmom se, dakle, dobiva minimalno razapinjuće stablo, koje se može prikazati primjerom cestovnih čvorišta (raskrižja) i potencijalne veze između njih. Izlazne vrijednosti te veze bila bi najekonomičnija izgradnja, te bi povezivale sva čvorišta. Ovaj problem se može prikazali tako da cestovna čvorišta predstavljaju vrhove grafa, a potencijalne veze bridove, čije su težine cijene izgradnje cesta između čvorišta koja spajaju Kruskalov algoritam Kruskalov algoritam se koristi za pronalaženje minimalnog razapinjućeg stabla u proizvoljnom težinskom povezanom grafu. Objavio ga je Joseph Bernarda Kruskala 14

19 1956. godine u radu "On the shortest spanning subtree of a graph and the traveling salesman problem", te je po njemu i nazvan Kruskalov algoritam. Kruskalov algoritam je najjednostavniji za razumijevanje te, također, za primjenu. Izvođenje Kruskalovog algoritma se provodi u nekoliko koraka. U prvom koraku se napravi šuma stabala, u kojoj svaki vrh predstavlja jedno stablo. Dakle, šuma predstavlja skup stabala, a stablo predstavlja graf koji ne smije sadržavati ciklus, no svi vrhovi moraju biti međusobno povezani. Na početku izvođenja Kruskalovog algoritma svako se stablo sastoji samo od jednog vrha i bez ijednog brida koji mu pripada. Zatim se bridovi razvrstavaju prema težini, a najčešći izbor za strukturu podataka koja se koristi za razvrstavanje je prioritetni red. U slijedećim koracima algoritma uzima se najmanji brid iz prioritetnog reda i dodaje se u šumu. Ukoliko brid koji je slijedeći na redu za dodavanje tvori ciklus, tada se taj brid ne dodaje. Kod Kruskalovog algoritma, za razliku od Primovog, šuma stabala ne mora biti povezana za vrijeme izvođenja Najkraći put u grafu Problem koji se uz traženje minimalnog razapinjućeg stabla najčešće pojavljuje u teoriji grafova je problem traženja najkraćeg puta u grafu. Pronaći najkraći put između dva vrha znači naći put s najmanjom težinom, odnosno naći put u težinskom grafu koji povezuje dva vrha tako da zbroj težina bridova na tom putu bude najmanji mogući. Problem trgovačkog putnika i problem kineskog poštara spadaju u probleme kod kojih se traži najkraći put u grafu. Problem trgovačkog putnika (TSP) je problem čije podrijetlo seže daleko u povijest. Prvi put se pojavljuje godine u knjizi njemačkog trgovačkog putnika B.F. Voighta, no on nije problem trgovačkog putnika tako imenovao (Vištica, 2012). Termin 15

20 "trgovački putnik" prvi je upotrijebio Karl Menger. Problem je veoma jednostavan i glasi: kojim redoslijedom trgovački putnik treba obilaziti gradove, s tim da ukupna duljina puta bude minimalna, ako se zna da trgovački putnik ima unaprijed definirane gradove i sve međusobne udaljenosti gradova. Svaki grad mora obići samo jednom i vratiti se u početni grad. Kineski matematičar Melgu Guan je postavio i riješio pitanje optimizacije poštareva puta kod dostavi pošiljki. Problem kineskog poštara se ogleda u tome da se pronađe što kraći put s tim da bi poštar trebao proći svakom ulicom barem jedanput. Naime, poštar kreće iz poštanskog ureda, dijelu poštu i vraća se nazad u ured. Ovaj problem je doživio razne modifikacije i nerijetko se primjenjuje, te je jedan od najpopularnijih problema kombinatorne optimizacije. Sa zadatkom za određivanje najkraćeg puta se susreće kada se stvarno treba odrediti nakraći put, na primjer, između dva grada po mreži puteva ili između dva punkta u velikom gradu. Također, se može tražiti put kojim se najbrže može doći ili najjeftiniji put ili put čije prelaženje zahtjeva najmanji utrošak goriva itd. (Cvetković, 1971). Najpoznatiji algoritmi za pronalaženje najkraćeg puta u grafu su: o Dijkstrin algoritam, o Floydov algoritam Dijkstrinov algoritam Najpoznatiji među algoritmima koji služe za pronalazak najkraćeg puta u težinskom grafu je Dijkstrinov algoritam. Otkrio ga je nizozemac Edsger Dijkstra godine, vodeći informatičar današnjice, koji je izmislio veliki broj algoritama na grafovima. Dijkstrin algoritam pronalazi najkraći put ili signalizira da on ne postoji (Divjak i Lovrenčić, 2005). 16

