STRATEGIJE REŠAVANJA MATEMATIČKIH ZADATAKA U NIŽIM RAZREDIMA OSNOVNE ŠKOLE 1

Transcription

1 ISSN X ISTRAŽIVANJE MATEMATIČKOG OBRAZOVANJA Vol. V (2013), Broj 8, Stručni rad STRATEGIJE REŠAVANJA MATEMATIČKIH ZADATAKA U NIŽIM RAZREDIMA OSNOVNE ŠKOLE 1 Zagorka Bogdanović 2 Sažetak: U ovom seminarskom radu se govori o poteškoćama koje utiču na učenike i onemogućavaju im da rešavaju matematičke zadatke. Jedan od većih problema je matematička neobrazovanost nastavnika. Bavićemo se istraživanjima vezana za ovu temu, kao i odnosom talentovane i prosečne dece. Kako bismo učenicima olakšali rešavanje zadataka, uvodimo određene strategije, koje se vežbanjem brzo pamte i koriste se onda kada učenik prepozna određenu matematičku strukturu zadatka koji joj odgovara. Neke od njih su: rešavanje zadataka računanjem, rešavanje zadataka korišćenjem formule, strategija eliminacije, strategija korišćenja modela i d r. Obradićemo ove strategije i navesti primere za svaku od njih kako bismo realizatorima nastave pomogli da lakše shvate i primene određene strategije u školi. Ključne reči: Problem, zadatak, rešenje, strategije, rešavanje zadataka, istraživanje, razlike, talenat. Abstract. In this paper we present some problem solving sreategies and processes of mathematics thinking. Key words and phrases: problem solving, strategy Math.Suvject Classification (2010): 97C70, 97D50 ZDM Subject Classification (2010): C30, D50 UVOD U poslednje vreme se često govori o poteškoćama na koje nalaze učenici nižih razreda osnovne škole pri rešavanju matematičkih zadataka. Zašto učenici matematiku posmatraju kao jedan od najtežih predmeta u svom školovanju? Kako im olakšati usvajanje matematičkih znanja? Postoje li strategije koje olakšavaju rešavanje problema u matematici? Ovo su samo neka od pitanja na koje ćemo dati odgovore, a i ponudićemo strategije koje učeniku olakšavaju rešavanje matematičkih zadataka. Pre nego što budemo govorili o rešavanju problema, moramo videti šta je to problem. U suštini, problem je situacija u kojoj se nalazi određena osoba, za koju je put do rešenja nepoznat. 3 Dakle osnovni cilj je pronaći put do rešenja problema, odnosno zadatka, ali kako? Postoje različite strategije rešavanja matematičkih zadataka koje pomažu učeniku da lakše dođe do svog cilja rešenja, koje ćemo obraditi i dati primer za svaku od njih. Pored tog osnovnog cilja (rešenja), mi kao nastavnici želimo postići i neposredni cilj kod učenika, a to je da nauče da rešavaju i životne probleme koristeći se logikom, koju podstiču i razvojaju moždane funkcije koje se pokreću pri razmišljanju o matematici. 1 Koncepti изложени у овом раду су преузети из мог семинарског рада који сам радила у оквирима предмете 'Савремена методика наставе математике 1' на студијсма другог циклуса на Педагошком факултету у Бијељини школске 2012/13 године 2 Pedagoški fakultet, Bijeljina, Semberskih ratara b.b., BiH, zagiismiljan@hotmail.com 3 (). Introducion to Problem Solving Strategies (1. str.)

