OPTIMIZACIJA PROMETNIH PROCESA

Transcription

1 OPTIMIZACIJA PROMETNIH PROCESA (nastavni tekst) izv. prof. dr. sc. Tonči Carić Fakultet prometnih znanosti Sveučilište u Zagrebu

2 OSNOVNI POJMOVI U TEORIJI GRAFOVA 4 1 UVOD Definicija grafa Usmjereni i neusmjereni grafovi Stupanj vrha u grafu Specijalni grafovi 9 OPTIMIZACIJE NA GRAFU 11 2 GIBANJE PO GRAFU Težinski grafovi i njihov matrični prikaz Definicija šetnje, staze, puta i ciklusa Eulerovi i Hamiltonovi grafovi Problem kineskog poštara Definicija problema kineskog poštara Eulerova tura i problem kineskog poštara Rješavanja problema kineskog poštara dodavanjem umjetnih bridova Mogući načini dodavanja umjetnih bridova Algoritam rješavanja problema kineskog poštara Hierholzerov algoritam pronalska Eulerove ture Razapinjuće stablo Kruskalov algoritam Primov algoritam Problem trgovačkog putnika Metode rješavanja problema trgovačkog putnika Heuristika najbližeg susjeda Umetajuće heuristike Egzaktne metode Aproksimacijske metode Heurističke metode Metaheurističke metode Simulirano kaljenje Genetski algoritmi Optimizacija kolonijom mrava Optimizacija rojem čestica 31 2

3 2.12 Iterativna lokalna pretraga Operatori poboljšanja kod lokalne pretrage Bijeg iz lokalnog optimuma 34 LOKACIJSKO ALOKACIJSKI PROBLEM 36 3 ODREĐIVANJA LOKACIJE OBJEKATA UNUTAR PROMETNE MREŽE Povijesni razvoj Weberov problem 38 PROBLEM PAKIRANJA U POSUDE 40 4 UVOD Definicija problema Jednodimenzionalni problem pakiranja u posude Problem dvodimenzionalnog pakiranja u posude Heuristički pohlepni jednofazni algoritmi Strategije popunjavanja polica Jedno-fazni algoritmi za rješavanje problema dvodimenzionalnog pakiranja u posude Dvofazni algoritmi za rješavanje problema 2D pakiranja u posude 45 PROBLEM RASPOREĐIVANJA 49 5 UVOD Matematička interpretacija problema Problem raspoređivanja poslova na identične strojeve Raspoređivanje poslova na tekućoj vrpci Problem raspoređivanja (notacija) Linerani program za (P m prmp C max ) 53 3

4 Osnovni pojmovi u teoriji grafova 1 UVOD Za prikazivanje pojedinih geografskih lokacija i veza među lokacijama često se koriste točke i poveznice među njima. Dvije točke i linija koja povezuje te točke mogu na primjer predstavljati direktnu zračnu liniju između dva grada. Upotrebna vrijednost strukture gdje točka predstavlja neku geografsku lokaciju, a linija na primjer put od jedne do druge geografske lokacije dobra je motivacija za uvođenje matematičke strukture koju nazivamo graf. Prvi rad u kojem se koristi graf za prikaz odnosa geografskih lokacija i njihovih poveznica objavio je švicarski matematičar Leonhard Euler ( ) u časopisu Commentarii academiae scientiarum Petropolitanae, u kojem je formulirao i riješio problem Sedam Königsberških mostova. Problem koji je rješavao Leonhard Euler je interesantan zbog pristupa u kojem je za rješenje problema bitna samo enumeracija objekata problema i njihova međusobna povezanost, a ne stvarne topološke dimenzije postavljenog problema. Problem Sedam Königsberških mostova je nastao kada su stanovnici Kaliningrada (tadašnjeg Königsberga) pokušavali pronaći način da prijeđu svih sedam mostova tako da svaki most prijeđu točno jedanput i da se vrate u polaznu točku, ali bezuspješno. Sami mostovi su izgrađeni s obje strane rijeke Pregel i na dva riječna otoka (slika1.1 Problem Sedam Königsberških mostova ). Sedam mostova povezuje obje strane rijeke i otoke. Euler je dokazao da na željeni način nije moguće obići svih sedam mostova. 1.1 Problem Sedam Königsberških mostova Euler je problem pojednostavnio tako da je kopna i otoke zamijenio je točkama A, B, C, D i povezao ih linijama koje u stvarnosti predstavljaju mostove. Na taj način dobio je strukturu koju danas nazivamo graf,

5 1.1 Definicija grafa 1.2 Graf naglašava odnose povezanost objekata u prostoru Pojam grafa je vrlo općenit. Osnovna karakteristika grafa je da se sastoji od dva skupa. Svaki graf definiran je skupovima V i E. Skup V (engl. Vertex) predstavlja vrhove grafa. Skup E (engl. Edge) predstavlja bridove grafa. Graf G definiran je skupovima V i E. Skupovi V i E imaju konačan broj elemenata. DEFINICIJA 1.1 Graf je uređena trojka G=(V,E,φ), gdje je V=V(G) neprazan skup čije elemente nazivamo vrhovima, E=E(G) je skup disjunktan s V, čije elemente nazivamo bridovima, a φ je funkcija koja svakom bridu e iz E pridružuje par {u,v}, ne nužno različitih vrhova iz V. Graf skraćeno označavamo G=(V,E) ili samo G., 1.1 Graf G (1.1), sastoji se od skupa vrhova V i skupa parova vrhova koje nazivamo bridovi. Ako su u i v dva vrha, tada par {u,v} predstavlja brid e. Kažemo da e povezuje vrhove u i v ili da je e brid između vrhova u i v. Kažemo da su vrhovi u i v incidentni bridu e i da je brid e incidentan i vrhu u i vrhu v. Ako se vrhovi u i v u paru {u,v} ne razlikuje, tada takav brid nazivamo petlja. Za par vrhova u i v kažemo da su susjedni ako postoji brid e kojih ih povezuje. Dva brida ili više bridova koji povezuju iste vrhove zovu se višestruki bridovi Usmjereni i neusmjereni grafovi Bridovi grafa mogu biti usmjereni ili ne. Ako su svi bridovi u grafu usmjereni, tada takav graf zovemo usmjereni graf, u suprotnom, zovemo ga neusmjereni. U grafu, za koji inicijalno pretpostavljamo da je neusmjeren, brid od vrha u do vrha v identificira se s bridom od vrha v do vrha u. U digrafu (skraćeno za usmjereni graf), ta dva smjera smatraju se različitim bridovima. DEFINICIJA 1.2 Usmjereni graf (digraf) je uređena trojka G=(V,E,φ), gdje je V=V(G) neprazan skup čije elemente nazivamo vrhovima, E=E(G) je skup usmjerenih bridova, a funkcija φ je funkcija incidencije, koja svakom bridu e iz E pridružuje uređeni par (u,v), ne nužno različitih vrhova iz V, koje brid e spaja. Vrh u je početni, a v krajnji vrh od e. 5

6 Jednostavni graf je graf koji ne sadrži petlje ni višestruke bridove. Multigraf je graf koji dozvoljava višestruke bridove, ali ne dozvoljava petlje. Pseudograf je (multi)graf koji dozvoljava višestruke petlje. Odnosi između jednostavnih grafova, multigrafova i pseudografova prikazani su na slici 1.3. Primjer Vrste grafova ovisno o tome da li dozvoljavaju petlje i višestruke bridove Na slici 1.5 prikazan je usmjereni, a na slici 1.4 neusmjereni graf s jednakim skupom vrhova V, ali različitim skupom E. Slika Primjer usmjerenog i neusmjernog grafa 6

