ISPITNA PITANJA 2014/15.,,Neki ljudi pričaju u svom snu. Predavači pričaju dok drugi ljudi spavaju. Albert Camus

Transcription

1 ISPITNA PITANJA 2014/15. GORAN ÐANKOVIĆ,,Neki ljudi pričaju u svom snu. Predavači pričaju dok drugi ljudi spavaju. Albert Camus 1. Algebra 2 (1) Dejstva grupa; teorema o orbiti i stabilizatoru (2) Permutacijska reprezentacija dejstva; primeri, posledice (3) Klasna jednačina; centar p-grupe (4) Opis oktaedarske grupe O (5) Opis ikosaedarske grupe I (6) Klasna jednačina ikosaedarske grupe I (7) Ikosaedarska grupa I je prosta (8) Alternirajuća grupa A 5 je prosta (9) Prva teorema Sylow-a (10) Druga teorema Sylow-a (11) Treća teorema Sylow-a (12) Hermitske bilinearne forme i spektralna teorema za hermitske matrice (13) Spektralna teorema za normalne matrice (14) SU 2 i klase konjugacije (,,paralele ) (15) SU 2 i konjugati torusa dijagonalnih matrica (,,meridijani ) (16) (MNV, za sve ocene) Teoreme o izomorfizmima za grupe (Kalajdžić, 6.1.2) (17) (MNV, za sve ocene) Teoreme o izomorfizmima za prstene (Kalajdžić, 7.1.2) (18) (MNV, za sve ocene) Euklidsko deljenje polinoma (Kalajdžić, 5.1.6) (19) (MNV, za sve ocene) Prosta raširenja polja (Kalajdžić, 8.1.2, Teorema 1), algebarski elementi i njihovi minimalni polinomi (20) (samo M smer, za sve ocene) Kineska teorema o ostacima za prstene (Kalajdžić, 7.1.2, Teorema 6) (21) (samo M smer, za sve ocene) Prosti i maksimalni ideali (Kalajdžić, 7.1.3) (22) (samo M smer, za ocenu 10) Bernsajdova lema (Petrović, skripta, Teorema 30 i Primer 31) (23) (samo M smer, za ocenu 10) Simetrični polinomi više neodreženih (Kalajdžić, 5.4.2, i posebno Teorema 2) (24) (samo M smer, za ocenu 10) Dokaz Osnovne teoreme algebre (Kalajdžić, 5.4.5) (25) (samo M smer, za ocenu 10) Faktorizacija u prstenu polinoma; R je UFD R[X] je UFD (Kalajdžić, 7.2.2, Teorema 3 i Ajzenštajnov kriterijum) (26) (samo M smer, za ocenu 10) Glavnoidealski domeni (Petrović, skripta, Stav 89 i Teorema 90) Date: May 30,

2 2 GORAN ÐANKOVIĆ,,Education is an admirable thing, but it is well to remember from time to time that nothing that is worth knowing can be taught. -Oscar Wilde 2. Teorija brojeva 1 (1) Apsolutne vrednosti na poljima - definicija, primeri, svojstva, geometrija i topologija (2) von Staudt-Clausen-ova teorema o Bernoulli-jevim brojevima (3) Karakterizacija ekvivalentnosti apsolutnih vrednosti na polju (4) Teorema Ostrowski-og o apsolutnim vrednostima na polju Q (5) Teorema slabe aproksimacije kineska teorema za neekvivalentne apsolutne vrednosti (6) Kompletnost polja sa apsolutnom vrednošću; egzistencija kompletiranja; kompletiranje polja racionalnih brojeva Q u odnosu na p-adsku normu p polje p-adskih brojeva Q p (7) Prsten Z p p-adskih celih i njegova svojstva (8) Henselova motivacija (analogija); p-adski razvoj p-adskih brojeva i njegova jedinstvenost (9) Aritmetičke operacije u Q p : sabiranje, množenje i deljenje p-adskih razvoja (10) Periodičnost cifara u p-adskom razvoju racionalnih brojeva (11) Hensel-ova lema ver.1 (12) Jača Henselova lema ver.2, za višestruke korene (mod p) (13) Koreni iz jedinice u Q p (14) Struktura multiplikativne