Atomarne reµcenice. Simboliµcka logika listopada 2007 FFRI. (FFRI) 19. listopada / 31

Transcription

1 Atomarne reµcenice Simboliµcka logika 1 FFRI 19. listopada 2007 (FFRI) 19. listopada / 31

2 Struktura atomarnih reµcenica Zapis Primjer Atomarne reµcenice su najjednostavnije reµcenice u logiµckom smislu. U tipiµcnom su sluµcaju sastavljene od predikata i imena. U negativnom smislu, mogli bismo ih odrediti kao reµcenice koje ne sadrµze niti jedan logiµcki simbol osim moµzda predikata identiteta. Albert je student. Predikat: Student. Ime: albert. Student (albert) Albert cijeni samoga sebe. Predikat: Cijeni. Ime: albert. Cijeni(albert, albert) Predikat se zapisuje s velikim, ime s malim poµcetnim slovom.. (FFRI) 19. listopada / 31

3 Imena U jeziku logike prvoga reda imena se nazivaju individualnim konstantama. U prirodnom jeziku isto ime moµze referirati na razliµcite predmete ovisno o kontekstu. U logici prvoga reda jedna individualna konstanta referira uvijek na isti na predmet. Za razliku od prirodnog jezika, jezik logike prvoga reda neovisan je o kontekstu. (FFRI) 19. listopada / 31

4 Digresija: neka ograniµcenja jezika LPR Primjer Logika prvoga reda ispituje jezik u kojemu se javljaju istinitosno funkcionalni veznici (sliµcno propozicijskoj logici), u kojem se javljuju kvanti katori, predikati, individualne konstante i individualne varijable (za razliku od propozicijske logike) te u kojem se ne javljaju operatori koji nisu istinitosno-funkcionalni (za razliku od modalne logike) i u kojem predikati i reµcenice ne mogu biti vrijednostima varijabli. Reµcenice koje se ne mogu analizirati u jeziku LPR. Ovim predmetima sva su svojstva zajedniµcka osim jednog. Ono što nije zabranjeno, dopušteno je. Prethodna reµcenica je istinita. Tko je osnivaµc imperativne logike? Ponovite dokaze prirodnom dedukcijom! (FFRI) 19. listopada / 31

5 Literal Negacije nisu atomarne reµcenice. Primjer Albert ne cijeni samoga sebe. :Cijeni(albert, albert) De nicija Literali su atomarne reµcenice ili negacije atomarnih reµcenica. (FFRI) 19. listopada / 31

6 Ime i predmet Primjer Pitanje Logiµcku ulogu individualne konstante mogu obavljati razliµcite sintaktiµcke vrste iz prirodnog jezika, kao što su vlastita imena, osobne zamjenice, prilozi, brojevi itd. Ja sam ovdje. 2 = 2 Individualne konstante su simboli koje koristimo da bismo pokazali na neki odre eni pojedinaµcni predmet. Moµzemo tako er kazati da individualne konstante "imenuju" ili referiraju na odre ene predmete. One su svojevrsna logiµcka imena. Je li reµcenica Danas je petak atomarna? Ako jest, koja rijeµc ima ulogu "logiµckog imena" i na koje "predmet" ona referira? (FFRI) 19. listopada / 31

7 Pretpostavke LPR s obzirom na individualne konstante Svaka individualna konstanta imenuje. Svaka individualna konstanta imenuje toµcno jedan postojeći predmet. Predmet moµze imati više imena. Predmet ne mora imati ime. Pitanje Ako je reµcenica Pegaz postoji atomarna, je li ona iskaziva u jeziku logike prvog reda? (FFRI) 19. listopada / 31

8 Ime znaµci predmet Primjer (Tractatus Logico-Philosophicus) Ludwig Wittgenstein Ime znaµci predmet. Predmet je njegovo znaµcenje ("A" je isti znak kao "A".) 3.22 U stavu ime zastupa predmet Predmete mogu samo imenovati... Mogu samo govoriti o njima. Ne mogu ih tvrditi... Pitanje Moµze li se govoriti o predmetima bez da ih se imenuje? (FFRI) 19. listopada / 31