7 Primjer 1.2 Na slici 1.6 prikazan je jedan multigraf u kojem postoje višestruki bridovi, a na slici pseudograf koji osim višestrukih bridova ima i jednu petlju. 1.6 Primjer grafa koji je multigraf Stupanj vrha u grafu 1.7 Primjer grafa koji je pseudograf Stupanj vrha u grafu predstavlja broj bridova koji su incidentni s vrhom čiji stupanj mjerimo kao što je prikazano na slici 1.8. Slikovito stupanj vrha možemo odrediti tako da oko svakog vrha opišemo kružnicu malog radijusa, broj presijecanja takve kružnice s bridovima predstavlja stupanj vrha. 1.8 Broj presijecanja kružnice s bridovima predstavlja stupanj vrha 7

8 U računanju stupnja vrha koji ima petlju, petlja doprinosi povećanju stupnja vrha za dva. DEFINICIJA 1.3 Stupanj vrha (ili valencija vrha) grafa G je broj d G (v) bridova u G incidentnih sa v. Za jednostavne grafove G stupanj vrha je jednak broju susjednih vrhova v V(G) i često se definira kao kardinalni broj skupa N G (v), pri čemu je N G (v) skup svih susjeda od v. Ako je d G (v) jednak 0 onda kažemo da je vrh v izolirani vrh grafa G. Čest je slučaj da umjesto izraza V(G) koristimo samo V, a umjesto d G (v) samo d(v). TEOREM 1.1 Za svaki graf vrijedi: = 2 DOKAZ: Stupanj svakog vrha definira se kao broj bridova incidentnih tom vrhu. Kako svaki brid ima dva kraja, broj stupnjeva u grafu mora biti jednak dvostrukom broju bridova. TEOREM 1.2 U svakom je grafu broj vrhova neparnog stupnja paran broj. DOKAZ: Prema teoremu TEOREM 1.1 suma svih stupnjeva u grafu je paran broj. Neka su V 1 i V 2 redom skupovi vrhova neparnog i parnog stupnja u zadanom grafu i neka vrijedi V 1 U V 2 = V. Tada je: + = = 2 Kako je broj paran, slijedi da i mora biti paran broj pa je paran broj. TeoremTEOREM 1.2 često se zove i lema rukovanja (engl. hadshaking lemma) jer je dokaz jednostavno prikazati situacijom u kojoj se neparni broj ljudi međusobni uvijek rukuje paran broj puta. 8

9 1.9 Lema rukovanja 1.2 Specijalni grafovi Prazan graf je graf u kojem nema bridova, Prazan graf Put sa n vrhova P n je jednostavni graf definiran sa skupom vrhova V(P n )={v 1,v 2,,v n } i skupom bridova E(P n )={ {v i,v i+1 } : i=1,,n-1 }, Graf put Ciklus s n vrhova C n je jednostavni graf definiran s vrhovima V(C n )={v 1,v 2,,v n } i skupom bridova E(C n )={ { v 1,v 2 }, { v 2,v 3 },, {v n-1,v n }, {v n,v 1 }},

10 1.12 Graf ciklus Potpuni graf je jednostavan graf u kojem je svaki par vrhova spojen bridom. Oznaka za potpuni graf s n vrhova je K n, Primjer Potpuni graf Neka je G=(V,E) potpuni graf. Skup V sastoji se od vrhova {0,1,2,3}. Skup bridova potpunog grafa može se predstaviti u općem slučaju: ili u ovom primjeru: E= { {0,1}, {0,2}, {1,2}, {0,3}, {1,3}, {2,3} }, E={(i,j): i,j V, i<j)} 1.14 Potpuni graf 10

11 Optimizacije na grafu 2 Gibanje po grafu Jednostavnost strukture grafa omogućava da praktične probleme u prometu i transportu možemo preslikati u probleme gdje je stvarni svijet prometnica apstrahiran u grafove, a na grafovima možemo primijeniti poznate dokazane teoretske spoznaje i algoritme. U zračnom prometu simetrični težinski graf dobro oslikava kvantitativne odnose parametra putovanja kao što su vrijeme putovanja, udaljenosti ili cijene transporta između zračnih luka. Iste te parametre kao što su udaljenost, vrijeme i cijena transporta u cestovnom prijevozu u visoko urbaniziranim područjima velikih gradova ne možemo pohraniti u simetrične matrice koje opisuju simetrični graf. Za prikaz jednosmjernih ulica i kompleksne prometne regulacije simetrični graf nije dobro rješenje. Visoki nivo asimetrije udaljenosti između točke A i točke B, gdje je u jednom smjeru udaljenost manja nego u drugom rješava se na način da težinske grafove opišemo asimetričnim matricama i pripadajućim grafovima. Neovisno o tome da li je graf simetričan ili ne, struktura grafa još uvijek je najbolja podloga za prikaz prostornih odnosa na kojem se odvija prijevoz robe ili transport putnika. 2.1 Težinski grafovi i njihov matrični prikaz Neka zrakoplovni prijevoznik povezuje šest gradova C 1, C 2, C 3, C 4, C 5 i C 6, Slika 2.1. Cijena prijevoza od grada C i to C j dana je kao član (i,j) matice (2.1). Na primjer cijena karte od C 1 do C 2 iznosi 250, ali od C 1 do C 6 iznosi. Takve cijene su vidljive u matrici (2.1) gdje je član matrice (1,2) jednak 250, a član matrice (1,6) ima iznos. S obzirom da je udaljenost od C 1 do C 2 jednaka udaljenosti od C 2 do C 1 i članovi matrice (1,2) i (2,1) imaju jednaku vrijednost, kao i članovi (1,6) i (6,1). Matrica (2.1) je simetrična matrica. Slika

12 DEFINICIJA Težinski graf je uređeni par (G, ω), gdje je G graf i ω: E(G) funkcija koja svakom bridu e iz G pridružuje nenegativni broj ω(e). Vrijednost ω(e) nazivamo težinom brida e. Za matrični prikaz grafova najčešće se koristi matrica susjedstva (težinska matrica) nalik matrici (2.1). Za prikaz grafova, koji nemaju težine može se koristiti matrica incidencije koja se tvori tako da su u redcima vrhovi, a u stupcima bridovi. Ako je vrijednost elementa matrice 1, tada je taj vrh incidentan (povezan) s tim bridom, ako incidencija vrha i brida ne postoji, vrijednost elemenata matrice je 0 tj. G=(V,E) preslikavanje A:V x E -> {0,1} Ova vrsta prikaza je rjeđe u upotrebi. U slučaju da udaljenosti između dvije prostorne lokacije nisu jednake, već ovise o smjeru kao na slici 2.2, nužno je ovakve odnose prikazati asimetričnim usmjerenim grafom. Prostorno prometni odnosi ove dvije lokacije opisuju se asimetričnim usmjerenim grafom i asimetričnom matricom Slika Primjer kada udaljenosti između dvije lokacije ovise o smjeru 12

