MODELIRANJE VOLATILNOSTI TRŽIŠNIH INDEKSA AKCIJA BEOGRADSKE BERZE: BELEX15 I BELEXLINE

Transcription

1 DOI: /EMC10336M Daum prijema rada: 6. novembar01. Daum prihvaanja rada: 30. novembar 01. STRUČNI RAD UDK: (497.11) Časopis za ekonomiju i ržišne komunikacije Godina II broj II sr MODELIRANJE VOLATILNOSTI TRŽIŠNIH INDEKSA AKCIJA BEOGRADSKE BERZE: BELEX15 I BELEXLINE Borjana B. Mirjanić, 1 Nenad B. Branković Predavač, Magisar ekonomskih nauka, Beogradska poslovna škola Visoka škola srukovnih sudija, Beograd. (borjana.mirjanic@bbs.edu.rs) Predavač, Magisar ekonomskih nauka Beogradska poslovna škola Visoka škola srukovnih sudija, Beograd. (nenad.brankovic@bbs.edu.rs) Rezime: Za ocenu rizika porfolija finansijskih insrumenaa, pojedinačnih harija od vrednosi ili valua korisi se predviđanje drugih momenaa u vremenskim serijama. Brojne empirijske sudije pokazale su heeroskedasičnos finansijskih vremenskih serija. Soga su u pokušaju da se prevaziđu manjkavosi sandardne devijacije kao mere rizika, razvijeni su GARCH modeli, kao alaka prilikom upravljanja rizicima, koji efeke heeroskedasičnosi uzimaju u obzir. U radu je izvršeno ispiivanje ponašanja prinosa berzanskih indeksa na novonasajućem ržišu kapiala i predsavljeni rezulai empirijske analize volailnosi srpskog ržiša kapiala, odnosno Beogradske berze. U radu je sprovedena komparaivnu analiza GARCH (1,1) i E-GARCH (1,1)-GED modela na dnevnim prinosima Belex15 i Belexline radi uvrđivanja njihovih implikacija prilikom predviđanja volailnosi u uslovima posojanja asimeričnih šokova u volailnosi i empirijskih disribucija koje odsupaju od normalnog Gaussovog rasporeda karakerisičnim za novonasajuća ržiša kapiala. Ključne reči: volailnos, uslovna sandardna devijacija, GARCH (1,1) model, E- GARCH (1,1)-GED, Beogradska berza. JEL klasifikacija: C, C5,G10, G1. UVOD Regulaorni organi, akademska javnos i israživači u oblasi finansijske ekonomije fokus svog ineresovanja usmerili su na volailnos cena akcija ubrzo nakon devasirajućeg berzanskog sloma godine. I nakon čevr veka od dramaičnog pada

2 Časopis za ekonomiju i ržišne komunikacije/ Economy and Marke Communicaion Review God./Vol. Br./No. Banja Luka, Decembar/December 01 pp berze, predviđanje volailnosi je i dalje predme velikog broja debaa i empirijskih israživanja akademske i sručne javnosi iz oblasi finansija. Izučavanje i predviđanje volailnosi finansijskih ržiša posebno dobija na značaju u koneksu akuelne finansijske krize. Finansijske odluke se zasnivaju na odnosu između rizika i prinosa. Predviđanje volailnosi cena akcija, kao kvaniaivna reprezenacija rizika, od posebnog je značaja prilikom invesicionog odlučivanja, uvrđivanja cene finansijskih derivaa, upravljanja rizikom, selekcije porfolija i oblikovanja sraegija rgovanja i hedžinga. Volailnos nije sinonim za rizik, e je razumevanje volailnosi od presudnog značaja prilikom donošenja finansijskih odluka zasnovanih na flukuacijama prinosa. Predviđanje volailnosi harija od vrednosi jedan je od najvažnijih ulaznih parameara za određivanje cene finansijskih insrumenaa, a posebno finansijskih derivaa. Prilikom uvrđivanja prave, ili zv. fer vrednosi opcije, Black-Scholes su korisili volailnos osnovnog finansijskog insrumena kao osnovni ulazni paramear opcionog modela. Prisup koji preposavlja vremensku konsannos volailnosi i vrši projekciju na osnovu volailnosi iz prošlosi, osim šo je uprošćen, nerealisičan, on je i opasan, jer zamagljuje invesiorovu sliku o riziku sa kojim je suočen. Pored oga, upravljanje rizikom posalo je obavezna procedura finansijskih insiucija nakon usvajanja Bazelskog sporazuma I godine, koji definiše zahevani minimalni iznos rezervi kapiala koje finansijske insiucije drže proporcionalno veličini procenjenog rizika. U poslednjoj deceniji, predviđanje volailnosi dobija poseban značaj u finansijsko-ekonomskoj praksi prevashodno kao posledica njegove dominanne uloge prilikom obračuna vrednosi u riziku (engl. Value a Risk, VaR). U proekle dve decenije, sprovedena su brojna israživanja na razvijenim ržišima kapiala koja upućuju na mogućnos predviđanja volailnos kroz kraće vremenske horizone (Tim Bollerslev, Rober F. Engle, Daniel B. Nelson, 1993: srana 3038). Pored razvijenih ržiša kapiala, koja prednjače u primeni razvijenih ekonomerijskih modela u invesicionom odlučivanju, poslednjih deseak godina pažnju globalnih porfolio menadžera privukla su zv. novonasajuća ržiša kapiala, u koje svrsavamo ržiše kapiala Republike Srbije. Važnu specifičnos novonasajućih ržiša kapiala predsavlja činjenica da harije od vrednosi na ovim ržišima, pored prilike za osvarenje visokih prinosa, u sebi kriju i visok rizik. Skromna radicija emiovanja harija od vrednosi, pliko, nelikvidno ržiše i problem nesinhronog rgovanja, nedosaak ržišne ransparennosi, visoki ransakcioni roškovi, problemi u punoj primeni međunarodnih računovodsvenih sandarda i slabo korporaivno upravljanje predsavljaju zajedničke odlike novonasajućih ržiša kapiala.