9 Pogled unaprijed Primjer (Methods of Logic) Willard Van Orman Quine... teorijska uklonjivost singularnih term(in)a suvišnost bilo kojeg imena toliko je zapanjujuća da o njezinoj vaµznosti jedva da treba dvojiti, osim u negativnom smislu, pokazujući što ona ne znaµci. Ona ne znaµci da naš jezik postaje lišen sredstava pomoću kojih bi mogao govoriti o predmetima; baš suprotno, daljnja razmatranja pokazuju da protjerivanje singularnih termina ne umanjuje moć jezika. Ono što nestajanje singualrnih termina znaµci jest to da se referiranje na predmete bilo koje vrste, bilo konkretne bilo apstraktne, moµze suziti na jedan posebni kanal: na varijable kvanti kacije. (FFRI) 19. listopada / 31

10 Predikati Broj mjesta u predikatu Pitanje Predikatni simboli iskazuju neko svojstvo predmeta ili neki odnos (izme u) predmeta. Mjesnost predikata oznaµcava broj pojava individualnih konstanti potrebnih da se on upotpuni, broj pojava imena potreban da se od toga predikata saµcini atomarna reµcenica. Odredite "mjesnost" sljedećih predikata ako oni jesu predikati! Izmedju Voli Hoda (FFRI) 19. listopada / 31

11 Dodavanje uvjeta i izmjena uvjeta Za zapamtiti Pitanje Imaju li pridjevi i imenice sliµcno ili razliµcito logiµcko ponašanje? Usporedite logiµcku ulogu pridjeva u sljedećim reµcenicama! Dumbo je sivi slon. Dumbo je mali slon. Nekad pridjevi ne dodaju novi uvjet već ograniµcavaju uvjet zadan s imenicom. U logici prvog reda svaki predikatni simbol ima µcvrsto utvr eni broj mjesta, broj koji pokazuje koliko je pojava individualnih konstanti potrebno za tvorbu atomarne reµcenice. Svaki se predikat tumaµci kao odre eno svojstvo ili odnos koje ima jednak broj µclanova kao i njegov jeziµcni zastupnik - predikat. (FFRI) 19. listopada / 31

12 Logiµcki "pravopis" i atomarne reµcenice Pitanje Razliµciti pristupi "pravopisu" atomarnih reµcenica. Pre ksni zapis: predikat se zapisuje ispred niza individualnih konstanti upisanih unutar zagrada, Predikat(_,..., _). In ksni zapis koristi se ponekad za dvomjesne predikate: dvomjesni predikatni simbol se upisuje izme u individualnih konstanti, xry. Post ksni zapis, gdje je predikat upisan iza niza individualnih konstanti, rijetko se koristi. Odredite vrstu zapisa! 2 > 0 Cijeni (albert, albert) (FFRI) 19. listopada / 31

13 Logika i ontologija Dizajniranje formalnog jezika ukljuµcuje izbor predikata i izbor objekata. Naµcelo ekonomiµcnosti ili maksimalne izraµzajnosti uz minimalni rjeµcnik obiµcno se prepoznaje kao rukovodećo naµcelo. Naµcelo uporabe samo neophodnih alata naziva se «Ockhamova britva». Srednjovjekovno naµcelo ekonomiµcnosti, po kojemu "teorijske entitete ne trebamo umnaµzati bez potrebe", postalo je poznato pod nazivom Ockhamova britva jer je William iz Ockhama ( ) odbacio mnoge entitete µcije postojanje bilo postulirano u skolastiµckoj lozo ji. Grubo reµceno, cilj je doći do jezika koji moµze iskazati sve ono što µzelimo iskazati a da pri tome koristimo "najtanji mogući rjeµcnik". (FFRI) 19. listopada / 31