13 Slika Definicija šetnje, staze, puta i ciklusa Često je na grafu potrebno pronaći najkraći put između dva vrha. Ovisno o karakteristikama grafa, moguće je da traženi put niti ne postoji. Da bi mogli prikazati gibanje po grafu definiramo općeniti pojam šetnje (engl. walk). Šetnja između vrhova grafa v i q je konačni niz vrhova i bridova koji alterniraju npr. ( v=v 0, e 1, v 1, e 2, v 2, e 3,, e n, v n =q ) i možemo je zapisati i na kraći način kao v 0 e 1 v 1 e 2 v 2 e 3 e n v n. Šetnja je zatvorena ako je v = q. Broj bridova u šetnji predstavlja dužinu šetnje. DEFINICIJA 2.2 Šetnja u grafu G je konačan niz W = v 0 e 1 v 1 e 2 v 2... gdje se izmjenjuju vrhovi v i bridovi e, na način da su krajevi od e i vrhovi v i-1 i v i, za svaki i, 1 i k. DEFINICIJA 2.3 Ako su svi bridovi u šetnji W međusobno različiti, onda se W zove staza. DEFINICIJA 2.4 Ako se šetnja W sastoji od međusobno različitih bridova i vrhova, onda se W zove put. DEFINICIJA 2.5 Šetnja u kojoj su svi bridovi i vrhovi osim početnog i krajnjeg različiti zove se ciklus. Primjer 2.1 Slika

14 Za šetnju W kažemo da je (v 0, v k ) šetnja ili šetnja od početnog vrha v 0 do krajnjeg vrha v k. Sam indeks k, predstavlja duljinu šetnja. Na slici Slika 2.4 prikazani su osim šetnje, primjer staze (engl. trail), primjer puta (engl. path) i primjer ciklusa. 2.3 Eulerovi i Hamiltonovi grafovi Kako je i opisano u prethodnom poglavlju, problem sedam Königsberških mostova je nastao kada su stanovnici Kaliningrada (tadašnjeg Königsberga) pokušavali pronaći način da prijeđu svih sedam mostova tako da svaki most prijeđu točno jedanput i da se vrate u polaznu točku, ali bezuspješno. Sedam mostova povezuje obje strane rijeke i otoke. Ako upotrebimo do sada definirane pojmove, ovaj problem možemo postaviti i na ovaj način: Postoji li u zadanom multigrafu staza koja sadrži sve njegove bridove?, Slika 2.5. Slika 2.5 Euler je svoje zaključke prezentirao na Akademiji znanosti u St. Petersburg godine. Formirao je tri glavna zaključka: Ako je bilo koje kopno (obala ili otok) povezano s nekim drugim kopnom neparnim brojem mostova, tada kružno putovanje koje prelazi svaki most točno jedanput nije moguće. Da bi završio kružno putovanje oko obala prelazeći svaki most točno jedanput, za svaki ulazni most mora postojati jedan izlazni. Ako je broj mostova neparan za točno dva kopna, tada je putovanje koje prelazi svaki most točno jedanput moguće samo ako putovanje počinje u jednom, a završava u drugom kopnu. Ako nema kopna povezanog s neparnim brojem mostova putovanje može početi iz bilo kojeg kopna i završiti u tom istom kopnu. Danas se ovi zaključci očituju na ovaj način: DEFINICIJA 2.6 Eulerova staza grafa G je staza koja prolazi svakim bridom od G, znači da sadrži svaki brid točno jednom. DEFINICIJA 2.7 Eulerova tura je zatvorena Eulereva staza DEFINICIJA 2.8 Graf G je Eulerov ako dopušta Eulerovu turu. 14

15 Za slučaj Sedam königsberških mostova, odnosno za multigraf nije moguće pronaći Eulerovu turu jer se ne može naći zatvorena Eulerova staza. TEOREM 2.1 Slika 2.6 Povezan graf G je Eulerov ako i samo ako su svi vrhovi od G parnog stupnja. Parni stupanj vrha prema (DEFINICIJA 1.3) znači da se svaki vrh nalazi na parnom broju bridova. Povezani graf je graf u kojem za svaka dva vrha na grafu postoji put koji iz jednog vrha vodi u drugi. Ako prebacimo fokus s bridova na vrhove, možemo definirati : DEFINICIJA 2.9 Hamiltonov put na grafu G je put koji sadrži sve vrhove. DEFINICIJA 2.10 Hamiltonov ciklus na G je ciklus na G koji sadrži sve vrhove do G. DEFINICIJA 2.11 Graf G je Hamiltonov ako sadrži Hamiltonov ciklus. Ne postoji direktna veza između Hamiltonovog i Eulerovog grafa. 15

16 2.4 Problem kineskog poštara Poštar raznosi poštu u jednom dijelu grada (oblasti). Poštar ima zadatak obići sve ulice u oblasti barem jednom. Obilazak svih ulica može napraviti više ili manje dobro. Postavlja se optimizacijski problem, kojim putem treba poštar raznosti pisma, a da bude što uspješniji. Preciznije: Kojom rutom poštar treba obići svoju oblast na način da barem jednom obiđe svaku ulicu i da pri tome prijeđe što manji put i da se vrati na mjesto odakle je krenuo? Definicija problema kineskog poštara Ovakav problem možemo postaviti za razne djelatnosti kao što su: određivanje ruta vozila za pranje ulica, sakupljanje otpada, prijevoz učenika ili drugih komunalnih službi poput zimskih službi (čišćenja snijega). Za neusmjereni graf G=(V,E) gdje su dužine bridova d(i,j)>0, (i,j E)problem kineskog poštara možemo formulirati, tako da vrijedi gdje je s ij broj prolazaka bridom.,, 2.1 Slijedom prethodnih definicija možemo kazati da je graf Eulerov ako sadrži Eulerovu turu. Eulerova tura je zatvorena Eulerova staza. Eulerova staza prolazi svakim bridom grafa, znači da sadrži svaki brid točno jednom. Ako na Eulerovom grafu rješavamo problem kineskog poštara, možemo zaključiti da je rješenje trivijalno jer predstavlju Eulerovu turu. Suma duljina bridova grafa je duljina put koju treba preći poštar jer će posjetiti sve bridove samo jednom i vratiti se u početni vrh grafa. Ako graf nije Eulerov tada poštar treba posjetiti neke od bridova više puta Eulerova tura i problem kineskog poštara Promotrimo tri različita grafa. Pronalazak Eulerove ture možemo poistovjetiti s pokušajem crtanja grafa na način da u jednom potezu bez podizanja olovke nacrtamo bridove grafa. Za prvi graf na slici (2.7 Graf 1) nije moguće pronaći redoslijed crtanja bridova na način da ćemo sve bridove nacrtati u jednom potezu bez podizanja olovke s papira. Možemo zaključiti da se graf na slici (2.7 Graf 1) nije Eulerov graf. 2.7 Graf 1 16

17 Za drugi graf slika (2.8 Graf 2) moguće je nacrtati sve bridove u jednom potezu olovke bez podizanja olovke s papira, ali početak i kraj crtanje nikada nisu ista točka, pa ni ovaj graf nije Eulerov graf. 2.8 Graf 2 Za treći graf na slici (2.9 Graf 3) moguće je nacrtati sve bridove u jednom potezu olovke bez podizanja olovke s papira. Graf 3 je Eulerov graf. U čemu se razlikuju između grafova (Graf 1, Graf 2 i Graf 3)? 2.9 Graf 3 Ako usporedimo stupnjeve vrhova u svakom od grafova vidimo pravilonost koja je povezana s teoremom (TEOREM 2.1). U tablici (Tablica 2.1) je vidljivo da svi vrhovi Grafa 3 imaju paran stupanj, pa je moguće nacrtati Eulerovu turu odnosno u neprekinutom nizu posjetiti sve bridove bez ponovnog posjećivanja nekog od bridova i vratiti se u početni vrh. Kod Grafa 2 moguće je napraviti Euleorovu stazu, ali ne i turu. Razlika u turi i stazi je što su kod staze početni i završi vrh razlikuju i to su kod Grafa 2 upravo vrhovi s neparnim stupnjevima. Kod Grafa 1 nije moguće napraviti ni Eulerovu stazu niti turu. 17