3 338 Borjana B. Mirjanić, Nenad B. Branković MODELIRANJE VOLATILNOSTI TRŽIŠNIH INDEKSA AKCIJA BEOGRADSKE BERZE: BELEX15 I BELEXLINE Treba imai u vidu činjenicu da su svi, u lierauri i praksi široko primenjeni modeli merenja ržišnog rizika razvijeni i esirani na zrelim ržišima kapiala (izrazio likvidnim ržišima na kojima se rguje različiim vrsama i velikim brojem finansijskih insrumenaa). Međuim, pomenue karakerisike novonasajućih ržiša predsavljaju izazov za eoriju i praksu modelovanja ržišnog rizika, e se neophodnim čini esiranje aplikaivne validnosi široko prihvaćenih GARCH modela u uslovima koji vladaju na novonasajućim ržišima kapiala. Soga je cilj empirijskog israživanja da se na osnovu isorijskih prinosa ržišnih indeksa Beogradske berze Belex15 i Belexline, korišćenjem ekonomerijske aparaure, predloži specifikacija koja se može korisii za predviđanje volailnosi u budućem vremenskom periodu. ISPITIVANJE SPECIFIKACIJA FINANSIJSKIH VREMENSKIH SERIJA Volailnos se javlja kao posledica slučajnih promena cena finansijskih insrumenaa. Ona predsavlja meru disperzije prinosa finansijske akive u nekom vremenskom inervalu i odnosi se na varijansu (σ ) ili sandardnu devijaciju (σ) uzorka opservacija. 1 N ˆ (r - r) (1) N 1 1 Pri čemu je r prinos finansijske akive u vremenu, dok je r prosečan prinos u oku vremenskog inervala, a N broj dana rgovanja. U israživanjima se korise logariamske serije prinosa. 1 r log P P P P 1 log P 1 log log (1 ), 1,,..., n () log P P 1 1 Prinosi akcija, berzanskih indeksa, kao i deviznih kurseva česo pokazuju sledeće karakerisike: (Mandelbro, B., 1963, sr ). lepokurozis: funkcija raspodele finansijske akive ima eže repove, j. veću verovanoću nasanka eksremnih vrednosi u odnosu na sandardnu normalnu Gaussovu raspodelu. Fenomen ežih repova pozna je i kao prevelika 1 Umeso relaivnih prinosa koji nemaju svojsvo adiivnosi, korise se logariamski prinosi, zbog osobine adiivnosi. Pored oga, GARCH model zaheva prinose umeso cena, ako da se logarimovanjem prinosa vrši ransformacija podaaka u sacionarnu vremensku seriju. Na osnovu Sephen J. Taylor-ovog razvoja (1994), vidimo da je logariamski prinos, r, = 1,,..., n približno jednak relaivnom prinosu P P 1, = 1,,..., n. P 1

4 Časopis za ekonomiju i ržišne komunikacije/ Economy and Marke Communicaion Review God./Vol. Br./No. Banja Luka, Decembar/December 01 pp spljošenosi (engl. excess kurosis). Ove osobine funkcije raspodele nazivaju se lepokurozis. heeroskedasičnos finansijskih vremenskih serija: osnovna preposavka klasičnog modela najmanjih kvadraa je preposavka o konsannoj varijansi slučajne greške (homoskedasičnos). U modelima u kojima varijanse slučajnih greški nisu jednake, odnosno kada se očekuje ras varijabiliea slučajne greške za različie vrednosi ili inervale vrednosi analiziranih podaaka, prisuan je problem heeroskedasičnosi. Drugim rečima, volailnosi nisu vremenski konsanne, j. velike i male vrednosi logariamskih prinosa imaju endenciju grupisanja u klasere, šo pokazuje da posoji zavisnos u krajevima disribucije. Benoi Mandelbro je rekao: Velike promene u prinosu prae velike promene prinosa i male promene prinosa prae male promene prinosa (Mandelbro, B., 1967, sr. 396). Prisusvo heeroskedasičnosi doprinosi pojavi lepokurozisa raspodele krakoročnih prinosa, ali se ispravnim modeliranjem volailnosi dobija uslovna raspodela prinosa koja ne odsupa previše od Gaussove raspodele. efeka leveridža; promene cene finansijske akive pokazuju negaivnu korelisanos sa promenama u volailnosi. Fisher Black je preko efeka leveridža objasnio endenciju volailnosi da više rase sledeći veliki cenovni pad nego sledeći cenovni ras ise apsolune vrednosi (Black, F., 1976, sr. 179). Za prinose finansijske akive, negaivni šok ima veću uicaj na volailnos nego poziivan šok isog inenziea. dugoročna zavisnos u podacima: auokorelacija apsolunih i kvadriranih vrednosi logariamskih prinosa značajno je različia od nule čak i na velikim lagovima, šo pokazuje prisusvo vremenski uslovljene zavisnosi u dugom roku. endencija Gaussovom rasporedu sa produženjem vremenskog horizona: disribucije logariamskih prinosa u dužem vremenskom periodu (mesečni, polugodišnji i godišnji podaci) približavaju se normalnom Gausovom rasporedu u odnosu na frekvennije podake (dnevni i inradnevni logariamski prinosi). Imajući u vidu zaključke o karakerisikama finansijskih vremenskih serija, ekonomerijski izazov je na osnovu informacija iz prošlosi predložii specifikaciju koja se može korisii za predviđanje sredine i varijanse prinosa finansijske akive. U eoriji i praksi se primenjuje veliki broj specifikacija za opisivanje i predviđanje srednje Iako su ocene dobijene primenom meoda najmanjih kvadraa u prisusvu heeroskedasičnosi neprisrasne, ocena varijanse slučajne greške je pocenjena i inervali poverenja uži nego šo bi rebalo da budu i samim im nepouzdani.

