Neke linearizacije funkcija

Transcription

1 XIII. Hrvaski simpozij o nasavi fizike eke linearizacije funkcija Jasenka Celić 1, Karolina Dvojković 1 Gimnazija Maije Anuna Reljkovića, Vinkovci Gimnazija Vukovar, Vukovar Sažeak: Linearizirai funkciju znači nelinearnu funkciju prevesi u linearni oblik. a aj se način omogućava lakše očiavanje s grafova pri mjerenjima. Ova meoda je izrazio korisna pri baždarenju nekih insrumenaa. Linearizacijom funkcije dobi je višesruka: bolje predočavanje rezulaa mjerenja, izračunavanje neke konsane, akivno učenje, moivacija, id. Linearizacijom funkcije u fizici odgojno-obrazovni proces se prevara u skladnu, sinkroniziranu cjelinu kroz inerdisciplinarnos između fizike i maemaike. Dobi učenika je velika jer ih na aj način pripremamo za daljnje obrazovanje na fakuleima na kojima će se susreai s nelinearim susavima koje je porebno linearizirai e ih na aj način učinii lakše upravljivima, a samim ime i za ržiše rada na kojem se sve više javlja poreba za ljudima koji razumiju auomasko upravljanje procesima, bilo da su o proizvodni ili ekonomski procesi. Temu ćemo obradii krakim eorijskim uvodom u kojem prisupamo linearizaciji funkcije na dva načina, a o su linearizacija logarimiranjem i razvojem u Taylorov red u okolini radne očke. akon oga, nasavnike ćemo rasporedii u skupine koje će dobii svoj zadaak linearizacije, j. radionicu. Teme radionica: Zakon radioakivnog raspada primjer linearizacije u nasavi. Baždarenje foomera s ravnim zrcalom linearizacija logarimiranjem gdje se koeficijeni pravca određuju meodom najmanjih kvadraa. Ključne riječi: linearizacija funkcije, inerdisciplinarnos, akivno učenje, primjena UVOD Česo se u fizici susrećemo s mnogim ovisnosima među mjerenim veličinama koje nisu linearne, šo učenicima česo predsavlja problem. Problem se pojavljuje kada učenici grafički predočavaju mjerene veličine e ih rebaju povezai. Jedno od rješenja je linearizacija. Linearizirai funkciju znači nelinearnu funkciju prevesi u linearni oblik, odnosno umjeso direknih izmjerenih veličina odabiremo njihove funkcije ako da odnos dviju odabranih veličina bude linearan. a aj se način omogućava lakše očiavanje s grafova pri mjerenjima. Ova meoda je izrazio korisna pri baždarenju nekih insrumenaa. Linearizacijom funkcije dobi je višesruka: bolje predočavanje rezulaa mjerenja, izračunavanje neke konsane, akivno učenje, moivacija, id. EKE LIEARIZACIJE FUKCIJA elinearnu funkciju možemo prevesi u linearni oblik na način da promijenimo varijable i logarimiranjem [1, ]. Zakon radioakivnog raspada Radioakivni raspad je proces u kojem nesabilne aomske jezgre gube energiju u obliku česica ili elekromagneskog zračenja. Za sve nuklearne raspade, pa ako i za radioakivne, zajednički je saisički karaker ih procesa. Jezgre se raspadaju neovisno jedna o drugoj, odnosno 46