2 1. KOJE KOČNICE UČENIK IMA PRI REŠAVANJU ZADATAKA? Rešavanje problema je naročito složen i zanimljiv proces u matematičkom obrazovanju učenika. Zbog složenosti ovog procesa može se pretpostaviti da nastavnik daleko mnogo utiče na aktivnost i motivaciju učenika u razredu. Iz ovih razloga, sprovedena su razna istraživanja u Švedskoj 4. Ona potvrđuju da veliki broj nastavnika nije dovoljno matematički obrazovano. Istraživači smatraju da je potrebno da student na Pedagoškim akademijama treba da: uči matematiku zbog ravijanja veština u rešavanju problema; učiti učenje o rešavanju problema i učiti matematiku kroz rešavanje problema. Na ovaj način se rad nastavnika u praksi pokazao odličnim, koji daje dobre rezultate kod učenika. Pored stručnosti, potrebno je da nastavnik učenike motiviše za rad. Motivacija je važna i na početku i u toku rešavanja zadataka, jer učenik treba da samostalno dođe do rešenja, a ne da odustane pre prvom poteškoćom na koju naiđe. Izbor interesantnog i odgovarajućeg zadatka, prilagođenog sposobnostima učenika doprinosi njihovoj motivaciji koja prati celokupan tok aktivnosti učenika pri dolasku do rešenja matematičkog zadatka 5. Naravno nije uvek problem u nastavniku, i u učeniku takođe može biti problem. Nekada spoljašnja motivacija (nastavnikova) nije dovaljna, nego učenici se jednostavo odupiru i pokazuju nezainteresovanots za rad. Neki od njih takođe smatraju da je to teško i ne žele uopšte da rade te zadatke. Neki od učenika su talentovaniji, dok drugi nisu, pa je to takođe jedna od prepreka u shvatanju strategija rešavanja zadataka. To ćemo detaljnije opisati u sledećem odeljku. 2. RAZLIKE IZMEĐU TALENTOVANE I PROSEČNE DECE U REŠAVANJU ZADATAKA UZ POMOĆ STRATEGIJA Neki od matematičara su se bavili razlikama između talentovane i prosečne dece (starosti 6-10 godina) u rešavanju zadataka. Istraživanje 6 je bilo vezano za rešavanje zadataka strategijama i matematičkim procesima između ove dve grupe dece. Istraživači su zaključili da talentovana deca lakše rešavaju zagonetke i sume, jer lakše prepoznaju cilj zadatka i lakše se opredeljuju za strategiju koja ih vodi do samog rešenja problema. Takođe, dokazala se velika sposobnost verbalizovanja i mogućnosti objašnjenja svojih rešenja, vizualizacijom lakše shvataju odnose u zadatim matematičkim strukturama, pa lakše kalkulišu u zadacima. Međutim, nije telenat presudan, nije direktno olakšavajuća sposobnost dece u rešavanju zadataka. Prezentovani problem u istraživanju ne služe da se neguju matematički darovita deca, nego da se da značaj o sposobnostima dece u prepoznavanju matematičkih struktura i odnosa. 3. STRATEGIJE REŠAVANJA MATEMATIČKIH ZADATAKA Učenici mogu da nauče da postanu bolji rešavaoci zadataka, ali isključivo vežbanjem. Postoje koraci koji olakšavaju razumevanje i rešavanje zadataka: 1. sagledavanje problema 2. analiza problema 3. pronalaženje informacija, pojmova i pravila neophodnih za njihovo rešavanje u kognitivnoj strukturi 4. definistanje matematičkih modela (strategija) 5. rešavanje zadataka 4 Ryve, A. (2007). What is actually discussed in problem-solving courses for prospective teachers, DOI /s y (44. str.) 5 Bogdanović, Z. (2012). Modelski pristup postavljanju i rešavanju problemskih zadataka, Pedagoški fakultet Bijeljina (12. str.) 6 Heize, A. (2005). Differences in problem solving strategies of mathematically gifted and non gifted elementary students, Shannon Researsc Press, ISSN (176. str.) 68