5 340 Borjana B. Mirjanić, Nenad B. Branković MODELIRANJE VOLATILNOSTI TRŽIŠNIH INDEKSA AKCIJA BEOGRADSKE BERZE: BELEX15 I BELEXLINE vrednosi prinosa akive. Međuim, ek sa uvođenjem ARCH/GARCH modela dolazi do razvoja specifikacija za opisivanje uslovne varijanse ih prinosa. Ovi modeli prisusvo heeroskedasičnosi ne reiraju kao problem koji je neophodno oklonii ili korigovai, već kao nejednake varijanse koje je moguće modelirai. Primena ovih modela oklonila je manjkavos meode najmanjih kvadraa i povrdila mogućnos predviđanja varijanse svake od slučajnih greški. MATEMATIČKO MODELIRANJE VOLATILNOSTI Pre uvođenja ARCH modela korišćen je meod klizeće sandardne greške (engl. rolling sandard error) koji je izračunavao sandardnu grešku na osnovu informacija koje najskorije prehode renuku posmaranja. Na primer, sandardna greška se za svaki dan izračunava korišćenjem podaaka iz prehodnog meseca (poslednja dana). Meod preposavlja da je varijansa surašnjih prihoda ponderisan prosek kvadraa reziduala poslednja dana, pri čemu je ponder za svaki dan isi. Međuim, kako su događaji iz bliže prošlosi relevanniji za sadašnju vrednos prihoda, o je neophodno dodelii im veći ponder. Pored oga, nedosaak modela je i u preposavci da opservacije sare više od mesec dana reba ponderisai nulom (Engle, 001: srana 160). Rober F. Engle (198) je dao prvu formulaciju zv. ARCH (engl. Auoregresive Condiional Heeroskedasiciy - Auoregresivna uslovna heeroskedasičnos) modela kojim je eksplicino prikazao vremenski promenljivu uslovnu varijansu. ARCH model opisane pondere posmara kao paramere koje je porebno ocenii i omogućava da se na osnovu podaaka iz uzorka odrede najbolji ponderi za porebe predviđanja varijanse. GARCH paramerizacija, koju je predložio Tim Bollerslev (1986) (Bollerslev, T, sr ) (engl. Generalized Auoregresive Condiional Heeroskedasiciy Generalizovana auoregresivna uslovna heeorskedasičnos) predsavlja uopšeniji model u odnosu na ARCH model 3, auoregresivan je jer opisuje feedback mehanizam koji povezuje prošle sa sadašnjim vrednosima, uslovni jer varijansa zavisi od prošlih informacija i obuhvaa vremensku nesabilnos varijanse (j. za vreme nekih perioda varijansa može bii relaivno niska, dok za vreme drugih 3 GARCH model volailnos opisujemo preko grešaka modela iz prošlosi (kao i kod ARCH modela), ali i preko prošlih varijansi, šo i predsavlja generalizaciju ARCH modela.

6 Časopis za ekonomiju i ržišne komunikacije/ Economy and Marke Communicaion Review God./Vol. Br./No. Banja Luka, Decembar/December 01 pp može bii relaivno visoka). GARCH je ehnika modeliranja vremenskih serija, koja koriseći se prošlim vrednosima varijansi i prošlim predviđanjima varijanse, predviđa vrednosi varijanse u budućnosi. Model preposavlja ponderisani prosek kvadraa reziduala iz prošlosi, pri čemu opadajuća vrednos pondera za podake u prošlosi ne dosiže vrednos nula. Najčešće primenjivana specifikacija GARCH modela afirmisala je predviđanje varijanse u narednom periodu pomoću ponderisanog proseka dugoročnog kreanja varijanse, varijanse predviđene za ekući period i nove informacije sadržane u kvadrau reziduala poslednje opservacije. Navedeno pravilo ažuriranja informacija predsavlja primer adapivnog ponašanja i može se reirai kao Bajesov prisup ažuriranja informacija. Osnovna ideja GARCH modela je razlikovanje uslovne i nezavisne varijanse inovacionog procesa (ε ). Termin uslovna govori o eksplicinoj zavisnosi od prošlih operacija, dok se nezavisnos varijanse odnosi na neposojanje eksplicinog znanja o prošlosi koje bi značajno uicala na dugoročna ponašanja u budućnosi. Uslovna varijansa, prema GARCH modelu, ima auoregresivnu srukuru i poziivnu korelisanos sa prošlim vrednosima. Soga se uslovna varijansa GARCH modela (σ sandardna devijacija u renuku ) definiše kao funkcija odsečka (ω konsanni član), šoka iz prehodnog perioda (α paramear koji određuje koliko jako promena prinosa uiče na volailnos) i varijanse iz prehodnog perioda (β paramear koji određuje promenu volailnosi u vremenu). GARCH model ima fleksibilniju paramearsku srukuru nego ARCH i pripada klasi deerminisičkih uslovnih heeroskedasičnih modela u kojima je uslovna varijansa funkcija promenljivih koje su dosupne u renuku. Za vremensku seriju kažemo da poseduje GARCH efeka ako je vremenska serija heeroskedasična, j. ako joj se varijansa menja u vremenu, a ko je varijansa konsanna u vremenu vremenska serija je homoskedasična. ARCH (1) model ARCH model uslovnu varijansu predsavlja kao linearnu kombinaciju grešaka iz prošlosi, ε, = 1,..., gde je r prinos u renuku, dok je ε greška koja se pravi prilikom linearne regresije (Engle, R, 198, sr ).