21 Dijkstrinim algoritmom se stvara stablo koje se sastoji od bridova koji čine minimalne puteve od početnog vrha pa do svih ostalih vrhova u grafu. Kao i u Primovom algoritmu u jednom koraku se odabire brid koji spaja vrh sa stablom, ali uz uvjet da taj brid već nije u stablu. Pri tome se za svaki vrh računa udaljenost od prvog, odnosno početnog vrha. Od svih bridova, odabire se te uzima onaj za koji je pripadni vrh, koji nije u stablu, najmanje udaljen od početnog vrha Floydov algoritam Floydovim algoritmom se pronalaze najmanje udaljenosti između svih parova vrhova u grafu. Algoritmom se ispituju svi mogući putevi u grafu. Pri takvom ispitivanju se koristi činjenica da takav problem ima optimalnu substrukturu, te da se do ukupnog minimuma dolazi spajanjem minimuma problema manjeg reda. Floydov algoritam je tipičan primjer dinamičkog programiranja (Marinović, 2013). 17

22 4. PROBLEM TRANSPORTNE OPSKRBE BANKOMATA PRIVREDNE BANKE ZAGREB U GRADU RIJECI Problem transporta je jedan od največih problema kod opskrbe bankomata. U daljnjem tekstu će se taj problem obraditi na primjeru transportne opskrbe bankomata Privredne banke Zagreb u gradu Rijeci Poslovanje PBZ banke Privredna banka Zagreb d. d. jedna je od vodećih banaka u Hrvatskoj s neprekidnim bankarskim poslovanjem. Osnovana je godine kao pravna slijednica Banke NRH osnovane godine. Privredna banka Zagreb bila je nositelj raznih investicijskih programa u razvoju turizma, poljoprivrede, industrijalizacije, brodogradnje i cestogradnje, te je postala sinonimom za gospodarsku vitalnost, kontinuitet, pa čak i za identitet Hrvatske. Godine uspješno je završena privatizacija Privredne banke Zagreb. Novi većinski dioničar je postala bivša Banca Commercale Italiana (BCI), i to kupnjom 66,3% dionica, dok je Državna agencija za osiguranje štednih uloga i sanaciju banaka sačuvala udjel od 25% uz dvije dionice. Zatim je BCI postala dijelom grupacije Gruppo Intesa, vodeće talijanske financijske grupacije, koja spada među deset najvećih europskih bankarskih grupa. Tako je Privredna banka Zagreb postala sastavnicom grupacije Gruppo Intesa. Tijekom godine manjinski udio u vlasništvu Privredne banek Zagreb stekla je i Europska banka za obnovu i razvoj. Godine spajanjem Bance Intesa i Sanpaolo IMI, PBZ banka postaje članica grupe Intesa Sanpaolo, te je i dalje svojom poslovnom strategijom usmjerena na suvremene oblike bankarskog poslovanja i nove proizvode, potvrđujući time imidž dinamične i moderne europske banke koja slijedi zahtjeve tržišta i svojih klijenata. Temeljni kapital Privredne banke Zagreb d.d. iznosi ,00 kuna, koji je uplaćen u cijelosti i podijeljen na dionica, od kojih je svaka nominalne vrijednosti od 100,00 kuna po dionici (PBZ banka, 2014). 18

23 Danas u modernom društvu, uspjeh u poslovanju se ne mjeri samo ostvarenim financijskim rezultatom već on podrazumijeva i aktivnosti u segmentu društvene odgovornosti i doprinosu održivom razvoju. PBZ banka je usmjerena na aktivnu ulogu u društvu te pokušava biti inicijator i zagovornik ideja kojima je glavni cilj napredak i unapređenje kvalitete života u Hrvatskoj. Promiče razne korporativne vrijednosti među kojima se posebno ističu predanost klijentima, timski rad, pouzdanost i odgovornost (PBZ banka, 2014). Također, usmjeravaju svoj rad na stvaranje društva koje vodi brigu o potrebama i mogućnostima svih njegovih članova, te su radi toga pokrenuli i program društvene odgovornosti pod nazivom PBZ Prijatelj Tržište novca Uprava za likvidnosti, odnosno Money Market Desk sudjeluje na domaćem i stranom novčanom tržištu. Također, upravlja likvidnošću banke, prikuplja i plasira kunska i devizna sredstva na međubankarskom tržištu, te odrađuje poslove s institucionalnim investitorima na rokove do godinu dana (PBZ banka, 2014). Uprava sustavno i organizirano prati trendove kretanja kamatnih stopa kako na domaćem tako i na stranom tržištu. Uprava likvidnosti, također, prati i planira cash flow osiguravajući likvidnost banke u skladu s regulatornim zahtjevima s ciljem nesmetanog i pravovremenog tijeka novca pridonoseći stabilnosti sustava. Vrste poslova koji se obavljaju na novčanom tržištu su: o Depo/Loan, o repo poslovi, o FX Swap, o upravljanje portfeljom kratkoročnih vrijednosnih papira, o trgovanje trezorskim zapisima Ministarstva financija na primarnom i sekundarnom tržištu, o trgovanje stranim, kratkoročnim vrijednosnim papirima (PBZ banka, 2014). 19

