Matematika u Rubikovoj kocki

Transcription

1 Sveučilište J.J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Sveučilišni nastavnički studij matematike i informatike Marina Barišić Matematika u Rubikovoj kocki Diplomski rad Osijek, 2011.

2 Sveučilište J.J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Sveučilišni nastavnički studij matematike i informatike Marina Barišić Matematika u Rubikovoj kocki Diplomski rad Mentor: Komentor: doc. dr. sc. Ivan Matić dr. sc. Ljerka Jukić Matić Osijek, 2011.

3 Sadržaj 1. Uvod 1 2. Što je Rubikova kocka? Povijest Rubikove kocke Varijacije Rubikove kocke Rubik Sudokocka Square one Pyraminx Oktogonalna prizma Magična kugla Oblo Izgled i grada Rubikove kocke Broj konfiguracija Rubikove kocke Algoritmi za rješavanje Rubikove kocke Natjecanja Matematika u Rubikovoj kocki Oznake i notacija Grupa i podgrupe Rubikove kocke Grupa Rubikove kocke Podgrupe Generatori Simetrična grupa Parnost Homomorfizam grupa Djelovanje grupe Konfiguracije Rubikove kocke Valjane konfiguracije Rubikove kocke Graf Cayley graf Božanski algoritam Strategije za rješavanje Rubikove kocke Komutatori Konjugacija Strategije Rubikova kocka u današnjoj kulturi Sažetak Summary Životopis 38

4 1 1. Uvod U ovom diplomskom radu obradena je zabavna slagalica Rubikova kocka i njezina primjena u matematici. Diplomski rad je podijeljen u dva poglavlja: što je Rubikova kocka i matematika u Rubikovoj kocki. U prvom poglavlju dan je odgovor na pitanje što je Rubikova kocka. Opisan je njezin nastanak te životopis njezinog tvorca Ernöa Rubika. Detaljno je opisana struktura kocke i predstavljene su mnoge njezine varijacije koje su nastale tijekom vremena. Cilj igre s Rubikovom kockom je složiti Rubikovu kocku u početni položaj, pa su u prvom poglavlju opisane različite metode za pomoć pri slaganju te su prikazani rezultati i zanimljivosti s natjecanja u slaganju kocke koja se često održavaju. U drugom poglavlju opisana je matematika koja se nalazi u Rubikovoj kocki te različiti pojmovi koji se vrlo lagano mogu objasniti uz pomoć Rubikove kocke: grupa, podgrupa, generatori, ciklička grupa, homomorfizam grupa, parnost i graf su samo neki pojmovi koji pokazuju važnost minijaturne igračke. Takoder, u radu su opisane konfiguracije Rubikove kocke, koje su konfiguracije valjane i dane su neke strategije kako ju riješiti uz pomoć matematike. A što je božanski algoritam i božanski broj? Odgovori se mogu pronaći u ovom radu.

5 2 2. Što je Rubikova kocka? Rubikova kocka je mehanička igračka oblika kocke koja je nastala godine u Budimpešti. Tijekom osamdesetih godina prošlog stoljeća bila je najtraženija i najpopularnija igračka. Do godine prodano je preko 350 milijuna primjeraka, a s njom se igralo više od jedne petine svjetskog stanovništva. Smatra se da je Rubikova kocka najpoznatija igračka na svijetu. U medicinskom rječniku mogu se naći pojmovi Rubikov zglob i Kockin palac koji označavaju bolesti koje nastaju opsesivnim rješavanjem Rubikove kocke, a od godine u Americi postoji grupa liječenih kockara nazvana Cubaholics koja pomaže ljudima koji su ovisni o rješavanju Rubikove kocke Povijest Rubikove kocke Rubikovu kocku slučajno je izumio Ernö Rubik, inženjer arhitekture i profesor na fakultetu primjenjenih umjetnosti u Budimpešti (Slika 2.1.). Slika 2.1. Ernö Rubik Ernö Rubik je roden 13. srpnja godine u Budimpešti, Madarska. Njegova majka je bila umjetnica i pjesnikinja, a otac strojarski tehničar i avio inženjer. Ernö je godine diplomirao na Fakultetu tehničkih znanosti u Budimpešti, nakon čega je završio srednju školu dekorativne umjetnosti interijera. Od do godine radio je kao arhitekt, nakon čega započinje akademsku karijeru kao profesor. Oženio se godine arhitekticom interijera i godine dobiva kćer Annu. Ernö Rubik je postao urednik magazina za igre i puzzle, nakon čega je osnovao vlastiti Rubik Studio koji se bavi dizajnom namještaja, igrica i mnogih drugih varijacija na temu Rubikove kocke. Godine imenovan je za predsjednika Madarske akademije za inženjerstvo i osnovao je International Rubik Foundation koja pomaže i podržava u radu nadarene inženjere i studente industrijskog dizajna. Ernö je bio fasciniran geometrijom 3D oblika i proučavajući objekte u prostoru napravio je prvi uzorak kocke sastavljene od 26 malih kockica različite boje. Ernö je dobio inspiraciju od oblih, glatkih kamenčića s obale Dunava koji su mu dale rješenje kako napraviti cilindrične oblike i osovine u kocki. Nakon početnog oduševljenja zbog kombinacija različitih boja na kocki, Ernö Rubik se zapitao kako vratiti kocku u početno stanje. Shvatio je da nasumičnim okretanjem

6 3 kocke za svog života neće uspjeti vidjeti kocku s kojom je započeo. Tek nakon ozbiljnog promišljanja o logici svakog pokreta kocke, nakon mjesec dana našao je pravu kombinaciju od mogućih 43 trilijuna. Sve se to dogodilo u proljeće godine, a već godine Ernö Rubik je prijavio igračku Rubikovu kocku Madarskom zavodu za patente. Izum je najprije nazvan Magična kocka (mad. Büvös Kocka), a godine ime joj je promijenjeno u Rubikova kocka u čast izumitelju. Pod nazivom Rubikova kocka je poznata gotovo u svim jezicima osim u njemačkom, židovskom, kineskom, portugalskom i islandskom. U židovskom jeziku nazivaju je Madarskom kockom, a u ostalima Magičnom kockom. U to vrijeme Madarska je bila izolirana iza Željezne zavjese i tek se početkom ta čudna igračka pojavila u Madarskim trgovinama igračaka. U početku je prodaja tekla slabo sve dok ju nisu otkrili dvojica Madara: poslovni čovjek Tiber Laszi koji ju je odnio godine na izložbu igračaka u Nürnberg i Tom Kremer koji je stupio u kontakt s Ideal Toy Company koja je pokazala Rubikovu kocku cijelom svijetu. U meduvremenu, engleski matematičar David Singmaster otkrio je fenomenalne matematičke osobine kocke o kojima piše u članku u časopisu Scientific Americans, godine, čime si je Rubikova kocka osigurala još veću pozornost javnosti. Internacionalni interes za kocku počinje godine, a već potražnja je nadmašila kapacitete proizvodnje. Zanimljivo je da su u to vrijeme dvojica inovatora prijavila svoje izume slične Rubikovoj kocki. Terutoshi Ishige je godine Japanskom zavodu za patente prijavio kocku nalik Rubikovoj kocki, dok je Amerikanac Larry Nichols prijavio svoju kocku i prije Rubika, no sve su ga kompanije za proizvodnju igračaka odbile te je nesretni Larry Nichols cijeli svoj život proveo u siromaštvu. Vrlo slične slagalice nastale su vrlo brzo nakon Rubikove kocke (Slika 2.2.). Ernö Rubik patentirao je i Kocku osvete (eng. Revenge cube) koja je zahtjevnija zbog svojih mogućih konfiguracija, a pojavile su se takoder Džepna kocka (eng. Pocket cube) koja nema središnjeg dijela i lakša je za slaganje jer ima 3, 674, 160 različitih konfiguracija te Profesorska kocka (eng. Professor s cube) teža verzija Rubikove kocke jer ima mogućih konfiguracija. Slika 2.2. Varijacije Rubikove kocke Godine grčki inovator Panagiotis Verde konstruirao je Rubikovu kocku koja ima mogućih konfiguracija, a uspješno je konstruirao i kocku koja ima mogućih konfiguracija.

