Revizija financijskih institucija. Primjena statističkih metoda s naglaskom na trend, korelaciju i regresiju

Transcription

1 Sveučilište Josipa Jurja Strossmayera u Osijeku Ekonomski fakultet u Osijeku Seminarski rad iz kolegija Revizija financijskih institucija Primjena statističkih metoda s naglaskom na trend, korelaciju i regresiju Student(i): Ines Ličina, 01820, Mentor: doc.dr.sc. Ivo Mijoč Dragana Lisjak Osijek, siječanj 2014.

2 Sadržaj 1. Uvod Metodologija rada Važnost analitičkih postupaka u poslovanju Mjesto i važnost analitičkih postupaka u provedbi revizije financijskih izvještaja Metode revizije Opće metode Induktivna metoda Deduktivna metoda Empirijska metoda Specijalne metode Metoda intenziteta ispitivanja Metoda smjera ispitivanja Metoda opsega ispitivaja Metoda načina ispitivanja Analitički postupci Korištenje omjera Strukturna izvješća Analiza vremenskog niza Analiza trenda Altmanov sustav pokazatelja Regresijska analiza Financijsko modeliranje Metoda uzročnog povezivanja (korelacija) Trend, korelacija i regresija Trend Komponente vremenskog niza... 17

3 Modeli trenda Pomični prosjeci Metoda analize sezonskih pojava Korelacija Vrste varijabla Dijagram rasipanja Pearsonov koeficijent korelacije Spearmanov koeficijent korelacije ranga Regresija Jednostavna linearna regresija Regresijski model Koeficijent determinacije Primjena statističkih metoda na odabranom uzorku Primjena trenda, korelacije i regresije u analizi financijskih izvješća Primjena statističkih metoda u analizi uzorka Zaključak Literatura Prilog Popis tablica Popis grafikona Popis slika Popis formula Anketni upitnik pitanja i odgovori... 67

4 1. Uvod Jedna od osnovnih karakteristika poslovnog okruženja današnjice su brze i brojne promjene među kojima je i velika količina podataka s kojima se susrećemo svakodnevno. Razlikovanje izvora i razina kvalitete podataka te njihovo pravilno tumačenje je od izuzetne važnosti. Ako su podaci prikupljeni planski, smatraju se statističkim te je njihovo pretvaranje u informacije moguće upotrebom statističkih metoda. Statističke metode se upotrebljavaju u svim sferama poslovanja: razvoju, proizvodnji, marketingu, financijama, računovodstvu i reviziji i dr. U području poslovanja i ekonomije statističke su metode temeljne analitičke metode. Na području revizije donošenje zaključaka se temelji na financijskim izvješćima te pokazateljima analize financijskih izvješća. Financijska izvješća je moguće analizirati raznim metodama, a jedna od njih su i analitički postupci. Analitičikim postupcima uspoređuju se dostupni podaci sa podacima prethodnih razdoblja, očekivanim rezultatima ili podacima iz iste gospodarske djelatnosti. U analitičke postupke se ubrajaju i statističke metode: trend, korelacija i regresija. Navedene metode se primjenjuju u mnogim stručnim i znanstvenim područjima te predstavljaju pojednostavljenu sliku stvarnih pojava. U praksi se koriste za utvrđivanje povezanosti između pojava te za predviđanje istih u budućnosti. U sklopu ovoga seminarskog rada metoda trenda, korelacije i regresije će biti detaljno teorijski objašnjene te potkrijepljene primjerima, kako fiktivnim, tako i primjerima izračuna na temelju realnih financijskih izvješća i analiziranih podataka provedenih putem ankete. 1

5 2. Metodologija rada Seminarskim radom obrađuje se tematika statističkih metoda s naglaskom na trend, korelaciju i regresiju, u sklopu kolegija Revizija financijskih institucija. Predmet rada je istražiti statističke metode koje se ubrajaju u analitičke postupke korisne u procesu revizije uz isticanje trenda, korelacije i regresije te analiza podataka iz ankete navedenim ili dodatnim statističkim metodama, ovisno o karakteru podataka. Cilj rada predstavlja uočavanje mogućnosti analize pomoću navedenih metoda. Ujedno, autori će korištenjem navedenih metoda pokušati potkrijepiti postavljene hipoteze. Prva hipoteza glasi: Sve tri istaknute metode zahtijevaju vremenski niz podataka. Druga hipoteza formulirana je na slijedeći način: Proučavanim metodama 1 mogu se analizirati kvalitativni podaci. Rad se sastoji od dva dijela. U prvom, teorijskom dijelu koji obuhvaća poglavlja 3., 4. i 5. detaljno su objašnjene i klasificirane metode koje se koriste u postupku revizije s naglaskom na statističke metode trenda, korelacije i regresije koje su ujedno i predmet proučavanja rada. Osim teorijskih objašnjenja pojedinih metoda, u poglavlju 5. Trend, korelacija i regresija prikazani su primjeri izračuna metoda. Također, poglavlje 3. govori o važnosti analitičkih postupaka u poslovanju. Drugi dio rada (koji obuhvaća poglavlje 6.) prikaz je primjene teorijski obrađenih metoda u analizi reprezentativnog uzorka 2. Uzorak čini 15 gospodarskih subjekata koji posluju u Republici Hrvatskoj, a prema Zakonu o računovodstvu 3 svrstavaju se u skupinu velikih poduzeća. S obzirom na kvalitativan karakter većine odgovora u anketi, autori za analizu iste primjenjuju, osim analitičkih postupaka, metode kojima se izražavaju mjere centralne tendencije (aritmetička sredina, medijan, kvantili, mod), mjere disperzije (interkvartilni raspon, standardna devijacija i koeficijent varijacije) te mjere asimetrije i mjere zaobljenosti. Uz analizu podataka preuzetih iz ankete, prikazana je primjena trenda, korelacije i regresije na financijskim izvješćima poduzeća koja su sudjelovala u anketi. Točnije, na temelju podataka iz računa dobiti i gubitka prikazane su (numerički i grafički) navedene metode. 1 Ovdje se misli na trend, korelaciju i regresiju kao težište rada. 2 Uzorak se temelji na anketi korištenoj unutar istraživanja u sklopu seminarskog rada: Kresić, E., Mezulić, N.: Uloga interne kontrole u upravljanju rizicima, Ekonomski fakultet u Osijeku, Osijek, NN 109/07, 54/13 čl.3(dostupno na: ( )) 2

6 Za potrebe izračuna koriste se programi Microsoft Excel i Statistica. Podaci preuzeti iz spomenute ankete, točnije odgovori, numerički su izraženi kako bi se što lakše izračunale moguće navedene mjere. U Prilogu su navedene formule korištene u radu, a po slijedećoj dinamici: prvi broj uz formulu predstavlja poglavlje u kojem je formula korištena ili definirana dok je drugi broj zapravo redni broj formule tog poglavlja. Osim popisa korištenih formula, u Prilogu se nalazi popis tablica, grafikona i slika, analizirana anketa te strukturirani i numerirani odgovori prema pitanjima iz ankete. Pri izradi ovog rada korišteno je nekoliko znanstvenih metoda: induktivna metoda, deduktivna metoda, deskriptivna metoda, metoda analize, povijesna metoda i komparativna metoda. 3

7 3. Važnost analitičkih postupaka u poslovanju U području poslovanja i ekonomije statističke su metode temeljne analitičke metode. Uloga statistike kao znanstvene metode koju je moguće primjeniti u svim područjima ljudskog djelovanja je izrazito veliko. Statistički podaci o gospodarskim kretanjima, statistički pokazatelji i modeli omogućuju praćenje gospodarskih kretanja, provođenje gospodarske politike, poslovno odlučivanje i predviđanje. Informacije dobivene iz statističkih podataka nastaju primjenom statističkih metoda koje široko primjenjuju stručnjaci i donositelji odluka u svim sferama poslovanja i gospodarstva. Poslovna statistika predstavlja skupinu metoda za prikupljanje, sažimanje, odnosno uređivanje internih i eksternih podataka od interesa za poslovanje, metoda za obradu, analiziranje podataka te prikazivanje rezultata statističke analize, kako bi se proizvele što solidnije informacije koje su temelj učinkovitom poslovnom odlučivanju i predviđanju. 4 Statističke metode u računovodstvu i reviziji se najčešće upotrebljavaju za potrebe postupka revizije na temelju uzorka ispitivanog računovodstvenog materijala Mjesto i važnost analitičkih postupaka u provedbi revizije financijskih izvještaja Analitičke metode u procesu revizije financijskih izvještaja zauzimaju značajnu ulogu, a koriste se za usporedbu ostvarenih rezultata poslovanja iskazanih u financijskim izvještajima s očekivanim vrijednostima. Analitičke se metode, također, koriste za analizu značajnih financijskih informacija i njihovog kretanja. Uz financijske informacije, koriste se i nefinancijske kao nadopuna u cilju jasnijeg sagledavanja odgovarajućih promjena. Važnost analitičkih postupaka pri reviziji financijskih izvještaja proizlazi iz njihove učinkovitosti, široke mogućnosti primjene i pouzdanosti. Naime, provođenje odgovarajućih analitičkih postupaka vremenski je manje zahtjevno od provođenja nekih drugih revizijskih postupaka, a često pruža dovoljan dokaz za testiranje odgovarajuće izjave ili događaja. U usporedbi s ostalim vrstama revizijskih dokaza, dokazi dobiveni analitičkim postupcima pružaju srednju razinu pouzdanosti, ali je njihova primjena najčešće opravdana relativno kratkim vremenom potrebnim za njihovu provedbu. Najveću razinu pouzdanosti imaju dokazi dobiveni fizičkom provjerom i ponovnim izvođenjem, srednju razinu pouzdanosti imaju dokazi u obliku dokumentacije i konfirmacija te dokazi dobiveni analitičkim postupcima, dok 4 Dumičić, Ksenija; Bahovec, Vlasta (ur.)., Poslovna statistika,zagreb : Element, 2011., str. 7. 4

8 najnižu razinu pouzdanosti pružaju dokazi dobiveni promatranjem i upitima djelatnicima komitenta. 5 Analitički postupci se koriste u postupku planiranja revizije, prikupljanja dokaza, provođenju dokaznih testova kao i u fazi dovršenja revizije. Međunarodni računovodstveni standardi (MRS 520; Analitički postupci ) nalažu korištenje analitičkih postupaka u fazi planiranja i dovršenja revizije, te se sugerira korištenje istih i u fazi prikupljanja dokaza, kako je i prikazano u Grafikonu 1. Grafikon 1.: Korištenje analitičkih postupaka u pojedinim fazama revizije Izvor 1.: Izrada autora prema: Zenzerović, R., Analitički postupci Instrument revizora u ocjeni vremenske neograničenosti poslovanja, Ekonomska istraživanja, Vol. 20, No. 2, Sveučilište Jurja Dobrile u Puli, Odjela za ekonomiju i turizam Dr. Mijo Mirković, Pula, 2007., str Zenzerović, R., Analitički postupci Instrument revizora u ocjeni vremenske neograničenosti poslovanja, Ekonomska istraživanja, Vol. 20, No. 2, Sveučilište Jurja Dobrile u Puli, Odjela za ekonomiju i turizam Dr. Mijo Mirković, Pula, 2007., str