24 Tržište kapitala Privredna banka Zagreb d.d. trguje na domaćim i svjetskim tržištima kapitala, te se pri tome koristi suvremenom infrastrukturom. Na domaćem tržištu je pozicionirana kao market maker na sva domaća državna izdanja vrijednosnih papira. Vodi trgovački portfolio banke, te trguje vrijednosnim papirima u ime i za račun banke (PBZ banka, 2014). Također, sudjeluje na primarnom i sekundarnim tržištima domaćih državnih i korporativnih izdanja, radi repo poslove s dugoročnim vrijednosnim papirima, te ostale transakcije sa vrijednosnim papirima. Vrijednosni papiri kojima trguje Privredna banka Zagreb su: o domaće i strane državne obveznice, o komercijalni zapisi, o korporativna izdanja, o municipalne obveznice, o dionice (PBZ banka, 2014). Uprava za trgovanje vrijednosnim papirima trguje dionicama na Zagrebačkoj burzi, te vodi portfelj za račun banke. Repo ugovor je kupnja/prodaja vrijednosnih papira uz unaprijed dogovorenu obvezu povratne prodaje/kupnje na unaprijed dogovoreni dan, pri čemu se određuje kamatna stopa za pozajmljivanje novca. Repo poslovi se ugovaraju na rokove do godine dana, a vrijednosnice služe kao osiguranje plasmana. Vrijednost papira koji se koristi kao zalog obično je veća za nekoliko postotaka od iznosa novca koji se posuđuje. Kod repo transakcija nije potrebno likvidiranje vlasničke pozicije u vrijednosnom papiru da bi se došlo do likvidnosti. Futures ugovori predstavljaju standardizirane terminske ugovore s definiranim svim osnovnim značajkama osim cijene. U pravilu se trguju na terminskim burzama bez kreditnog rizika za kupca i prodavatelja. Sudionici tržišta su nerijetko špekulanti, arbitražeri premda se uvelike koristi kao sredstvo hedginga (komercijalni hedgeri). Većina ugovora ne dočeka dospijeće/isporuku. Pozicija se zatvara ulaskom u suprotnu poziciju (PBZ banka, 2014). Osnovni instrumenti futures ugovora jesu: burzovne robe, valute, kamatne stope, tržišni indeksi, pojedine dionice, swapovi itd. Osnovna razlika futures i forward ugovora je ta 20

25 da je forward bilateralan ugovor sklopljen točno prema potrebama dviju strana dok je futures standardizirani vrijednosni papir kojim se slobodno i organizirano trguje Devizno tržište Odjel za trgovanje devizama sudjeluje na domaćem i stranom valutnom tržištu i pri tome koristi najsuvremeniju infrastrukturu. Na domaćem tržištu, pozicionira se kao apsolutni market maker. Također, upravlja deviznom pozicijom banke, te vodi brigu o izloženosti valutnom riziku. S obzirom na tržišna kretanja zauzima dugu/long ili kratku/short poziciju. Zauzima špekulativne pozicije u svrhu boljeg upravljanja viškovima likvidnosti. Trgovanje efektivnim novcem podrazumijeva dogovaranje kupnje i prodaje strane i domaće gotovine za potrebe banke u svrhu održavanja optimalne količine gotovine u trezorima banke na području cijele Hrvatske (PBZ banka, 2014). Također, u svojoj ponudi imaju usluge dostave ili preuzimanja efektivnog stranog i domaćeg novca drugim domaćim i inozemnim bankama. Vrste transakcija koje obavlja uprava za trgovanje devizama su: o raznovrsna paleta jednostavnih proizvoda (terminskih i promptnih) kojima se može poboljšati upravljanje deviznim rizikom. Prednosti ovih proizvoda su brzina i jednostavnost ugovaranja, te činjenica da se ne naplaćuju nikakve naknade. o FX Spot (povlašteni tečaj) predstavlja klasičnu kupoprodaju deviza po povlaštenom tečaju s valutom podmire unutar dva radna dana od datuma ugovaranja transakcije. o FX Forward (terminska kupoprodaja deviza) FX FWD spada u skupinu terminskih transakcija jer podrazumijeva datum izvršenja transakcije duže od dva radna dana. FX FWD je ugovaranje kupoprodaje deviza na neki datum u budućnosti po unaprijed dogovorenom i fiksiranom tečaju. Uvelike se koristi kao instrument zaštite od tečajnog rizika (hedging), odnosno budućih novčanih 21