18 Tablica 2.1 VRHOVI VRHOVI VRHOVI Stupnjevi Stupnjevi Grafa 1 Grafa 2 Grafa 3 Stupnjevi A 3 A 3 A 4 B 3 B 4 B 4 C 3 C 4 C 4 D 3 D 3 D 4 E 2 E 2 F Rješavanja problema kineskog poštara dodavanjem umjetnih bridova Pretpostavimo da je graf na kojem poštar treba razdijeliti poštu graf na slici (Slika 2.6). Brid odgovara ulici gdje se pošta raspoređuje u poštanske sandučiće a vrh je mjesto gdje poštar može promijeniti smjer i krenuti u neku novu ulicu koja je povezana s prethodnom. Poštar mora proći svakom ulicom, ali želi minimizirati broj ponovnih prolazaka kroz ulicu koji se konkretno za graf (Slika 2.6) ne mogu izbjeći jer graf nije Eulerov. Da bi odredili najkraći put potrebno je uzeti u obzir duljinu ulica ili vrijeme potrebno za prolazak tim ulicama, pa graf (Slika 2.6) moramo obogatiti parametrima (duljinom ili vremenom) i na taj način dobiti težinski graf (DEFINICIJA 2.1). Da bi riješili problem kineskog poštara na grafu koji nije Eulerov, potrebno je proširiti postojeći graf umjetnim bridovima. Dodavanjem tih novih umjetnih bridova stupanj vrhova se može dovesti do parnog broja. Tako bi graf (Slika 2.6) preoblikovali u novi graf (Slika 2.10) koji je Eulerov i koji ima Eulerovu turu. U novom grafu moguće su tražene poštareve staze, npr. staza (DEFINICIJA 2.3) W (2.2). W = de 4 ae 1 be 2 ae 3 be 6 ce 7 be 5 de 8 be 9 d 2.2 Slika

19 U stazi W (2.2) koriste se oba umjetno dodana brida e 1 i e 9 koji omogućavaju parnost svih vrhova i pretvaraju graf, (Slika 2.6) u Eulerov graf (DEFINICIJA 2.8) odnosno u graf, (Slika 2.10) Mogući načini dodavanja umjetnih bridova Da bi poštar putovao stazom (definicija 2.3) na grafu koji nije Eulerov i vratio se na početni vrh od kojeg je započeo putovanje, nuženo je umetanje novih umjetnih bridova između pojedinih vrhova. Broj novo umetnutih bridova između dva vrha odgovara broju ponovnih prolazaka kroz originalni brid između ta dva vrha. Svaki novo umentuti brid postoji isključivo zato da bi prebrojali prolaske kroz originalni brid. Na koliko je načina moguće dodati umjetne bridove, a da oni zadovolje opisanu motivaciju umetanja? Umjetni brid povezuje vrhove neparnog stupnja. Ako imamo dva takva vrha u grafu, moguće ih je povezati samo na jedan način. S obzirom na teorem TEOREM 1.1 koji kaže da je u svakom grafu broj vrhova neparnog stupnja paran broj, sljedeći mogući broj vrhova neparnog stupnja je četiri. Za Graf 1 na slici (2.7 Graf 1) moguću su tri načina povezivanja četiri vrha neparnog stupnja koji su prikazani na slici Načina povezivanja četiri vrha Grafa 1 Nadalje za šest vrhova neparnog stupnja, broj mogući načina povezivanje vrhova možemo prebrojati i uočiti pravilonst. Za šest vrhova ABCDEF neparnog stupnja, vrh A možemo povezati sa preostalih pet, a preostalih četiri možemo povezati na tri načina. Znači za šest vrhova neparnog stupnja moguće je 5 x 3 x 1 načina povezivanja. Slično razmatranje možemo provesti za osam i više vrhova neparnog stupnja. Pravilnost možemo uočiti promatrajući tablicu (Tablica 2.2). Tablica 2.2 Broj vrhova neparnog stupnja Broj mogućih povezivanja parova vrhova x 1 = x 3 x 1 = x 5 x 3 x 1 = x 7 x 5 x 3 x 1 = 945 n (n-1) x (n-3) x (n-5) x... x 1 19

20 2.4.5 Algoritam rješavanja problema kineskog poštara Da bih pronašli turu poštara s minimalnom ukupnom udaljenošću potreban je algoritam koji će za slučaj da graf nije Eulerov umetnuti, na najbolji mogući način, umjetne bridove. Koraci potrebni za rješavanje problema kineskog poštara na nusmjernom grafu prikazani su u algoritmu (Algoritam 2.1) Algoritam 2.1. Algoritam rješavanja problema kineskog poštara 1: Prebroji sve vrhove neparnog stupnja 2: Prebroji sva moguća povezivanja parova vrhova neparnog stupnja 3: Pronađi povezivanje vrhova s najmanjom težinom umjetnih bridova 4: Na originalni graf dodaj pronađeno povezivanje s minimalnom težinom 5: Ukupna težina ture je zbroj težina svih bridova grafa Primjer 2.2 ZADATAK: Za graf na slici (Slika 2.12) potrebno je pronaći turu kineskog poštara Slika 2.12 PRIMJER Algoritma rješavanja problema kineskog poštara graf na slici (Slika 2.12) 1: Jedini vrhovi s neparnim stupnjem su vrhovi A i H 2: Ova dva vrha se mogu spojiti samo na jedan način 3: Najkraći put spajanja od A do H je stazom bridova AB,BF,FH i ukpuna težina je 160 4: Novi umjetni bridovi prikazani su na slici (Slika 2.13) 5: Ukupna tura koju poštar treba preći je 1000, što je zbroj svih bridova 840 uvećan za

21 Slika 2.13 Za izračunatu ukupnu vrijednost težina 1000, ture u primjeru (Primjer 2.2) moguće je pronaći velik broj tura. Pronalazak koliko se pojedinih vrhova ponavlja u turi moguće je pronaći algoritmom (Algoritam 2.2) Algoritam : Rješi problem algoritmom (Algoritam 2.1) 2: Izradi tablicu (Tablica 2.3) svih vrhova i njihovih stupnjeva 3: Broj pojavljivanja svakog od vrhova u turi jednak je polovici njegovog stupnja, osim za prvi vrh Tablica 2.3 Vrh Stupanj vrha Broj pojavljivanja vrha A 4 2 B 6 3 C 4 2 D 4 2 E 2 1 F 6 3 G 2 1 H 4 2 Ture poštara koje imaju izračunatu minimalnu težinu 1000 moraju imati broj pojavljivanja pojedinih vrhova kako je navedeno u tablici (Tablica 2.3). 21