14 Pitanje Usporedi izraµzajnost dva jezika koji se razlikuju samo u rjeµcniku! Prvi sadrµzi unarni predikat, CijeniAlberta i individualne konstante, albert i robert, drugi sadrµzi iste individualne konstante te binarni predikat, Cijeni. Koliko atomarnih reµcenica moµzemo saµciniti u prvom, a koliko u drugom jeziku? Što moramo uµciniti da bi jezik manje izraµzajnosti postigao jednaku ekspresivnu moć kao i jezik veće izraµzajnosti? (FFRI) 19. listopada / 31

15 Koje su reµcenice atomarne? Pitanje o jednostavnosti reµcenice (je li ona atomarna ili ne) ne moµze se razriješiti na neovisan naµcin. Svojstvo jednostavnosti reµcenice odre ujemo u nekom ontološkom okviru. Reµcenica koja je jednostavna unutar jednog ontološkog okvira moµze biti sloµzena u drugome. Svojstvo jednostavnosti reµcenice odre ujemo u nekom logiµckom okviru. Reµcenica koja je jednostavna unutar jednog logiµckog okvira moµze biti sloµzena u drugome. (FFRI) 19. listopada / 31

16 Primjer Reµcenica (i) Ivica je vidio juµcer Maricu u Dubrovniku jest atomarna reµcenica u perspektivi ontologije koja ukljuµcuje osobe, mjesta i vremenske isjeµcke: Vidio(ivica, marica, jučer, dubrovnik). Primjer U ontološkom okviru u kojemu su doga aji «predmeti» o kojima govorimo ta reµcenica postaje sloµzenom reµcenicom koja govori o postojanju barem jednog doga aja x, koji nije zastupljen s nekom odre enom rijeµcju, ali prešutno jest upravo ono o µcemu reµcenica govori, 9x Pitanje Vidjenje(x) ^ Subjekt(x, ivica) ^Objekt(x, marica) ^ Mjesto(x, dubrovnik) ^ Vrijeme(x, jučer ) Je li reµcenica (ii) Ivica je vidio Maricu posljedica reµcenice (i)? Koji će od dva naµcina odre ivanja logiµckog oblika lakše pokazati da (i) ima za posljedicu (ii)? (FFRI) 19. listopada / 31

17 Ontološka odluka Willard Van Orman Quine ( ) pokazao je da je s logiµckog stajališta svaka ontologija jedan izbor, izbor kojeg se drµzimo sve dok "podnošljivo funkcionira". Izbor ontologije, po Quineovom mišljenju, je odluka µcija se racionalnost uvijek moµze dovesti u pitanje. Citat Prihvaćanje ontologije je, u naµcelu, sliµcno prihvaćanju znanstvene teorije, recimo sustava zike: barem u mjeri u kojoj smo racionalni, mi usvajamo najjednostavniji pojmovni okvir u kojega se razasuti dijelovi našeg nesre enog iskustva mogu ugraditi i tu urediti. Willard Van Orman Quine. O onome što jest. Zadatak Usporedite Quinovov stav i naµcelo "Ockhamove britve"! (FFRI) 19. listopada / 31

18 Donald Davidson Citat [...] veliki dio našeg zanimanja za logiµcki oblik proizlazi iz našeg zanimanja za logiµcku geogra ju: dodijeliti logiµcki oblik nekoj reµcenici znaµci odrediti njezin poloµzaj u cjelini svih reµcenica, znaµci opisati je na naµcin koji izriµcito odre uje koje druge reµcenice ona povlaµci te koje povlaµce nju. Taj se poloµzaj odre uje s obzirom na odre enu logiµcku teoriju; prema tome logiµcki oblik ovisi o nekoj logiµckoj teoriji. Pitanje Govore li Quine i Davidson o istoj vrsti relativnosti logiµckog oblika reµcenice? Moµze li se reći da "ontologiziranje doga aja" (njihovo "hipostaziranje", "obícavanje") poštuje naµcelo "Ockhamove britve"? (FFRI) 19. listopada / 31