26 tokova. Tečaj u budućnosti je produkt trenutnog tržišnog tečaja te razlike u visini tržišnih kamatnih stopa na dvije valute, te ne predstavlja špekulaciju ili predviđanje. Ugovaranje FWD transakcija vrlo je jednostavno i odvija se putem telefona te se ne naplaćuju nikakve naknade kao ni za jedan proizvod riznice. o FX Swap (proizvod za prevladavanje "kratkotrajne nelikvidnosti" u nekoj valuti) FX Swap je proizvod koji predstavlja kombinaciju jedne spot i fwd transakcije. U stvarnosti predstavlja dvije međusobno povezane transakcije, promptnu (spot) kupnju/prodaju valute te terminsku (forward) prodaju/kupnju iste valute. U principu, predstavlja kratkoročnu pozajmicu jedne valute uz zalog druge (PBZ banka, 2014). Tim PBZ-a obavlja poslove financijskog savjetovanja, odnosno bavi se savjetovanjem o strukturi kapitala, poslovnim strategijama i srodnim pitanjima, kao i savjetovanjem i uslugama vezanima uz spajanja i stjecanja udjela u društvima. Glavni cilj im je pomoći klijentima prilikom različitih korporativnih aktivnosti koje za cilj imaju kreiranje dodane vrijednosti, a s time i bolje pozicioniranje klijenata u odnosu na konkurenciju. Glavna područja poslovanja PBZ banke obuhvaćaju savjetovanje u stvaranju i provedbi korporativnih aktivnosti, kao što su: o preuzimanja i spajanja poduzeća, o prodaja poduzeća ili imovine, o privatizacije, o programi organiziranog radničkog dioničarstva (ORD), o transakcije koje uključuju otkup poduzeća uz visoko zaduživanje (tzv. MBO/LBO transakcije), o obrane od preuzimanja, o procjene vrijednosti poduzeća, o poslovne strategije, o financijska restrukturiranja (PBZ banka, 2014). 22

27 PBZ banka ima bogat asortiman raznovrsnih kreditnih programa, kao što su: o kratkoročni krediti (dopušteno prekoračenje po kunskom poslovnom računu), o okvirni revolving krediti, o dugoročni krediti, o dugoročni krediti i ostali aranžmani po posebnim programima, o devizne kreditne linije, o krediti kupcu - Buyer's Credit, o lombardni krediti, o potrošački krediti, o turistički krediti, o posebni kreditni programi za male i srednje poduzetnike i obrtnike, o EU Sinergo krediti, o EU programi financiranja (PBZ banka, 2014). Privredna banka Zagreb ima, također, raznovrsnu i atraktivnu ponudu kunske, devizne i stambene štednje, te nudi mogućnost ulaganja u investicijske fondove Kartično poslovanje U današnje vrijeme se sve više razvila suvremena tehnologija, a zajedno sa time i kartično poslovanje. Kreditne kartice su danas zamijenile gotovinu zbog lakšeg načina uporabe i korištenja. U kreditne kartice s odgodom plaćanja spadaju: o MasterCard je kartica s beskamatnom odgodom plaćanja u kunama, po kojoj svi troškovi po kartici, knjiženi tijekom tekućeg obračunskog razdoblja, dospijevaju na naplatu u cijelom iznosu na dan dospijeća plaćanja u sljedećem obračunskom razdoblju. Obračunsko razdoblje je jedan mjesec. Kartica je međunarodno valjana i može se koristiti na svim prodajnim i isplatnim mjestima, te bankomatima. 23

28 o MasterCard Affinity je međunarodno valjana kartica s beskamatnom odgodom plaćanja u kunama. Može se koristiti na svim prodajnim i isplatnim mjestima, te bankomatima. Svi troškovi dospijevaju na naplatu u cijelom iznosu na dan dospijeća plaćanja u sljedećem obračunskom razdoblju (mjesec dana). o Visa Classic je kreditna kartica i bezgotovinsko je sredstvo plaćanja roba i usluga na svim prodajnim mjestima označenim za njen prihvat, kao i za podizanje gotovine na bankomatima u zemlji i inozemstvu (PBZ banka, 2014). U debitne kartice spadaju: o Inspire omogućuje jednostavno podizanje gotovine bez naknade na bankomatima Privredne banke Zagreb, kao i na bankomatima banaka Intesa Sanpaolo grupe. o Maestro omogućuje plaćanja na svim prodajnim mjestima i podizanja gotovine na bankomatima u Hrvatskoj i inozemstvu. o Visa Electron omogućuje raspolaganje sredstvima na tekućem računu u stranoj valuti, odnosno u jednoj od valuta po izboru klijenta (eura, američkih dolara ili švicarskih franaka), u svakom trenutku, neovisno o tome da li se nalazi u Hrvatskoj ili u inozemstvu. o Visa Business Electron - je međunarodna kartica žiro računa u kunama za građane (PBZ banka, 2014). Dnevni limiti za podizanje gotovine i plaćanje na prodajnim mjestima iznose: o MasterCard i Visa Classic kartice: Za isplatu gotovine kuna, Za plaćanje na prodajnim mjestima kuna. o Inspire i Maestro kartice: Za isplatu gotovine kuna, Ukupan dnevni limit za isplatu gotovine i plaćanja na prodajnim mjestima je kuna. 24