9 4. Metode revizije Riječ metoda porijeklom je iz grčkog jezika, točnije, grč. méthodos što znači traženje, istraživanje. Drugim riječima, metoda predstavlja način, put, postupak u logičkom razmišljanju koji pomaže ispravnom zaključivanju odnosno postupak koji pomaže ostvarenju željenog rezultata u nekom praktičkom poslu, znanstvenom istraživanju i sl. 6 Svaka disciplina u svom radu koristi određene metode. Tako se i revizija, poput ostalih disciplina, služi različitim metodama u radu. Odabir metode kojom će se revizori koristiti, ovisi o nekoliko čimbenika: željenom rezultatu koji se očekuje kao posljedica korištenja odabrane metode, unaprijed postavljenim ciljevima, kadrovskim uvjetima, tehničkoj opremljenosti te organizacijskim mogućnostima poslovnog subjekta. Budući da se radi o računovodstveno-revizijskim metodama, u poglavljima koja slijede detaljnije će se obraditi klasifikacija metoda revizije s naglaskom na statističke metode: trend, korelaciju i regresiju. Ipak, prije svega, radi lakšeg snalaženja u klasifikaciji spomenutih metoda, ista će se prikazati grafički (Grafikon 2.). 6 Anić, V., Goldstein, I., Rječnik stranih riječi,novi liber, Zagreb, 1999., str

10 Grafikon 2.: Podjela metoda revizije Izvor 2.: Tušek, B., Žager, L., Revizija, Hrvatska zajednica računovođa i financijskih djelatnika, Zagreb, 2008., str. 86 7

11 4.1. Opće metode Općim metodama koriste se gotovo sve znanstvene discipline i to zahvaljujući njihovoj univerzalnosti. Moguće ih je raščlaniti na induktivne, deduktivne i empirijske metode Induktivna metoda Ova se metoda koristi pojedinačnim slučajevima na temelju čije se usklađenosti utvrđuje poslovanje društva kao cjeline. Dakle, na osnovi zaključaka koje je moguće donijeti, a vezanih uz usklađenost pojedinačnih pojava uz određene unaprijed postavljene ciljeve, induktivnom metodom utvrđuje se cjelokupno poslovanje analiziranog društva. Promatranje, eksperimentiranje, brojenje, mjerenje te određene statističke metode poput aritmetičke sredine, moda i medijana koriste se u sklopu induktivne metode kao svojevrsne pomoćne metode Deduktivna metoda Deduktivna metoda nastaje analizom procesa suprotnog procesu induktive metode odnosno polazi od opće poznatih rezultata poslovanja nekog poduzeća u cjelini. Na temelju općih rezultata izvode se zaključci o pojedinačnim slučajevima ili o poslovanju određenog sektora poduzeća. Treba istaknuti kako ova metoda nije rasprostranjena u reviziji nego se najčešće koristi u matematici i fizici. Ipak, najpoznatiji oblik ove metode je Du pontov sustav pokazatelja koji je primjenjiv i u revizijskim analizama. Du Pontov sustav pokazatelja koristi se, prvenstveno, za potrebe analize, a samim time i za potrebe planiranja, tj. upravljanja poslovanjem i razvojem poduzeća. Du Pontov sustav pokazatelja objedinjuje informacije iz dva temeljna financijska izvješća: bilance i računa dobiti i gubitka čime se omogućava razmatranje kako će promjena bilo kojeg elementa obuhvaćenog u sustavu utjecati na promjenu rentabilnosti ukupne imovine (kapitala) Empirijska metoda Empirijsku metodu možemo u literaturi pronaći i pod nazivom iskustvena 8 metoda. Ista se zasniva na iskustvu temeljem kojeg se određuju područja na koja treba obratiti više pozornosti prilikom obavljanja revizije. Uzrok nastanka ovakvog tipa metode su uočene učestale nepravilnosti i/ili slučajne pogrješke do kojih dolazi u već spomenutim određenim područjima odnosno poslovima. 7 Žager, K., Žager, L., Analiza financijskih izvješća, Masmedia, Zagreb, 1999., str Crnković, L.; Mijoč, I.; Mahaček, D.: Osnove revizije, Ekonomski fakultet u Osijeku, Osijek, 2010., str

12 4.2. Specijalne metode Ovim se metodama smatraju posebne metode koje se koriste isključivo pri obavljanju revizije. U njih se ubrajaju metode intenziteta ispitivanja, metode smjera ispitivanja, metode opsega i kontinuiteta ispitivanja te metode načina ispitivanja. U Tablici 1. vidljiva je podjela vrsta i oblika specijalnih metoda. Tablica 1.: Podvrste (oblici) specijalnih revizijskih metoda Vrste Metode Metode smjera Metode opsega Metode načina specijalne intenziteta ispitivanja ispitivanja ispitivanja metode ispitivanja Formalna Progresivna Oblici Potpuna metoda Direktna metoda metoda metoda specijalnih Materijalna Retrogradna Preskočna Indirektna metoda metoda metoda metoda metoda Izvor 3.: Crnković, L.; Mijoč, I.; Mahaček, D.: Osnove revizije, Ekonomski fakultet u Osijeku, Osijek, 2010., str Metoda intenziteta ispitivanja Metodu intenziteta ispitivanja dijelimo na dva oblika: formalnu i materijalnu metodu. Za utvrđivanje zakonskih propisa te usklađenosti poslovanja društva s istim, ali i njihovih financijskih izvješća, zadužena je formalna metoda. Istom se ispituje računska suglasnost između podataka navedenih u financijskim izvješćima i računovodstvenih, analitičkih te sintetičkih evidencija. S obzirom na nedovoljne rezultate koji se (ne)mogu postići formalnom metodom, najčešće se koristi kombinacija formalne i materijalne kako bi se spomenuti nedostatak formalne nadomjestio materijalnom metodom. Uz suštinsku, materijalna metoda ima za cilj utvrđivanje sadržajne točnosti i opravdanosti poslovnih promjena koje nastanu i to ispitivanjem odabira i primjene računovodstvenih politika Metoda smjera ispitivanja Progresivna i retrogradna metoda čine metodu smjera ispitivanja. Karakteristično za progresivnu metodu je smjer provođenja koji kreće od nastanka poslovne promjene, a čiji je cilj utvrditi jesu li konačne radnje ispravne ili ne. Osim ispravnosti, progresivna metoda za cilj ima i utvrditi operaciju u kojoj dolazi do pogrješke kako bi se, dodatnim kontrolnim mehanizmima, iste pogrješke smanjile ili svele na minimalne. Počevši od nastanka poslovne promjene, progresivnom se metodom prati evidentiranje nastalih događaja i to evidencijama, 9

13 kako analitičkim, tako i sintetičkim, i tako do iskazivanja promjena u financijskim izvješćima. Nakon ovakvog slijeda praćenja promjena, moguće je utvrditi ispravnost konačne radnje. Suprotno progresivnoj, retrogradna se metoda provodi u obrnutom smjeru. Dakle, ova metoda za polazište ima financijska izvješća, a kao konačno promatranu točku nastanak poslovne promjene koja se promatra u slučaju da se utvrde nepravilnosti prilikom evidencija u knjigovodstvu Metoda opsega ispitivaja U metode opsega ubrajaju se potpuna i preskočna metoda. 9 Obuhvat svih poslovnih promjena koje su nastale u određenom vremenskom razdoblju, dakako, pripada provedbi potpune metode, dok je za preskočnu metodu karakterističan različit odabir poslovnih promjena, točnije, izbor odgovarajućeg revizijskog uzorka. Pri provedbi potpune metode nužni su veliki ljudski, ali i materijalni resursi te je zbog tolikog opsega posla metoda primjenjiva isključivo kod malih poslovnih subjekata. Što se tiče preskočne metode, treba naglasiti kako je teško odrediti pravilan uzorak na temelju čije analize će se donijeti konačan sud o poslovnoj promjeni. Zbog toga je moguće više različitih načina određivanja uzorka, ovisno i provoditelju revizije ili eventualnim zakonskim odredbama koje treba zadovoljiti prilikom postupka revizije. Moguće je za primjer izdvojiti određivanje uzorka na temelju izdvajanja poslovnih promjena koje su nastale isključivo na određeni dan u mjesecu. Moguće poteškoće koje nastaju prilikom ovakvog odabira uzorka jesu osobine pojedinih promjena koje se reflektiraju na cijeli skup i zbog kojih je nužno izbrati reprezentativan uzorak Metoda načina ispitivanja U okviru metoda načina ispitivanja razlikuju se direktna i indirektna metoda. Direktna metoda zasniva se na neposrednom ispitivanju svake poslovne promjene i donosi se zaključak o njezinoj ispravnosti. Koristi se kod manjih organizacijskih jedinica u okviru neke cjeline za koje se pretpostavlja da u njima postoje određene nepravilnosti. 10 Direktna (izravna) metoda nije primjenjiva u velikim poslovnim subjektima s obzirom na troškove koji se podrazumijevaju, ali i stručno osoblje koje je potrebnom u velikom broju. Ispitivanjem uzoraka iz odabrane cjeline bavi se indirektna (neizravna) metoda. Zaključci za promatranu cjelinu reflektiraju se na cjelokupno promatranje. Također, obilježja i karakteristike cjeline ocjenjuju se temeljem dobivenih spoznaja o unaprijed određenim i promatranim poslovnim 9 U literaturi je moguće pronaći i druge nazive za potpunu kontinuirana, nepreskočna, odnosno preskočnu metodu različiti izbor. 10 Crnković, L.; Mijoč, I.; Mahaček, D.: Osnove revizije, Ekonomski fakultet u Osijeku, Osijek, 2010., str

14 promjenama. U primjeni je neizravna metoda jeftinija u odnosu na izravnu, a najčešće se koristi kod automatske obrade podataka Analitički postupci Komparativna financijska izvješća, strukturna financijska izvješća te pokazatelji analize financijskih izvješća temelj su zaključivanja vezanog uz poslovanje klijenta. Osim do sad navedenih metoda koje se koriste pri provođenju revizije, prisutni su i analitički postupci. Postupci su regulirani Međunarodnim revizijskim standardom 520 Analitički postupci.spomenute postupke revizor treba primijeniti u fazi planiranja revizije i u fazi sveobuhvatnog pregleda. Osim navedenih, moguće je analitičke postupke primijeniti i u drugim fazama revizije. Prema MrevS-u, obilježje i svrha analitičkih postupaka su: 11 Analitički postupci uključuju razmatranje usporedbi financijskih informacija poslovnog subjekta sa primjerice: o usporedivim informacijamaiz prethodnih razdoblja; o očekivanim rezultatima poslovnog subjekta, primjerice s planovima ili predviđanjima, očekivanjima revizora, kao što je procjena amortizacije; o sličnim informacijama iz djelatnosti, primjerice usporedba odnosa prodaje i potraživanja od kupaca promatranog poslovnog subjekta i prosjeka djelatnosti ili drugih usporedivih veličina između subjekata unutar djelatnosti. Analitički postupci također uključuju proučavanje međuzavisnosti: o dijelova financijskih informacija koji se mogu očekivati s predviđenim modelom koji se temelji na iskustvu poslovnog subjekta, primjerice proučavanju postotka bruto profita. o financijskih informacija i mjerodavnih nefinancijskih informacija, primjerice proučavanje troškova plaća u odnosu prema broju zaposlenih. Pri izvedbi navedenih postupaka mogu se primjenjivati različite metode: od jednostavnih usporedbi pa sve do složene s naprednim statističkim tehnikama. Analitički postupci mogu se primijeniti na konsolidirane financijske izvještaje, na financijske izvještaje po dijelovima (primjerice podružnica, sektora ili odjela) te na pojedinačne dijelove financijskih informacija. Izbor postupaka, metoda i razine primjene ovisit će o revizorovoj prosudbi. Analitički postupci mogu se provoditi u sljedeće svrhe: 11 NN 28/07 (Dostupno na: ( )) 11