7 34 Borjana B. Mirjanić, Nenad B. Branković MODELIRANJE VOLATILNOSTI TRŽIŠNIH INDEKSA AKCIJA BEOGRADSKE BERZE: BELEX15 I BELEXLINE r (3) ARCH (1) : ARCH (m) : (6) ε ~ Ν (0, 1), i.i.d (4) m m (5) Uslovna varijansa šoka u renuku je funkcija kvadraa šokova (novosi ili grešaka, ε) iz prošlosi, pri čemu je porebno da uslovna varijansa bude nenegaivna. Ako je α 1 = 0, uslovna varijansa je konsanna i uslovno homosekdasična. Preposavka da α m budu nenegaivni je lako narušiva. Primeno je da poziivni i negaivni šokovi imaju isi efeka na volailnos, odnosno da ne posoji efeka leveridža. GARCH (1,1) model Bollerslev (1986) je razvio realniji GARCH model, kao odgovor na eškoće prilikom ocenjivanja ARCH(p) modela, i šo ρ (ε, - ε ), ρ -3 (ε, -3 ε ), id. opadaju veoma -4 sporo. 5 (Bollerslev, T, 1986, sr ) GARCH : , I N(0, ) (7) p q G ARCH (p,q) : j j k k (8) j1 k1 Uslovna varijansa se predviđa na osnovu prošlih predviđanja varijanse (σ ) i realizacija same varijanse u prošlosi (ε ). Jednačina (7) opisuje GARCH (p,q) model Kada je p = 0, imamo ARCH (q) model, koga je razvio Engle. Kada je p = 0 i q = 0, varijansa procesa je beli šum sa varijansom ω. 4 Skraćenica i.i.d. označava independenly and idenically disribued, odnosne slučajne promenljive ε imaju isu raspodelu i nezavisne su. 5 Da bi ARCH model bio precizniji i bolje porebno je dosa veliko q (broj sabiraka u ARCH modelu), dok je praksa pokazala je dovoljan GARCH (1,1) da bi se prilično ačno opisao veliki broj finansijskih serija.

8 Časopis za ekonomiju i ržišne komunikacije/ Economy and Marke Communicaion Review God./Vol. Br./No. Banja Luka, Decembar/December 01 pp Jednačine (7) i (8) maemaički prikazuju i fenomen grupisanja volailnosi, kada veliki poremećaji bilo kog znaka, imaju endenciju posojanosi i uicaja na predviđanja volailnosi. Kašnjenje (docnje, lagovi) dužine p i q, određeno je inenzieima koeficijenaa α j i β k koji uiču na sepen posojanosi. GARCH model sa manjim brojem članova ima bolje performanse nego ARCH model sa mnogo parameara. Korisnos GARCH specifikacije je da akva specifikacija dozvoljava da se varijansa razvije u vremenu na sveobuhvaniji način nego šo je o u jednosavnoj specifikaciji ARCH modela. Najpoznaiji model, koji ima i najveću primenu je GARCH (1,1) model koji sadašnju volailnos povezuje sa volailnošću iz prehodnog perioda, kao i sa kvadraom prinosa: (Bollerslev, T, sr ) GARCH (1,1) : 1 r (9) On se može napisai i u drugačijem obliku koji je nekada lakši za primenu: k G ARCH (1,1) : 1 1 i 1 (10) k 1 i1 Oznaka (1,1) je sandardna noacija, u kojoj prvi broj označava broj uključenih auoregresionih lagova, odnosno ARCH članove jednakosi, dok se drugi broj odnosi na broj uključenih lagova pokrenih proseka i predsavlja broj GARCH članova u jednakosi. 6 Da bismo obezbedili ograničenos i poziivnos nezavisne varijanse uvodimo ograničenja na paramere: ω > 0, α + β < 1. Pored oga, porebno je da ograničimo moguće vrednosi GARCH parameara ako da uslovna varijansa uvek bude poziivna: (Bollerslev, T, sr ) Uslov sabilnosi GARCH (1,1) procesa je: 0,, 0, ( ) 1 (11) Odsečak (ω) je jednak γv L pri čemu je V prosečna varijansna sopa. L 1 (1) Ponekad je za modele u koje je uključeno više od jednog laga neophodno pronaći adekvanu prognozu varijanse.

9 344 Borjana B. Mirjanić, Nenad B. Branković MODELIRANJE VOLATILNOSTI TRŽIŠNIH INDEKSA AKCIJA BEOGRADSKE BERZE: BELEX15 I BELEXLINE Prosečna varijansa sopa u dugom roku je: V L (13) Na osnovu prehodnih obrazaca možemo da zaključimo da se prosečna varijansna sopa povećava sa povećanjem odsečka, uslovne varijanse i varijanse iz prehodnog perioda. Parameri u GARCH modelu se najčešće ocenjuju meodom maksimalne verodosojnosi 7 (engl. maximum-likelihood) koji uključuje ieraivnu proceduru da bi se odredile vrednosi parameara maksimizirajući funkciju verodosojnosi. Procedura ocenjivanja parameara zasnovana na maksimizaciji funkcije verodosojnosi preposavlja da je raspodela za ε, =1,... akva da sve slučajne promenljive imaju iso očekivanje i disperziju i da su međusobno nezavisne. Neka je L verovanoća da se uz dae paramere α, β i ω dogodi određena vremenska serija prinosa. U obrnuom slučaju, paramere možemo pronaći ako nađemo maksimum funkcije L, uz ograničenja definisana uslovima (11). Maksimizacija funkcije L po paramerima modela vrši se pomoću numeričkog algorima za raženje maksimuma funkcije uz zadae uslove na paramere (Alexander, C., 008, sr. 137). T 1 ln L( ) ln ( ) ( ) (14) 1 pri čemu θ predsavlja paramere iz jednačine uslovne varijanse. Popuno ekvivalenno, problem možemo svesi na posupak minimizacije: (Alexander, C., 008, sr. 138). T ln L( ) ln ( ) ( ) (15) 1 U simeričnom GARCH modelu θ = (ω, α i β). Zavisnos logariamske verodosojnosi od ω, α i β se javlja jer je σ daa jednačinom (6). Pored navedenih prednosi GARCH modela, neophodno je isaći i ograničenja modela: prinosi nisu uvek ili za sve serije sacionarni, ne opisuju efeka leveridža (e 7 Meoda maksimalne verodosojnosi predsavlja meodu izbora jedne vrednosi parameara modela kao ocene parameara, ali ako da funkcija verodosojnosi ima šo je moguće veću vrednos.