29 o Visa Electron kartica Za isplatu gotovine 5.000,00 kuna, Ukupan dnevni limit za isplatu gotovine i plaćanja na prodajnim mjestima je ,00 kuna. o Visa Business Electron kartica uz žiro račun u kunama: Za isplatu gotovine kuna, Za plaćanje na prodajnim mjestima kuna. o Visa Business Electron kartica uz kunski poslovni račun: Za isplatu gotovine do kuna, Za plaćanje na prodajnim mjestima do kuna (PBZ banka, 2014) Bankomati kao elementi povezivanja Bankomat je uređaj za izdavanje gotovine s otvorenih računa u banci, i to elektroničkim putem. Mnoge su prednosti bankomata u odnosu na klasično podizanje novca u bankama, a neke od njih su ušteda vremena, smanjenje gužve, a s time i smanjenje troškova na bankovnim šalterima. Najčešće su postavljeni u prostorijama banke, ali to nemora biti uvjet, već ih ima i na drugim otvorenim lokacijama. Korištenje bankomata je vrlo jednostavno. Koristi se ubacivanjem debitne ili kreditne kartice s osobnim identifikacijskim kodom, a zatim unošenjem tajnog koda (PIN-a). Upute za korištenje bankomata, koje korisniku olakšavaju obavljanje transakcije, su dostupne na domaćem, odnosno hrvatskom ili na engleskom jeziku. 25

30 Funkcionalnosti bankomata koje omogućuje Privredna banka Zagreb d.d. su: o isplata gotovine, o uplata gotovine (takva transakcija je dostupna samo na uplatno - isplatnim bankomatima), o korištenje dnevno - noćnih trezora (dostupna je klijentima koji imaju sklopljen ugovor o korištenju dnevno - noćnih trezora banke, samo na određenom uređaju i na određenoj lokaciji), o upit u stanje po otvorenim računima u Privrednoj banci Zagreb o upit u stanje po Visa računima za korisnike koji nisu klijenti Privredne banke Zagreb, o upit u stanje PBZ investicijskih fondova, o promjena PIN-a, o kupovina GSM bonova (PBZ banka, 2014). Privredna banka Zagreb ima veoma dobro razgranatu mrežu svojih bankomata preko kojih omogućuje svojim korisnicima brz i jednostavan pristup novcu 24 sata dnevno tokom cijele godine. U Rijeci se nalazi 17 bankomata PBZ banke, a njihove adrese i lokacije su prikazane u tablici 2. Tablica 2: Lokacije bankomata Privredne banke Zagreb u gradu Rijeci ADRESA MJESTO BANKOMATA LOKACIJA OZNAKA Rijeka Đure Šporera 3 PBZ poslovnica 195/1 A Stari grad Rijeka Pul Vele Crikve 1 "Rijekatekstil" B Rijeka Slavka Krautzeka b.b. Sveučilišni kampus C Rijeka Janka Polić Kamova PBZ ispostava /A Tower Rijeka D Rijeka Franje Čandeka 44 "Honda Ruting" E 26

31 Rijeka Baštijanova B.B. "Kozala" market F Rijeka Franje Belulovića B.B. "Vežica" Robna kuća G Rijeka Fiorella la Guardija 4 PBZ poslovnica 251 "Brajda" H Rijeka Osječka 71 "Mercator" I Rijeka Kvaternikova 62 b PBZ poslovnica 252 "Vežica" J Rijeka Mate Lovraka B.B. "Plodine" K Rijeka Zametska 90 Poslovni prostor gda Gigante L Rijeka Korzo 39 "Croatia osiguranje" M Rijeka Ivana Zajca 6 PBZ poslovnica 186 kod kazališta N Rijeka M. Krleže bb PBZ poslovnica Srdoči O Rijeka Slavka Krautzeka 15 Poslovni prostor Čabrijan P Rijeka Riva 6 Prodavaonica "Sport Way" R Izvor: Izrada autora Na slici 3 se mogu vidjeti točne lokacije gdje su smješteni bankomati Privredne banke Zagreb u gradu Rijeci. 27

32 Slika 3: Satelitska snimka lokacija bankomata Privredne banke Zagreb u gradu Rijeci Izvor: "Bankomati Privredne banke Zagreb d.d.", PBZ banka, Problem i analiza transportne opskrbe bankomata Privredne banke Zagreb Transport podrazumijeva kretanje ljudi, životinja, tereta i roba s jednog mjesta na drugo. Najčešće se odvija putem zračnog, pomorskog, željezničkog i cestovnog prometa. Transport je veoma važan jer omogućuje trgovinu među ljudima, što je od izuzetne važnosti za cijelu civilizaciju. Ceste, željezničke pruge, aerodromi, morske luke su samo dio transportne infrastrukture. Vozila koja se koriste na ovim transportnim mrežama su raznovrsna. Ona uključuju automobile, bicikle, autobuse, vlakove, kamione, helikoptere, plovila, i avione. Primarna funkcija transporta je funkcija otpremanja i funkcija pretovara. Dakle, svaki transportni sustav se sastoji od: o transportnog sredstva, o transportnog proizvoda, o transportnog procesa. 28