15 o kao pomoć revizoru pri planiranju vrsta, vremenskog rasporeda i opsega ostalih revizijskih postupaka; o kao dokazni postupak kada u smanjivanju rizika neotkrivanja za određene tvrdnje u financijskim izvještajima može biti mnogo uspješniji ili učinkovitiji od testova detalja; i o kao sveobuhvatan konačan pregled financijskih izvještaja u završnoj fazi revizije. U analitičke metode, koje revizor može koristiti u postupku revizije financijskih izvješća su: korištenje omjera (analiza omjera), korištenje postotnih bilanci (strukturna izvješća), analiza vremenskog niza, analiza trenda, Altmanov sustav pokazatelja (Zeta model ili Z-obrazac), regresijska analiza te financijsko modeliranje. 12 Slijedećim poglavljima spomenut će se i definirati navedene metode, dok će u poglavlju 5. detaljno biti objašnjene tri statističke metode analiza trenda, korelacija i regresijska analiza Korištenje omjera Zbog lagane razumljivosti i uporabe, ova je tehnika najšire korištena. Automatsko računanje pokazatelja moguće je uz pomoć računalnih programa, a tako izračunati pokazatelji radna su dokumentacija revizora. Ono što je bitno naglasiti jest potrebno iskustvo i znanje revizora u tumačenju dobivenih pokazatelja, osobito u slučajevima kada isti koristi pokazatelje kao revizijski dokaz. Znanje i iskustvo potrebni su kako ne bi došlo do krivog tumačenja pokazatelja te se time ugrozila reputacija, ali i zakonski teretilo revizora za krivo iznesene rezultate Strukturna izvješća Drugim riječima, korištenje postotnih bilanci očituje se u iskazivanju udjela pojedinih stavki bilance u ukupnoj vrijednosti aktive, izraženih u postotcima. Vrijednost bilančnih pozicija tako se iskazuje kao postotno povećanje/smanjenje u odnosu na promatranu vrijednost. Primjerice, neka je godina bazna, a u indeks vrijednosti zaliha iznosi 103. To znači da je, u odnosu na godinu, u zabilježeno postotno povećanje vrijednosti zaliha u iznosu od 3%. U slučaju vrijednosti indeksa zaliha u tekućoj (2013.) godini u iznosu od 91, podatak bi se tumačio kao postotno smanjenje vrijednosti zaliha za 9% u odnosu na baznu godinu (2012.). Ovom se metodom mogu uočiti razlike nastale kod financijskih izvješća. Međutim, istom je omogućen samo relativni uvid u nastale razlike. 12 Vitezić, N., Analitički postupci u reviziji, RriF, br. 9/94.,Zagreb, 1994., str

16 Analiza vremenskog niza Modeli, koji se koriste vremenskim nizom pripadaju u složeniju vrstu analize i zasnivaju se na uporabi više varijabli. Naprimjer, modelom se može predvidjeti buduća prodaja, koja je funkcija prodaje na temelju podataka prijašnjih razdoblja, koja se javljaju kao faktor korekcije. U računalo se unose podatci, koji najbolje objašnjavaju rast u prijašnjim godinama te se na temelju njih predviđaju određene veličine za tekuću godinu putem jednadžbi, koja najbolje opisuju kretanje vremenskog niza u prošlim godinama. 13 Ovisno o karakteru čimbenika koji djeluju u vremenu na neku pojavu, vremenski niz čine slijedeće komponente: 14 trend ili osnovna tendencija kretanja neke pojave kroz vrijeme, sezonske oscilacije, kad se pojavljuju unutar jedne godine, ciklične komponente te slučajne komponente (rezidualni čimbenik), koje čine slučajni teško predvidivi događaji Analiza trenda U statistici, trend označava karakterističnu i zakonomjernu liniju kretanja pojave u vremenu. To je niz prosječnih i teorijskih točaka i vrijednosti kroz koje bi promatrana pojava prolazila da nije bilo sezonskih ili slučajnih čimbenika, koji su utjecali na njezino kretanje. 15 S obzirom da je naglasak ovog rada upravo na određenim statističkim metodama, a među njima je i trend, detaljnije objašnjenje ove metode uslijedit će u poglavlju Altmanov sustav pokazatelja Ono po čemu se Altmanov sustav pokazatelja razlikuje od ostalih metoda je korištenje malog broja pokazatelja pri izračunavanju uspješnosti poslovnog subjekta. Točnije, radi se o 5 pokazatelja koji su označeni redoslijedom od x1 do x5. Spomenuti pokazatelji na temelju pondera određuju stupanj ukupne uspješnosti poslovanja poslovnog subjekta te predviđaju stanje poslovanja istog u budućnosti. Ponderi iznose 1,2; 1,4; 3,3; 0,6 i 1,0 respektivno i predstavljaju konstantu veličinu koja utječe na varijable odnosno pokazatelje prikazane prethodno navedenim znakovljem (x1...x5). Rezultat, tj., Z vrijednost predstavlja zbroj 13 Popović, Ž., Vitezić, N., Revizija i analiza instrumenti donošenja poslovnih odluka, HZFRD, 2000., str Crnković, L.; Mijoč, I.; Mahaček, D.: Osnove revizije, Ekonomski fakultet u Osijeku, Osijek, 2010., str Ibidem 13

17 umnožaka pondera i varijabli dobivenih izračunom definiranih omjera. Varijable x1 do x5 izračunavaju se slijedećim omjerima: 16 ; ; ; (4.1.) (4.2.) (4.3.) ; (4.4.). (4.5.) Osim pokazatelja, bitno je poznavati i referentne vrijednosti unutar koji se kreće krajnji rezultat odnosno Z vrijednost. Na temelju određivanja kojoj skupini dobivena Z vrijednost pripada, zaključuje se kako poslovni subjekt posluje te je moguće odrediti smjer kretanja budućeg poslovanja istog. Referentni intervali kreću se unutar domene [1,3], a skupine unutar intervala su slijedeće: Z>1 subjekt bilježi znantne financijske poteškoće i vrlo vjerojatno će morati proglasiti bankrot i pokrenuti stečajni postupak, 1<Z<3 subjekt se nalazi u sivoj zoni odnosno na granici stečaja te Z>3 subjekt je stabilan i nema opasnosti od bankrota(stečaja) Regresijska analiza Regresijska analiza podrazumijeva korištenje dvije varijable, a kojima se izražava odnos između dviju pojava. Zavisnom varijablom, tzv. Y, predstavljene su vrijednosti pojave čije se varijacije objašnjavaju samim modelom regresijske analize, dok je nezavisna varijabla označena s X. X predstavljaju stvarne vrijednosti pojave, a opći model jednostavne regresije prikazan je slijedećim izrazom: (4.6.) 16 Šarlija, N., nastavni materijali kolegija Kreditna analiza, str (Dostupno na: ( )) 14

18 Regresijsku analizu možemo razlikovati kao lineranu i multiplu (oblici regresijske analize), ovisno o broju korištenih varijabli. Ipak, regresijska analiza metoda je kojoj se u ovom radu pridaje veći značaj te će iz tog razloga biti detaljnije definirana u odlomcima koji slijede Financijsko modeliranje Ova se metoda najčešće koristi u svrhu prognoziranja budućih kretanja financijskih veličina. Pretpostavka za korištenje ovog modela je poznavanje matematičko-statističkih tehnika i veličina. Model uključuje sveobuhvatan i cjelovit niz odnosa između različitih podataka iskazanih po pojedinim pozicijama u financijskim izvješćima. Financijsko modeliranje može biti vrlo jako sredstvo revizijskog potvrđivanja kod procjene evidentiranih iznosa u raznim obračunima Metoda uzročnog povezivanja (korelacija) Korelacijska analiza, kako se još naziva metoda uzročnog povezivanja, istražuje stupanj povezanosti između dviju varijabla. Istom se mjeri smjer i snaga linearne povezanosti dviju varijabla. Korelacijska analiza također se ubraja u osnovu ovog rada, a njezino detaljno objašnjenje prikazat će se u poglavlju Popović, Ž., Vitezić, N., Revizija i analiza instrumenti donošenja poslovnih odluka, HZFRD, 2000., str

19 5. Trend, korelacija i regresija Kao što je u prethodnom dijelu rada spomenuto, statističke metode imaju važnu ulogu u poslovanju i gospodarstvu. Statistički podaci o gospodarskim kretanjima, statistički pokazatelji i modeli omogućuju praćenje gospodarskih kretanja, provođenje gospodarske politike, poslovno odlučivanje i predviđanje. Neke od osnovnih metoda su analiza trenda, korelacija i regresija. Vremenskim modelima, odnosno trendom, opisuje se razvoj pojave u vremenu. Vremenski modeli se analiziraju na temelju vremenskih serija te se zadaća statističke analize modela sastoji u njegovom oblikovanju i utvrđivanju statističko-analitičkih veličina. Korelacija omogućuje utvrđivanje povezanosti promatranih varijabli, te objašnjava povezanost između pojednih varijabli što omogućuje preciznije predviđanje ponašanja varijabli. Korealcija je ujedno i polazišna osnovica za složenije statističke elaboracije. Regresijski model predstavlja algebarski model kojim je izražen odnos između pojava te se često primjenjuje za potrebe predviđanja. Primjenjuje se u mnogim stručnim i znanstvenim područjima te je, kao i svaki model, pojednostavljena slika stvarnih pojava. Navedene metode će u ovome dijelu rada biti teorijski obrađene te prikazane primjerima Trend Za potrebe prognoziranja budućih kretanja određene pojave upotrebljava se analiza podataka prijašnjih vremenskih razdoblja. Prognoziranje budućih kretanja može biti kratkoročno, dugoročno i srednjoročno. Kratkoročne prognoze su prognoze za vremensko razdoblje od jedne godine, srednjoročne dvije do pet godina, dok se dugoročne prognoze odnose na vremenska razdoblja duža od pet godina. Skup kronološki utvrđenih vrijednosti varijable koja predočuje neku pojavu ili statistički proces u vremenu je vremenski niz. 18 Statistička analiza vremenskih nizova mora opisati razvoj promatrane pojave u određenom vremenskom razdoblju, objasniti varijacije pojave koristeći druge pojave, predvidjeti, ali i kontrolirati dinamične procese, testirati pretpostavke određenih gospodarskih teorija, kvantitativno ispitivanje gospodarskih ciklusa, strukturnih promjena i dr. Na temelju vremenskih serija u sklopu deskriptivne i inferencijalne statistike analiziraju se modeli, odnosno analitički izrazi pomoću kojih se opisuje razvoj pojava u vremenu. Ovisno o statističko teoretskim obilježjima modele vremenskih serija moguće je podijeliti na modele u vremenskoj domeni i modele u domeni frekvencija. Zadaće statističke analize sastoji se u 18 Šošić, I., Primijenjena statistika, Školska knjiga, Zagreb, 2006, str

20 njegovom oblikovanju te utvrđivanju statističko-analitičkih veličina kakvoće sukladno spomenutim ciljevima (deskripcija proteklog razdoblja pojave u vremenu, predviđanje, ispitivanje strukture promjena i dr.). 19 Pojave čije se kretanje iskazuje u obliku vremenskog niza, odnosno trenda sastoje se od nekoliko komponenti koje se u određenim slučajevima mogu odmah uočiti ( grafički prikaz), dok je ponekad za utvrđivanje i analiziranje komponenti potrebna složenija statistička analiza. Analizom vremenskih nizova potrebno je istražiti utjecaj pojedinih komponenti vremenskog niza te utvrditi veličinu utjecaja svake komponente Komponente vremenskog niza Ovisno o karakteru čimbenika koji djeluju u vremenu na neku pojavu, vremenski niz se sastoji od sljedećih komponenti: 20 Trend komponenta, Sezonska komponenta, Ciklička komponenta, Slučajna komponenta. Nije nužno da svaki vremenski niz sadrži sve navedene komponente. Ponekad se zbog složenosti vremenskog niza ne mogu strogo razlučiti pojedine komponente, prvenstveno iz razloga da pojedine komponente mogu prigušiti druge. Vremenski niz se može prikazati aditivnim modelom: (5.1.) gdje je: Y T S C e vremenski niz - trend komponenta - sezonska komponenta - ciklička komponenta - slučajna komponenta 19 Ibidem, Horvat, J., Mijoč, J., Osnove statistike, Naklada Ljevak d.o.o., Zagreb, 2012., str