3 6. proveravanje rezultata i duskusija rešenja. 7 Kako bismo učenicima olakšali rešavanje zadataka uvodimo određene strategije (4. korak), koje se vežbanjem brzo pamte i koriste se onda kada učenik prepozna određenu matematičku strukturu zadatka koji joj odgovara Rešavanje zadataka računanjem Mnogi problemi su jednostavni i ne zahtevaju ništa više osim primene aritmetičkih pravila. Dovoljno je samo poznavati redosled računskih operacija i znati primeniti aritmetička pravila. Primer 1: Izračunaj! 2+2 2=? 2+2 2= 2+4= Rešavanje zadataka korišćenjem formule Formule su jedna od najmoćnijih strategija u rešavanju matematičkih zadataka, jer zahtevaju njihovo pamćenje, permutovanje i direktvo korišćenje. Potrebno je samo zameniti vrednosti u formuli, kako bismo došli do rešenja zadatka. Primer 2: Kolika je hipotenuza, ako su poznate njene katete i iznose 3 cm i 4cm? c 2 = a 2 +b 2 (formula za izračunavanje hipotenuze) a= 3cm, b= 4cm c 2 = (3cm) 2 + (4cm) 2 c 2 = 9cm 2 +16cm 2 c 2 = 25cm 2 c= 25cm 2 c= 5 cm, Odgovor: Hipotenuza je jednaka 5cm Strategija eliminacije Strategija eliminacije se pre svega često koristi u svakodnevnom životu, pa tako i u matematici. Cilj ove strategije je da učenici pri rešavanju matematičkog zadatka eliminišu sva rešenja zasnovana na informacijama, dok se ne ispune svi uslovi zadatka. Primer 3: Koji je najveći prirodan dvocifren broj koji je deljiv sa 6, ako je razlika cifara 3? 99, 98, 97, 96, 95, 94, 93, 92, 91, 90 89, 88, 87, 86, 85, 84, 83, 82, 81, 80 79, 78, 77, 76, 75, 74, 73, 72, 71, 70 Prvo eliminišemo brojeve koji nisu deljivi sa 6: 99, 98, 97, 96, 95, 94, 93, 92, 91, 90 89, 88, 87, 86, 85, 84, 83, 82, 81, 80 79, 78, 77, 76, 75, 74, 73, 72, 71, 70 Sada eliminišemo brojeve čija razlika između cifara nije 3: 96, 90, 84, 78, 72 Odgovor: Najveći dvocifren prirodan broj deljiv sa 6, čija je razlika između cifara 3, je Bogdanović, Z. (2012). Modelski pristup postavljanju i rešavanju problemskih zadataka, Pedagoški fakultet Bijeljina (13. str.) 69

4 3.4. Strategija rešavanja zadataka pravljenjem tabela, grafikona i lista Izrada tabela, grafikona i lista je način da se organizuju podaci koji su dati u zadatku. Ova strategija omogućava rešavanje uz pomoć otkrivanja odnosa i obrazaca između podataka. Primer 4: U poslastičarnici, kupci mogu kupiti četiri ukusa: jagoda, malina, limun i vanilla, sa tri različita preliva: čokolada, lešnik i jagoda. Koliko je moguće kombinacija dobiti ako je moguće uzeti jedan ukus sladoleda sa jednim prelivom? Pravimo organizovanu listu, svaki ukus sladoleda sa svakim prelovom: Jagoda sa prelivom čokolade Jagoda sa prelivom lešnika Jagoda sa prelivom jagode Malina sa prelivom čokolade Malina sa prelivom lešnika Malina sa prelivom jagode Limun sa prelivom čokolade Limun sa prelivom lešnika Limun sa prelivom od jagode Vanila sa prelivom čokolade Vanila sa prelivom lešnika Vanila sa prelivom od jagode Zaključujemo da postoji 12 kombinacija koje kupac može odabrati Strategija korišćenja modela Stvaranjem modela, indirektno rešavamo matematički zadatak. Osnovna uloga modela je da zameni predmet istraživanja i daje nove informacije o originalu Logičko kombinatorni modeli - Ove probleme svakodnevno rešavamo. Ovakvim zadacima volimo za zagolicamo našeg sagovornika i pokrenemo mu logičko razmišljanje Metoda logike Zadatke ovog tipa rešavamo formiranjem odgovarajućih algoritama misaonih operacija. Primer 5: Dva magarca upreguta za kola, prešla su 22km, koliko je prešao svaki od njih? Pošto su zajedno bila upreguta, prešli su istu dužinu puta, a to je 22km Strategija nagađanja, provere i ispravke (lažne pretpostavke) Ovom strategijom prepsostavljamo rešenje, koje će nam pomoći kao model da dodjemo do rešenja našeg zadatka. Procenom greške i ispravljanjem, dolazimo do svog cilja. Primer 6: Kesica bombona i njena četvrtina sarže 20 bombona. Koliko bombona ima u kesici? Ako lažno pretpostavimo da u kesici ima 4 bombone, onda dobijamo da kesica i njena četvrtina sadrže 4+1=5 bombona. Kako po uslovu zadatka taj zbir iznosi 20, dakle 4 puta više, tada će i traženi broj biti 4 puta veći, tj. 4 4=16. Odgovor: U kesici ima 16 bombona Metoda skupova Elementi skupa, mogu biti različiti predmeti, bića i dr. Naizgled veoma složene zadatke možemo rešiti ovom strategijom. 70