7 4 Te kocke su izradene V-cube tehnologijom. Odlikuju se odličnom kvalitetom, vrlo lako se okreću i njihov savršeni mehanizam im omogućava da gotovo nikad ne zapinju. No, vrlo su zahtjevne jer sadrže mnogo veći broj različitih kombinacija nego standardna kocka. Nemaju fiksirane centre (što povećava broj mogućih konfiguracija i do za kocku, i za kocku) pa je zbog toga izazov još veći, a i pogrešna orijentacija može dovesti do nemogućnosti slaganja kocke. Godine predstavljen je prvi primjerak elektroničke Rubikove kocke, a godine predstavljena je i druga elektronička kocka nazvana Rubik s TouchCube koja radi na senzore koji su osjetljivi na dodir (Slika 2.3.). Stranice se okreću povlačenjem prsta po površini kocke, a kocka ima ugraden mehanizam koji se brine da se registriraju samo dodiri na onoj strani kocke koja je okrenuta prema gore. Slika 2.3. Elektronički primjerak Rubikove kocke 2.2. Varijacije Rubikove kocke Od same pojave Rubikove kocke do danas pojavile su se brojne varijacije koje su u osnovi slične Rubikovoj kocki: Rubik 360 Slika 2.4. Rubik Sudokocka Slika 2.5. Sudokocka Rubik 360 predstavljen je u veljači godine. Sastoji se od 3 prozirne sfere u kojima se nalazi 6 šarenih kuglica. Cilj je da se šarene kuglice iz unutarnje sfere kroz središnju sferu, koje ima samo dvije rupice, premjeste u utore iste boje na vanjskoj sferi, pritom da su utor i kuglica iste boje. Rubik 360 nije moguće rastaviti pa složiti u željeni položaj te ima samo jedno rješenje. Sudokocka je varijacija Rubikove kocke. Sve strane kocke su iste boje i sadrže brojeve od 1 do 9. Slaganje ove kocke teže je od Rubikove kocke jer svaki broj mora biti na točno odgovarajućoj poziciji, a centralni broj mora takoder biti u odgovarajućoj orijentaciji. Kod Sudokocke postoji više od jednog rješenja.

8 Square one Slika 2.6. Square One Square One je varijacija originalne Rubikove kocke koja zakretanjem daje tijelo koje nema oblik kocke. Sastoji se od triju slojeva. Gornji i donji sloj podijeljeni su kao pita u 8 dijelova: 4 kutna koja oblikom podsjećaju na zmaja i 4 rubna dijela u obliku trokuta. Srednji sloj podijeljen je u 2 dijela duž neke linije jednog od preostala dva sloja. Svaki se sloj može slobodno zakretati Pyraminx Slika 2.7. Pyraminx Pyraminx je slagalica u obliku tetraedra. Svaka je strana obojena različitom bojom, te je podijeljena na 9 trokuta koji su razdijeljeni u 3 sloja: prvi sloj sadrži jedan trokut, drugi sloj sadrži tri trokuta, a treći sloj sadrži 5 trokuta. Cilj slagalice je vratiti strane tetraedra u originalni položaj Oktogonalna prizma Slika 2.8. Oktogonalna prizma Oktogonalna prizma mehanički je identična Rubikovoj kocki. No, vertikalni kutni stupci bojom se ne podudaraju s vertikalnim stupcima koji čine lice. Zbog toga se kutni stupci mogu smjestiti u bilo koji kut. To olakšava slaganje, no neke kombinacije stupaca ne mogu se dobiti legalnim potezima Magična kugla Slika 2.9. Magična kugla Magična kugla poznata je i kao Rubikova sfera. Mehanički je identična Rubikovoj kocki u operacijama i rješenju. No, puno ju je teže uhvatiti i zakretati njezine dijelove od standardne Rubikove kocke.

9 Oblo Oblo je trodimenzionalna obla slagalica koju je izumio zagrepčanin Marko Pavlović. Sastoji se od vanjskog dijela koji je u jednom komadu u koji se slažu drugi dijelovi koji su obojani u 4 boje. Oblo je izvrsna didaktička igračka za djecu predškolskog uzrasta. Slika Oblo Opisano je nekoliko slagalica koje su nastale na temelju Rubikove kocke. Ostale varijacije koje nisu nabrojene su: Equator slagalica, Skewb, Megaminx, Rainbow cube, Picture cube, Aleksandrova zvijezda, Rubikova zmija i mnoge druge Izgled i grada Rubikove kocke Iako ima raznih veličina, kad se govori o standardnoj Rubikovoj kocki misli se na kocku (Slika 2.11.). Slika Standardna Rubikova kocka Svaka strana kocke podijeljena je na 9 sukladnih kvadrata, točnije, kocka se sastoji od 27 jednakih pomičnih kockica koje su povezane. 26 kockica se nalaze na površini kocke, a srednja kockica se ne vidi, a i ne postoji. Centralna kockica svake strane je mehanizam koji omogućuje rotaciju odredenih dijelova kocke. Jezgru kocke čine tri osi koje se presijecaju i drže na mjestu 6 centralnih kockica, tj. drže Rubikovu kocku na okupu. Preostale površinske kockice nisu u matematičkom smislu kockice jer su iznutra izdubljene. Sve su uklopljene na odgovarajuća mjesta tako da tijelo ima izgled kocke (Slika 2.12.). Slika Grada Rubikove kocke