10 Časopis za ekonomiju i ržišne komunikacije/ Economy and Marke Communicaion Review God./Vol. Br./No. Banja Luka, Decembar/December 01 pp se u u svrhu preporučuje korišćenje E-GARCH) i frakalnos u serijama. Budući da su ovi modeli paramearski modeli oni bolje rezulae daju u sabilnim ržišnim uslovima. Velike i nagle promene ržišnih uslova (popu ržišnih kriza) zahevaju srukurne promene modela. Heeroskedasičnos ne opisuje sva ponašanja karakerisična za debele repove. Prema ome, ARCH/GARCH modele reba korisii u sklopu većih sisema za podršku finansijskom odlučivanju. IGARCH model sa dugom memorijom Obrazac (7) možemo napisai u donekle izmenjenoj formi: (Alexander, C., 008, sr. 157). GARCH (1,1) : 1 (r ) ( ) (16) Pri čemu član (r σ ) predsavlja šok u seriji, dok paramear α određuje jačinu og šoka na volailnos u budućnosi. Recipročna vrednos sume parameara α + β pokazuje kolikom se brzinom aj efeka guši. Ukoliko je α + β mali broj, ada se procena varijabilnosi brzo približava bezuslovnoj varijabilnosi. Kada je α + β = 1, o ukazuje da će se pojavii jedinični koren u uslovnoj varijansi i dobijamo IGARCH model (engl. Inegraed Generalized Auoregressive Condiional Heeroskedasiciy). Drugim rečima, šokovi iz prošlosi neće iščeznui već će osai perzisenni veoma dugo u vremenu (Alexander, C., 008, sr. 11). IGARCH : 1 (1 1) (17) Model koji se česo u praksi korisi za krakoročna predviđanja je nešo jednosavniji meod eksponencijalno ponderisanih pokrenih proseka (engl. Exponenially Weighed Moving Average, EWMA). Poznaa meodologija J.P. Morgan / Reuers RISKMETRICS korisi ovaj model prilikom određivanja rizika ( J. P. Morgan, 1996). Polazna preposavka modela je da skorije inovacije više uiču na volailnos u renuku +1. Inovacijama iz prošlosi se dodeljuju različii ponderi ( J. P. Morgan, 1996, sr. 79): EWMA : 1 (1 ) (18) Paramear λ predsavlja fakor gušenja, j. njena recipročna vrednos pokazuje koliko daleko inovacija ili slučajni šok u jednom periodu uiče na volailnos u budućim periodima. EWMA model predsavlja specijalni slučaj IGARCH modela, uz ω = 0.

11 346 Borjana B. Mirjanić, Nenad B. Branković MODELIRANJE VOLATILNOSTI TRŽIŠNIH INDEKSA AKCIJA BEOGRADSKE BERZE: BELEX15 I BELEXLINE E-GARCH (1,1)-GED Daniel B. Nelson je godine predsavio eksponencijalni ili E-GARCH model koji dozvoljava pojavu asimeričnih šokova u volailnosi. (Nelson, D. B., 1991, sr ) 1 1 E GARCH (1,1) : log( ) log( 1) (19) 1 1 Pri čemu je γ koeficijen leveridža, odnosno asimerična komponena modela. REZULTATI EMPIRIJSKOG ISTRAŽIVANJA Dizajn israživanja i podaci Podaci korišćeni u ovom radu su zaključne cene ržišnih indeksa Beogradske berze Belex15 i Belexline. Esimacioni period obuhvaa uzorak od 505 dnevnih opservacija prinosa (od do godine). Cene iz esimacionog perioda su korišćene prilikom izračunavanja sumarne saisike prinosa i procene GARCH modela. U radu su korišćene koninuelno obračunae logariamske sope prinosa. Slika 1. Dnevne vrednosi logariamskih prinosa Belex15 i Belexline prosečni prino 0,1 0,08 0,06 0,04 0,0 0-0,0-0,04-0,06-0, Belex vreme prosečan prinos 0,06 0,04 0,0 0-0,0-0,04-0, Belexline vreme Na slici 1. prikazani su dnevni prinosi Belex15 i Belexline u esimacionom periodu. Vizuelnom analizom se odmah uočava da su srednji prinosi konsanni, ali da se varijanse menjaju okom vremena oko normalnog nivoa i da formiraju klasere. Periodi visoke volailnosi jasno su diferencirani od perioda niske volailnosi. U narednom delu rada prezenovani su rezulai formalnih esova GARCH efekaa

12 Časopis za ekonomiju i ržišne komunikacije/ Economy and Marke Communicaion Review God./Vol. Br./No. Banja Luka, Decembar/December 01 pp prinosa, koji povrđuju preposavku da su efeki promenljive varijanse evidenni u posmaranim vremenskim serijama prinosa. Korišćenje GARCH modela se soga povrđuje kao nezaobilazna aparaura prilikom modeliranja rizika. Korišćenjem QQ dijagrama (engl. quanile-quanile plo), izvršena je provera u kojoj meri empirijske disribucije sandardizovanih prinosa posmaranih indeksa odsupaju od Gaussove disribucije, pri čemu je dijagram linearan ako empirijska disribucija odgovara preposavljenoj disribuciji. Slika. Gaussov QQ dijagram Quaniles of Normal Quaniles of Normal Quaniles of BELEX15 Quaniles of BELEXLINE QQ dijagrami na slici. pokazuju da su krajevi disribucije oba indeksa deblji u odnosu na krajeve koje preposavlja Gaussova normalna disribucija i povrđuju preposavku o posojanju lepokurozisa. Budući da uslovnu varijabilnos nije moguće direkno posmarai, u praksi se najčešće korise kvadrirane vrednosi logariamskih prinosa.

13 348 Borjana B. Mirjanić, Nenad B. Branković MODELIRANJE VOLATILNOSTI TRŽIŠNIH INDEKSA AKCIJA BEOGRADSKE BERZE: BELEX15 I BELEXLINE Slika 3.a. Kvadrirani logariamski prinosi Belex15 i Belexline.006 BELEX BELEXLINE Kvadrirani log prinosi Kvadrirani log prinosi Broj opservacija Broj opservacija Na slici 3.a. prikazane su kvadrirane vrednosi prinosa Belex15 i Belexline uz pripadajuće auokorelacione funkcije predsavljene na slici 3.b.. Najpre uočavamo da obe vremenske serije poseduju šiljke koji ukazuju na prisusvo varijacije uslovne varijanse. Na slici uočavamo da eksremne vrednosi u većoj meri doprinose uslovnoj volailnosi, dominirajući dijagramom kvadraa logariamskih prinosa. Korelogramom na slici 3.b. prikazane su korelacije između ekuće vrednosi i pojedinih vrednosi vremenske serije preko aukorelacione funkcije (AC) i parcijalne auokorelacione funkcije (PAC). Posmaranjem auokorelacione funkcije kvadraa reziduala, jasno se uočava da kreanje prinosa Belex15 i Belexline sledi ARCH proces. Iako vrednosi auukorelacionih koeficijenaa nisu visoke, one su saisički značajne.