33 Transport određenog poduzeća se dijeli na: o unutarnji, o vanjski. Kod opskrbe bankomata Privredne banke Zagreb, susreće se s vanjskim transportom, koji se vrši pomoću transportnog sredstva u svrhu otpremanja proizvoda do bankomata. Transportno sredstvo je vozilo (kombi), kojim se po potrebi obilaze bankomati kako bi se napunili proizvodima, odnosno novcem, kako bi korisnici nesmetano mogli nastaviti obavljati transakcije. Problem transportne opskrbe bankomata PBZ banke u gradu Rijeci podrazumijeva da treba pronaći minimalni put koji povezuje sve bankomate u gradu kako bi se ostvarili minimalni troškovi opskrbe. U tablici 2 su prikazane točne lokacije bankomata PBZ banke, te su na temelju njih, pomoću internetske stranice Google Maps, određene udaljenosti između pojedinih bankomata, koje su prikazane u tablici 3. Tablica 3: Udaljenosti između pojedinih bankomata u kilometrima A B C D E F G H I A 0 1,6 3,9 3,3 5,1 1,8 3,3 1,6 5,0 B 1,6 0 5,2 4,3 4,5 1,4 4,3 1,3 4,1 C 3,9 5,2 0 2,8 7,4 3,9 1,7 3,7 6,5 D 3,3 4,3 2,8 0 7,0 3,4 5,2 3,3 6,1 E 5,1 4,5 7,4 7,0 0 6,3 7,9 3,3 4,4 F 1,8 1,4 3,9 3,4 6,3 0 6,0 2,9 4,2 G 3,3 4,3 1,7 5,2 7,9 6,0 0 4,3 7,1 H 1,6 1,3 3,7 3,3 3,3 2,9 4,3 0 2,8 I 5,0 4,1 6,5 6,1 4,4 4,2 7,1 2,8 0 J 2,7 3,7 1,2 4,3 6,9 5,3 1,7 3,6 6,5 K 8,5 7,9 10,8 10,3 3,8 8,6 11,4 6,3 6,9 29

34 L 5,4 4,7 7,7 7,2 1,5 6,3 8,2 4,0 4,8 M 0,95 1,2 3,2 2,8 4,8 3,6 3,8 1,8 4,8 N 0,6 1,1 2,9 2,5 4,5 3,8 3,5 1,1 4,0 O 1,6 3,9 3,4 4,2 2,9 4,4 0,95 3,8 P 3,4 4,7 1,9 4,6 7,6 6,0 2,9 4,3 7,2 R 1,4 0,8 3,7 3,3 4,2 3,5 4,3 0,85 3,7 J K L M N O P R A 2,7 8,5 5,4 0,95 0,6 1,6 3,4 1,4 B 3,7 7,9 4,7 1,2 1,1 4,7 0,8 C 1,2 10,8 7,7 3,2 2,9 3,9 1,9 3,7 D 4,3 10,3 7,2 2,8 2,5 3,4 4,6 3,3 E 6,9 3,8 1,5 4,8 4,5 4,2 7,6 4,2 F 5,3 8,6 6,3 3,6 3,8 2,9 6,0 3,5 G 1,7 11,4 8,2 3,8 3,5 4,4 2,9 4,3 H 3,6 6,3 4,0 1,8 1,1 0,95 4,3 0,85 I 6,5 6,9 4,8 4,8 4,0 3,8 7,2 3,7 J 0 10,3 7,6 3,2 2,8 3,8 2,4 3,6 K 10,3 0 3,1 8,0 7,7 7,4 11,5 7,6 L 7,6 3,1 0 5,1 5,0 5,0 8,3 4,7 M 3,2 8,0 5,1 0 0,75 0,65 4,4 0,5 N 2,8 7,7 5,0 0,75 0 1,1 4,3 0,8 O 3,8 7,4 5,0 0,65 1,1 0 4,7 0,8 P 2,4 11,5 8,3 4,4 4,3 4,7 0 4,3 R 3,6 7,6 4,7 0,5 0,8 0,8 4,3 0 Izvor: Izrada autora Pretpostavlja se da vozilo kojim se opskrbljuju bankomati ima trošak od 12 litara na 100 kilometara u prosječnoj gradskoj vožnji koja iznosi od 30 do 50 km/h. Trenutna cijena 30