10 7 Kocka ima 6 strana, a svaka strana sastoji se od 9 kvadrata. Svaka strana kocke je različite boje. Kocka ima 12 rubnih kockica čije su dvije strane obojene različitim bojama, 8 kutnih kockica čije su tri strane obojene različitim bojama i 6 centralnih kockica obojenih jednom bojom. Kad se različiti slojevi kocke naizmjenično okreću kvadrati mijenjaju mjesto i boju te tako za svaki okret nastaje jedinstvena kombinacija boja. Kad je svaka strana kocke jedne boje, onda se kaže da je Rubikova kocka riješena. Standardne boje Rubikove kocke su bijela nasuprot žute, zelena nasuprot plave te narančasta nasuprot crvene, a duljina stranice joj iznosi 5.7 cm Broj konfiguracija Rubikove kocke Rubikova kocka ima 6 obojenih strana, 26 kockica i 54 malih kvadrata. Razlikuju se rubne, kutne i centralne kockice. 8 kutnih kockica mogu se medusobno izmjenjivati, ali nikad ne mogu zauzeti mjesto rubne kockice. Takoder, 12 rubnih kockica ne mogu dospjeti na ugao kocke. Kako bi se izračunao broj konfiguracija kocke, treba izračunati broj permutacija kutnih i rubnih kockica. 8 kutnih kockica mogu se rasporediti na 8! = načina. Svaka kutna kockica ima tri orijentacije (boje) pa se prethodni broj mora pomnožiti s 3 8. Kada je kocka gotovo složena, broj mogućih poteza se smanjuje. Kad je na odgovarajuće mjesto postavljena predzadnja kockica, zadnja ima samo jednu orijentaciju pa se 3 8 mora podijeliti s 3, što daje 3 7 = Slijedi da je ukupan broj rasporeda kutnih kockica = 88, 179, rubnih kockica mogu se rasporediti na 12! = 479, 001, 600 načina. Kad je postavljena treća odozada rubna kockica, preostale dvije mogu se raspodijeliti samo na jedan način pa prethodni broj treba podijeliti s 2 (parnost permutacija rubnih kockica mora biti jednak parnosti permutacija kutnih kockica), što daje 239, 500, 800 načina. Svaka rubna kockica ima dvije orijentacije (boje), pa novo dobiveni broj treba pomnožiti s Taj broj se takoder mora prilagoditi jer zadnja rubna kockica ima fiksan položaj. Dakle, 2 12 treba podijeliti s 2, što daje 2 11 = Ukupan broj rasporeda rubnih kockica je 239, 500, = 490, 497, 638, 400. Ovo daje 43 trilijuna konfiguracija Rubikove kocke, tj. 88, 179, , 497, 638, 400 = 43, 252, 003, 274, 489, 856, 000. Za predodžbu, ako je za svaki okret potrebna jedna sekunda, potrebno je godina da se prode kroz sve konfiguracije. Za usporedbu, Svemir je star oko godina.

11 Algoritmi za rješavanje Rubikove kocke Osnovni problem Rubikove kocke je pronaći algoritam koji će složiti kocku u početni položaj, tj. u položaj gdje je svaka strana kocke u jednoj boji. Svaka osoba koja slaže kocku, koristi algoritam koji je zapravo niz koraka koji dovode do rješenja Rubikove kocke. No, bez pomoći, rješavanje Rubikove kocke može trajati mjesecima. Postoje razni pristupi koji se razlikuju po kompleksnošću i brojem poteza, a svrha im je pomoći prilikom slaganja kocke. U nekim metodama kreće se od slaganja kutnih kockica i njihovog pravilnog zakretanja, a nakon toga i rubnih kockica i pravilnog zakretanja onih koji nisu u pravom položaju. Najpopularnija je metoda koju je razvio David Singmaster i objavio je godine u knjizi Notes on Rubik s Magic Cube. Ta metoda uključuje slaganje sloj po sloj. Pomoću nje kocka se može složiti u manje od jedne minute. Slijedi njezin kratki opis: Metoda sloj po sloj a. Prvi sloj Formirati križ u boji gornje strane kocke Umetnuti 4 kutne kockice prvog sloja na odgovarajuća mjesta b. Srednji sloj Umetnuti 4 rubne kockice c. Zadnji sloj Formirati križ u boji donje strane kocke Umetnuti kutne kockice na kutna mjesta Okrenuti kutne kockice u pravilni položaj Zamijeniti položaje rubnih kockica ako je potrebno Razvijene su i brojne brzinske metode za slaganje kocke u što kraćem vremenu. Jednu od takvih metoda razvila je Jessica Friedrich. Njezina metoda takoder uključuje slaganje sloj po sloj. Vrlo je popularna i metoda Larsa Petrusa koja se često koristi na natjecanjima jer daje rješenje već u nekoliko koraka. Larsova metoda koristi 7 osnovnih koraka za rješavanje Rubikove kocke, a to su: 1. Pravilno složiti blok 2. Proširiti na pritom da se ne uništi blok Ispraviti orijentaciju rubnih kockica

12 9 4. Riješiti prva dva sloja 5. Zamijeniti kutne kockice na zadnjem sloju 6. Pravilno orijentirati kutne kockice na zadnjem sloju 7. Zamijeniti položaj rubnih kockica I na kraju, ako niti jedna metoda za slaganje kocke ne pomaže, kocka se može lagano rastaviti pomoću odvijača: gornji sloj kocke se zaokrene za 45 i uz pomoć odvijača kocka se rastavi tako da se niti jedan dio ne slomi te se lagano može ponovno sastaviti u početni položaj Natjecanja U slaganju Rubikove kocke održavaju se mnogobrojna natjecanja, a cilj je složiti Rubikovu kocku u što kraćem vremenu. Od godine sve je veći broj nacionalnih i medunarodnih prvenstva u brzom slaganju kocke, a čak ih je 33 održano godine. Svjetska udruga Rubikove kocke organizira natjecanja u slaganju Rubikove kocke jednom rukom ili nogom. Takoder, organiziraju se natjecanja gdje se Rubikova kocka slaže ispod vode u jednom dahu ili pak vezanih očiju (natjecatelj promatra kocku, planira način kako složiti kocku, a zatim na temelju zapamćenih koraka vezanih očiju slaže kocku). Prvo natjecanje održano je 13. ožujka godine u Münchenu, a organizirala ga je Guinnessova knjiga svjetskih rekorda. Pobjednik tog natjecanja bio je Nijemac Jury Froeschl kojemu je bilo potrebno 38 sekundi da složi kocku. Prvo svjetsko natjecanje održano je 5. lipnja godine u Budimpešti. Kocka je bila izmješana kompjutorski. Od 19 natjecatelja, najbrže ju je složio šesnaestgodišnji Minh Thai, vijetnamski učenik iz Los Angelesa. Potrebno mu je bilo sekundi. Od godine pobjednik natjecanja se odreduje u dvije kategorije. U prvoj kategoriji uzima se prosječno vrijeme najboljih tri od pet pokušaja, a u drugoj najbolje vrijeme jednog pokušaja. U ožujku godine Francuz Thibaut Jacquinot je postao prvi natjecatelj kojemu je bilo potrebno manje od 10 sekundi da složi kocku. Složio je kocku u 9.86 sekundi. Trenutno najbolje vrijeme u jednom pokušaju slaganja Rubikove kocke postavio je Australac Feliks Zemdegs 7. ožujka Koristio je metodu Jessice Friedrich i složio je kocku za nevjerojatnih 5.66 sekunde. Šestnaestogodišnji Feliks takoder drži rekord u prosječnom vremenu slaganja kocke koji trenutno iznosi 7.64 sekunde. 17. ožujka godine, 134 učenika Osnovne škole Dr. Challoner s u Amershamu u Engleskoj su oborili svjetski Guinessov rekord za najveći broj ljudi koji su složili Rubikovu kocku u 12 minuta. Prethodni rekord je ostvaren u prosincu godine u SAD-u kada je sudjelovalo 96 natjecatelja.