5 Primer 7: Od 100 učenika, na novosadski sajam je išlo 65 učenika u septembru, a na beograski 45 učenika u novembru mesecu. Ako ni na jedan sajam nije išlo 12 učenika, koliko njih je išlo na oba sajma? N B 23 Sa slike zaključijemo: =122, a ukupno je bilo 100 učenika, što znači ja je njih 22 išlo na oba sajma. Dalje oduzimanjem dobijamo da je 65-22=43 učenika koji su išli samo na novosadnski, a 45-22=23 koji su išli na beogradski sajam Geometrijski modeli rešavanja zadataka Najlakši način rešavanja zadataka je ako ih predstavimo slikom odnosno geometrijski, u ovom slučaju: dužima, grafovima, pravougaonikom Metoda duži Ova metoda pojednostavljuje postavljanje jednačina, uprošćava ih i olakšava njihovo rešavanje. Održavanje osnovnih matematičkih relacija dužina: a) Jednakost veličina a i b: a b b) Veličina a je za 2cm veća od b: c) Veličina a je 3 puta veća od b: a+2cm b a=3 b b Primer 8: Vanja je kupila buket od 9 ruža. Crvenih je bilo dva puta više nego belih. Koliko je bilo crvenih, a koliko belih ruža u buketu? Bele ruže: Crvene ruže: Ukupno: U buketu ima ukupno 9 ruža. 9:3=3, dakle 3 2=6 crvenih ruža. Odgovor: U buketu ima 6 crvenih i 3 belih ruža Metoda tablica Često su u problemima dva skupa subjekta. Takve zadatke rešavamo metodom tablica tako što upisujemo + ili u zavisnosti da li u relaciji ili ne. Primer 9: Koliko različitih kombinacija može da obuče devojka ako ima 4 različite košulje i 3 različite suknje? 71

6 KOŠULJE plava crvena roze bela SUKNJE Crna Braon Bež Može uspariti svaku košulju uz svaku suknju, što je 4*3=12 kobinacija Modelovanje na kvadratnoj mreži Magični kvadrati u polja kvadratne mreže treba da rasporedimo brojeve tako da zbirovi po kolonama i redovima budu isti, ali da se ne ponavljaju brojevi. Primer 10: Upisati u polje kvadrata veličine3x3 brojeve od 1-9, tako da zborovi po redovima i kolonama budu jednaki. Ako saberemo sve brojeve = 45, pošto imamo 3 kolone to je 45:3=15. Znači zbor u svakoj koloni ili redu je Metoda inverzije Ova metoda dobila je naziv po tome što krećemo od rezultata zadatka, vršenjem operacija do cilja - rešenja traženog podatka u zadatku. Primer 11: Ako zamislimo neki broj, pomnožimo ga sa 3, dodamo mu 15 i na kraju ga podelimo sa 9, dobićemo broj 4. Koji broj smo zamislili? Polazimo od krajnjeg rezuletat (4). Umesto deljenja sa 9 mi ćemo pomnožiti broj 4, 4 9=36. Umesto da dodamo mi ćemo oduzeti 36-15= 21, in a kraju umesto da pomnožimo sa 3, delićemo 21:3=7. Na taj način smo dobili broj koji smo zamislli, a to je broj Modeli stohastičkih pojava Postoje pojave koje se mogu bezuslovno desiti, njih nazivamo slučajnim događajima. Primer 12: U činijici za slatkiše nalazi se 17 bombona, od toga 10 čokoladih bombona i 7 voćnih. Koja je verovatnost da ćemo negledajući izvaditi: - čokoladni bombonu, - voćnu bombonu? 72