21 U modelima vremenskih nizova često dolazi do nerazdvajanja trend i cikličke komponente te se vremenski niz moguće zapisati i na sljedeći način: (5.2.) Ovdje se pretpostavlja da je djelovanje svih komponenti na vremenski niz aditivno, tj. njihovo djelovanje na pojavu u apsolutnom iznosu je isto bez obzira na tijek vremena. Multiplikativni model vremenskog niza zapisuje se kao umnožak komponenti vremenskog niza: (5.3.) U logaritamskom obliku izraz vremenskog niza je sljedećeg oblika: (5.4.) Trend komponenta U statistici trend znači dugoročnu, kratkoročnu i zakonomjernu liniju kretanja pojave u vremenu. Trend predstavlja niz prosječnih, teoretskih točaka i vrijednosti kroz koje bi promatrana pojava prolazila da nije bilo sezonskih ili slučajnih čimbenika koji su utjecali na njezino kretanje. (...) Trend se katkad zove i dinamička srednja vrijednost jer izražava prosječno stanje pojave u promatranom razdoblju. (...) Važna karakteristika trenda je mogućnost predviđanja budućih kretanja pojave. 21 Trend komponentom se pretpostavlja određenost kretanje pojave: tendencija rasta ili pada u određenom razdoblju. Takvo kretanje se izražava modelima trenda koji, ovisno o tendenciji kretanja vremenskog niza, mogu biti padajući ili rastući; linearni ili nelinearni. Ponekad u praksi, potrebno je ukloniti trend komponentu kako bi se mogao primijeniti određeni model trenda. Trend komponenta se može ukloniti pomoću diferencija serije, vrijednosti logaritama, ali i ostalim prikladno transformiranih vrijednosti serije Sezonska komponenta Sezonska komponenta vremenskog niza predstavlja sistematsko kretanje pojave koja se ponavlja istovremeno tijekom određenog vremenskog razdoblja, odnosno jedne godine te se ponavlja u svakoj narednoj godini. Razloge u pojavi sezonske komponente moguće je pronaći u: Horvat, J., Mijoč, J., Osnove statistike, Naklada Ljevak d.o.o., Zagreb, 2012., str Ibidem, str

22 Promjenama potrošačkih potreba i navika unutar jedne kalendarske godine, Odlikama poslovne djelatnosti, Utjecaju prirodnih čimbenika tijekom jedne godine, Početku i kraju školske/ akademske godine, Socijalnom, kulturnom i vjerskom ponašanju ( npr. Božićno vrijeme, Valentinovo i sl.) Sezonska komponenta može biti prisutna kod vremenskih nizova kod kojih su frekvencije pojava mjesečne ili kvartalne; pojave sezonskog karaktera koje se ponavljaju svake godine (npr. broj turista na godišnjem odmoru) Ciklička komponenta Ciklička komponenta označava periodične promjene oko kretanja vrijednosti pojave duže od jedne godine. Riječ je o dugoročnim promjenama koje se sustavno ponavljaju. Najčešće se prikazuje sinusoidnom krivuljom koja prikazuje izmjenična razdoblja kontrakcije i ekspanzije. Ponekad ciklusi kretanja pojave nisu jasno izraženi, već su prigušeni trend komponentom odnosno dugoročnom tendencijom kretanja. Po nekim autorima trend komponenta je ciklička komponenta vremenske serije s veoma dugim periodom obnavljanja. 23 Iako se redovne fluktuacije vremenskog niza izražavaju cikličkim i sezonskim komponentama, postoje razlike u trajanju i učestalosti smjenjivanja. Sezonska komponenta se odnosi na razdoblje od jedne godine, dok ciklička ima trajanje koje ovisi od ciklusa do ciklusa, odnosi se na dulje vremensko razdoblje i pojavljuje se u nepravilnim intervalima. U praksi se javlja problem praćenja cikličke komponente zbog neraspolaganja dovoljno dugim vremenskim serijama. Cikličke komponente moguće je pratiti u prirodi poslovnih ciklusa koje se sastoje od ulazne faze, odnosno faze ekspanzije i silazne faze, faze recesije Slučajna (rezidualna) komponenta Slučajna, odnosno rezidualna, komponenta predstavlja sve ostale utjecaje na vrijednost promatrane pojave nakon uklanjanja trenda, sezonske i cikličke komponente. Promatrana komponenta nije sistematizirana, ne može se unaprijed predvidjeti bez pogreške te se pojavljuje s nepredvidivim djelovanje u nekom vremenskom razdoblju. Uzroci pojave slučajne komponente su slučajne i nepredvidljive varijacije promatrane pojave koje se 23 Biljan-August, M.;Pivac, S.; Štambuk, A.: Uporaba statistike u ekonomiji, 2. Izdanje, Ekonomski fakultet Sveučilišta u Rijeci, Rijeka, 2009., str

23 pojavljuju zbog prirode poslovnih i gospodarskih pojava, iznenadnih vremenskih nepogoda i slično. Ova komponenta sličnija je opisnoj slučajnoj pogrešci koja se pojavljuje u regresijskom modelu Modeli trenda Modelima trenda statistički se opisuje dugoročna kovarijacija pojave s vremenom. 24 Uz pretpostavku da vremenska serija ne sadrži periodične komponente, model trenda možemo zapisati na dva načina: ( aditivni model) (5.5.) ( multiplikativni model). (5.6.) gdje je: Y - pojava predočena vremenskom serijom, T komponenta trenda E, - nepoznata slučajna odstupanja od trenda s obilježjima slučajnih varijabli. Ovisno o promjenama parametara u modelu trenda, razlikuje se globalni ( deterministički) i lokalni model trenda. Globalni model trenda karakterizira postojanost parametara u modelu, dok je lokalnom modelu trenda svojstvena promjenjivost parametara. Razlikuju se sljedeći modeli trendova: Trend polinomi k-tog stupnja 2. Eksponencijalni trend modeli 3. Hiperbolički trend modeli 4. Asimptotski trend modeli. Izbor modela trenda temelji se na kvalitativnoj analizi, analizi vrijednosti serije i statističkoanalitičkim postupcima koji ovise o pojavi koja se proučava. Kada postoje dvojbe u odabiru modela koje mogu nastati kao posljedica strukturnih promjena razvoja neke pojave moguće je upotrijebiti specifične modele, odnosno postupke. Statistička analiza modela trenda provodi se metodama regresijske analize pri čemu se analizi pristupa sa stajališta deskriptivne ili inferencijalne statistike. (...) Numerička analiza trenda obuhvaća procjenu nepoznatih parametara, određivanje pokazatelja reprezentativnosti i 24 Šošić, I., Primijenjena statistika, Školska knjiga, Zagreb, 2006, str Oblici trend modela se nalaze u Prilogu. 20

24 ispitivanje kakvoće modela. Pretpostavimo li da će trend biti postojan i u prognostičkom horizontu, model s procijenjenim parametrima može se iskoristiti u prognostičke svrhe. 26 U praksi je relativno česta upotreba linarnog trenda, eksponencijalnog trenda i određenih asimptotskih modela. Autori rada su tijekom izrade rada pažnju usmjerili na model linearnog trenda te će isti u biti detaljno obrađen u nastavku Model linearnog trenda Model linearnog trenda objašnjava linearno kretanje (pozitivno ili negativno) vrijednosti promatranog vremenskog niza kroz vrijeme. Osim prikaza linearnog kretanja pojave vremenskog niza na temelju ocijenjenog modela može se vršiti predviđanje vrijednosti pojave za neka buduća razdoblja. 27 U teoriji, mogućnost korištenja metode trenda postoji uvijek kada postoji vremenski niz, no u praksi, za primjenu linearnog trenda najpogodniji su dugoročni vremenski nizovi s jednogodišnjim vremenskim razdobljima. Također, ako se trend izračunava na temelju malog broja podataka, treba postojati rezerva kod interpretacije istoga. Model linearnog trenda se zapisuje u općenitom obliku: (5.7.) gdje je: Y vrijednost vremenskog niza; ovisna varijabla, X vrijeme ( ishodišnom razdoblju se dodjeljuje vrijednost 0. Ako 0 nije prva u nizu, prethodna razdoblja imaju vrijednosti: -1, -2, -3...) ; neovisna varijabla, e slučajna komponenta koja pokazuje da oko linije konkretnog linearnog trend modela postoje pozitivna i/ili negativna odstupanja od originalnih vrijednosti. Ocijenjeni linearni trend model se zapisuje kao: (5.8.) 26 Šošić, I., Primijenjena statistika, Školska knjiga, Zagreb, 2006, str Biljan-August, M.;Pivac, S.; Štambuk, A.: Uporaba statistike u ekonomiji, 2. Izdanje, Ekonomski fakultet Sveučilišta u Rijeci, Rijeka, 2009., str

25 Parametri se ocjenjuju tako da pravac prolazi između realnih točaka vremenskog niza te da najbolje tumače vezu između njih, odnosno pravac mora biti takav da odstupanja e budu najmanja. Za utvrđivanje trenda se koriste parametrijske i neparametrijske metode. Parametrijske metode za opisivanje trenda koriste jednadžbe, dok neparametrijske za rezultat nemanju matematičku jednadžbu trenda. pamametrijska metoda koja se najčešće koristi za ocjenu linarnog trenda je metoda najmanjih kvadrata Metoda najmanjih kvadrata Metoda koja se najčešće koristi za ocjenu parametara je metoda najmanjih kvadrata kojom se izračunava jednadžba linije trenda. Prednost ove metode je to što omogućuje interpretaciju izračunate jednadžbe trenda, dok je osnovni nedostatak taj što se promatrana pojava kreće određenim pravcem, odnosno linijom. Odstupanja originalnih vrijednosti od ocijenjenih mogu biti pozitivna i negativna. Kako ne bi došlo do međusobnog poništavanja pozitivnih i negativnih vrijednosti, metoda minimalizira sumu kvadrata od. Zbroj odstupanja originalnih vrijednosti vremenskog niza i podataka trenda bit će jednak nuli, a zbroj kvadrata odstupanja jednak minimumu. Navedena tvrdnja se može zapisati na kao: (5.9.) gdje su: y - originalni podaci vremenskog niza - trend podaci. Metodom najmanjih kvadrata izračunava se jednadžba linije trenda te ako se pogleda prethodno napisan izraz, odnosno postavljeni uvjet može se pretpostaviti da vrijedi sljedeće: (5.10.) Procjena parametara U jednadžbi linearnog trenda 22