19 Problem: logiµcki oblik reµcenica o radnjama Citat [...] za svaki glagol radnje ili promjene dodajemo mjesto za doga aj; za takve glagole moµzemo reći da uzimaju doga aj kao predmete. Na taj se naµcin priloško modi ciranje pokazuje kao logiµcki par pridjevskoj modi kaciji: ono što priloške oznake modi ciraju nisu glagoli, već doga aji koje odre eni glagoli uvode. Donald Davidson ( ). The Individuation of Events. U: Essays on Actions and Events, str Pitanje Slijedeći Davidsonov stav odgovorite imaju li glagoli i imenice istu ili razliµcitu logiµcku ulogu! To isto odredite s obzirom na pridjeve i priloge! (FFRI) 19. listopada / 31

20 Atomarne reµcenice: podsjetnik U logici prvoga reda atomarne reµcenice nastaju kada se n-mjesni predikat stavi ispred n pojava imena (smještenih unutar zagrada i razdvojenih zarezom). Koriste se i drukµcij i zapisi. Na primjer, umjesto R(a 1,..., a n ) neki autori koriste zapis Ra 1...a n. Jedna vrsta atomarnih reµcenica nastaje korištenjem predikata identiteta, =; u in ksnom zapisu tog predikata argumenti su smješteni s njegove obje strane. Poredak imena je vaµzan u tvorbi atomarnih reµcenica. (FFRI) 19. listopada / 31

21 Funkcijski izrazi U atomarnim reµcenicama, pored individualnih konstanti, moµzemo naći i druge izraze koji obavljaju ulogu imenovanja, referiranja na toµcno jedan postojeći predmet. U nedostatku terminološke suglasnosti, te druge izraze nazovimo funkcijskim izrazima. Niz saµcinjen od funkcijskog simbola praćenog odgovarajućim brojem individualnih konstantama µcini jednu vrstu funkcijskih izraza. Primjer Izraze Albertov otac i Albertov najbolji prijatelj moµzemo shvatiti kao funkcijske izraze (pretpostavljajući u drugom sluµcaju da najbolji prijatelj moµze biti samo jedan): funkcijski izraz z } { {z} otac ( albert {z } ), funkcijski simbol individualna konstanta najbolji_prijatelj(albert). Primjer (FFRI) 19. listopada / 31

22 Usporedba: µcemu su sliµcne funkcije? Zapis funkcijskih izraza moµze biti pre ksni, in ksni i post ksni. Funkcijski simbol mora se upotpuniti s nekim drugim referirajućim izrazom. Ta notacijska sliµcnost s predikatima moµze navesti na krivu pomisao o srodnosti funkcija i predikata. Zapravo i u sintaktiµckom smislu i u semantiµckom smislu funkcijski su izrazi sliµcni individualnim konstantama, a ne predikatima. Prva sliµcnost, za funkcijske izraze moµze se naći «mjesto» unutar predikata i tako upotpuniti atomarnu reµcenicu, a predikati se nikada ne mogu "ugnjezditi u krošnji" predikata. Druga, funkcijski izrazi imenuju, a to znaµci - pokazuju na (zastupaju) toµcno jedan predmet. Primjer Albert cijeni svog oca. Albert cijeni svog djeda. Cijeni(albert, otac(albert)). Cijeni(albert, otac(otac(albert))). (FFRI) 19. listopada / 31

23 Funkcijski izrazi Da bi se neki izraz mogao ubrojiti u referirajući funkcijski izraz, on mora zadovoljiti uvjete postojanja i jedinstvenosti. Predmet kojega u logiµckom smislu zastupa funkcijski izraz mora postojati i biti jedan jedini. (FFRI) 19. listopada / 31