13 10 Čak se i znanstvenici natječu tko će izraditi najboljeg robota koji će najbrže složiti Rubikovu kocku. Robota Rubya su osmislili studenti australskog Sveučilišta Swinburne (Slika 2.13.). Ruby uz pomoć sofisticiranog softvera rješava kompleksne algoritme i pronalazi brzinsko rješenje za Rubikovu kocku. Prije nego li počne slagati kocku, on skenira početni položaj kocke kako bi znao koji razultat treba dobiti. Super pametnom i brzom androidu su bile potrebne sekunde da složi kocku. Prethodni rekord je postavio robot Cubinator kojemu su bile potrebne 18.2 sekunde. Slika Robot Ruby No, iako se smatralo da roboti nisu brži od čovjeka u slaganju kocke, ipak je napredna tehnologija pobijedila. U listopadu godine, robot Cuberstormer II je složio rubikovu kocku za nevjerojatnih 5.35 sekundi (Slika 2.14.). Cuberstormer II koristi kameru mobilnog telefona koji memorira slike dijelova kocke, te potom bluetoothom šalje upute dvjema rukama koje okreću kocku velikom brzinom u početni položaj. Slika Robot Cuberstormer II Zanimljivo je da će se godine u Hrvatskoj po prvi puta održati natjecanje u slaganju Rubikove kocke. Natjecanje će se održati u Zagrebu i bit će službeno WCA natjecanje koje će se održati pa pravilima WCA (World Cube Association).

14 11 3. Matematika u Rubikovoj kocki S Rubikovom kockom se može raditi samo jedno: zaokretati jednu od 6 strana oko osi koja prolazi središtem te strane i kocke tako da se nakon okreta ponovno dobije kocka. Stoga, zaokrenuti jednu stranu Rubikove kocke znači rotirati jednu stranu za pravi kut u smjeru kazaljke na satu. Ta jednostavna radnja ima veliku ulogu u matematici i otvara široko područje za istraživanje Oznake i notacija Rubikova kocka se sastoji od 27 minijaturnih kockica, od kojih su 26 vidljivih, a kockica koja je u središtu zapravo ni ne postoji. Kako bi se lakše proučavala, notacija Rubikove kocke se neće vezati za boje, već će se koristiti imena i slova. Na kocki se nalazi 8 kutnih kockica koje imaju 3 vidljive strane, 12 rubnih kockica koje imaju dvije vidljive strane te 6 središnjih kockica koje imaju jednu vidljivu stranu. Uobičajna je notacija koja je potekla od Davida Singmastera, pa se prema njemu naziva Singmasterova notacija. On pretpostavlja da se na početku odabralo koja strana će biti gore, naprijed i desno te da se to neće mijenjati (to se postiže tako da se zapamte boje središta prednje, gornje i desne strane) (Slika 3.1.). Notacija za 6 strana Rubikove kocke glasi: desna strana (r), lijeva strana (l), gornja strana (u), donja strana (d), prednja strana (f), stražnja strana (b) (notacija strana je preuzeta iz engleskog jezika). Slika 3.1. Notacija strana Rubikove kocke Kutne kockice se označavaju tako da se nabroje vidljive strane u smjeru kazaljke na satu. Tako na primjer, kockica koja se nalazi u gornjem, desnom, prednjem kutu se označava sa urf (ili rfu ili fur). Kada nije važno koja je strana prva navedena govori se o neorijentiranim kockicama. No, kad se govori o orijentiranim kockicama, važno je koja je strana prva navedena. Tada su orijentirane kutne kockice urf, rfu, fur različite. Na isti način se imenuju rubne i središnje kockice. Tako se na primjer, središnja kockica na desnoj strani označava sa r jer je to jedina vidljiva strana te središnje kockice. Takoder, postoje prostori u kojima kockice žive. Označeni su na isti način kao i kockice. Ako je Rubikova kocka u početnom položaju tj. ako je riješena, svaka kockica se nalazi u prostoru kockice istog naziva (urf kockica se nalazi u urf prostoru). Ako

15 12 se rotira strana kocke, kockice mijenjaju svoj položaj, a prostori se ne miču. Samo središnje kockice uvijek ostaju u istom prostoru. Osnovni potez na Rubikovoj kocki je rotacija jedne strane za pravi kut u smjeru kazaljke na satu. Singmasterova notacija za 6 osnovnih poteza glasi: F (eng. Front): rotacija prednje strane B (eng. Back): rotacija stražnje strane U (eng. Up): rotacija gornje strane D (eng. Down): rotacija donje strane L (eng. Left): rotacija lijeve strane R (eng. Right): rotacija desne strane Slijed osnovnih poteza čini potez. Na primjer, LRRRD znači redom okrenuti lijevu, triput zaredom desnu i jednom donju stranu kocke za pravi kut u smjeru kazaljke na satu. Kada apostrof ili eksponent 1 slijedi slovo, to znači da tu stranu kocke treba okrenuti suprotno od kazaljke na satu za pravi kut (90 ). Slovo kojeg slijedi eksponent 2, npr. D 2 znači da tu stranu treba okrenuti za 180. Znači, ako je X bilo koji osnovni potez, eksponent označava koliko puta treba taj osnovni potez izvršiti: X 2 =XX, X 3 = XXX,..., X n = XXX... X(n puta). Ako se osnovni potez ponovi 4 puta, efekt je isti kao da se nije niti jedna radnja izvršila. Na primjer, X 4 = I = X 0, gdje je X bilo koji osnovni potez, a I označava ništa ne raditi. Takoder, ako se izvede okret jedne strane za pravi kut pa se zatim izvede u suprotnom smjeru, to je isto kao i ništa ne raditi (XX 1 = X 1 X = I). Ako se izvede potez XY, npr: FR tj. okret prvo prednje, a onda desne strane za pravi kut, kocka će se u početno stanje vratiti tako da se prvo napravi okret desne strane (R 1 ), pa okret prednje strane (F 1 ) u suprotnom smjeru kazaljke na satu. Općenito vrijedi: (XY... Z) 1 potezi. = Z 1... Y 1 X 1, gdje su X, Y,..., Z osnovni Okret jedne strane u suprotnom smjeru kazaljke na satu za 90 ima isti efekt kao i okret te strane u smjeru kazaljke na satu za 270 (X 1 = X 3 ). Iz svega navedenog slijedi da se uzastopnim okretanjem jedne strane razlikuju samo 4 poteza: X 0, X 1, X 2, X 3, gdje je X bilo koji od mogućih 6 osnovnih poteza. Primjer 3.1 R 9 = R = R 1 R 4 R 4 = RII = R (okrenuti desnu stranu devet puta je isto kao okrenuti desnu stranu jedanput).