22 2.4.6 Hierholzerov algoritam pronalska Eulerove ture Da bi došli do konkretne ture koja je rješnje problema kineskog poštara potrebno je pronaći Euleoruv ture u Eulerovom grafu. Hierholzerov algoritam konstruira uzastopne zatvorene staze čijim se spajanjima u konačnici dobije Eulerova tura (staza). Drugi naziv ovog algoritma je End-Pairing Algorithm. Ulaz u algoritam je Eulerov graf. Na početku se konstruira staza sa početnim vrhom 1 koji može biti proizvoljan, korak a) na slici (2.14). Nadalje se proizvoljno bira incidentan brid vrhu 1 i dodaje se u stazu. Isti postupak se ovbaljva dok staza ne postane zatvorena. Kada staza postane zatvorena ispituje se sadrži li staza jednak broj bridova kao i ulazni graf. Tim se načinom detektira da li je algoritam pronaša konačno rješenje. Ako broj bridova nije jednak ukupnom broju bridova kao u koraku algoritma d) slika (2.14), tada se iz liste bridova Trenutno zadnji dodatni brid prebacuj u listu Završno i tako redom dok se ne dođe do vrha u kojem je moguće nasumično odabirati neposjećene bridove. Kada su svi bridovi posjećeni, trenutna lista bridova posprema se u završnu i algoritam završava s radom, a duljina Euleorva ture jednaka je sumi svih bridova

23 2.5 Razapinjuće stablo Razapinjuće stablo (engl. spanning tree) na grafu je podraf koji sadrži sve njegove vrhove i stablo je. Stablo je graf koji ne sadrži ciklus. Jedan graf sadrži više razapinjujućih stabala. Na slici (2.15) je prikazan primjer dva razapinjuća stabla (desno) od grafa G (lijevo). DEFINICIJA Minimalno razapinjuće stablo (engl. minimum spanning tree) (MST) težinskog grafa je razapinjuće stablo čija je suma težina svih bridova manja od bilo kojeg drugog razapinjućeg stabla na razmatranom grafu. Minimalno razapinjuće stablo se najčešće razmatra na težinskom grafu gdje težine predstavljaju ovisno o njegovoj primjeni udaljenost vrijeme, trošak, itd. Primjer minimalnog razapinjućeg stabla na težinskom grafu prikazan je na slici Bitno je napomenuti da na istom grafu može postojati više različitih minimalnih razapinjućih stabala odnosno razapinjujućih stabala koja se sastoje od različitog skupa bridova sa jednakom ukupnom sumom težina Iako je pronalazak minimalnog stabla tema istraživanja istraživača još od 1920-tih godina još uvijek se istražuju bolji i efikasniji algoritam. Razlog je što algoritmi za pronalazak minimalnog razapinjućeg stabla ima jako puno važnih primjena, što direktnih kao što je prostiranje električne mreže, čišćenje prometnica između bitnih javnih ustanova (bolnice, škole, vatrogasci) od oborina i još mnogih drugih. Osim direktnih aplikacija pronalazak minimalnog razapinjućeg stabla u grafu, 23

24 važna ulogu ima kao i dio mnogih algoritama za rješavanje optimizacijskih problema. Poznata primjena je kod Cristofidesova aprokismacijskog algorima za rješavanje TSP problema gdje se u njegovu inicijalnom koraku traži pronalazak minimalnog razapinjućeg stabla u grafu. Kalsični algoritmi za pronalazaka minimalnoga razapinjućeg su Kruškalov algoritam i Primov algoritam. Oba algoritma spadaja u pohlepna algoritme i pronalaze rješenje u polinmnom vremenu Kruskalov algoritam Prvi algoritam koji se razmatra je objavljen Godine u radu "On the shortest spanning subtree of a graph and the traveling salesman problem" od strane Joseph Bernarda Kruskala ( ). Kruskalov algoritam (Algoritam 2.3) u inicijalnom koraku kreira šumu stabala, gdje svaki vrh promatranog grafa predstavlja jedno stablo šume. Šuma je skup međusobno disjunktnih stabala, a stablo je graf koji ne sadrži ciklus, gdje su svaka dva vrha povezana putem. U početku svako stablo se sastoji samo od jednog vrha bez iti jednog brida koji mu pripada. Nakon toga se svi bridovi sortiraju prema težini, a najčešći izbor za strukturu podataka koja se koristi za to je prioritetni red. U svakom koraku algoritma dohvaća se sljedeći najmanji brid iz prioritetnog reda i dodaje se u šumu što zapravo znači da će se napraviti unija dva stabla iz inicijalne šume. U slučaju kada brid koji je sljedeći na redu za dodavanje tvori ciklus odnosno spaja dva vrha koja se već nalaze u istom stablu, taj brid se ne dodaje. Algoritam 2.3 Kruskalov algoritam 1: Kreiraj šumu stabala - gdje je svaki vrh jedno odvojeno stablo 2: Spremi sve bridove u prioritetni red 3: dok postoje bridovi u prioritetnom redu 4: Dohvati brid s najmanjom težinom iz prioritetnog reda 5: ako brid tvori ciklus 6: Nemoj dodati brid u šumu 7: inaće 8: Dodaj brid u šumu // Dodavanjem brida u šumu napravi se unija dva stabla Kritični dio ovog algoritma je detektiranje da li će brid koji je sljedeći na redu za dodavanje tvoriti ciklus. Ovaj korak je dosta spor osim u slučaju kada se koristi struktura podataka disjunktni skupovi (engl. disjoint sets) Primov algoritam Primov algoritam (u literaturi se još naziva DJP algoritam, Jarníkov algoritam ili Prim Jarníkov algoritam) razvijen je 1930 godine od strane češkog matematičara Vojtěch Jarníka, a kasnije 1957 godine neovisno je otkriven od Robert C. Prima dok ga je na kraju opisao i Edsger Dijkstra 1959 godine. Primov algoritam (Algoritam 2.4) radi na način da se kreira podgraf originalnog grafa sa jednim proizvoljno odabranim vrhom. Zatim se traži incidentan brid vrhu iz novog grafa koji ima najmanju težinu i dodaje se u novi graf dok se taj brid uklanja iz starog grafa. Ovaj postupak se ponavlja sve dok stari graf ostane bez vrhova s tim da se traži najmanji brid bilo kojem vrhu iz novog grafa. Na ovaj način u svakoj iteraciji se dodaje jedan novi vrh što će na kraju rezultirati da će novo kreirani graf biti podgraf originalnog grafa i njegovo najmanje razapinjuće stablo. 24