24 Najviše jedan "izlaz" Kada neki unarni (jednomjesni,monadiµcki) funkcijski simbol poveµzemo s individualnom konstantom tada ne dobivamo reµcenicu nego novo ime, nešto što bi trebalo referirati na toµcno jedan predmet. Funkcijski izraz moµze imati više simultanih "ulaznih vrijednosti", ali izlaz je samo jedan. U istinitoj atomarnoj reµcenici = 4 (zapisanoj in ksno), nalazimo jedan binarni funkcijski simbol, +, jedan binarni predikat, =, te dvije individualne konstante., 2 i 4. Primjer Alternativni pre ksni zapis za = 4: Identično(zbroj(2, 2), 4). (FFRI) 19. listopada / 31

25 Singularni termini (termi) (FFRI) 19. listopada / 31

26 Sloµzeni termi nastaju kada se funkcijski simbol s n mjesta stavi ispred n pojava terma (jednostavnih ili sloµzenih). U tvorbi atomarnih reµcenica sloµzeni termi koriste se na jednaki naµcin kao i individualne konstante (imena). U logici prvog reda pretpostavljamo da sloµzeni termi referiraju na jedan i samo jedan predmet. Termi (singularni termini) su jeziµcni izrazi koji referiraju ili "pokušavaju referirati na" toµcno jedan predmet. U drugom sluµcaju, kada ne referiraju, oni sadrµze varijablu. Neki autori singularnim terminima nazivaju samo termine s ksnom referencijom, pri µcemu isti termin moµze u razliµcitim prilikama referirati na razliµcito (kao danas - uvijek isti naziv za razliµcite intervale). Drugi (kojima se pridruµzujemo) pod nazivom term ukljuµcuju i varijable, a time i funkcijske izraze u kojima se javljaju varijable. (FFRI) 19. listopada / 31

27 Primjeri korištenja funkcijskih izraza Logika prvog reda izvorno je razvijena za matematiµcke potrebe i zato su najpoznatiji jezici prvog reda oni koji su povezani s odre enim granama matematike, posebno s teorijom skupova. Jezik teorije skupova koristi dva predikata: = i 2. Dvije su osnovne tvrdnje: tvrdnja o identitetu, a = b i tvrdnja o µclanstvu, a 2 b (gdje su a i b individualne konstante). Reµcenice oblika a 2 b istinite su ako je stvar oznaµcena s b skup, a stvar oznaµcena s a µclan tog skupa. Primjer Reµcenica ringo 2 thebeatles je istinito jer thebeatles = fjohn, paul, george, ringog. Dok u nekim jezicima ne susrećemo funkcijske simbole, kod drugih je njihova primjena vrlo µcesta, kao u aritmetici. Jedan smo naµcin elimiranja imena u korist funkcijskih izraza već razmotrili (koristeći funkciju sljedbenika). (FFRI) 19. listopada / 31

28 Induktivne de nicije Nekad ima smisla primijenivati funkcijski simbol u neograniµceno velikom broju iteracija. Tada nastaje pitanje kako moµzemo odrediti takav beskonaµcan skup terma na precizan naµcin? Za takvu svrhu koristi se induktivna de nicija za traµzeni skup terma. U induktivnoj de niciji nalazimo tri osnovna elementa. Osnovni uvjet kazuje koji su elementi poµcetni. Induktivni uvjet kazuje kako se novi elementi mogu dobiti od postojećih. Završni uvjet kazuje da su jedini elementi u skupu oni koji su poµcetni ili oni koji su dobiveni primjenom induktivnog uvjeta. (FFRI) 19. listopada / 31