16 13 Zbog toga, za okretanje jedne strane kocke, za potpun opis svih mogućih situacija dovoljan je četveročlani skup: C 4 = {X 0, X 1, X 2, X 3 }. Na temelju činjenica da osnovni potezi ne mijenjaju prostore središnjih kockica te da kutne kockice mogu doći samo na mjesto kutnih kockica, a rubne na mjesto rubnih, mogu se proučavati moguće konfiguracije Rubikove kocke: 8 kutnih kockica mogu se raspodijeliti na 8! načina. Svaka kutna kockica ima tri orijentacije pa se prethodni broj mora pomnožiti s rubnih kockica mogu se raspodijeliti na 12! načina. Svaka rubna kockica ima dvije orijentacije pa se prethodni broj mora pomnožiti s Sve zajedno daje ukupno !12! mogućih konfiguracija Rubikove kocke. To je oko , odnosno 519 trilijuna mogućih konfiguracija. Iako su, teoretski gledano, sve ove konfiguracije moguće, nisu sve valjane! Samo uz pomoć valjanih konfiguracija sa može izvršiti skup poteza koji omogućuju vraćanje Rubikove kocke u početni položaj, tj. moguće je riješiti Rubikovu kocku Grupa i podgrupe Rubikove kocke Grupa Rubikove kocke Prije daljnjeg razmatranja Rubikove kocke, prisjetit ćemo se što je to grupa. Definicija 3.1 Neka je G neprazni skup. Svako preslikavanje : G G G sa Kartezijevog produkta skupa G sa samim sobom u skup G zove se binarna operacija na skupu G. Definicija 3.2 Grupa je algebarska struktura koje se sastoji od nepraznog skupa G i binarne operacije koja je definirana za svaka dva elementa iz G, i ima sljedeća svojstva: (a, b) a b sa G G u G, 1. Zatvorenost: a, b G, a b G. 2. Asocijativnost: a, b, c G, (a b) c = a (b c). 3. Neutralni element: e G tako da je a e = e a = a a G (neutralni element je jedinstven, te se ponekad označava i s 1). 4. Inverzni element: a G a G tako da je a a = a a = e. Prema tomu, grupa je par (G, ). Definicija 3.3 Grupa (G, ) je komutativna ili Abelova ako je a b = b a, a, b G.

17 14 Definicija 3.4 Grupa se naziva konačnom ukoliko je skup G konačan. Definicija 3.5 Broj elemenata neke konačne grupe G se označava s G ili red (G) i zove se red grupe G. Tada, skup svih mogućih poteza na Rubikovoj kocki se može označiti s G, pritom se dva poteza smatraju istim ako daju isti rezultat (npr. okret desne strane je isto kao i okret desne strane u suprotnom smjeru tri puta). Binarna operacija se može definirati na idući način: ako su X i Y dva poteza, tada X Y označava potez gdje se prvo izvršio potez X pa zatim potez Y. Par (G, ) čini grupu. Treba provjeriti sva svojstva kako bi se pokazalo da je skup (G, ) grupa: 1. Zatvorenost: jedan potez, nakon kojeg slijedi drugi potez ponovno daje potez koji je element skupa G. 2. Asocijativnost: u ovom slučaju radi se operaciji koja je kompozicija funkcija, a kompozicija funkcija je uvijek asocijativna. 3. Neutralni element: potez koji ništa ne mijenja na kocki. 4. Inverzni element: svaki potez se može izvesti unatrag i time ga poništiti (nakon svakog poteza nekim potezom iz skupa se može vratiti kocka u početno stanje). Stoga, skup svih poteza Rubikove kocke na kojem je definirana operacija uzastopnog izvodenja elemenata tog skupa označeno nadopisivanjem, je grupa. No, grupa Rubikove kocke (G, ) nije Abelova, ne zadovoljava svojstvo komutativnosti. To se lagano može primjetiti na kocki: kocka različito izgleda nakon DR, nego nakon RD. Nekomutativnost grupe Rubikove kocke je vrlo važno svojstvo. Kad bi svaka dva poteza komutirala rješavanje kocke bi bilo trivijalno. Trebalo bi se samo prebrojati koliko puta su izvedeni potezi na pojedinim stranama i svaku stranu okrenuti do sljedećeg višekratnika od 4, jer je 4 red grupe čiji se elementi sastoje od kombinacija jednog od osnovnih poteza. Na primjer, ako je 5 puta izveden osnovni potez R i 2 puta osnovni potez D, da vrijedi komutativnost, kocka bi se vratila u svoj početni položaj ako se izvede 3 puta osnovni potez R i 2 puta osnovni potez D. Izvodenje poteza je komutativno samo ako se radi o potezima sa samo jednom stranom. Red grupe Rubikove kocke je broj koji označava koliko ima različitih konfiguracija kocke koje se mogu dobiti primjenom osnovnih poteza, a taj broj iznosi Binarna operacija često se izostavlja, pa se tako umjesto g h može pisati samo gh. Stoga, grupa (G, ) se može zapisati samo sa G i označava grupu na kojoj je definirana navedena binarna operacija.

18 Podgrupe Kako bi se pokušala razumjeti grupa Rubikove kocke čiji je red ogroman, treba se krenuti od jednostavnije situacije: razmatranja njezinih podgrupa. Zbog preglednosti i manjeg broja slučajeva pogodnije su za objašnjenje i ilustriranje različitih pojmova. Definicija 3.6 Neka je (G, ) grupa. Neprazni podskup H G je podgrupa od G ako je H s obzirom na operaciju takoder grupa. Primjer 3.2 Već spomenuti četveročlani skup C 4 = {X 0, X 1, X 2, X 3 }, gdje je X jedan od mogućih 6 osnovnih poteza (R, L, U, D, F, B) je podgrupa grupe Rubikove kocke. To su najjednostavnije podgrupe. Njihov red iznosi 4 jer broj elemenata u skupu je 4. Grupa C 4 ima i jedno dodatno svojstvo: nije bitan redoslijed izvodenja poteza (isti je rezultat nakon okreta jedne strane za 90, pa za 180 ili obrnuto), tj. vrijedi svojstvo komutativnosti. LR je podgrupa (tj. svake dvije suprotne strane čine podgrupu): to je takoder trivijalna grupa jer okreti dviju suprotnih strana su nezavisni i ima 16 elemenata. R 2 U 2 je podgrupa: ta se grupa sastoji od svih poteza koji se mogu dobiti izvodenjem okreta prvo desne pa gornje strane za 180 u smjeru kazaljke na satu. Ponavljajući R 2 U 2 6 puta zaredom, kocka se vraća u svoj početni položaj. Za rješavanje Rubikove kocke veliku ulogu imaju klase (eng. coset) koje se definiraju na sljedeći način: Definicija 3.7 Neka je H podskup grupe G, tada za g G vrijedi: gh = {gh : h H} je lijeva klasa podgrupe H u grupi G Hg = {hg : h H} je desna klasa podgrupe H u grupi G Generatori Definicija 3.8 Neka je S G. Sa S označavamo najmanju podgrupu od G koja sadrži S. Definicija 3.9 Neka je S G podskup grupe G. S generira G (S je skup generatora od G) ako G = S, tj. svaki element grupe G se može zapisati kao konačan produkt elemenata iz S i njezinih inverza (inverzi nisu nužni ako se radi o konačnoj grupi). Primjer 3.3 Svaki element grupe G se može zapisati kao konačan slijed osnovnih poteza Rubikove kocke, stoga je G = D, U, L, R, F, B. Svaki element grupe C 4 se može zapisati uz pomoć osnovnog poteza X, stoga za svaki X = D, U, L, R, F, B, vrijedi C 4 = X.