grupe Q p (15) Elementarna analiza na polju Q p i stepeni redovi nad Q p (16) Strassmann-ova teorema i posledice (17) Primena na rekurentne nizove i Ramanujan-Nagell-ovu diofantsku jednačinu ******************************************************** (18) Prsten aritmetičkih funkcija (19) Mebijusova inverzija (20) Srednje vrednosti aritmetičkih funkcija i Dirihleov trik hiperbole (21) Dati bar 3 različita dokaza da ima beskonačno mnogo prostih brojeva (22) Ocena Čebiševa log p p (23) Asimptotske formule za p x i za p x 1 p (24) Mertensova asimptotska formula (25) Selbergovo rešeto i ocena za Φ(x, z) (26) Selbergovo rešeto i prosti brojevi blizanci - ocena za π 2 (x); Brunova teorema (27) Selbergova asimptotska formula za n x Λ 2(n) - članak na web-stranici kursa, na dnu (28) Dirihleovi karakteri i Dirihleove L-funkcije (29) Dirihleove L-funkcije se ne anuliraju u s = 1 (30) Dokaz Dirihleove teoreme o prostim brojevima u aritmetičkim progresijama (31) Integralni elementi i integralna raširenja prstena; integralno zatvorenje je prsten (32) Ležandrov simbol, Gausove sume, G 2 p = p (33) Gausov zakon kvadratnog reciprociteta

3 ,,If you are going through hell, keep going. -Winston Churchill ISPITNA PITANJA 2014/ Linearna algebra A (1) Polja brojeva Q, R, C, Q( 1), Q( 2) (2) Konačna polja F p (3) Vektorski prostori - definicija i primeri; vektorski potprostori (4) Linearna preslikavanja, kompozicija linearnih preslikavanja; Hom(V, W ), End(V ) (5) Izomorfizmi vektorskih prostora; karakterizacija izomorfizma; Aut(V ) (6) Matrice, elementarne operacije (vrsta i kolona) na matricama; elementarne matrice; regularne matrice (7) Rang matrice (8) Sume i direktne sume potprostora; karakterizacija direktnih suma (9) Linearni omotač liste vektora, linearno nezavisne i generatorne liste vektora; Lema o linearno zavisnimm listama (10) Dužina svake lin. nezavisne liste dužina svake generatorne liste (11) Potprostor konačno-dimenzionalnog je konačno-dimenzionalan (12) Baze; karakterizacija baza; svaka generatorna lista se može redukovati do baze; egzistencija baza; svaka lin. nezavisna lista se može proširiti do baze (13) Teorema o egzistenciji komplementa vektorskog potprostora (14) Dimenzija konačno-dimenzionalnog vektorskog prostora; Grasmanova formula (15) Jezgro i slika linearnog preslikavanja i formula dimenzije (16) Matrica linearnog preslikavanja u odnosu na par baza; Hom(V, W ) = Mat(m n, F ) (17) T End(V ); T izomorfizam T injektivan T surjektivan (18) Polinomi, koreni polinoma, euklidsko deljenje polinoma (19) Dokaz Osnovne teoreme algebre; faktorizacija polinoma u C[X] (20) Sopstvene vrednosti i sopstveni vektori; sopstveni vektori različitih sopstvenih vrednosti su linearno nezavisni (21) Svaki operator na konačno-dim. nenula kompleksnom vekt. prostoru ima bar jednu sopstvenu vrednost (22) Za svako L End(V ), V kompleksan, konač.