26 varijabla X predstavlja neovisnu varijablu, dok je varijabla Y ovisna varijabla koja ovisi o promjeni vremena (X). označavaju parametre jednadžbe linearnog trenda koji se izračunavaju dvjema jednadžbama s svije nepoznanice. Taj sustav uvijek ima rješenje i njegov izraz je sljedeći: gdje su: (5.11.) (5.12.) (5.13.) (5.14.) jednostavne aritmetičke sredine varijabli X i Y. Konstantni član predstavlja očekivanu vrijednost vremenskog niza u ishodišnom razdoblju, odnosno kada je vrijednost varijable X 0, tj.. Koeficijent pokazuje prosječnu promjenu zavisne varijable kada nezavisna poraste za jedinicu vremena. Naziva se i koeficijent smjera linije trenda jer određuje smjer i nagib linije trenda. Konačno ocijenjeni model osim vrijednosti procijenjenih parametara mora sadržavati opis ishodišta i varijable x i y: ishodište: jedinica za x: jedinica za y: Prethodno opisana jednadžba trenda, radi preglednosti i uspješnog tumačenja, uokviruje se linijama kvadrata. Ishodište se kod intervalnih nizova veže uz sredinu prvoga promatranog razdoblja, a kod trenutačnih vremenskih nizova uz kritičan trenutak prvog promatranog razdoblja. Jedinica za x određuje jedinično razdoblje prikupljanja podataka. Jedinica za y određuje jediničnu veličinu prikupljanja podataka zavisne varijable y Horvat, J., Mijoč, J., Osnove statistike, Naklada Ljevak d.o.o., Zagreb, 2012., str

27 Reprezentativnost modela linearnog trenda Nakon procjene parametara modela trenda. potrebno je utvrditi reprezentativnost, točnije objašnjava li model kretanje ovisne varijable vremenskog niza Y kroz vrijeme X. Reprezentativnost modela trenda prosuđuje se apsolutnim i relativnim pokazateljima, odnosno korištenjem varijance, standardne devijacije i koeficijenta varijacije. Vrijedi da je: (5.15.) (5.16.) (5.17.) gdje je: SP - suma kvadrata protumačenog dijela, odstupanja vrijednosti varijable vremenskog niza Y od aritmetičke sredine, odnosno suma kvadrata odstupanja ocijenjenih vrijednosti varijable Y od aritmetičke sredine SR - suma kvadrata ne protumačenog dijela, odstupanja vrijednosti varijable Y od aritmetičke sredine, odnosno suma kvadrata odstupanja originalnih ili emprijskih vrijednosti varijable Y od ocijenjenih vrijednosti ( slučajna pogrješka et) ST - suma kvadrata ukupnih odstupanja vrijednosti varijable vremenskog niza Y od aritmetičke sredine Iz do sada navedenog proizlazi da je: (5.18.) što je izraz za jednadžbu analize varijance i ujedno i temelj analize reprezentativnosti trend modela. Apsolutni pokazatelj reprezentativnosti linearnog trend modela je standardna pogrješka trend modela, odnosno standardna devijacija trenda koja iskazuje prosječni stupanj varijacije stvarnih vrijednosti ovisne varijable u odnosu na očekivane trend vrijednosti: 24

28 (5.19.) Navedeni pokazatelj se izražava u originalnim jedinicama mjere varijable vremenskog niza Y te je na temelju istoga teško uspoređivati reprezentativnost modela s različitim mjernim jedinicama. Zbog toga se koristi relativni pokazatelj koeficijent varijacije trend modela koji iskazuje postotak standardne pogrješke trenda od aritmetičke sredine varijable Y: (5.20.) Reprezentativnost modela je veća što je vrijednost koeficijenta varijacije bliže 0.Na temelju analize varijance se izračunava koeficijent determinacije. Koeficijent determinacije je omjer sume kvadrata odstupanja protumačenih trend modelom i sume kvadrata ukupnih odstupanja. (...) Koeficijent determinacije pokazuje koliko % je sume kvadrata odstupanja vrijednosti varijable Y od aritmetičke sredine protumačeno trend modelom. 29 Trend model je reprezentativniji što je ovaj pokazatelj bliži 1. Koeficijent determinacije se izračunava na sljedeći način: (5.21.) Reprezentativnost modela trenda je veća u slučajevima kada postoje male razlike između originalnih vrijednosti vremenskog niza i trend vrijednosti Ekstrapolacija trenda Trend vrijednosti koje se dobiju izračunom predstavljaju novi vremenski niz koji se promatraju kao teorijski podaci promatrane pojave. Na temelju tih, izračunom dobivenih, podataka predviđa se kretanje promatrane pojave te se to naziva ekstrapolacija trenda. Ekstrapolacijom trenda moguće je predvijdjeti kretanja pojave u budućnosti, ali i u prošlosti, ali s pretpostavkom da svi čimbenici koji utjeću na kretanje pojave se razvijaju u istom smjeru i približno istim intenzitetom. Ekstrapolaciju trenda se izračunava tako da se u jednandžbu linearnog trenda umjesto koeficijenta X koji označava vremensko razdoblje uvrsti vrijednost za koju se želi izračunati neka buduća ili prošla vrijednost. 29 Biljan-August, M.;Pivac, S.; Štambuk, A.: Uporaba statistike u ekonomiji, 2. Izdanje, Ekonomski fakultet Sveučilišta u Rijeci, Rijeka, 2009., str

29 Primjer izračuna trenda Zadatak je ocijeniti model linearnog trenda s ishodištem na početku vremenskog razdoblja i njegovu reprezentativnost te izračunati trend vrijednosti. Tablica 2.: Ocjena modela linearnog trenda Broj proizvedenih Varijabla Godina proizvoda ( ) vrijeme ( ) Xt Yt xt 2 yt 2 Trend vrijednosti , , , , , , , , , ,600 UKUPNO: Izvor 4.: Izrada autora Ocijenjeni model linearnog trenda glasi: 1299,5+19,58X X = 0, 2000 godina Jedinica za X je jedna godina. Jedinica za Y je tisuću proizvoda. = 41,13 = 1114,40 30 Trend vrijednosti su izračunate ocijenjenom jednadžbom linearnog trenda. 26

30 = 4,5 = 1299,5 Koeficijent pokazuje da se broj proizvedenih proizvoda, u analiziranom razdoblju, povećavao prosječno godišnje za proizvoda. Reprezentativnost ocijenjenog modela linearnog trenda se temelji na rezidualnim odstupanjima. Varijanca trenda je: = 4238,25 Standardna devijacija trenda iznosi: = 65,10 Koeficijent varijacije trenda iznosi: = 5,010 % Koeficijent varijacije trenda pokazuje da postotak standardne devijacije trenda od aritmetičke sredine varijable Y iznosi = 5,010 % (manji je od 10%) i ukazuje na dobru reprezentativnost ocijenjenog linearnog trend modela. Na temelju procjenjenih parametara i jednadžbe trenda moguće je ucrtati liniju trenda što je i prikazano sljedećim grafikonom. 27

31 Grafikon 3.: Linija trenda Izvor 5.: Izrada autora Pomični prosjeci Pilikom utvrđivanja trenda koriste se parametrijske i neparametrijske metode. Jedna od neparametrijskih metoda je i metoda pomičnih prosjeka. Pomični prosjeci su aritmetičke sredine M uzastopnih vrijednosti članova vremenskog niza (M<n). Niz pomičnih prosjeka čini izvedeni niz koji ima manji stupanj varijabilnosti u usporedbi sa izvedenim nizom. Stoga se pomičnim prosjecima izglađuju vremenska serija. Pomični prosjek može se shvatiti i kao lokalni model trenda, a vrijednost kao vrijednost trenda. 31 Prilikom izračuna pomičnih prosjeka potrebni su pomični totali te se izračunavaju pomoću sljedećeg izraza: (5.22.) gdje je: - pomični prosjek, - originalna vrijednost vremenskog niza, t - promatrano razdoblje za koje se računa vremenski prosjek, 31 Šošić, I., Primijenjena statistika, Školska knjiga, Zagreb, 2006, str

32 n - broj članova vremenskog niza. Nakon izračuna, dobivene aritmetičke sredine se centriraju u sredinu razdoblja za koje su računate. Metoda pomičnih prosjeka je jednostavna za izračunavanje, ali osnovni nedostatak je što ne postoje podaci o trendu promatrane pojave u početnim i završnim vremenskim razdobljima, kao ni aritmetičke sredine na krajnje vrijednosti Primjer izračuna pomičnih prosjeka Na temelju podataka o proizvedenim proizvodima potrebno je kreirati niz petogodišnjih pomičnih prosjeka te grafički prikazati niz. Tablica 3.: Petogodišnji niz pomičnih prosjeka proizvedenih proizvoda Godina Broj proizvedenih Petogodišnji pomični Petogodišnji pomični proizvoda totali prosjeci , , , , , , Izvor 6.: Izrada autora Postupak izračunavanja petogodišnjeg pomičnog prosjeka za godinu: = 1207,4 Nakon izračuna petogodišnjih pomičnih prosjeka, dobivene vrijednosti je moguće prikazati koristeći linijski grafikon. Grafikon 4. prikazuje liniju petogodišnjih pomičnih prosjeka i liniju originalnih podataka. Linija petogodišnjih pomičnih prosjeka je kraća iz razloga što je nemoguće izračunati vrijednosti za dvije početne, kao i dvije zaključne godine vremenskog niza. 29

33 Grafikon 4.: Linija petogodišnjih pomičnih prosjeka i linija originalnih podataka Izvor 7.: Izrada autora Metoda analize sezonskih pojava Sezonske pojave su pojave koje se na isti ili približno isti način pojavljuju svake godine u određenom periodu. Sezonske pojave imaju određeni utjecaj na promatranu pojavu te utječu na trend razvoja kretanja promatrane pojave zbog čega je javlja potreba kvantificiranja odstupanja izazvanih sezonskom oscilacijom. Numerička analiza modela je dekompozicija vremenske serije na već spominjanog aditivnog, multiplikativnog modela vremenskog niza. 32 Za ocjenu prigodnosti upotrebe analize sezonskih utjecaja na trend određene pojave najčešće se upotrebljavaju linijski i površinski grafikoni koji olakšavaju uočavanje sezonskih kretanja i njihov intenzitet. Postoji više metoda analize sezonskih pojava te je njihvoa svrha izmjeriti sezonski utjecaj i veličinu drugih prisutnih komponenti te analitički prikazati razvoji istih. U nastavku će biti prikazana relativno jednostavna metoda, metoda odnosa prema pomičnim prosjecima. Postupak desoziniranja vremenskog niza koristeći metodu odnosa prema pomičinim prosjecima se provodi sljedećm koracima: 33 Korak 1: utvrđivanje sezonskog karaktera pojave, 32 Izraz:. 33 Horvat, J., Mijoč, J., Osnove statistike, Naklada Ljevak d.o.o., Zagreb, 2012., str

34 Korak 2: izračunavanje pomičnih prosjeka (trend vrijednosti), Korak 3: izračunavanje sezonskog i rezidualnog indeksa, Korak 4: izračunavanje sezonskog indeksa, Korak 5: desezoniranje vremenskog niza. U nastavku će autori na primjeru objasniti proces desezoniziranja vremenskog niza po navedenim koracima Primjer provedbe postupka desezonizacije Na temelju vremenskoga niza o broju zaposlenika Poduzeća XY potrebno je provesti postupak desezonizacije. 31

35 Tablica 4.: Postupak desezonizacije broja zaposlenika Podueća XY Godina Izvor 8.: Izrada autora Kvartal Broj zaposlenih u Pomični Prve procjene sezonskih Sezonski Desezonirani Rezidualni poduzeću XY prosjeci M=4 faktora faktor vremenski niz faktor I. 128 * * 0, ,02510 * II. 220 * * 1, ,74432 * III ,25 1, , , , IV ,25 1, , , , I ,625 0, , , , II ,75 1, , , , III ,75 2, , , , IV , , , , I ,625 0, , , , II , , , , III ,75 2, , , , IV ,875 1, , , , I ,25 0, , , , II ,625 1, , , , III , , , , IV ,125 1, , , , I ,75 0, , , , II ,5 1, , , III. 230 * * 1, ,26064 * IV. 115 * * 0, ,06558 * 32