19 16 Definicija 3.10 Grupa G je ciklička ako je generirana jednim jedinim elementom, tj. ako postoji g G sa svojstvom da je G = g. Element g se zove generator grupe G. Primjer 3.4 Grupa C 4 je ciklička grupa. Njezin generator je osnovni potez X. Sljedeća propozicija je veoma korisna za Rubikovu kocku jer govori da je umjesto svojstava svih mogućih poteza, dovoljno razumjeti svojstva 6 osnovnih poteza Rubikove kocke. Propozicija 3.1 Neka je S G podskup konačne grupe G. Neka su zadovoljena sljedeća dva uvjeta: 1. Svaki element iz S i inverz svakog elementa iz S zadovoljavaju svojstvo P. 2. Ako g G i h G zadovoljavaju svojstvo P, tada i gh zadovoljava svojstvo P. Tada, svaki element iz S zadovoljava svojstvo P. Dokaz : Svaki element iz S se može zapisati u obliku s ±1 1 s ±1 2 s ±1 n, gdje je n N, a s i, i = 1,..., n elementi iz S. Dokaz se provodi indukcijom po n: 1. Baza indukcije: za n=1, s ±1 1 zadovoljava svojstvo P. 2. Induktivna pretpostavka: pretpostavimo da s ±1 1 s ±1 n 1 zadovoljava svojstvo P. 3. Korak indukcije: uz pomoć induktivne pretpostavke vrijedi: produkt (s ±1 1 s ±1 je produkt dvaju elemenata koji zadovoljavaju svojstvo P, pa zbog toga i on s ±1 n takoder zadovoljava svojstvo P. Kako se radi o konačnoj grupi, poput grupe Rubikove kocke, primijetimo da smo iz uvjeta 1. prethodne propozicije mogli izbaciti dio da inverzi elemenata iz S zadavoljavaju svojstvo P. Zaista, svaki element s S je konačnog reda (jer je red elemenata manji ili jednak redu grupe) te postoji n N takav da je s n = e. Odakle je s s n 1 = s n 1 s = e, pa je s 1 = s n 1. No, tada prema uvjetu 2. prethodne propozicije direktno slijedi da i s 1 zadovoljava svojstvo P Simetrična grupa Prije nego li se počnu proučavati konfiguracije kockica Rubikove kocke, prvo treba krenuti od konfiguracija bilo kojih n objekata. Neka su dani objekti označeni s 1, 2,..., n. Tada postoji bijekcija σ : {1, 2,..., n} {1, 2,..., n} koja svakom objektu 1, 2,..., n pridružuje točno jedan objekt iz skupa {1, 2,..., n}. Funkcija σ definira razmještaj (permutacije) danih n objekata. Stoga, umjesto proučavanja skupa svih mogućih razmještaja, može se proučavati bijekcija {1, 2,..., n} {1, 2,..., n}. Skup svih bijektivnih preslikavanja nekog konačnog skupa na sebe je grupa. n 1)

20 17 Definicija 3.11 Simetrična grupa stupnja n je skup bijekcija (permutacija) sa {1, 2,..., n} u {1, 2,..., n} na kojem je definirana binarna operacija kompozicije i označava se sa S n. Simetrična grupa S n je grupa svih permutacija skupa {1, 2,..., n}. Dokaz da je S n grupa je trivijalan: kompozicija bijekcija je opet bijekcija, svaka bijekcija ima inverz koji je bijekcija, te je identiteta bijekcija. Elemente simetrične grupe i način kako ih zapisati najbolje je prikazati na primjeru Rubikove kocke gdje se želi opisati kako i gdje se miče svaka kockica i svaka strana kockica kad se izvede neki osnovni potez. Primjer 3.5 Kad se rastvori kocka, desna strana Rubikove kocke izgleda ovako: u u u f r r r b f r r r b f r r r b d d d Ako se rotira desna strana za pravi kut, tj. izvede se osnovni potez R, tada desna strana izgleda: f f f d r r r u d r r r u d r r r u b b b Dakle, R(rfu)=rub: kutna kockica rfu premjestila se u prostor rub, tj. na mjesto gdje je prije bila kutna kockica rub (r strana kockice leži u r strani prostora, f strana kockice leži u u strani prostora, i u strana kockice leži u b strani prostora). To vrijedi i za ostale kutne kockice: R(rub) = rbd, R(rbd) = rdf, R(rdf) = rfu. Slično se mogu opisati i rubne kockice: R(ru) = rb, R(rb) = rd, R(rd) = rf, R(rf) = ru. Ako se to sve zapiše kao i j što znači R(i) = j dobiva se: rfu rub, rub rbd, rbd rdf, rdf rfu ru rb, rb rd, rd rf, rf ru Ti podaci govore što osnovni potez R radi svakoj kockici na Rubikovoj kocki, stoga oni definiraju R. Kraće se piše: R = (rfu rub rbd rdf)(ru rb rd rf) Pritom, (rfu rub rbd rdf) i (ru rb rd rf) se zovu ciklusi ili cikličke permutacije. Na sličan način, svaki osnovni potez ili slijed poteza na Rubikovoj kocki se može promatrati kao permutacija (preuredivanje) kockica.