2 eke linearizacije funkcija izbor jezgre koja se raspada je nasumičan. e možemo očno predvidjei koje će se jezgre raspasi i u kojem renuku. Vjerojanos je raspada, bilo koje česice po jedinici vremena, konsanna. Aomske jezgre određenog nuklida imaju karakerisičnu konsanu raspada, koju ćemo označii s λ, i koja osim o vrsi radioakivnog nuklida ovisi i o vrsi raspada. Vjerojanos raspada po nuklidu proporcionalna je vremenskom inervalu (više ih se raspadne šo prođe više vremena), e se može usposavii određena veza koja je dana izrazom = λ, (1) gdje je broj nuklida u uzorku, promjena broja nuklida koja se događa u nekom krakom vremenskom inervalu, a λ zv. konsana raspada. Možemo izračunai kako će se vremenski mijenjai količina radioakivne vari u radioakivnom uzorku, j. broj jezgara koje se još nisu raspale. Taj se broj s vremenom eksponencijalno smanjuje prema zakoniosi koja je dana izrazom λ ( ) = e, () gdje je () broj radioakivnih nuklida u renuku, broj radioakivnih nuklida u renuku =, a λ konsana raspada koja je različia za različie jezgre i vrse raspada. Relacija () predsavlja zakon radioakivnog raspada. SLIKA 1. Kockica predsavlja aomsku jezgru SLIKA. Kockica predsavlja aomsku jezgru, online inerakivna simulacija preuzea s hp://a.eall.info/dice/ [3]. Simulacija radioakivnog raspada Da bismo simulirali radioakivni raspad e omogućili učenicima akivno sudjelovanje u nasavnom procesu, koji reba rezulirai usposavljanjem određene logičke veze između eksperimena i eorije, možemo se poslužii i uporabom suvremene ehnologije i realnom izvedbom. Za simulaciju radioakivnog raspada posluži ćemo se kockicama koje se korise u drušvenim igrama popu jamba, čovječe ne ljui se i sličnim. Svaka kockica predsavlja nuklid, odnosno aomsku jezgru. Sve kockice koje se nalaze u posudi predsavljaju aomske jezgre radioakivnog uzorka koje će se raspadai prema zakonu radioakivnog raspada (). Proces radioakivnog raspadanja započinje prebrojavanjem ukupnog počenog broja jezgri, u našem slučaju 163, koje sudjeluju u procesu radioakivnog raspadanja u renuku =. Dogovorom odaberemo koje ćemo aomske jezgre smarai raspadnuim, npr. sve one kockice koje se okrenu na broj. Raspadnue jezgre (npr. sve one kockice koje se okrenu na broj ) izdvojimo iz skupine, e izračunamo broj osalih aomskih jezgri - kockica koje će se dalje radioakivno raspadai. Posupak ponavljamo dok nam ne osane oko 3 kockica - aomskih jezgri u radioakivnom uzorku. Sve podake unosimo u ponuđenu ablicu 1 iz koje ćemo kasnije crai dva grafa. Uporabom programa za ablično računanje MS Excel možemo formirai isovjenu ablicu, ablica. Proces bacanja kockica možemo provesi i uporabom online inerakivne simulacije hp://a.eall.info/dice/ [3-5]. 47

3 XIII. Hrvaski simpozij o nasavi fizike TABLICA 1. Ovisnos broja radioakivnih jezgara o vremenu izraženom u minuama Redni broj bacanja Vrijeme /min ln TABLICA. Ovisnos broja radioakivnih jezgara o vremenu nakon provedene simulacije e unesenih vrijednosi u program za ablično računanje MS Excel a emelju dobivenih vrijednosi iz ablica 1 i cramo Graf 1. Ako učenicima nije unaprijed pozna zakon radioakivnog raspada vrlo je malo vjerojano da će navedenu eksponencijalnu ovisnos o prikazanu na grafu 1, a dobivenu na emelju podaaka iz ablice, samosalno algebarski oblikovai. Ali ako provedemo posupak linearizacije ada sve posaje puno razumljivije i jednosavnije [1, ]. () Podaci dobiveni mjerenjem Linearizacija nelinearne funkcije ( ) λ = e Prisupimo posupku linearizacije navedene nelinearne funkcije. λ ( ) = e, () λ ln( ) = ln( e ), (3) λ ln( ) = ln( ) + ln( e ), (4) ln( e B ) = B ln( e) = B, (5) λ ln( e ) = λ ln( e) = λ (6) ln( ) = ln( ) λ, (7) y = c m x GRAF 1. Graf ovisnosi izrađen u programu za ablično računanje MS Excel 48

4 eke linearizacije funkcija a emelju podaaka iz ablice na jednosavan način izračunamo nagib pravca bilo iz grafa ili grafa 3, koji odgovara Linearizirana funkcija raženoj konsani raspada λ. Uz uporabu 6 programa za ablično računanje MS Excel-a izračun je jednosavan. U ćeliji F1 ablice 4 nalazi se formula kako uporabom funkcije slope možemo odredii vrijednos m koja odgovara konsani raspada λ. Osim šo možemo odredii konsanu raspada λ akođer možemo na sličan način odredii i vrijeme poluraspada T 1/ koje je povezano s GRAF 3. Prikaz linearizirane ovisnosi ln() o konsanom raspada λ [1, ]. Provedimo algebarski posupak određivanja vremena poluraspada T 1/. Izraz () možemo zapisai i na drugi način, izrazom ln(/) Linearizirana funkcija 1,5 1, GRAF. Prikaz linearizirane ovisnosi ln( / ) o ln() T1 / =, (8) T1 / =, λ = e, (9) T 1 / T 1 / λ e =, (1) λ ln( e ) = l n ( ), (11) λ = l n ( ), (1) T 1 / l n ( ) λ =. (13) T 1 / Umjeravanje foomera s ravnim zrcalom Umjeravanje ili kalibracija je skup operacija koje u određenim uvjeima savljaju odnose među vrijednosima i pokazuju mjerni susav ili vrijednosi šo predsavljaju maerijaliziranu mjeru ili referenni maerijal i pripadajuće vrijednosi dobivene ealonima (VIM 1993, 6. 11; VIM 1993: Vocabulaire inernaional des ermes fondamenaux e généraux de mérologie, ukupno izdanje ISO/IEC/OIML/BIMP). Posupak umjeravanja izuzeno je bian pri izradi insrumena jer se pravilnim umjeravanjem posiže primjenjivos i kompaibilnos insrumena U ovoj radionici napravii ćemo učeničku vježbu iz asronomije za osnovnu školu, j. umjeravanje foomera s ravnim zrcalom i u njoj primijenii linearizaciju funkcije [6]. Foomear s ravnim zrcalom je uređaj za mjerenje prividne zvjezdane veličine ili magniude zvijezde - veličine koja opisuje svjelos zvijezde kao neposredne pojave na nebu [7]. Mjerenje se izvodi ako da se foomear usmjeri prema zvijezdi čiju magniudu želimo izmjerii i da onda uspoređujemo sjaj zvijezde i sjaj očkice svjelosi koja nasaje nakon refleksije svjelosi iz baerijske svjeiljke na ravnom zrcalu. Kada su sjajevi zvijezde i očkice jednaki očia se udaljenos od baerijske svjeiljke do neprozirne folije s rupicom na mearskoj skali (8) u cenimerima. Mjerenje ponavljamo više pua i onda računamo srednju vrijednos iz koje reba odredii magniudu zvijezde. Kako o napravii? 49