35 benzina iznosi 9,82 kuna, što znači da vozilo troši 117,84 kuna na 100 kilometara, odnosno 1,18 kuna po jednom kilometru. Na temelju predhodnog izračuna izrađena je tablica 4 u kojoj je prikazan trošak transportne opskrbe između svakog bankomata, koji će se koristiti kao težina bridova grafa. Prikazana tablica 4 ujedno je i tablica incidencije. Tablica 4: Trošak transportne opskrbe između svakog bankomata u kunama A B C A E F G H I A 0 1,89 4,60 3,89 6,01 2,12 3,89 1,89 5,89 B 1,89 0 6,13 5,07 5,30 1,65 5,07 1,53 4,83 C 4,60 6,13 0 3,30 8,72 4,60 2,00 4,36 7,65 D 3,89 5,07 3,30 0 8,25 4,00 6,13 3,89 7,19 E 6,01 5,30 8,72 8,25 0 7,42 9,31 3,89 5,18 F 2,12 1,65 4,60 4,00 7,42 0 7,07 3,42 4,95 G 3,89 5,07 2,00 6,13 9,31 7,07 0 5,07 8,37 H 1,89 1,53 4,36 3,89 3,89 3,42 5,07 0 3,30 I 5,89 4,83 7,65 7,19 5,18 4,95 8,37 3,30 0 J 3,18 4,36 1,41 5,07 8,13 6,25 2,00 4,24 7,66 K 10,02 9,31 12,73 12,14 4,48 10,13 13,43 7,42 8,13 L 6,36 5,54 9,07 8,48 1,77 7,42 9,66 4,71 5,66 M 1,12 1,41 3,77 3,30 5,66 4,24 4,48 2,12 5,66 N 0,71 1,30 3,42 2,95 5,30 4,48 4,12 1,30 4,71 O 1,89 4,60 4,01 4,95 3,42 5,18 1,12 4,48 P 4,01 5,54 2,24 5,42 8,96 7,07 3,42 5,07 8,48 R 1,65 0,94 4,36 3,89 4,95 4,12 5,07 1,00 4,36 J K L M N O P R A 3,18 10,02 6,36 1,12 0,71 1,89 4,01 1,65 B 4,36 9,31 5,54 1,41 1,30 5,54 0,94 C 1,14 12,73 9,07 3,77 3,42 4,60 2,24 4,36 D 5,07 12,14 8,48 3,30 2,95 4,01 5,42 3,89 E 8,13 4,48 1,77 5,66 5,30 4,95 8,94 4,95 31

36 F 6,25 10,13 7,42 4,24 4,48 3,42 7,07 4,12 G 2,00 12,42 9,66 4,48 4,12 5,18 3,42 5,07 H 4,24 7,42 4,71 2,12 1,30 1,12 5,07 1,00 I 7,66 8,13 5,66 5,66 4,71 4,48 8,48 4,36 J 0 12,14 8,95 3,77 3,30 4,48 2,83 4,24 K 12,14 0 3,65 9,43 9,07 8,72 13,55 8,96 L 8,95 3,65 0 6,01 5,89 5,89 9,78 5,54 M 3,77 9,43 6,01 0 0,88 0,77 5,18 0,59 N 3,30 9,07 5,89 0,88 0 1,30 5,07 0,94 O 4,48 8,72 5,89 0,77 1,30 0 5,54 0,94 P 2,83 13,55 9,78 5,18 5,07 5,54 0 5,07 R 4,24 8,96 5,54 0,59 0,94 0,94 5,07 0 Izvor: Izrada autora Problem transportne opskrbe bankomata Privredne banke Zagreb prikazan je i na grafikonu 1. Grafikon 1: Povezanost bankomata Privredne banke Zagreb u Rijeci Izvor: Izrada autora Vrhove grafa predstavljaju bankomati, dok bridove predstavljaju ceste. Dakle, bankomati su međusobno povezani najkraćim putevima. 32

37 4.4. Minimizacija troškova transportne opskrbe bankomata Privredne banke Zagreb Problem transportne opskrbe bankomata PBZ banke je riješen traženjem minimalnog razapinjućeg stabla, primjenom Primovog algoritma koji je objašnjen u prethodnom poglavlju. Početni vrh se označio sa nulom ili ništa, jer predstavlja korijen stabla. U ovom slučaju to je vrh A koji odmah postaje dio traženog grafa. Riješenje problema se sastoji od šesnaest koraka, a to su: 1. A N Vrh koji se dodaje u graf je vrh N, jer je udaljenost između njega i početnog vrha A najmanja te težina brida koji spaja vrhove A i N iznosi 0,71. Prvi korak izvođenja Primovog algoritma prikazan je na grafikonu 2. Grafikon 2: Prvi korak izvođenja Primovog algoritma Izvor: Izrada autora 33