7 Mogućnost da ćemo izaditi čokoladnu bombonu obeležićemo sa A, a mogućnost što ćemo izvuću voćnu sa B. P= p, gde je p broj određenih bombona, a n ukupan broj bombona n P(A)= = =0.59= 59% da ćemo izvući čokoladne bombone P(B)= = =0.41= 41% da ćemo izvući voćne bombone Strategija prepoznavanja obrazaca Ova strategija se ogleda u razumevanju i sagledavanju početnog dela problema, odnosno zadatka, kako bi se uočio obrazac prema kojem možemo nastaviti da rešavamo zadatak (npr. niz). Primer 13: Nastavi niz korišćenjem obrasca! 1, 2, 5, Prvi broj se uvećava za broj jedan, a svaki naredni za +1 više. ZAKLJUČAK Najveći stepen učenikove aktivnosti postižemo rešavanjem matematičkih zadataka (problema), što je i najefikasniji oblik učenja u nižim razredima osnovne škole. Znanja koja usvoji na ovaj način učenik može primenjivati i u sličnim životnim situacijama. Matematičkim obrazovanjem nastavnika i osposobljavanjem učenika za rešavanje zadataka, razvijamo moć stvaralačkog mišljenja kod učenika. Pored obrazovanosti nastavnika potrebna je i primena što kreativnijih ideja i strategija kako bi se usavršio proces zaključivanja kod dece, uvežbavajući individaulne razlike, Učenje matematike putem rešavanja matematičkih zadataka, omogućavamo učeniku da postane aktivan istraživač u nastavnom procesu. LITERATURA [1] Bogdanović, Z. (2012). Modelski pristup postavljanju i rešavanju problemskih zadataka, Pedagoški fakultet Bijeljina [2] Heize, A. (2005). Differences in problem solving strategies of mathematically gifted and non gifted elementary students, Shannon Researsch Press, ISSN [3] Romano, D. A. (2010). Šta znamo o matematičkom mišljenju, MAT-KOL, Posebna izdanja, Broj 13, Banja Luka [4] Ryve, A. (2007). What is actually discussed in problem-solving courses for prospective teachers, DOI /s y [5] Schoenfeld, A. H. (1992). Learning to think mathematically: Problem solving, metacognition, and sensemaking in mathematics, Handbrook for Research on Mathematics Teaching and learning (pp ). New York: MacMilan [6] Wilson, W.J. (). Mathematics Problem Solving, University of Georgia [7] Wilson, W.J., Fernandez, L. M., Hadaway, H. (1993). Mathematical Problem Solving, Research Ideas for the Classroom: High School Mathematics. New York: MacMillan [8] White, D. E. (2002). Mathematical Problem Solving for Elementary School Teachers, University of Minnesota [9] () Problem Solving Strategies and Mathematical Reasoning [10] (2003). Early Math Strategy, Report of the Expert Panel on Early Math in Ontario 73

8 [11] (2010). Classroom Cognitive and Meta-Cognitive Strategies for Teachers, Florida Department of Education, Division of Public Schools and Community Education [12] ( ). Mathcounts [13] (). Introducion to Problem Solving Strategies Pristiglo u redakciju Dostupno online