36 Formula za izračun četverogodišnjih pomičnih prosjeka glasi: Prve procjene sezonskih faktora se izračunavaju kao omjer vrijednosti vremenskog niza i pomičnih prosjeka. Kako procjene sezonskih fakotra variraju treba izračunati prosjek za iste kvartale. Tablica 5.: Sezonski prosjeci Prve procjene sezonskih faktora Godina I. Kvartal II. Kvartal III.kvartal IV.kvartal * * 1, , , , , , , , , , , , , , ,5 * * Sezonski posjek 0, , , , Sezonski faktori 0, , , , Sezonski indeks 59, , , , Izvor 9.: Izrada autora U Tablici 5. su izračunati sezonski prosjeci kao aritmetička sredina prvih procjena sezonskih fakora. Nakon toga, sezonski prosjeci su korigirani pomoću korektivnog faktora koji se izračunava tako da se u omjer stavi broj mjeseci u kvartalu, odnosno 4, i ukupan zbroj sezonskih prosjeka. 4/ 5, = 0, Nakon izračuna koretkivnog faktora, sezonski prosjek se množi sa korektivnim faktorom te nakon toga sa 100. Na taj način se izračunava sezonski indeks. Primjerice, sezonski indeks za III. kvartal iznosi 151,06 te se može zaključiti da je zaposlenost u III. kvartalu svake godine viša za 51,06% zbog sezonskih utjecaja. Desezonizacija vremenskog niza se provodi stavljanjem u omjer vrijednosti vremenskog niza i sezonskih faktora. Rezidualni faktor izračunava se dijeljenjem desezoniranih vrijednosti sa pomičnim prosjecima. 33

37 Grafikon 5.: Desezonirani vremenski niz Izvor 10.: Izrada autora 5.2. Korelacija Kako je već spomenuto u poglavlju , korelacijska analiza utvrđuje i opisuje smjer i snagu linearne povezanosti dviju varijabla. Koristi se kod donošenja odgovora na pitanja slična sljedećima: 34 Postoji li povezanost iznosa sredstava uloženih u promociju nekog proizvoda i njegove prodaje? Postoji li povezanost potrošnje mlijeka i broja djece u domaćinstvu? Koeficijent korelacije ujedno je i najčešće korištena mjera kojom se opisuje povezanost varijabla. Ipak, treba naglasiti kako nije moguće isključivo na osnovi spomenutog koeficijenta iznositi zaključke o uzročno-posljedičnoj vezi između promatranih varijabli Vrste varijabla Korelacijskom analizom analiziraju se zavisne (Y) i nezavisne (X) varijable. Zavisna je varijabla predmet istraživanja znanstvenika/istraživača, dok se nezavisnom objašnjavaju promjene zavisne varijable. U nezavisnoj se varijabli nalaze empirijske vrijednosti, a istraživač ju može kontrolirati i manipulirati njome. Odluka o tome koja je varijabla zavisna, a koja nezavisna nije jednostavna. Ponekad, ipak, istraživač ovisno o postavljenom cilju istraživanja, proizvoljno odlučuje o tome je li pojedina varijabla zavisna ili nezavisna. 34 Horvat, J., Mijoč, J., Osnove statistike, Naklada Ljevak d.o.o., Zagreb, 2012., str

38 Dijagram rasipanja Kako bi se jednostavno vizualno uočile povezanosti dviju varijabli, prethodno spomenutih, zavisne i nezavisne, koristi se dijagram rasipanja. Poželjno je dijagram konstruirati prije postupaka koji koriste računske operacije, a kojima se izračunava ista povezanost koja se prikazuje dijagramom. Kako bi se grafikon kreirao, potrebno je, prije svega, u prvom kvadrantu koordinatnog sustava definirati dvije varijable, nezavisnu, koja se označava slovom X te zavisnu, koja se označava slovom Y. Nakon označavanja ordinate s Y i apscise s X, granične vrijednosti definiraju se prema najvećim i najmanjim vrijednostima varijabla prikazanim u Tablici 5. Zatim slijedi ucrtavanje vrijednosti varijabla koje čine tzv. oblak točaka, kako je i prikazano Grafikonom 5. Tablica 6.: Mjesečni prihodi zaposlenika poduzeća i njihovi mjesečni izdaci za aktivnosti vezane uz kulturne sadržaje Izvor 11.: Izrada autora Mjesečni prihodi zaposlenika jednog poduzeća Mjesečni izdaci za aktivnosti vezane uz kulturne sadržaje

39 Grafikon 6.: Mjesečni prihodi zaposlenika poduzeća i njihovi mjesečni izdaci za aktivnosti vezane uz kulturne sadržaje dijagram rasipanja Izvor 12.: Izrada autora Dijagram rasipanja prikazan Grafikonom 5. nastao je ucrtavanjem podataka iz Tablice 5. u prvi kvadrant koordinatnog sustava. Točnije, os apscisa bilježi visinu plaće koja je nezavisna varijabla dok se na ordinati (Y) nalaze izdaci svakog pojedinog djelatnika vezani uz kulturne sadržaje na mjesečnoj bazi. Logično za zaključiti, mjesečni izdaci zaposlenika za aktivnosti kulturnih sadržaja ovise o mjesečnim prihodima te su stoga i prikazani zavisnom varijablom (Y). Zamišljena linija koja povezuje sve točke na pravcu bilježi tendenciju porasta što ukazuje na pozitivan odnos varijabli, a što će se detaljnije obraditi u slijedećem poglavlju. Kako je spomenuto na početku ovog poglavlja, nakon grafičkog prikaza dijagrama rasipanja slijedi računski dio vezan uz korelaciju Pearsonov koeficijent korelacije Intenzitet i smjer povezanosti dviju varijabla mjeri se Pearsonovim koeficijentom korelacije. Ovaj se koeficijent primjereno koristi ako je veza između dviju varijabla linearna, a uporaba istog veže se uz varijable koje su iskazane kvantitativno odnosno mjerene na intervalnoj ili omjernoj ljestvici mjerenja. Linearna veza može se uočiti s pomoću dijagrama rasipanja, a predstavlja onu vezu čija se relacija dviju varijabla najbolje reprezentira ravnom linijom. Primjena ovog koeficijenta zahtijeva normalan raspored podataka, tj.simetričnost distribucije 36

40 barem jedne varijable te dovoljno velik uzorak (n 30). 35 Simbol r predstavlja Pearsonov koeficijent korelacije, izračunava se na temelju podataka iz uzorka, a prikazan je slijedećim izrazom: gdje je: (5.23.) r - Pearsonov koeficijent korelacije Ono što treba naglasiti jesu vrijednosti koje koeficijent može poprimiti, a koje se kreću između -1 i 1. Ovisno radi li se o pozitivnom (negativnom) predznaku, predstavlja se smjer veze između dviju promatranih varijabli. S obzirom da predznak govori o smjeru veze, vrijednosti koeficijenta govore o intenzitetu povezanosti pojava. Slikom prikazan je odnos varijabli izražen prema Pearsonovom koeficijentu korelacije. Slika 1.: Smjer povezanosti varijabla te jačina koeficijenta korelacije potpuna povezanost negativna korelacija nema povezanosti potpuna povezanost pozitivna korelacija Izvor 13: Horvat, J., Mijoč, J., Osnove statistike, Naklada Ljevak d.o.o., Zagreb, 2012., str U slučaju kada je dijagramom rasipanja prikazan niz isključivo pozitivnih korelacija koje se mogu predstaviti zamišljenom linijom odnosno pravcem, riječ je o strogo funkcionalnoj vezi. Kako je i vidljivo iz Slike 1. vrijednost koeficijenta koja se kreće između 0 i +1 predstavlja pozitivnu korelaciju varijabla što znači da rast varijable X uzrokuje rast varijable Y odnosno pad varijable X uzrokuje pad varijable Y. Dijagramom rasipanja, to se prikazuje upravo kao rastući pravac. Ipak, u praksi često dolazi do odstupanja, kako pozitivnih tako i negativnih, od zamišljene linije pravca te se takva veza više ne naziva funkcionalna već statistička 37. Ipak, ako je u prosjeku riječ o praćenju porasta jedne varijable porastom druge odnosno pada jedne 35 Horvat, J., Mijoč, J., Osnove statistike, Naklada Ljevak d.o.o., Zagreb, 2012., str Ibidem, str U literaturi je moguće pronaći i naziv stohastička ili slučajna veza. 37

41 varijable padom druge, veza se dalje naziva pozitivnom (Primjer: Grafikon 5.). Moguć je i obrnuti slučaj kada porast jedne varijable može biti uzrokovan padom druge varijable na što upućuje kretanje Pearsonovog koeficijenta između -1 i 0. Takva se veza na dijagramu rasipanja prikazuje nizom točaka koje je moguće prikazati kao sastavne dijelove padajućeg pravca, a koji se, matematički, izražavaju jednadžbom tog pravca. Također, i kod negativne veze razlikuju se negativna funkcionalna i negativna statistička veza koje razlikuju odstupanja od zamišljenog pravca, ali u prosjeku predstavljaju negativnu vezu. Osim navedenoga, valja spomenuti kako se veza između varijabli ne mora uvijek prikazivati jednadžbom pravca. Točnije, moguće je vezu između varijabla prikazati i eksponencijalnom jednadžbom u čijem slučaju također postoje odstupanja pa je tako moguće razlikovati funkcionalnu i statističku vezu. 38 Budući da je intenzitet korelacije prikazan vrijednostima koeficijenta korelacije koji se kreće između -1 i +1, potrebno je istaknuti raspone vrijednosti istog te njihova tumačenja. Tablica 7.: Vrijednosti koeficijenta korelacije i njihova tumačenja r Opis povezanosti -1 potpuna negativna korelacija -1-0,7 snažna negativna korelacija -0,7-0,3 umjerena negativna korelacija -0,3 +0,3 slaba korelacija(ili bez korelacije r=0) +0,3 +0,7 umjerena pozitivna korelacija +0,7 +1 snažna pozitivna korelacija +1 potpuna pozitivna korelacija Izvor 14.: Horvat, J., Mijoč, J., Osnove statistike, Naklada Ljevak d.o.o., Zagreb, 2012., str Ono što je bitno naglasiti vezano uz Pearsonov koeficijent korelacije jest činjenica da isti mjeri samo linearnu povezanost dviju varijabla te da smjer povezanosti determinira predznak koeficijenta. 38 Više o prikazu pozitivne i negativne veze pomoću dijagrama rasipanja te o nemogućnosti definiranja prati li pad jedne varijable pad ili rast druge u: Biljan-August, M.;Pivac, S.; Štambuk, A.: Uporaba statistike u ekonomiji, 2. Izdanje, Ekonomski fakultet Sveučilišta u Rijeci, Rijeka, 2009., str