38 2. N M Slijedeći vrh koji se dodaje u graf je vrh M, jer je udaljenost između njega i vrha N najmanja (od svih mogućih slobodnih vrhova), a težina brida koji spaja vrhove N i M iznosi 0,88. Drugi korak izvođenja Primovog algoritma prikazan je na grafikonu 3. Grafikon 3: Drugi korak izvođenja Primovog algoritma Izvor: Izrada autora 3. M R Slijedeći vrh koji se dodaje u graf je vrh R, jer je udaljenost između njega i vrha M najmanja (od svih mogućih slobodnih vrhova), a težina brida koji spaja vrhove M i R iznosi 0,59. Treći korak izvođenja Primovog algoritma prikazan je na grafikonu 4. Grafikon 4: Treći korak izvođenja Primovog algoritma Izvor: Izrada studenta 34

39 4. M O Slijedeći vrh koji se dodaje u graf je vrh O, jer je udaljenost između njega i vrha M najmanja (od svih mogućih slobodnih vrhova), a težina brida koji spaja vrhove M i O iznosi 0,77. Četvrti korak izvođenja Primovog algoritma prikazan je na grafikonu 5. Grafikon 5: Četvrti korak izvođenja Primovog algoritma Izvor: Izrada autora 5. R B Slijedeći vrh koji se dodaje u graf je vrh B, jer je udaljenost između njega i vrha R najmanja (od svih mogućih slobodnih vrhova), a težina brida koji spaja vrhove R i B iznosi 0,94. Peti korak izvođenja Primovog algoritma prikazan je na grafikonu 6. Grafikon 6: Peti korak izvođenja Primovog algoritma Izvor: Izrada autora 35

40 6. R H Slijedeći vrh koji se dodaje u graf je vrh H, jer je udaljenost između njega i vrha R najmanja (od svih mogućih slobodnih vrhova), a težina brida koji spaja vrhove R i H iznosi 1,00. Šesti korak izvođenja Primovog algoritma prikazan je na grafikonu 7. Grafikon 7: Šesti korak izvođenja Primovog algoritma Izvor: Izrada autora 7. B F Slijedeći vrh koji se dodaje u graf je vrh F, jer je udaljenost između njega i vrha B najmanja (od svih mogućih slobodnih vrhova), a težina brida koji spaja vrhove B i F iznosi 1,65. Sedmi korak izvođenja Primovog algoritma prikazan je na grafikonu 8. Grafikon 8: Sedmi korak izvođenja Primovog algoritma Izvor: Izrada autora 36

41 8. N D Slijedeći vrh koji se dodaje u graf je vrh D, jer je udaljenost između njega i vrha N najmanja (od svih mogućih slobodnih vrhova), a težina brida koji spaja vrhove N i D iznosi 2,95. Osmi korak izvođenja Primovog algoritma prikazan je na grafikonu 9. Grafikon 9: Osmi korak izvođenja Primovog algoritma Izvor: Izrada autora 9. A J Slijedeći vrh koji se dodaje u graf je vrh J, jer je udaljenost između njega i vrha A najmanja (od svih mogućih slobodnih vrhova), a težina brida koji spaja vrhove A i J iznosi 3,18. Deveti korak izvođenja Primovog algoritma prikazan je na grafikonu 10. Grafikon 10: Deveti korak izvođenja Primovog algoritma Izvor: Izrada autora 37

42 10. J C Slijedeći vrh koji se dodaje u graf je vrh C, jer je udaljenost između njega i vrha J najmanja (od svih mogućih slobodnih vrhova), a težina brida koji spaja vrhove J i C iznosi 1,41. Deseti korak izvođenja Primovog algoritma prikazan je na grafikonu 11. Grafikon 11: Deseti korak izvođenja Primovog algoritma Izvor: Izrada autora 11. C G Slijedeći vrh koji se dodaje u graf je vrh G, jer je udaljenost između njega i vrha C najmanja (od svih mogućih slobodnih vrhova), a težina brida koji spaja vrhove C i G iznosi 2,00. Jedanaesti korak izvođenja Primovog algoritma prikazan je na grafikonu 12. Grafikon 12: Jedanaesti korak izvođenja Primovog algoritma Izvor: Izrada autora 38

43 12. C P Slijedeći vrh koji se dodaje u graf je vrh P, jer je udaljenost između njega i vrha C najmanja (od svih mogućih slobodnih vrhova), a težina brida koji spaja vrhove C i P iznosi 2,24. Dvanaesti korak izvođenja Primovog algoritma prikazan je na grafikonu 13. Grafikon 13: Dvanaesti korak izvođenja Primovog algoritma Izvor: Izrada autora 13. H I Slijedeći vrh koji se dodaje u graf je vrh I, jer je udaljenost između njega i vrha H najmanja (od svih mogućih slobodnih vrhova), a težina brida koji spaja vrhove H i I iznosi 3,30. Trinaesti korak izvođenja Primovog algoritma prikazan je na grafikonu 14. Grafikon 14: Trinaesti korak izvođenja Primovog algoritma Izvor: Izrada autora 39