-dim., postoji baza u kojoj je matrica [L] gornje-trougaona (23) Karakterizacija invertibilnosti i sopstvenih vrednosti operatora koji imaju gornje-trougaonu matricu (24) Karakterizacije dijagonalizabilnih operatora (25) Vektorski prostori sa unutrašnjim proizvodom, : V V F ; euklidski i hermitski prostori; norma vektora, ortogonalnost i Pitagorina teorema (26) Projekcija vektora u na pravu L(v); Koši-Švarcova nejednakost u, v u v ; nejednakost trougla; jednakost paralelograma (27) (za ocene 6, 7, 8, 9 i 10) Sistemi linearnih jednačina (knjiga-lipkovski, odeljak 3.1) (28) (za ocene 9 i 10) Grupe, podgrupe, homomorfizmi grupa, faktor-grupe, teorema o homomorfizmu za grupe (knjiga-lipkovski, Glava 1) (29) (za ocene 9 i 10) Količnički vektorski prostor (knjiga-lipkovski, odeljak 4.3, Tvrženjedefinicija 9, Teorema 10) (30) (za ocenu 10) Aksioma izbora, Cornova lema, egzistencija baze beskonačno-dimenzionalnog vektorskog prostora (knjiga-lipkovski, odeljak 4.4, Teoreme 16 i 18)

4 4 GORAN ÐANKOVIĆ 4. Diskretna matematika (1) 100 zatvorenika i ludi upravnik zatvora (2) Cayley-jeva teorema o označenim stablima - dokaz metodom bijekcije (3) Nepargrad i radost sa linearnom algebrom (4) De Bruijn-ova teorema o popločavanju pravougaonika (5) Binomni koeficijenti i Bertrand-ov postulat (6) Cauchy-Schwarz-ova nejednakost i prosti grafovi bez trouglova (7) Grafovi bez 4-ciklova (8) Dirihleov kombinatorni princip i p = + (9) Grafovi bez p-klika: Turán-ova teorema (10) Teorema o političaru (Erdös-Renyi-Sos) (11) Spektar grafa; spektralna karakterizacija k-regularnih grafova (12) Spektralna karakterizacija k-regularnih bipartitnih grafova (13) l 2 (V ), l 2 (E), diskretni gradijent d, d, kombinatorni laplasijan i njegove sopstvene vrednosti za k-regularne grafove (14) Konstanta ekspanzije h(x) grafa X i donja ocena Alon-Milman-a (15) Gornja ocena h(x) 2k(k µ 1 ) (16) Spektralna donja ocena za hromatski broj grafa (17) Szemerédi-jeva lema regularnosti (Teorema 10 u Gowers-ovim lekcijama, za M smer, za ocenu 10) (18) Diskretna Fourier-ova analiza i Roth-ova teorema o tročlanim aritmetičkim progresijama (članak na dnu web-strane Teorije brojeva, za M smer, za ocenu 10)

5 ISPITNA PITANJA 2014/ Linearna algebra B (1) (za ocene 6 do 10) Determinante - definicija i osnovna svojstva (knjiga-lipkovski, odeljak 3.5, Teorema 5) (2) (za ocene 6 do 10) Determinante - teorema o jedinstvenosti determinantne funkcije (knjiga- Lipkovski, odeljak 3.5, Teorema 9) (3) (za ocene 6 do 10) Determinante - razvoj determinante po proizvoljnoj koloni (vrsti) (knjiga-lipkovski, odeljak 3.5, Tvrženje 10) (4) (za ocene 6 do 10) Determinante - Bine-Košijeva teorema (knjiga-lipkovski, odeljak 3.5, Tvrženje 15) (5) (za ocene 6 do 10) Determinante - razvoj determinante pomoću permutacija (knjiga- Lipkovski, odeljak 3.5, Tvrženje 16) (6) (za ocene 6 do 10) Determinante - Kramerovo pravilo (knjiga-lipkovski, odeljak 3.5, Tvrženje 18) (7) (za ocene 6 do 10) Determinante - A 1 = 1 det Aadj(A) (knjiga-lipkovski, odeljak 3.5, Tvrženje 20) (8) Ortonormalne baze u hermitskim prostorima, Furijeov razvoj i Parsevalova jednakost u odnosu na ONB (9) Gram-Šmitov postupak ortogonalizacije i posledice; Šurova teorema (10) Ortogonalni komplementi, ortogonalni projektori, problem minimizacije (11) Linearni funkcionali i njihova reprezentacija u hermitskim prostorima (12) (za ocene 9, 10) Dualni prostor