29 Vjeµzba Pitanje Ponu eni su sljedeći rodoslovni pojmovi: (i) otac (ii) majka, (iii) patrilinerani djed, (iv) patrilenearna baka, (v) predak. Zadatak nam je postíci "najštedljivije" de niranje ponu enih pojmova. Me u ponu enim pojmovima prona ite dva koja mogu igrati ulogu primitivnih pojmova u odnosu na preostala tri. Navedite te primitivne pojmove! Preostala tri (neprimitivna) pojma de nirajte bilo korištenjem primitivnih pojmova bilo pozivanjem na pojmove koje ste prethodno već de nirali! Jedan od tri de nirana pojma morat ćemo de nirati induktivnom de nicijom. Koji i zašto? Pitanje U udµzbenicima logike moµzemo susresti zahtjev da de nicije ne smiju biti cirkularne (da ne smiju u de niensu sadrµzavati de niendum). Vrijedi li taj zahtjev za induktivne de nicije? (FFRI) 19. listopada / 31

30 Zadatak Pokaµzite da ima beskonaµcno mnogo terma u aritmetiµckom jeziku prvog reda koji referiraju na (imenuju) broj jedan a. a Dat ćemo induktivnu de niciju za beskonaµcni skup terma koji imenuju broj jedan: osnovna klauzula je da 1 imenuje broj jedan, induktivna kaluzula je da ako t imenuje broj jedan onda (t + 0) i (t 1) imenuju broj jedan. Primjer: ((((1 + 0) + 0) + 0) + 0). (FFRI) 19. listopada / 31

31 Zadatak Usporedimo dva jezika prvog reda. Prvi, nazovimo ga funkcijskim, sadrµzi imena eugene, anastasie, goriot, funkcijski simbol otac, te predikate = i VišiOd. Drugi jezik, nazovimo ga relacijski, sadrµzi ista imena i tri binarna predikata OtacOd, = i VišiOd, a ne sadrµzi funkcijske simbole. [a] Prevedite sljedeće reµcenice relacijskog jezika u reµcenice funkcijskog jezika: 1. OtacOd(goriot, eugene); 2. OtacOd(goriot, anastasie); 3. VišiOd(eugene, anastasie)! [b] Prevedite iz funkcijskog na relacijski jezik! Gdje se to ne moµze uµciniti, objasnite zašto. 4. otac(eugene) = goriot; 5. otac(eugene) = otac(anastasie); 6. VišiOd(otac(eugene), otac(goriot)). (FFRI) 19. listopada / 31

32 Zadatak Oµcigledno je da reµcenica Ivica je juµcer vidio Maricu u Dubrovniku povlaµci Ivica je vidio Maricu. S druge strane predikati s razliµcitim brojem mjesta su razliµciti predikati pa ne ostvaruju odnos logiµcke posljedice prvoga reda, to jest ne ostvaruju odnos znaµcenja koji ovisi samo o logiµckim simbolima. Neka je e ime jednog doga aja juµcerašnjeg Iviµcinog vi enja Marice u Dubrovniku. Pokaµzite kako Davidsonov pristup semantici glagola radnje objašnjava spomenuti odnos "povlaµcenja"! (FFRI) 19. listopada / 31

33 Zadatak Ludwig Wittgenstein u svom znamenitom djelu Tractatus Logico-Philosophicus piše: Iz postojanja ili nepostojanja atomarne µcinjenice ne moµze se izvesti postojanje ili nepostojanje druge atomarne µcinjenice. 3. Logiµcka slika µcinjenica je misao. 4. Misao je smisleni stav Stav prikazuje postojanje i ne-postojanje atomarnih µcinjenica Ako je elementarni stav istinit, atomarna µcinjenica postoji; ako je neistinit, atomarna µcinjenica ne postoji. Interpretirajte tekst tako da elementarni stav znaµci atomarna reµcenica. Pretpostavljajući takvu interpretaciju, tvrdi li Wittgenstein da su atomarne reµcenice logiµcki neovisne? Navedite razloge i odredite je li takva tvrdnja istinita? Zadatak Prouµcite stavove iz Tractatus-a! (FFRI) 19. listopada / 31

34 Zadatak Pokušajte naći semantiµcke razloge kojima biste osporavali i sintaktiµcke razloge kojima biste opravdavali klasi kaciju koja u rod imenica uvrštava i vlastite imenice i opće imenice. (FFRI) 19. listopada / 31