14 Časopis za ekonomiju i ržišne komunikacije/ Economy and Marke Communicaion Review God./Vol. Br./No. Banja Luka, Decembar/December 01 pp Slika 3.b. Korelogram auokorelacione funkcije kvadriranih logariamskih prinosa Vrednos auokorelacionog koeficijena na prvoj docnji je 0,305 (Belex15) i 0,314 (Belexline), a zaim posepoeno opada do vrednosi 0,098 (belex15) i 0,061 (Belexline) na 36-oj docnji. U poslednjoj koloni prikazane su p-vrednosi, koje su nula do vrednosi čevre decimale, na osnovu kojih odbacujemo hipoezu o odsusvu ARCH srukure. Posmarani auokorelacioni koeficijeni, AC i PAC ukazuju na mogućnos primene GARCH (1,1) modela. Pored oga, AC i PAC pokazuju sporo geomerijsko opadanje, šo se može inerpreirai kao jedan od znakova dugoročne uslovljenosi. Deskripivna saisika i preliminarni rezulai dobijeni ocenom GARCH (1,1) modela Naredni grafički prikazi predsavljaju hisograme frekvencija koninuelnih sopa prinosa analiziranih finansijskih vremenskih serija Belex15 i Belexline. Koeficijen asimerije (engl. skewness) u slučaju normalnog rasporeda uzima vrednos 0. Iznos ovog koeficijena od 0,5098, odnosno 0,4638 pokazuju blago poziivno asimeričnu disribuciju prinosa Belex15 i Belexline, respekivno. Koeficijen spljošenosi (engl. kurozis) u slučaju normalnog rasporeda uzima vrednos 3. Iznos ovog koeficijena od 4,980, odnosno 4,6489, pokazuje da su dae finansijske vremenske

15 350 Borjana B. Mirjanić, Nenad B. Branković MODELIRANJE VOLATILNOSTI TRŽIŠNIH INDEKSA AKCIJA BEOGRADSKE BERZE: BELEX15 I BELEXLINE serije izduženije u odnosu na normalan raspored, odnosno da posoji veći broj vrednosi sopa prinosa koje su približno jednaki nuli. JB saisika ( Jarque, Bera, 1987, sr ) za normalni raspored esira nulu hipoezu o posojanu normalnog rasporeda. S obzirom da daa vrednos ove saisike prelazi kriičnu od vrednos od 9,1 za rizik greške od 5 %, zaključujemo da se odbacuje nula hipoeza i da serija sopa prinosa indeksa cena akcija ne prai normalan raspored. Slika 4. Hisrogrami frekvencija prinosa Belex15 i Belexline Belex15 Belexline Series: BELEX15 Sample Observaions 505 Mean Median Maximum Minimum Sd. Dev Skewness Kurosis Jarque-Bera Probabiliy Series: BELEXLINE Sample Observaions 505 Mean Median Maximum Minimum Sd. Dev Skewness Kurosis Jarque-Bera Probabiliy Dakle, raspodela posmaranih vremenskih serija je izduženija, špicasija i ima debele repove. Pod preposavkom posojanja 50 opservacija u jednoj godini izračunaa je bezuslovna varijansa (i.i.d.) Belex15 koja iznosi 4, 47 % i Belexline 17,95 %. Tabela 1. Deskripivna saisika Belex15 Belexline Uzorak (broj opservacija) Prosečna vrednos prinosa 0,08 % 0,0135 % Medijana - 0,033 % - 0,0518 % Maksimalna vrednos prinosa 7,4776 % 4,687 % Minimalna vrednos prinosa - 5,6439 % - 4,5649 % Sandardna devijacija prinosa 1,5645 % 1,1351 % Koeficijen asimerije (α 3, Skewness) 0,5098 0,4638 Koeficijen spljošenosi (α 4, Kurzosis) 4,980 4,6489 Jarque-Bera (verovanoća) 104,5314 0, ,3091 0,0000

16 Časopis za ekonomiju i ržišne komunikacije/ Economy and Marke Communicaion Review God./Vol. Br./No. Banja Luka, Decembar/December 01 pp Rezulai dobijeni ocenjivanjem GARCH (1,1) modela dai su u abeli. Procena parameara jednačine varijanse izvršena je primenom ML - ARCH (Marquard) meoda uz normalnu disribuciju. Prilikom procene parameara za maksimiziranje funkcije verodosojnosi bilo je porebno 11 ieracija za Belex15, dok u slučaju Belexline proces konvergira nakon 10 ieracija. Sandardne greške dobijene su robusnim meodom Bollerslev-Wooldridge (Bollerslev, Wooldridge 1993). Tabela. Paramerizacija GARCH (1,1) modela BELEX15 Coefficien Sd. Error z-saisic Prob. C 8,71E-05 0, , ,8478 Variance Equaion C 6,6E-06 1,94E-06 3, ,001 RESID(-1)^ 0, , , ,0000 GARCH(-1) 0, , ,3033 0,0000 R-squared -0, Mean dependen var 0,0008 Adjused R-squared -0, S.D. dependen var 0, S.E. of regression 0, Akaike info crierion -5, Sum squared resid 0,13387 Schwarz crierion -5, Log likelihood 1467,87 Hannan-Quinn crier. -5,78070 Durbin-Wason sa 1, BELEXLINE Coefficien Sd. Error z-saisic Prob. C -4,85E-05 0, , ,8853 Variance Equaion C 3,31E-06 8,68E-07 3, ,0001 RESID(-1)^ 0, , , ,0000 GARCH(-1) 0, , ,7476 0,0000 R-squared -0,00061 Mean dependen var 0, Adjused R-squared -0,00650 S.D. dependen var 0, S.E. of regression 0, Akaike info crierion -6, Sum squared resid 0, Schwarz crierion -6,4811 Log likelihood 1635,57 Hannan-Quinn crier. -6, Durbin-Wason sa 1,113 Jednačina prinosa Belex15 ima oblik r = 0, ε, a Belexline r = - 0, ε. Tri ocenjena koeficijena u jednačini varijanse predsavljaju C konsanu jednačine, ARCH (1) - koeficijen ispred kvadraa reziduala sa pomakom od jednog perioda (λ) i GARCH(1) - koeficijen ispred uslovne varijanse (β), akođe sa pomakom