i dualni operator (knjiga-lipkovski, odeljak 4.7, Tvrženja 2, 5 i 6) (13) Adjungovani operator T operatora T izmežu hermitskih prostora, njegova svojstva i njegova matrica (14) Samoadjungovani operatori na hermitskim prostorima (15) Normalni operatori na hermitskim prostorima (16) Spektralna teorema za normalne operatore (17) (za ocene 6 do 10) Faktorizacija u prstenima polinoma i nerastavljivi polinomi nad C i nad R (knjiga-lipkovski, odeljci 2.2 i 2.6) (18) Spektralna teorema za samoadjungovane operatore (19) Normalni operatori na euklidskim prostorima - i njihova kanonska blok-dijagonalna forma (20) Uopšteni sopstveni vektori i nilpotentni operatori (21) Karakteristični polinom linearnog operatora na kompleksnom vektorskom prostoru (22) Kejli-Hamiltonova teorema (23) Dekompozicija C-vektorskog prostora V na generalisane sopstvene potprostore u odnosu na linearni operator L End(V ) (24) Minimalni polinom linearnog operatora (25) (za ocene 9 i 10) Bilinearne i kvadratne funkcije (knjiga-lipkovski, odeljci 6.1 i 6.2, posebno Tvrženje 11, str. 169 i Teorema 5, str kanonska forma kvadratne funkcije) (26) (za ocenu 10) Silvestrova teorema inercije i pozitivna definitnost (knjiga-lipkovski, odeljak 6.3)

6 6 GORAN ÐANKOVIĆ 6. Algebra 3 (1) Rešavanje kubne jednačine (2) Karakterizacija prostih raširenja polja i teorema o minimalnom polinomu algebarskog elementa (3) Algebarska raširenja i algebarsko zatvorenje polja F u polju K F (4) Polje realnih konstruktibilnih brojeva i klasični problemi kvadrature kruga, udvostručenja kocke i trisekcije ugla (5) Galuaova grupa raširenja polja K/F i fiksno polje F(S) podskupa S Aut(K); Galuaove veze F i G (6) Karakteri grupa i Dedekind-Artinova lema; ako je K/F konačno, onda je Gal(K/F ) [K : F ] (7) Ako je G Aut(K) konačna podgrupa, onda je Gal(K/F(G)) = G i Gal(K/F(G)) = [K : F(G)]; definicija Galuaovog raširenja polja (8) Karakterizacija galuaovosti prostog raširenja F (α)/f ; primeri (ne)galuaovih raširenja (9) Egzistencija korenskog polja (konačnog skupa) polinoma (10) Konstrukcija (egzistencija) konačnih polja F p n (11) Karakterizacije algebarski zatvorenih polja (12) Egzistencija algebarskog zatvorenja proizvoljnog polja (13) Teorema o ekstenziji izomorfizma; jedinstvenost korenskog polja (14) Karakterizacije normalnih raširenja (15) Separabilni polinomi (16) Separabilna raširenja (17) Čisto neseparabilna raširenja (18) Karakterizacija Galuaovih raširenja (19) Teorema o Galuaovoj korespondenciji (20) Teorema o primitivnom elementu (21) Osnovna teorema algebre - dokaz primenom teorije Galua (22) Ciklotomični polinomi (23) Ciklotomična raširenja (24) Teorija Galua konačnih raširenja konačnih polja (25) Wedderburn-ova teorema (26) Galuaova grupa polinoma (27) Galuaova teorema o rešivosti jednačine radikalima (28) Hilbertova teorema 90 i ciklična Galuaova raširenja (29) Kohomologija grupa i kohomološka Hilbertova teorema 90 (30) Integralni elementi, integralna raširenja prstena, integralno zatvoreni domeni (knjiga Teorija brojeva: odeljak 6.3, str.136) (31) Neterina teorema normalizacije za konačno-generisane k-algebre (32) Slabi Hilbertov