42 Spearmanov koeficijent korelacije ranga Spearmanov koeficijent koristi se za ispitivanje stupnja povezanosti varijabla zapisanih u obliku modaliteta ordinalne (rang) varijable. Podatke ordinalne varijable moguće je poredati po određenom intenzitetu svojstva te se promatraju jedino razlike u rangu, a ne originalne razlike u pojedinim vrijednostima. 39 Ovaj se koeficijent označava s rs te se izračunava u slučaju kada su jedna ili obje varijable mjerene na ordinalnoj mjernoj ljestvici. Ne postavlja uvjet simetričnosti, linearnosti i veličine uzorka što ga razlikuje od Pearsonovog koeficijenta, ali smjer korelacije predstavljen je predznakom koeficijenta, baš kao i kod Pearsonovog koeficijenta. 40 Spearmanov je koeficijent korelacije predstavljen slijedećim izrazom: 41 gdje je: (5.24.) rs d Spearmanov koeficijent korelacije razlika rangova vrijednosti varijabla X i Y Razliku rangova dobijamo slijedećim izrazom: (5.25.) Prvi korak u izračunavanju Spearmanovog koeficijenta korelacije ranga je kreiranje vrijednosti varijable ranga na slijedeći način: najvećoj originalnoj vrijednosti pridružuje se rang 1, slijedećoj manjoj rang 2 i redom respektivno. Moguće je krenuti i obrnutim redoslijedom odnosno najmanjoj originalnoj vrijednosti pridružiti rang 1, slijedećoj većoj rang 2 pa sve do posljednje varijable. Od presudne je važnosti rangirati obje varijable istim redoslijedom, a rangovi istih označavaju se: r(x) r(y) rang nezavisne varijable rang zavisne varijable 39 Horvat, J., Mijoč, J., Osnove statistike, Naklada Ljevak d.o.o., Zagreb, 2012., str Pozitivan predznak označava porast jedne varijable uvjetovan porastom druge, a negativan označava pad jedne varijable uvjetovan porastom druge. 41 Horvat, J., Mijoč, J., Osnove statistike, Naklada Ljevak d.o.o., Zagreb, 2012., str

43 Primjer izračuna Spearmanovog koeficijenta korelacije ranga Promatrani su mjesečni prihodi zaposlenika poduzeća te njihovi mjesečni izdaci za hranu. Tablica 8.: Visina mjesečnih prihoda i mjesečni izdaci za hranu zaposlenika poduzeća Zaposlenici Mjesečni prihodi zaposlenika Mjesečni izdaci za hranu (X) (Y) r(x) r(y) Zaposlenik A Zaposlenik B Zaposlenik C Zaposlenik D Zaposlenik E Zaposlenik F Zaposlenik G Izvor 15.: Izrada autora Kako su rangovi pridruženi varijablama (počevši od najveće originalne vrijednosti kojoj je pridružen rang 1) preostaje izračunati razliku rangova te kvadrat iste i u formulu uvrstiti dobivene podatke. Tablica 9.: Visina mjesečnih prihoda i mjesečni izdaci za hranu zaposlenika poduzeća - izračunavanje razlike rangova Zaposlenici r(x) r(y) d d 2 Zaposlenik A Zaposlenik B Zaposlenik C Zaposlenik D Zaposlenik E Zaposlenik F Zaposlenik G Ukupno 0 92 Izvor 16.: Izrada autora 40

44 Kako Spearmanov koeficijent iznosi -0,64 dolazi se do zaključka da je riječ o umjerenoj negativnoj korelaciji odnosno da postoji umjerena veza između mjesečnih prihoda zaposlenika i njihovih mjesečnih izdataka za hranu. Točnije, zaposlenici koji imaju manje prihode više sredstava izdvajaju za hranu. Grafikonom 6. prikazan je dijagram rasipanja čiji podaci su prikazani u Tablici 8. Grafikon 7.: Visina mjesečnih prihoda i mjesečni izdaci za hranu zaposlenika poduzeća dijagram rasipanja Izvor 17.: Izrada autora 5.3. Regresija Za razliku od korelacijske analize zadaća regresijske analize je da pronađe analitičkomatematički oblik veze između jedne ovisne ili regresand varijable i jedne ili više neovisnih ili regresorskih varijabli. 42 Regresijska analiza najviše je zastupljena u internoj reviziji iako nije isključiva njezina primjena i u eksternoj reviziji. U odnosu na eksternu koja se najviše bazira na ocjenjivanje objektivnosti financijskih izvještaja, interna je usmjerena na ocjenjivanje učinka operativnog poslovanja pojedinog subjekta. 43 Razliku između korelacije i regresije najbolje je opisati slijedećom izjavom: (...) Razlikuju se u tome što regresijska analiza na temelju utvrđene povezanosti i poznavanja vrijednosti nezavisne varijable (X) 42 Biljan-August, M.;Pivac, S.; Štambuk, A.: Uporaba statistike u ekonomiji, 2. Izdanje, Ekonomski fakultet Sveučilišta u Rijeci, Rijeka, 2009., str Više o tome dostupno na: %3A%2F%2Fwww.singipedia.com%2Fattachment.php%3Fattachmentid%3D167%26d%3D &ei=Z I7RUp_ROuSyyAOLn4GQAg&usg=AFQjCNFW7ELNursZs6XuNx19ac6pNjecGQ&bvm=bv ,d.bG Q ( ) 41

45 nastoji kreirati predviđanja vrijednosti zavisne varijable (Y). 44 Regresijska se analiza dijeli na jednostavnu (u kojoj se promatra utjecaj promjene jedne varijable na promjenu druge) te višestruku (koja podrazumijeva odnos više nezavisnih varijabla s jednom zavisnom) Jednostavna linearna regresija Kako je već spomenuto u uvodnom dijelu poglavlja koje govori o regresiji, linearna se regresijska analiza temelji na proučavanju utjecaja jedne nezavisne varijable (X) na zavisnu varijablu (Y). Grafički prikaz regresijske analize uvelike podsjeća na dijagram rasipanja o kojem je bilo riječi kod korelacije (poglavlje ). Razlika između dijagrama rasipanja i grafičkog prikaza regresijskog modela je u ucrtavanju linije regresije. Linija regresije neophodna je budući da je cilj regresijske analize procijeniti model koji predstavlja minimalne ukupne udaljenosti zavisne varijable (Y) od linije regresije. Više o spomenutom modelu u poglavlju koje slijedi Regresijski model Kao nastavak prethodnog poglavlja, valja istaknuti kako model jednostavne linearne regresije može biti statistički i deterministički. Izraz koji opisuje deterministički model je slijedeći: (5.26.) gdje je: Y X e zavisna varijabla (regresand varijabla) nezavisna varijabla (regresorska varijabla) slučajna komponenta Ono što je karakteristično za deterministički model regresije jest to da isti opisuje točnu povezanost zavisne i nezavisne varijable. Dakle, modelom se dokazuje da je zavisna varijabla (Y) određena točnom vrijednosti nezavisne (X) te da za vrijednost nezavisne varijable postoji samo jedna vrijednost zavisne. Također, terba istaknuti kako je ovaj model odnosno determinitička povezanost varijabli izrazito rijedak slučaj. Razlog tome je činjenica da na pojedinu varijablu najčešće utječe više drugih, nezavisnih varijabli te je stoga gotovo nemoguće pronaći egzaktnu povezanost između varijabla. U poglavlju koje govori o korelaciji kao primjer je dan odnos između visine prihoda i izdataka za hranu. Ipak, visina prihoda nije 44 Horvat, J., Mijoč, J., Osnove statistike, Naklada Ljevak d.o.o., Zagreb, 2012., str

46 jedina varijabla koja može utjecati na visinu izdataka za hranu. Osim prihoda, u obzir treba uzeti i broj osoba s kojima zaposlenik čini kućanstvo, različite preferencije u ishrani pa čak i preferencije vezane uz odabir mjesta kupovine (cijene proizvoda variraju ovisno o mjestu kupnje). Zbog toga se u statistici češće koristi statistički regresijski model čiji je izraz: (5.27.) gdje je: zavisna varijabla nezavisna varijabla, parametri populacije slučajna pogreška Razlika između determinističkog i statističkog modela je upravo u obuhvaćanju varijabli koje nisu uključene u postavljeni model, ali utječu na zavisnu varijablu. Te su varijable u izrazu prikazane s. Moguće je zaključiti kako bi iz navedenog izraza nastalo onoliko pravaca koji bi opisivali regresijski odnos varijabli, koliko bi početno bilo postavljenih podataka za varijable. Dijagram rasipanja 45 koji bi prikazivao te odnose izgledao bi kao mnoštvo isprepletenih pravaca te se zbog toga izražava linija regresije odnosno samo jedan upisani pravac kojim su minimizirane udaljenosti svih upisanih točaka. Temelj ucrtavanju linije regresije u dijagram rasipanja je regresijska jednadžba čiji je izraz: (5.28.) gdje je: regresijska funkcija s procijenjenim parametrima populacije (predviđenim vrijednostima zavisne varijable) X vrijednost nezavisne varijable, procjene parametara populacije 45 Prikaz dijagrama vidljiv je: Horvat, J., Mijoč, J., Osnove statistike, Naklada Ljevak d.o.o., Zagreb, 2012., str

47 Regresijska se jednadžba temelji na podacima iz uzorka budući da je u praksi gotovo nemoguće prikupiti sve podatke iz populacije koji su relevantni za istraživanje i analizu. Linija regresije naziva se još i linija najmanjih kvadrata budući da se u dijagram rasipanja ucrtava ona linija (pravac) gdje je ukupna kvadratna udaljenost svih točaka X i Y od ucrtane regresijske linije minimalna 46. Kako bi se pronašla linija regresije koja najbolje odgovara zadanim podacima potrebno je minimizirati sumu kvadrata pogreške. (5.29.) gdje je: slučajna pogreška zavisna varijabla (podaci iz uzorka) podaci procijenjeni regresijskom jednadžbom Bitno je napomenuti da se regresijski model koristi za predviđanja vrijednosti varijable pri različitim vrijednostima nezavisne varijable. U kreiranju predviđanja regresijskim modelom upitna je točnost istraživača jer je prisutna određena pogreška ( ). Što je povezanost varijabla veća (npr. veći koeficijent korelacije), pogreška modela će biti manja. Drugim riječima, regresijskim modelom ne računaju se stvarne vrijednosti varijable Y nego njihova predviđanja na temelju postavljenog modela u kojima je zastupljena pogreška modela (predviđene i stvarne vrijednosti u većini slučajeva nisu jednake). 47 Kako bi se linija regresije mogla ucrtati u dijagram rasipanja potrebno je izračunati parametre a i b čiji su izrazi: (5.30.) gdje je: konstantni član regresijski koeficijent prosjek varijable Y 46 Isključivo u slučaju potpune pozitivne ili potpune negativne povezanosti svi se parovi vrijednosti zavisne i nezavisne varijable u dijagramu rasipanja nalaze na liniji regresije. 47 Horvat, J., Mijoč, J., Osnove statistike, Naklada Ljevak d.o.o., Zagreb, 2012., str

48 prosjek varijable X (5.31.) (5.32.) (5.33.) Primjer izračuna regresijskog modela Promatrani su mjesečni prihodi zaposlenika poduzeća te njihovi mjesečni izdaci za hranu. Na osnovu podataka iz primjera procijenit će se vrijednosti parametra i te ucrtati linija regresije u dijagram rasipanja. Tablica 10.: Visina mjesečnih prihoda i mjesečni izdaci za hranu zaposlenika poduzeća 48 Mjesečni izdaci za hranu Mjesečni prihodi zaposlenika (X) (Y) Izvor 18.: Izrada autora 22 3, ,6 86 4, , , ,8 58 4, , , ,2 X 2 XY 48 Iznosi prihoda i izdataka uvećani su deset puta u odnosu na podatke iz Tablice 7. i izraženi u tisućama radi lakšeg izračuna i prikaza modela regresije. 45

49 Model regresije: Kako bi se u dijagram rasipanja ucrtala linija regresije, potrebno je odrediti dvije rubne točke. Prije svega, potrebno je izraditi dijagram rasipanja te unijeti parove točaka odnosno parove vrijednosti varijabla X i Y. Grafikon 8.: Visina mjesečnih prihoda i mjesečni izdaci za hranu zaposlenika poduzeća dijagram rasipanja Izvor 19.: Izrada autora Nakon izrade dijagrama rasipanja u regresijski model uvrštavaju se dvije proizvoljno odabrane vrijednosti koje se nalaze unutar raspona vrijednosti za danu nezavisnu varijablu pomoću kojih se izračunavaju rubne točke potrebne za ucrtavanje linije regresije. Neka su to: X1=40; X2=86 46