17 35 Borjana B. Mirjanić, Nenad B. Branković MODELIRANJE VOLATILNOSTI TRŽIŠNIH INDEKSA AKCIJA BEOGRADSKE BERZE: BELEX15 I BELEXLINE od jednog perioda. Uočavamo da je zbir ocenjenih koeficijenaa (α i β) manji od 1 šo je poreban uslov da varijansa bude sabilna. Kako je ovaj zbir vrlo blizak vrednosi 1, reč je procesu koji sporo oscilira oko srednje vrednosi i pokazuje efeke duge memorije u seriji (šokovi u serijama prinosa sporo se guše u seriji), šo je čes slučaj kod ržišnih indeksa. Vrednosi ova dva paramera povrđuju preposavku da se u slučaju ržišnih indeksa sa efekima duge memorije mogu primenii i jednosavniji modeli IGARCH ipa, koje smo u u svrhu i posebno obradili, pa i EWMA. Jednačina varijanse Belex15: 0, ,595 0, (0) Jednačina varijanse Belexline: 0, ,83 0, (1) U abeli 3. prikazana je paramerizacija E-GARCH (1,1)-GED modela. Prilikom procene parameara za maksimiziranje funkcije verodosojnosi bilo je porebno 4 ieracije za Belex15, dok u slučaju Belexline proces konvergira nakon 6 ieracija. Durbin-Wason saisika pokazuje meru serijskih korelacija, odnosno auokorelacija reziduala. Uvažavajući dae kriične vrednosi, ukoliko se saisika nađe između vrednosi 1 i 3, šo je i slučaj sa esiranim modelima (abele i 3) može se konsaovai da nema značajne auokorelacije reziduala koja nepovoljno uiče na karakerisike modela. Više vrednosi log verodosojnosi E-GARCH (1,1)-GED modela, kao i niže vrednosi Akaike i Schwarz krierijuma povrđuju preposavku da E-GARCH (1,1)-GED model bolje opisuje uslovnu volailnos za Belex15 i Belexline. U odnosu na GARCH (1,1), E-GARCH (1,1)-GED poseduje dva unapređenja: obuhvaa efeka asimerije i disribuciju koja nije normalno raspoređena, e iz og razloga predsavlja i bolji esimacioni model u uslovima opaženim na domaćem ržišu. E-GARCH (1,1)-GED model pokazuje poziivnu i značajnu vrednos paramera γ za Belex15 i Belexline, šo se inerpreira kao snažniji uicaj poziivnih šokova iz prošlosi na buduću volailnos. 1 1 Tabela 3. Paramerizacija E-GARCH (1,1)-GED modela BELEX15 Coefficien Sd. Error z-saisic Prob. C 7,04E-06 0, , ,9873 Variance Equaion ω -0, ,048-3,4197 0,0006 γ 0, , , ,0000 q 0, , , ,9949 β 0, , , ,0000

18 Časopis za ekonomiju i ržišne komunikacije/ Economy and Marke Communicaion Review God./Vol. Br./No. Banja Luka, Decembar/December 01 pp GED PARAMETER 1, , , ,0000 R-squared -0, Mean dependen var 0,0008 Adjused R-squared -0, S.D. dependen var 0, S.E. of regression 0,01576 Akaike info crierion -5,84987 Sum squared resid 0,13406 Schwarz crierion -5, Log likelihood 1476,809 Hannan-Quinn crier. -5, Durbin-Wason sa 1,33353 BELEXLINE Coefficien Sd. Error z-saisic Prob. C -3,15E-05 0, , ,94 Variance Equaion ω -0, ,130-3,8367 0,0001 γ 0, , , ,0000 q 0, , , ,8913 β 0, , , ,0000 GED PARAMETER 1, , ,5904 0,0000 R-squared -0,00015 Mean dependen var 0, Adjused R-squared -0,01037 S.D. dependen var 0, S.E. of regression 0, Akaike info crierion -6, Sum squared resid 0, Schwarz crierion -6, Log likelihood 164,37 Hannan-Quinn crier. -6, Durbin-Wason sa 1,1188 Slika 5. Procena volailnosi Belex15 i Belexline modelima GARCH (1,1) i E-GARCH (1,1)-GED 80,00% Belex15 80,00% Belexline 60,00% 60,00% 40,00% 40,00% 0,00% 0,00% 0,00% 0,00% GARCH Volailiy EGARCH Volailiy GARCH Volailiy EGARCH Volailiy Slika 5. ilusruje komparaivnu analizu GARCH (1,1) i E-GARCH (1,1)-GED modela procene volailnosi Belex15 i Belexline. Na grafikonu primećujemo da u periodu značajno povećane volailnosi (na primer, i ), E- GARCH-GED model ne predviđa oliko visoku krakoročnu volailnos kao sandardni GARCH (1,1) model. Za oba indeksa, E-GARCH (1,1)-GED volailnos