Nullstellensatz (33) Neterini prsteni i moduli (knjiga Teorija brojeva: odeljak 6.4, str.143) (34) Hilbertova teorema o bazi (knjiga Teorija brojeva: Teorema 6.35) (35) Afini prostor A n k ; afini algebarski skupovi, pridruživanje Z i njegova osnovna svojstva; topologija Zariskog (36) Radikal ideala i radikalski ideali; nilradikal prstena; svi prosti ideali su i radikalski (37) Pridruživanje I, njegova osnovna svojstva i Z I veze; koordinatni prsten afinog algebarskog skupa (38) Hilbertov Nullstellensatz (39) Afini varijeteti, njihovi koordinatni prsteni i maksimalni spektar koordinatnog prstena (40) Dekompozicija proizvoljnog afinog algebarskog skupa na uniju afinih varijeteta (41) Regularne funkcije na varijetetima; prsten regularnih funkcija; pramen regularnih funkcija (moja skripta + Gathmann-ove lekcije, glava 3) (42) Lokalizacija (odeljak 6.8 iz knjige Teorija brojeva) (43) Prsteni regularnih funkcija O Y (Y f ) na standardnim otvorenim podskupovima Y f Y

7 ISPITNA PITANJA 2014/15. 7 (44) Lokalni prsteni varijeteta O Y,a i karakterizacija prstena regularnih funkcija na afinom varijetetu: O(Y ) = A[Y ] Studenti koji odgovaraju za ocene 6 ili 7 na usmenom dobijaju 3 pitanja sa spiska sa brojevima od (1) do (27). Studenti koji odgovaraju za ocene 8 ili 9 na usmenom dobijaju 3 pitanja sa spiska sa brojevima od (1) do (44). Studenti koji žele da odgovaraju za ocenu 10, treba da mi se mejlom jave odmah posle pismenog (stavite subject-polje poruke DODATNA PITANJA-Alg 3). Ja ću svakome zadati 2 od narednih 14 dodatnih pitanja - koja student treba samostalno da spremi za usmeni. Sva ova pitanja se nalaze u odličnim lekcijama Andreasa Gathmanna, sa Univerziteta u Kaiserslautern-u. Na usmenom ispitu ću pitati dva pitanja sa spiska (1)-(44) i jedno od dva dodatna pitanja koja sam prethodno zadao. Naravno, zainteresovani studenti mogu pročitati i proučiti i cele Gathmann-ove lekcije... ne uči se za ocenu, nego iz strasti prema matematici. P.S. Sva pitanja iz Teorije Galua koja se ne nalaze u mojoj skripti se nalaze u knjizi Algebra, profesora G. Kalajdžića. (45) Morfizmi (Gathmann-ove lekcije, glava 4) (46) Predvarijeteti i (apstraktni) varijeteti (Gathmann-ove lekcije, glava 5) (47) Projektivni varijeteti - homogeni ideali i topologija (Gathmann-ove lekcije, glava 6) (48) Regularne funkcije na projektivnim varijetetima i Segre-ova utapanja (Gathmann-ove lekcije, glava 7, do str. 61) (49) Kompletnost (projektivnih) varijeteta, Veronese-ova utapanja i posledice (Gathmann-ove lekcije, glava 7, str ) (50) Grasmanijani (Gathmann-ove lekcije, glava 8) (51) Biracionalna preslikavanja i razduvavanje (Gathmann-ove lekcije, glava 9) (52) Glatki varijeteti (Gathmann-ove lekcije, glava 10) (53) 27 pravih na glatkoj kubnoj površi (Gathmann-ove lekcije, glava 11) (54) Hilbertovi polinomi projektivnih varijeteta (Gathmann-ove lekcije, glava 12) (55) Bezuova teorema (Gathmann-ove lekcije, glava 12) (56) Primene Bezuove teoreme (Gathmann-ove lekcije, glava 13) (57) Divizori na krivama (Gathmann-ove lekcije, glava 14) (58) Eliptičke krive (Gathmann-ove lekcije, glava 15) address: djankovic@matf.bg.ac.rs