5 XIII. Hrvaski simpozij o nasavi fizike SLIKA 3. Foomear s ravnim zrcalom sasoji se od moke duljine m (1), malenog ravnog zrcala (), paus papira (3), neprozirne folije s rupicom (4), duguljase baerijske svjeiljke (5), plasične cijevi duljine 1m (6), levice duljine 1m (7) i mearske skale (8) Mjerenje foomerom Prvo reba odabrai 7 zvijezda čija je magniuda već poznaa i može se očiai iz programa kao šo je Sellarium i za njih izmjerii udaljenos baerijske svjeiljke od folije s rupicom kada su sjajevi zvijezde i slike u zrcalu jednaki. Mjerenje reba ponavljai i računai srednju vrijednos od koje se računa logariam. Rezulai mjerenja prikazani su u ablici 3. TABLICA 3. Rezulai mjerenja za 7 poznaih zvijezda zvijezda vrijeme promaranja magniuda (m) l /cm log l Kapela 19:,5 8,3 1,45179 Poluks :14 1,15 41,5 1,6185 β Tau :3 1,65 5,3 1,7157 Kasor :17 1,9 59,6 1,7755 Dubhe 3:5, 6,5 1,78176 Merak 3:55,3 65,8 1,8183 ε Cas 1:11 3,35 88,1 1,94498 Ucravanjem podaaka iz ablice 3. u graf ovisnosi magniude m o udaljenosi l, dobije se krivulja iz koje je eško očiavai očne sjajeve nepoznaih zvijezda, graf 4. Precizniji graf nasaje ako cramo ovisnos magniude m o logarimu udaljenosi l jer je ada ovisnos linearna, j. pravac[1,]. Logariam se uzima zao šo je omjer sjaja zvijezda dvije susjedne magniude 1,51, odnosno poencija broja 1. y = ax + b, (14) m = a log l + b, (15) 5

6 eke linearizacije funkcija ajprecizniji pravac dobivamo ako da koeficijene a i b odredimo meodom najmanjih kvadraa [6] prema formulama (16) i (17) pri čemu se i mijenja od 1 do 7 kako uzimamo vrijednosi iz ablice 3. Y je magniuda m, a x je logl., (16) Za dane mjerne podake dobivamo sljedeće sume:, (17) 1.9, (18) 1.4, (19) 1.4, ().38. (1) Primjenjujući gore navedene formule i izračunae sume dobiva se: a = 6.7 i b = -8.7 e je dobiveni pravac m = 6.7 log l 8.7 Pravac je prikazan grafom 5. Sada kada je insrumen umjeren, može se određivai magniuda bilo koje zvijezde na način da dobivenu srednju vrijednos udaljenosi logarimiramo, a onda sa grafa 5. očiamo pripadajuću magniudu. GRAF 5. Linearna ovisnos magniude m o logarimu udaljenosi LITERATURA 1. G. Curell, Scienific Daa Analysis, Oxford Universiy Press, Oxford, UK, 15.. G. Curell, A. Dowman, Essenial Mahemaics and Saisics for Science, John Wiley & Sons Ld, UK, Anon aarov, Online 3D dice roller, URL: hp://a.eall.info/dice/ ( ) 4. Musafa Bakaç e al., Procedia Social and Behavioral Sciences 15 (11) 196, URL: hp:// (1..17.) 5. URL: hp:// ( ) 6. Franka Miriam Brückner, URL: hp://prelog.chem.pmf.hr/~fmbruckler/mnk.pdf ( ) 7. V. Vujnović: Asronomija 1, Školska knjiga, Zagreb, Zvjezdarnica Zagreb, E-škola asronomije, URL: hp://eskola.zvjezdarnica.hr/ (7..17.) 51