19 354 Borjana B. Mirjanić, Nenad B. Branković MODELIRANJE VOLATILNOSTI TRŽIŠNIH INDEKSA AKCIJA BEOGRADSKE BERZE: BELEX15 I BELEXLINE je manja u odnosu na simeričnu GARCH volailnos, i E-GARCH (1,1)-GED je manje reakivan na šokove na ržišu. Takođe, E-GARCH (1,1)-GED volailnosi nisu ograničene kao GARCH volailnosi, ako da pri nižim nivoima volailnosi ne uočavamo eksremno niske vrednosi, zv. podove kao sa sandardnim GAR- CH modelom, šo je još jedna prednos korišćenja E-GARCH (1,1)-GED, jer volailnosi reko imaju oliko niske vrednosi. Drugim rečima, rezulai sprovedenog empirijskog israživanja su pokazali da E-GARCH (1,1)-GED poseduje bolje specifikacije prilikom objašnjenja Belex15 i Belexline uslovne volailnosi u odnosu na sandardni GARCH (1,1) model. ZAKLJUČAK Za ocenu rizika porfolija finansijskih insrumenaa, pojedinačnih harija od vrednosi ili valua korisi se predviđanje drugih momenaa u vremenskim serijama. Brojne empirijske sudije pokazale su heeroskedasičnos finansijskih vremenskih serija. Soga su u pokušaju da se prevaziđu manjkavosi sandardne devijacije kao mere rizika, razvijeni su GARCH modeli, kao alaka prilikom upravljanja rizicima, koji efeke heeroskedasičnosi uzimaju u obzir. Ono šo povrđuje njihovu arakivnos je posojanje velikog broja podvrsa osnovnog modela, koji svakom dodanom korekcijom daju bolje rezulae i prevazilaze izvesne nedosake. U ovom radu pokazano je kako se pomoću GARCH modela mogu predvidei volailnosi akcijskih indeksa Beogradske berze. U radu je uvrđeno da uslovna varijansa pokazuje značajnu vremensku promenljivos za ržišne indekse Belex15 i Belexline. Empirijska analiza sprovedena u ovom radu je povrdila validnos E-GARCH (1,1)-GED modela imajući u vidu karakerisike srpskog ržiša kapiala, prevashodno nisku likvidnos koja se očiuje u nesinhronom rgovanju, siuaciju kada veća ransakcija može da poremei celokupno ržiše, šo su u krajnjoj insanci i uzročnici efeka leveridža, i kada empirijske disribucije prinosa odsupaju od normalnog rasporeda. BIBLIOGRAFIJA Alexander, C., 008, Marke Risk Analysis Pracical Financial Economerics, John Wiley & Sons Ld, The Arium, Souhern Gae, Chicheser, Black, F Sudies of sock prices volailiy changes, Proceedings of he 976 Meeing of he American Saisical Associaion, Business and Economic Saisics Secion, pp Bollerslev, T., Engle R. F., Nelson D. B The Handbook of Economerics, Vol. 4, 1993, pp

20 Časopis za ekonomiju i ržišne komunikacije/ Economy and Marke Communicaion Review God./Vol. Br./No. Banja Luka, Decembar/December 01 pp Bollerslev, T Generalized Auorregressive Condiional Heeroskedasiciy, Journal of Economerics, 31, pp Bolleslev, T., Wooldridge, J. M Quasi-Maximum Likelihood Esimaion and Inference in Dynamic Models wih Time Varying Covariances, Economeric Reviews, 11:, pp Engle, R Auorregressive Condiional Heeroskedasiciy wih Esimaes of Unied Kingdom Inflaion, Economerica, 50, pp Engle, R The Use of ARCH/GARCH Models in Applied Economerics, Journal of Economic Perspecives, 15, pp Fama, E The Behavior of Sock Marke Prices, Journal of Business, 38, pp Jarque, C. M., Bera, A. K A Tes for Normaliy of Observaions and Regression Residuals, Inernaional Saisical Reviews, 55, pp , J. P. Morgan and Reuers, Risk Merics: Technical Documen. Mandelbro, B The Variaion of Some Oher Speculaive Prices, The Journal of Business, Vol. 40, Issue 4, pp Mandelbro, B., 1963, The Variaion of Cerain Speculaive Prices, The Journal of Business, Vol. 36, No. 4, pp Nelson, D. B Condiional Heeroskedasiciy in Asse Reurns: A New Approach, Economerica, Vol. 59, pp Taylor, S. J Modelling Sochasic Volailiy: A Review and Comparaive Sudy, Mahemaical Finance, 4, pp MODELLING VOLATILITY OF BELGRADE STOCK EXCHANGE MARKET INDICES: BELEX15 AND BELEXLINE Borjana B. Mirjanić 1, Nenad B. Branković 1 Lecurer, MSc, Belgrade Business School Higher Educaional Insiuion of Applied Sudies, Belgrade (borjana.mirjanic@bbs.edu.rs) Lecurer, MSc, Belgrade Business School Higher Educaional Insiuion of Applied Sudies, Belgrade (nenad.brankovic@bbs.edu.rs) Absrac: For measuring he risk o which he porfolio of financial asses is exposed, i is necessary o forecas he second momen of finacial ime series. The empirical invesigaions shows ha financial ime series are heeroskedasic. To overcome he weakness of he sandard deviaion as risk measure, he appropriae mahemaical models were developed, pariculary GARCH models which ake ino accoun heeroskedasic effec. This paper invesigaes he behavior of sock marke indices reurns in an emerging sock marke and presens empirical analysis of Serbia capial marke volailiy na-

21 356 Borjana B. Mirjanić, Nenad B. Branković MODELIRANJE VOLATILNOSTI TRŽIŠNIH INDEKSA AKCIJA BEOGRADSKE BERZE: BELEX15 I BELEXLINE mely Belgrade Sock Exchange. In his paper we applied comparaive analysis of GAR- CH (1.1) and E-GARCH (1.1)-GED model on daily daa for Belex15 and Belexline in order o examine is implicaion on risk forecasing in he case of asymmeric shocks in volailiy and empirical disribuion deviaions from normal Gaussian paern which are one of he main characerisics a emerging capial markes. Key words: volailiy, condiional sandard deviaion, GARCH (1,1) model, E- GARCH (1,1)-GED, Belgrade Sock Exchange. JEL Classificaion: C, C5,G10, G1.