25 Algoritam 2.4 Primov algoritam 1: Kreiraj novi graf sa jednim vrhom iz originalnog grafa 2: dok originalni graf sadrži vrhove 3: Pronađi vrh iz originalnog grafa sa najmanjom težinom brida prema novom grafu 4: Dodaj vrh u novi graf 5: Izbriši vrh iz originalnog grafa Za razliku od Kruskalova algoritma Primov ne mora tražiti da li će se kreirati ciklus na novom grafu jer algoritam radi sa vrhovima, a ne bridovima. 2.6 Problem trgovačkog putnika Problem trgovačkog putnika (engl. Travelling Salesman Problem (TSP)) su W.R. Hamilton i T. Kirkman početkom 19 stoljeća definirali kao rekreativnu zagonetku baziranu na pronalaženju Hamiltonovog ciklusa (DEFINICIJA 2.10). Graf predstavlja mrežu gradova, bridovi su mogući putni pravci između gradova a težine bridova su udaljenosti gradova. Ovaj se problem može predstaviti kao putovanje trgovačkog putnika s ciljem da obiđe sve gradove samo jednom, ali da prevali ukupno najkraći put i vrati se upravo u onaj grad odakle je putovanje započeo. TSP problem je NP teški problem u matematičkoj teoriji. Svojstvo takvih problema je da pronalazak egzaktnog rješenja problema iznimno dugo traje jer algoritmi rješavanja imaju veliku računalnu složenost. Složenost problema se vidi kada prebrojimo sva moguća rješenja problema trgovačkog putnika i usporedimo rast broja rješenja s rastom broja bridova na kojem se rješava TSP problem. TSP problem promatrat ćemo na potpunim grafovima gdje su svaka dva vrha povezana bridom, za prikaz takvog grafa koristit ćemo težinsku matricu susjedstva. Veze između bridova neće se crtati već se podrazumijeva da se od svakog vrha može doći do bilo kojeg drugog vrha. Kolika je udaljenost između vrhova bit će vidljivo iz matrice, a te udaljenosti ne moraju nužno predstavljati i geometrijske odnose udaljenosti između pojedinih vrhova Kako je vidljivo iz slike (2.17), za ne usmjereni graf matrica susjedstva je simetrična, u slučaju da je matrica nesimetrična u matrici neće postojati zrcaljenje s obzirom na dijagonalu matrice. 25

26 Svako pojedino rješenje TSP problema bit će opisanom ciklus na primjer , slika (2.18) Ako želimo prebrojiti na koliko je načina moguće obići četiri lokacije, odnosno koliko je mogućih hamiltonovih ciklusa u jednom potpunom grafu od 4 vrhta, možemo prve četiri ispisati, a zatim ih kao hamiltonvoe cikluse ispisati slika (2.19). Svaki od hamiltonovih ciklusa ima svoju duljinu puta Ako želimo prebrojati koliko ima ukupno mogućih ciklusa za potpuni graf s 4 vrha. Tada u općem slučaju možemo kazati da imamo (n-1)! različitih ciklusa, odnosno u slučaju n=4, je (4-1)!=3*2*1=6 ciklusa. Za graf koji ima zrcalnu matricu kao na slici 2.17, možemo uočiti da su ciklusi i potpuno jednaki slika (2.20), pa je za takve grafove broj mogućih obilazaka (hamiltonovih ciklusa) jedank (n-1)!/

27 2.7 Metode rješavanja problema trgovačkog putnika Heurističke metode ili kraće heuristike su u općem smislu metode rješavanja problema koje se temelje na iskustvu. Većinu heuristika koje se pojavljuju u literaturi možemo intuitivno podijeliti na konstruktivne heuristike koje iterativno konstruiraju jedno rješenje gradeći ga od samog početka ili enumeracijske heuristike koje ispituju cijeli skup rješenja i odabiru najbolje. Konstruktivne heuristike vezane su za specifični problem koji rješavaju i često imaju polinomijalno vrijeme izvršavanja. Konstruktivne heuristike često imaju jednostavnu strukturu i predstavljaju pohlepne algoritme koji započinju graditi rješenje od jednog ili više jednostavnih fragmenata rješenja. Za razliku od njih enumeracijske heuristike predstavljaju metode koje na općenitiji način pristupaju pronalasku rješenja i moraju se prilagoditi specifičnom problemu. Vrijeme izvođenja enumeracijskih heuristika vezano je za veličinu skupa rješenja kojeg heuristika ispituje, a veličina skupa je često eksponencijalno ovisna o veličini problema. Rješenja dobivena konstruktivnim heuristikama često predstavljaju početno rješenje za enumeracijske heuristike Heuristike često pronalaze rješenja problema upotrebljiva u praksi u kraćem vremenskom roku u odnosu na vrijeme potrebno egzaktnim metodama. Za heuristike ne postoje nikakve procjene o kvaliteti rješenja ili o vremenu izvršavanje metode pod krajnje nepovoljnim uvjetima iako heuristike koje koristimo, često brzo vraćaju upotrebljiva rješenja. U pravilu nije moguće odrediti koliko su rješenja dobivena heurističkim metodama, udaljena od optimalnih rješenja problema. Problemi za koje možemo dokazati da su NP teški problemi, danas se u praktičnim primjenama u pravilu rješavaju heuristikama jer trenutno ne postoji bolji pristup. Metode rješavanja TSP problema mogu se podjeliti u četiri glavne skupine: egzaktne, aproksimacijske, heurističke i metaheurističke. Najednostavnije su heurističke konstruktive heuristke koje grade obilaske (Hamiltonove cikluse) od početka, a njihova rješenja se kasnije mogu poboljšati lokalnim pretragama Heuristika najbližeg susjeda Heuristika najbližeg susjeda (NNH) je jedan od prvih algoritama za rješavanje TSP problema, a dosta se često koristi kao inicijalno rješenje za testiranje popravljajućih heuristika, dosta je brza, ali su rješenja uvijek daleko od optimalnih. NNH algoritam (Algoritam 2.5 NNH algoritam)radi na način da iz skupa gradova slučajno odabere početni grad, doda ga u rutu i označi kao posjećenog. Zatim iz skupa neposjećenih gradova pronade najbliži grad od prethodno dodanog i doda ga u rutu te ga označi da je posjećen. Ovaj korak se ponavlja sve dok svi gradovi ne budu posjećeni. Algoritam 2.5 NNH algoritam 1: Slučajno odaberi početni vrh i označi ga kao posjećenog 2: dok ima neposjećenih vrhova 3: Pronadi vrh koji je najbliži zadnjem posjećenom vrhu 4: Dodaj ga u rutu i označi kao posjećenog 5: Dodaj prvi vrh u rutu 27

28 2.7.2 Umetajuće heuristike Postoje četiri umetajuće heuristike koje rade na sličnom principu. Sve se sastoje od tri koraka: inicijalizacije, selekcije i umetanja Heuristika ubacivanje slučajno odabranog grada Heuristika ubacivanja slučajno odabranog grada (engl. Random/arbitrary insertion) radi na način da konstruira parcijalnu rutu u kojoj se nalazi samo jedan slučajno odabran grad. Zatim u svakom sljedećem koraku se vrši slučajni odabir sljedećeg grada koji će se dodati u već konstruiranu rutu. Ubacivanje se radi na način da se pronađe brid na grafu čije će uklanjanje i dodavanje slučajno odabranog grada minimizirati ukupnu udaljenost. Algoritam (Algoritam 2.6)završava kada se svi gradovi nalaze u konstruiranoj ruti. Algoritam 2.6. Heuristika ubacivanja slučajno odabranog grada 1: Inicijalizacija 2: Kreiraj parcijalnu rutu sa samo jednim slučajno odabranim gradom i 3: Pronadi grad j za koji vrijedi da je cij minimalan i izgradi parcijalnu rutu (i, j) 4: Selekcija 5: Slučajno odaberi jedan grad k koji se još ne nalazi u parcijalnoj ruti 6: Umetanje 7: Pronadi brid i, j koji pripada parcijalno konstruiranoj ruti i koji minimizira c ik + c kj - c ij 8: Ubaci k izmedu i i j 9: Ako su svi gradovi dodani u rutu onda završi algoritam, u protivnom idi na korak Heuristike najbližeg i najdaljeg ubacivanja Heuristika najbližeg ubacivanja (engl. Nearest insertion heuristic) i heuristika najdaljeg ubacivanja (engl. Farthest Insertion Heuristic) su slične i imaju samo jedan detalj koji ih razlikuje. Obje započinju sa parcijalnom rutom koja ima samo jedan grad slučajno odabran. Jedina razlika izmedu ove dvije heuristike je u koraku selekcije tj. pri odabiru grada gdje se za heuristiku najbližeg ubacivanja c kj minimiziran, a kod heuristike najdaljeg ubacivanja c kj se maksimizira. Algoritam (Algoritam 2.7) završava kada se svi gradovi nalaze u konstruiranoj ruti. Algoritam 2.7. Heuristika najbližeg/najdaljeg ubacivanja 1: Inicijalizacija 2: Kreiraj parcijalnu rutu sa samo jednim slučajno odabranim gradom i 3: Pronadi grad j za koji vrijedi da je cij minimalan i izgradi parcijalnu rutu (i, j) 4: Selekcija 5: Pronadi gradove k i j (gdje j pripada parcijalno konstruiranoj ruti dok k ne pripada) 6: čiji je c kj minimiziran/maksimiziran 7: Umetanje 8: Pronadi brid i, j koji pripada parcijalno konstruiranoj ruti a čiji je c ik + c kj - c ij najmanji 9: Ubaci k izmedu i i j 10: Ako su svi gradovi dodani u rutu onda završi algoritam, u protivnom idi na korak 2 28