50 Grafikon 9.: Visina mjesečnih prihoda i mjesečni izdaci za hranu zaposlenika poduzeća dijagram rasipanja s linijom regresije Izvor 20.: Izrada autora Budući da se uočava razlika između regresijom predviđenih vrijednosti zavisne varijable i podataka iz uzorka predočenih u tablici, potrebno je izračunati rezidualna odstupanja. Izraz koji se pritom koristi je slijedeći: (5.34.) Iz čega proizlazi da su rezidualna odstupanja: Prema predviđanju regresijskim modelom, procjenjuje se kako mjesečni prihodi zaposlenika koji iznose kn rezultiraju izdacima za hranu u iznosu od 331,20 kn, dok prihodi u iznosu od kn za posljedicu imaju izdatke za hranu u iznosu od 519,80 kn. Kako su stvarni izdaci temeljeni na uzorku iz Tablice 9. niži odnosno iznose 300 kn i 450 kn respektivno, zaključuje se kako su modelom regresije predviđeni veći izdaci od ostvarenih (zbog toga je rezultat rezidualnog odstupanja u oba slučaja negativnog predznaka). 47

51 Koeficijent determinacije Kako bi se izmjerila reprezentativnost regresijskog modela koristi se koeficijent determinacije. Njime se tumači omjer u kojem vrijednosti nezavisne varijable objašnjavaju vrijednosti zavisne varijable odnosno u kojoj je mjeri prihvatljivo donositi predviđanja na temelju regresijskog modela. Veća vrijednost koeficijenta determinacije predstavlja veću reprezentativnost regresijskog modela. 49 Koeficijent se računa slijedećim izrazom: (5.35.) gdje je: SP protumačena odstupanja ST ukupna odstupanja (5.36.) (5.37.) Na temelju podataka iz primjera izračuna regresijskog modela (poglavlje ) moguće je izračunati koeficijent determinacije te tako utvrditi reprezentativnost uzorka. Tablica 11.: Visina mjesečnih prihoda i mjesečni izdaci za hranu zaposlenika poduzeća izračun koeficijenta determinacije Mjesečni Mjesečni prihodi zaposlenika (X) izdaci za hranu (Y) 22 3,3 2,574 1, , ,5 5,198 2, , ,8 3,107 0,4225 0, ,6 3,435 0, , ,1 4,05 0, , Više o tome u: Horvat, J., Mijoč, J., Osnove statistike, Naklada Ljevak d.o.o., Zagreb, 2012., str

52 72 6 4,624 0, , ,312 0, ,57305 Ukupno ,3 26,3 5, ,73714 Izvor 21.: Izrada autora 0, Koeficijent determinacije iznosi 0, te se može zaključiti kako je 57,66% varijacija u iznosima izdataka za hranu rezultat varijacija iznosa mjesečnih prihoda. S obzirom da se koeficijent determinacije kreće u intervalu od 0 do 1 te da veći iznos koeficijenta upućuje na dobro postavljen regresijski model, konačni ishod koeficijenta determinacije govori kako je potrebno razmotriti mogućnost kako zavisnu varijablu bolje objašnjava neka druga nezavisna varijable. Prisjetimo se, autori su napomenuli da na iznos izdataka vezanih uz hranu, osim visine mjesečnih prihoda može utjecati i broj osoba s kojima zaposlenik čini kućanstvo, različite preferencije u ishrani te preferencije vezane uz odabir mjesta kupovine. 49

53 6. Primjena statističkih metoda na odabranom uzorku Analiza ankete provedene u sklopu istraživanja u seminarskom radu 50 obuhvaća korištenje različitih statističkih metoda kojima su potkrijepljene metode za obradu kvalitativnih, ali i kvantitativnih podataka. S obzirom na karakter odgovora u anketi, prevladavaju mjere centralne tendencije (aritmetička sredina, medijan, kvantili, mod), mjere disperzije (interkvartilni raspon, standardna devijacija i koeficijent varijacije) te mjere asimetrije i mjere zaobljenosti. Kako se karakter odgovora razlikuje od pitanja do pitanja, kod interpretacije dobivenih rezultata autori naglašavaju o kojem se pitanju radi 51 te iznose analizirane podatke. Iz tog razloga moguća su odstupanja, kako u broju korištenih metoda, tako i u vrsti metoda koje se koriste prema pitanjima. Osim podataka iz ankete, autori analiziraju i službene podatke poduzeća koji se odnose na broj zaposlenika, ali i pojedine stavke iz računa dobiti i gubitka dostupne javnosti. Potreba za dodatnim podacima javila se zbog specifičnosti teme rada koja ističe statističke metode (trend, korelaciju i regresiju) kojima se analiziraju isključivo kvantitativni podatci. Iznimno, zbog anonimnosti ankete, rezultati se prikazuju prema djelatnostima u kojima posluju poduzeća te se tako razlikuje12 djelatnosti 52 za 15 anketiranih poduzeća, koliko iznosi odabrani uzorak. Poduzeća pripadaju skupini velikih poduzeća klasificiranih prema Zakonu o računovodstvu Primjena trenda, korelacije i regresije u analizi financijskih izvješća Za potrebe izračuna linearnog trenda autori koriste podatke o ostvarenoj dobiti u promatranom razdoblju ( prvo polugodište promatranih godina) od do U nastavku će biti prikazani podaci za tri odabrana poduzeća iz promatranog uzorka. Podaci o ostvarenoj dobiti jednog poduzeća iz promatranog uzorka zadovoljavaju uvjete reprezentativnosti trenda te će autori prikazati ocjenu jednadžbe linearnog trenda i procjenu ostvarene dobiti razdoblja za prvo polugodište godine. Ostala poduzeća koja čine uzorak, točnije njih 14, ne 50 Kresić, E.,Mezulić, N., Uloga interne kontrole u upravljanju rizicima, Ekonomski fakultet u Osijeku, Osijek, Uvid u numerirana pitanja, ali i strukturirane odgovore moguće je ostvariti u prilogu, Popis djelatnosti kojima se bave anketirana poduzeća istaknut je u Tablici 17. u kojoj se ujedno nalaze numerirani odgovori prilagođeni programu Statistica pomoću kojeg su autori dobili izračun statističkih metoda. 53 NN 109/07, 54/13 čl.3(dostupno na: ( )) 50

54 zadovoljavaju uvjete reprezentativnosti trenda te će autori prikazati postupak izračuna trenda samo za jedno poduzeće. Tablica 12.: Dobit poduzeća koja posluju u djelatnostima kemijske industrije i motornih vozila za razdoblje od do (polugodišnja izvješća) DOBIT RAZDOBLJA ( ) Godina Kemijska industrija Motorna vozila, trgovina i održavanje Izvor 22.: Izrada autora na temelju podataka preuzetih sa Zagrebačke burze (Dostupno na: ( )) 1. Ostvarena dobit razdoblja u promatranom periodu Kemijska industrija analiza metodom linearnog trenda Slika 2.:Metoda linearnog trenda ostvarena dobit razdoblja Kemijska industrija Izvor 23.: Izrada autora u programu Statistica Linearni trend je reprezentativan jer postoji dovoljno jaka veza ( = 0, > 0,6) i postoji mala vjerovatnost da su rezultati dobiveni slučajno (p < 0, <0,05) Jednadžba trenda glasi: Jedinica za x = 1 godina Jedinica za Y = ostvarena dobit u tisućama kuna 51

55 X= 0, godina Jednadžba trend modela glasi: X= 0, 2009 godina Jedinica za X je jedna godina Jedinica za Y je tisuću kuna Dobit razdoblja prosječno se godišnje poveća za ,00 kn. Slika 3.: Predviđene vrijednosti trenda Kemijska industrija Izvor 24.: Izrada autora u programu Statistica Na Slici 3. vidljive su predviđene vrijednosti trenda (Predicted Value). Za primjer se može uzeti godina kada bi prema trendu ostvarena dobit razdoblja iznosila ,00kn. Na temelju izračunatog modela linearnog trenda moguće je predvidjeti dobit razdoblja za naredne godine. Slika 4.: Predviđena dobit budućeg razdoblja Kemijska industrija Izvor 25.: Izrada autora u programu Statistica 52

56 Na razini 95% pouzdanosti procjenjuje se da će ostvarena dobit prvog polugodišta godine iznositi između ,00 i ,00 kn. 2. Ostvarena dobit razdoblja u promatranom periodu Motorna vozila, trgovina i održavanje analiza metodom linearnog trenda Slika 5.: Metoda linearnog trenda ostvarena dobit razdoblja Motorna vozila, trgovina i održavanje Izvor 26.: Izrada autora u programu Statistica Izračun jednadžbe linearnog trenda nije moguć zbog nezadovoljavanja uvjeta reprezentativnosti:. > 0,6 0, < 0,6 p <0,05 0,19353 > 0,5 Model linearnog trenda u ovom slučaju nije reprezentativan te je nemoguće na temelju istoga predviđati prodaju budućeg razdoblja. Korelacija predstavlja povezanost dviju varijabla, u ovom primjeru poslovnih i ukupnih prihoda. Prema Tablici 6. moguće je odrediti, nakon izračuna korelacije, kakva je povezanost dviju varijabla. Na Slici 6. vidljivo je da je korelacija ukupnih i poslovnih prihoda 0, Prednost korištenja programa Statistica jest u tome što, ukoliko su zadovoljeni uvjeti za točan izračun, program automatski označava rješenje crvenom bojom što dodatno olakšava analiziranje željenih podataka. Koeficijent korelacije ovog primjera je signifikantan i može se reći kako se radi o snažnoj pozitivnoj korelaciji što znači da rast poslovnih prihoda snažno utječe na rast ukupnih prihoda odnosno da pad poslovnih prihoda za posljedicu ima pad ukupnih prihoda. 53

57 Slika 6.: Koeficijent korelacije ukupnih i poslovnih prihoda poduzeća iz uzorka Izvor 27.: Izrada autora u programu Statistica U svrhu izračuna regresijskog modela korišteni su poslovni prihodi kao nezavisna varijabla te ukupni prihodi kao zavisna varijabla uz pretpostavku o utjecaju promjene poslovnih prihoda na promjenu iznosa ukupnih prihoda. Slika 7.: Regresijska analiza na temelju ukupnih i poslovnih prihoda poduzeća iz uzorka Izvor 28.: Izrada autora u programu Statistica Treba napomenuti kako jednadžba regresije postoji isključivo ako je veza dovoljno jaka (u ovom primjeru to označava Adjusted R 2 >0,5) te ako je mala vjerojatnost da su rezultati dobiveni slučajno (p<0,05). Osim navedenih uvjeta, treba obratiti pozornost i na p-value čiji iznos treba biti manji od 0,05. U ovom slučaju p-value iznosi 0, te se može reći kako svi parametri nisu reprezentativni. Posljedica ovakvog rješenja je nemogućnost daljnjeg izračuna modela regresije i prikaza regresijske linije u dijagramu rasipanja Primjena statističkih metoda u analizi uzorka Budući da je odgovor na prvo pitanje u anketi moguće numerirati u smislu broja nadzornih oblika koje svako pojedino poduzeće koristi, autori su za isto analizirali aritmetičku sredinu, medijan, mod, sumu frekvencija, interkvartile, minimum i maksimum, standardnu devijaciju, mjeru asimetrije i eksces odnosno mjeru zaobljenosti: a. Prosječan broj nadzornih oblika u anketiranim poduzećima iznosi 3. b. 50% ispitanih ima 3 ili manje nadzornih oblika odnosno 50% ispitanih ima 3 ili više nadzornih oblika. 54