29 Heuristika najeftinijeg ubacivanja Heuristika najeftinijeg ubacivanja (engl. Cheapest insertion) radi na način da konstruira parcijalnu rutu u kojoj se nalazi samo jedan slučajno odabran grad. Selekcija sljedećeg grada se vrši na način da se biraju dva grada koja su već u ruti te jedan koji nije dodan u rutu, a da su udaljenosti izmedu njih minimizirane. Algoritam (Algoritam 2.8) završava kada se svi gradovi nalaze u konstruiranoj ruti. Algoritam 2.8. Heuristike najeftinijeg ubacivanja 1: Inicijalizacija 2: Kreiraj parcijalnu rutu sa samo jednim slučajno odabranim gradom i 3: Selekcija 4: Pronadi gradove k, i i j (gdje i i j pripadaju konstruiranoj turi dok k ne pripada) gdje je 5: c ij + c kj + c ij minimalan 6: Umetanje 7: Ubaci k izmedu i i j 8: Ako su svi gradovi dodani u rutu onda završi algoritam, u protivnom idi na korak Egzaktne metode Egzaktne metode pronalaze optimalno rjesenje, ali zbog svoje velike računalne složenosti ograničeni su na manje probleme. Najjednostavniji egzaktni algoritam bio bi da se ispituju sve moguće kombinacije i izabere se najpovoljnija. Ova metoda se naziva gruba sila (Brute Force) i neefikasna je čak i za instance problema od 15 točaka. Sljedeći metoda je dinamičko programiranje koja svoju najznačajniju primjenu ima u odredivanju donje granice rješenja. Donja granica rješenja je vrijednost ispod koje se sigurno ne nalazi optimalno rješenje TSP problema. Osim spomenutih tu su još linearno programiranje, metode pretraživanja s vraćanjem (Backtracking), metoda grananja i ograničivanja (Branch & Bound), te metoda grananja i rezanja (Branch & Cut). 2.9 Aproksimacijske metode Aproksimacijske metode daju u polinomijalnom vremenu približno tzv. sub-optimalno rješenje uz garanciju da je to rješenje blizu optimalnom. Aproksimacijski algoritmi razlikuju se po obliku garancije dobrote za rješenja koja daju. Tako ih dijelimo na apsolutno aproksimacijske, relativne aproksimacijske i aproksimacijske sheme. Najpoznatijji aproksimacijski algoritam je Christofidesov algoritam koji se najčešće koristi za konstrukciju rješenja i daje rješenja koja su približno 10% od optimalnog. Christofidesov algoritam radi na način da na zadanom grafu koji opisuje problem pronade minimalno razapinjujuće stablo, te zatim iz njega se pronađu vrhovo koji su neparnog stupnja. Stupanj vrha odreden je brojem bridova sa kojima je incidentan. Zatim se nad tim vrhovima pronade minimalno savršeno uparivanje koje je jedan od najtežih kombinatornih problema koji se mogu rješiti u polinomnom vremenu. 29

30 2.10 Heurističke metode Heuristike su obično zasnovane na nekoj intuitivno prihvatljivoj strategiji za koju je lako provjeriti da u većini slučajeva daje dobre rezultate. Dvije osnovne strategije su pohlepni pristup i lokalno pretraga. Pohlepna greedy heuristika konstruira rješenja u nizu koraka (faza). U svakom koraku biramo mogućnost koja je lokalno optimalna u nekom smislu i nadamo se da ćemo doći do globalnog optimuma. Kada pohlepni pristup primijenimo na NP teški problem ponekad je moguće dobiti približni algoritam. Lokalna pretraga je heuristička strategija rješavanja problema koja zahtijeva da u svakom trenutku raspolažemo jednim dopustivim rješenjem problema. Tekuće rješenje nastoji se poboljšati. Promatramo okolinu (susjedstvo) tekućeg rješenja i skup dopustivih rješenja koja su blizu tekućem. Blizu u tom smislu da se susjedstvo generira jednostavnom transformacijom tekućeg rješenja. Biramo najbolje rješenje iz okoline, na način da svako novo rješenje koje je bolje od tekućeg proglašavamo novim tekućim. Opisani postupak se nastavlja dok god je moguće, tj. sve dok ne dobijemo tekuće rješenje u čijoj okolini nema boljeg rješenja. Glavni nedostatak lokalne pretrage je što može zastati u lokalnom optimumu. Za vođenje lokalne pretrage nužno je osigurati mehanizam bijega iz lokalnog optimuma Metaheurističke metode Prve metahuristike javljaju se 80-ih godina 20-tog stoljeća, a pojam je prvi uveo Fred Glover Metaheuristike su iterativne procedure rješavanja kombinatornih optimizacijskih problema koje kao jedan korak procedure mogu sadržavati i tradicionalne heuristike (npr. lokalnu pretragu). Bitno svojstvo metahuristika je da koriste neku strategiju pronalaska globalnog optimuma. Ponekad metaheuristike dozvoljavaju prihvaćanje lošijih rješenja ciljne funkcije kako bi se ostvario bijeg iz lokalnog optimuma. Dozvoljeno je i prihvaćanje rješenja koja krše ograničenje kako bi se lokalna pretraga mogla voditi u nekom novom teže dostupnom susjedstvu tekućeg rješenja. Garancije pronalaska optimalnog rješenja ne postoje, ali metahuristike često pronalaze prihvatljivo rješenje u kratkom vremenu i generalno su primjenjive na velikom broju kombinatornih optimizacijskih problema. Metaheuritike pokušavaju pronaći ravnotežu između diversifikacije i intenzifikacije lokalne pretrage. Mehanizam diversifikacija ostvaruje namjeru strategije da se istraži što veći prostor rješenja (susjedstva). Mehanizam intenzifikacija ostvaruje namjeru da se što bolje ispita pojedino područje u potrazi za lokalnim optimumima. Balans ova dva mehanizma teško je ostvariti jer zadržavati pretragu u pojedinom području nije dobro, ali s druge strane nije dobro ni prebrzo dozvoliti napuštanje pojedinog područje bez da se pronađe lokalni ekstrem. Mnogi metaheurističke algoritme uzimaju kao podvrstu heurističkih metoda. Ove metode kao i heurističke ne daju garanciju pronalaska optimalnog rješenja, a takoder daju zadovoljavajuća rješenja relativno brzo. Jedina razlika je što metaheuristike nalaze inspiraciju u prirodi čija iskustva preuzimaju, simuliraju i na taj način daju rješenja. Za njihov rad je potrebno koristiti neku od konstruktivnih heuristika, a ponekad koriste i spomenute heurističke motode lokalne pretrage za poboljšavanje rješenja. Najpoznatiji primjeri su simulirano kaljenje (engl. Simulated Annealing), genetski algoritmi (engl. Genetic Algorithm), te metode optimizacije mravljom kolonijom (engl. Ant Colony Optimization, skraćeno ACO). ACO spada u metaheuristike kolektivne inteligencije ili jata (Swarm Intelligence) koje postaju sve popularnije jer daju konkurentne rezultate. Osim ACO metode njega vrijedi još spomenuti algoritme inspiriane ponašanjem roja čestica (Particle Swarm) ponašanje 30

31 pčela (Artificial bee colony), krijesnica (Glowworm swarm optimization), imunološkog sustava (Artificial immune systems), i dr Simulirano kaljenje Na osnovu Metropolisov algoritma koji oponaša termodinamičke procese koji se odvijaju u metalurgiji prilikom kaljenja metala osamdesetih je godina predložen za rješavanje problema iz područja kombinatorne optimizacije. Kaljenja u metalurgiji koristi se za postizanje stanja minimalne unutarnje energije koja se dobije formiranjem pravilne kristalne rešetke. Kada je metal zagrijan atomi su stohastički organizirani, a brzim hladenjem ostaju u nepravilnim položajima koje predstavljaju energetski lokalni optimum. Da bi se dobio energetski globalni optimum odnosno struktura metala bez nepravilnosti koristi se postupag sporog hladenja ili kaljenja. Ako se temperatura iskoristi kao parametar u rješavanju kombinatornih problema koji kontrolira diverzifikaciju i intenzikaciju pretrage, veća temperatura će značiti veću diverzifikaciju odnosno bolje istraživanje cjelokupnog prostora rješenja, a manja temperatura veću intenzifikaciju odnosno veću eksploataciju uskog područja rješenja u kojem se pretraga nalazi Genetski algoritmi Genetski algoritmi podskup su evolucijskih algoritama. Inspiracija ovakvih algoritama pronadena je u prirodnom produktu evoluciji. Jedinke koje se bolje prlagode okolišu imaju veće izglede za preživaljavanje od onih koje se slabije prilagode. Samim time i njihov se genetski materijal prenosi s generacijama. Osim ovog bitna je karakteristika medusobno natjecanje, prirodna selekcija te mutacije koje su najčešće loše ali mogu biti i korisne. Algoritam radi na način da simulira evoluciju na način da za trenutno rješenje uzima najbolje kromosome od roditelja, da se povremeno u jednoj od generacija dogodi mutacija te da postupkom prirodne selekcije preživljavaju najbolje jedinke. Najbolje jedinke se odreduju prema funkciji cilja koja je kod TSP najkraći put Optimizacija kolonijom mrava ACO metaheuristika je inspirirana ponašanjem kolonija mrava u prirodi. Ova metoda je još uvijek relativno mlada i predložena je od strane Doriga u njegovoj disertaciji godine. Sve varijante ACO metode rade na principu stigmergije, odnosno mehanizmom neizravne komunikacije izmedu jedinki iste vrste putem tragova koje ostavljaju u okolišu. Glavna ideja u primjeni ovog ponašanja u rješavanju kombinatornih problema je da jedinke (umjetni mravi) pretražuju prostor u svim smjerovima i da ostavljaju feromone koji lagano isparavaju. Oni mravi koji pronadu kraći put ostavljaju više feromona na putu, tako da se s vremenom na najkraćem putu nakupi najveća koncetracija feromona Optimizacija rojem čestica Pripada skupini algoritama inteligencije roja koja se temelje na sociološko-psihološkim principima. Kada se promatra jato ptica ili riba te kako jedinke unutar jata mjenjaju položaj u potrazi za hranom postoji velika vjerovatnost da će cijelo jato slijediti jedinku koja je osjetila ili pronašla izvor hrane. U jatu svaka jedinka ima i vlastiti instikt za hranom te se povremeno odvaja od jata u potrazi za izvorem hrane. Pronalaskom boljeg hranilišta, pomaže sebi i cijelom jatu jer će je ostale ptice 31

32 pratiti i preseliti se na bolje hranilište. Algoritam optimizacije rojem čestica radi na način da u potrazi za rješenjem kreću samostalne jedinke (čestice) te s vremenom mijenjaju svoju poziciju. Važnost pojedine čestice se vrednuje tako da se pozicija čestice uvrsti u funkciju cilja koja kao izlaz čestici daje realnu vrijednost. Čestice koje više vrijede te njihove pozicije daju najkraći put u rješavanju TSP-a Iterativna lokalna pretraga Iterativna lokalna pretraga (engl. Iterated Local Search, skraćeno ILS) je pojam u primjenjenoj matematici i računarstvu, te označava metodu za pretraživanje susjedstva za rješavanje problema diskretne optimizacija. Odlikuju je jednostavnost implementacije, robusnost i učinkovitost. Metoda je bazirana na pretpostavci da se potraga za optimalnim rješenjem ne treba voditi u čitavom prostoru rješenja, već da se treba usmjeriti na područja u blizini lokalnih optimuma do kojih ILS jako brzo dolazi. Na slici (2.21) je prikazan pojednostavljeni prostor rješenja S. Potraga za rješenjem u blizini lokalnih optimuma naziva se intenzifikacija, dok se bijeg iz lokalnih optimuma i potraga za rješenjem na nekom drugom mjestu naziva diverzifikacija Uspješnost ILS ovisi o izboru i načinu implementacije tri osnovna elementa od kojih se metoda sastoji: lokalnoj pretrazi, bijegu iz lokalnog optimuma, te mehanizmu odlučivanja o prihvaćanju rješenja. Pseudokod ILS metode prikazan je u algoritmu. U ILS-u sa procedurom GenerirajPocetnoRjesenje se inicijalno konstruira ruta jednim od konstrukcijskih algoritama opisanih prethodno. Zatim se poziva procedura LokalnaPretraga koja operatorima lokalne (2-Opt ili 3-Opt) pretrage poboljšava trenutno rješenje do zaglavljivanja u lokalnom optimumu. Zatim se poziva procedura naziva PromjeniSusjedstvo koja radi bijeg iz lokalnog optimuma. LokalnaPretraga i PromjeniSusjedstvo se poziva onoliko puta koliko je to unaprijed zadano uvjetom prekida koji je definiran u proceduri UvjetPrekida. Obično se radi o unaprijed zadanom broju iteracija, a može to biti i neki drugi uvijet kao što je primjerice vrijeme trajanja algoritma. Uvjet prihvaćanja rješenja definiran je sa, gdje se uvijek uzima najbolje trenutno riješenje dok se prethodno odbacuje. Sa ovim korakom se može jako puno ekperimentirati jer je moguće pamtiti prethodna stanja rješenja u obliku tabu liste i na taj način usmjeriti ILS. 32