21 18 Primjer 3.6 Potez FFRR se može zapisati kao permutacija: FFRR=(df uf)(dr ur)(br fr fl)(dbr ufr dfl)(ulf urb drf). Definicija 3.12 Ciklus ili ciklička permutacija (i 1 i 2 i k ) je element τ S n definiran s τ(i 1 ) = i 1, τ(i 2 ) = i 3,..., τ(i k 1 ) = i k, τ(i k ) = i 1 i τ(j) = j ako je j i r r. Duljina ciklusa je k, a supp τ označava skup brojeva (i 1 i 2 i k ) koji se pojavljuju u ciklusu. Ciklus duljine k se zove k-ciklus. Definicija 3.13 Dva ciklusa su disjunktna ako je njihov presjek prazan skup, tj. ako nemaju zajedničkih elemenata (supp σ supp τ = ). Lema 3.1 Ako su σ, τ S n dva disjunktna ciklusa, onda je στ = τσ. Dokaz : Neka je i {1,..., n}. Pošto je στ = τσ, postoje dvije mogućnosti: i / supp σ i i / supp τ. U tom slučaju, σ(i) = i i τ(i) = i, stoga (σ τ)(i) = τ(i) = i i (τ σ)(i) = σ(i) = i Inače, i je element točno jednog ciklusa σ ili τ. Bez smanjenja općenitosti, pretpostavimo da je i / supp σ i i supp τ. Tada, σ(i) = i, stoga (σ τ)(i) = τ(i). S druge strane, (τ σ)(i) = σ(τ(i)). Pošto je τ(i) supp τ i supp σ supp τ =, τ(i) / supp σ. Dakle, σ(τ(i)) = τ(i). Stoga ponovno vrijedi (στ)(i) = (τσ)(i). Dakle, (στ)(i) = (τσ)(i) = i, i, što pokazuje da vrijedi στ = τσ. Primjedba 3.1 Svaki ciklus τ S n se može prikazati kao produkt disjunktih ciklusa, tj. ciklusa koji ne sadrže iste brojeve (elemente). U prethodnom primjeru, R koji označava rotaciju desne strane Rubikove kocke za pravi kut, sastoji se od dva disjunktna ciklusa: (rfu rub rbd rdf) i (ru rb rd rf) Parnost Svaka permutacija u S n se može zapisati kao konačan produkt 2-ciklusa. Ciklus duljine 2 se zove transpozicija. Primjer 3.7 Osnovni potez R se može prikazati kao produkt 6 transpozicija: R=(rfu rub rbd rdf)(ru rb rd rf)=(rfu rub)(rfu rbd)(rfu rdf)(ru rb)(ru rd)(ru rf) Parnost ciklusa duljine n je odreden brojem transpozicija od kojih je sastavljen. Ako je n paran, potreban je neparan broj transpozicija, pa je permutacija neparna. Ako je n neparan, potreban je paran broj transpozicija, pa je permutacija parna. Važna činjenica o parnosti Rubikove kocke koja ima veliku ulogu prilikom rješavanja kocke glasi: Teorem 3.1 Rubikova kocka je parna, tj. uvijek se paran broj kockica ne nalazi u svom početnom položaju.

22 19 Dokaz: Dokaz se provodi matematičkom indukcijom gdje n označava broj rotacija strane. 1. Baza indukcije: za n=0, niti jedna kockica nije promijenila svoj položaj, 0 je paran. 2. Induktivna pretpostavka: P(n): pretpostavimo da je poslije n rotacija paran broj kockica promijenilo svoj položaj. 3. Korak indukcije: na temelju P(n) treba pokazati da tvrdnja vrijedi za P(n+1). Svaki potez se sastoji od osnovnih poteza. Na primjer, permutacija osnovnog poteza F glasi: F = (fl fu fr fd)(flu fur frd fdl) = (fl fu)(fl fr)(fl fd)(flu fur) (flu frd)(flu fdl). Pošto se svaki ciklus duljine 4 može zapisati kao 3 2-ciklusa, za osnovni potez dobije se 6 2-ciklusa, pa je parnost svakog osnovnog poteza paran. Pošto se nakon n poteza izmijeni paran broj kockica, te pošto je n+1 potez osnovni potez koji je takoder paran, ukupno se dobije paran broj izmijenjenih kockica. Budući da je svaka permutacija Rubikove kocke parna, ne postoji potez koji će promijeniti položaj samo jednom paru kockica. To znači, ako se dvije kockice ne nalaze u svom početnom položaju, onda mora postojati još kockica koje se ne nalaze u svom početnom položaju Homomorfizam grupa Definicija 3.14 Neka su (G, ) i (H, ) grupe. Homomorfizam grupe G u grupu H je preslikavanje φ : G H za koje vrijedi φ(a b) = φ(a) φ(b), a, b G. Homomorfizam je preslikavanje medu algebarskim strukturama koje se može jednostavno prikazati na Rubikovoj kocki. Primjer 3.8 Može se definirati preslikavanje φ kut : G S 8 na sljedeći način: svaki potez iz G preureduje kutne kockice te je na takav način definirana permutacija 8 neorijentiranih kutnih kockica. Znači, svaki M G definira neku permutaciju σ S 8. Neka je φ kut (M) = σ, tj. φ kut (M) je element od S 8 koji opisuje što M radi s neorijentiranim kutnim kockicama. Na primjer, iz prethodnog primjera može se vidjeti da se R sastoji od dva disjunktna ciklusa (rfu rub rbd rdf) i (ru rb rd rf). Stoga, φ kut (R)=(rfu rub rbd rdf). Slično se može definirati homomorfizam φ rub : G S 12 tako da je φ rub (M) element od S 12 koji opisuje što M radi s neorijentiranim rubnim kockicama. Na primjer, φ rub (R) =(ru rb rd rf).

23 20 Konačno, može se definirati homomorfizam kocke φ kocka : G S 20 koja opisuje permutacije svih 20 neorijentiranih rubnih i kutnih kockica. Na primjer, φ kocka (R)=(rfu rub rbd rdf)(ru rb rd rf). Definicija 3.15 Jezgra Ker(φ) homomorfizma φ grupe G u grupu H je skup svih elemenata iz G koje φ preslikava u neutralni element 1 φ grupe H, tj. Ker(φ) = {g G : φ(g) = 1 φ }. Primjer 3.9 Jezgra homomorfizma φ kocka : G S 20 se sastoji od svih poteza na Rubikovoj kocki koji ne mijenjaju položaj niti jedne kockice, tj. Ker(φ kocka ) se sastoji od svih poteza koji djeluju na orijentaciju, a ne na položaj kockica. Taj skup je vrlo važan jer ako se sve kockice nalaze na pravom položaju, ali nemaju pravilnu orijentaciju, treba samo naći prave poteze iz tog skupa koji će utjecati samo na orijentaciju kockica. Na temelju definiranih pojmova: parnost permutacija i homomorfizam grupa može se opisati još jedan pojam vezan za grupu Rubikove kocke, a to je alternirajuća grupa (eng. alternating group). Taj pojam će biti važan prilikom dokazivanja valjanosti konfiguracija Rubikove kocke. Produkt parne i neparne permutacije je neparna permutacija. Produkt dviju parnih ili dviju neparnih permutacije je parna permutacija. Inverz parne permutacije je paran, a inverz neparne je neparna permutacija. Stoga, može se definirati podgrupa od S n koja se sastoji od svih parnih permutacija. Ta grupa se zove alternirajuća grupa i označava se sa A n. Primjer 3.10 Neka je M G jedan od osnovnih poteza: D, U, L, R, F, B. Tada, φ kocka (M) je produkt 2 4-ciklusa. Pošto je svaki 4-ciklus neparan, produkt 2 4-ciklusa je paran. Stoga, preslikavanje φ kocka (M) je parno. Pošto svi osnovni potezi generiraju skup G, to znači da je preslikavanje φ kocka (M) parno M G, tj. φ kocka (M) A 20, M G. Stoga, φ kocka (M) = φ kut (M)φ rub (M), pa ili su φ kut (M) i φ rub (M) parni, ili su oba neparni, tj. φ kut (M) i φ rub (M) imaju isti predznak što je vrlo važna činjenica za dokazivanje koja je konfiguracija Rubikove kocke valjana Djelovanje grupe Djelovanje grupe je još jedan u nizu matematičkih pojmova koji se na jednostavan način može razumjeti uz pomoć Rubikove kocke. Definicija 3.16 (Desno) djelovanje grupe grupe (G, ) na neprazni skup A je preslikavanje A G A koje zadovoljava sljedeća svojstva: 1. (a g 1 ) g 2 = a (g 1 g 2 ) g 1, g 2 G, a A 2. a e = a a A (e je neutralni element grupe G). Primjer 3.11 Neka je G grupa Rubikove kocke i C jedna konfiguracija Rubikove kocke. Tada vrijedi:

24 21 1. Nakon što se primijeni potez M 1, dobije se nova konfiguracija Rubikove kocke C M 1. Nakon primjene poteza M 2, konfiguracija postaje (C M 1 ) M 2. Znači, na početnu konfiguraciju primijenjen je potez M 1 M 2. Drugi način pisanja nove konfiguracije je C (M 1 M 2 ). Stoga je (C M 1 ) M 2 = C (M 1 M 2 ), za sve konfiguracije C i poteze M 1 M 2 G. 2. Ako se ne primijeni niti jedan potez (neutralni element e G), tada se konfiguracija ne mijenja, tj. C e = C. Znači, elementi grupe Rubikove kocke (elementi su potezi na Rubikovoj kocki) djeluju na elemente nekog skupa (skup konfiguracija Rubikove kocke). Primjedba 3.2 Ako postoji djelovanje grupe G na skup A, onda se kaže G djeluje na A. Primjer 3.12 Grupa G djeluje na skup svih konfiguracija Rubikove kocke (skup sadrži i konfiguracije koji nisu valjane). Definicija 3.17 Neka G djeluje na skup A. Orbita od a A je skup {a g : g G}. Primjer 3.13 G djeluje na skup svih konfiguracija Rubikove kocke. Orbita početne konfiguracije je skup svih valjanih konfiguracija Rubikove kocke Konfiguracije Rubikove kocke Rubikova kocka je jednostavna slagalica iza koje stoji ozbiljna matematika. No, glavni cilj ove slagalice je iz bilo koje konfiguracije, skupom poteza se vratiti u početni položaj, tj. u položaj gdje je svaka strana kocke u jednoj boji. Konfiguracije Rubikove kocke odredene su sa 4 podatka 1 : položaj kutnih kockica položaj rubnih kockica orijentacija kutnih kockica orijentacija rubnih kockica Prvi podatak se može opisati kao preslikavanje σ S 8 koje premješta kutne kockice iz svog početnog položaja u neki novi položaj. Drugi podatak se može opisati kao preslikavanje τ S 12 koje premješta rubne kockice u novi položaj. Za treći i četvrti podatak važna je samo pravilna notacija. Osnovna ideja je zapamtiti notaciju početne orijentacije i zapisati na koji se način notacija nove orijentacije razlikuje od notacije početne orijentacije. Notacija orijentacija kutnih kockica se može opisati na sljedeći način: Svaka kutna kockica ima 3 moguće orijentacije koje se mogu numerirati brojevima 0, 1 i 2. Neka se Rubikova kocka nalazi u početnom položaju i neka jedna strana svakog kutnog prostora sadrži broj kao što slijedi: 1 Oznake i notacija su preuzete iz [3], poglavlje 6, str. 20.

25 22 1 se nalazi na u strani ufl prostora 2 se nalazi na u strani urf prostora 3 se nalazi na u strani ubr prostora 4 se nalazi na u strani ulb prostora 5 se nalazi na d strani dbl prostora 6 se nalazi na d strani dlf prostora 7 se nalazi na d strani dfr prostora 8 se nalazi na d strani drb prostora Znači, svaki kutni prostor ima numeriranu jednu stranu. Stoga, svakoj kutnoj kockici jedna strana leži na numeriranoj strani kutnog prostora. Ta strana neka je označena s 0. Sljedeće dvije strane, gledajući u smjeru kazaljke na satu, neka su označene s 1 i 2 (Slika 3.2.). Slika 3.2. Numeracija strana kutnih kockica Tada se na svakoj strani kutnih kockica nalazi broj. Ako se Rubikova kocka nalazi u bilo kojoj konfiguraciji, orijentacija kutnih kockica se opisuje na sljedeći način: za svaki i izmedu 1 i 8, treba naći stranu kutnog prostora koja je označena sa i, pritom x i označava broj koji se nalazi na strani kutne kockice koja živi na toj strani kutnog prostora. Stoga, orijentacija kutnih kockica se označava sa uredenom 8-orkom x = (x 1,..., x 8 ). Budući da kutna kockica koja je triput zaokrenuta ima istu orijentaciju kao i kutna kockica koja je nula puta zaokrenuta, x i se može promatrati kao element skupa cijelih brojeva modulo 3 (element iz Z/3Z), tj. x je uredena 8-orka elemenata iz (Z/3Z). Na isti način se može opisati orijentacija rubnih kockica. Rubni prostori neka budu označeni na sljedeći način: 1 se nalazi na u strani ub prostora 2 se nalazi na u strani ur prostora 3 se nalazi na u strani uf prostora 4 se nalazi na u strani ul prostora 5 se nalazi na b strani lb prostora 6 se nalazi na b strani rb prostora

26 23 7 se nalazi na f strani rf prostora 8 se nalazi na f strani lf prostora 9 se nalazi na d strani db prostora 10 se nalazi na d strani dr prostora 11 se nalazi na d strani df prostora 12 se nalazi na d strani dl prostora Svaka rubna kockica ima stranu koja leži na numeriranoj strani rubnog prostora. Ta strana označena je s 0, a druga strana rubne kockice označena je s 1. Stoga, y i je broj koji se nalazi na strani rubne kockice koja se nalazi na strani rubnog prostora numeriran sa i. To definira y (Z/2Z) 12. Opisane orijentacije kockica najlakše je razumjeti na primjeru: Primjer 3.14 Treba naći x i y nakon što se primijeni osnovni potez R na kocku koja se nalazi u početnom položaju. U početnoj konfiguraciji, desna strana Rubikove kocke izgleda: u u u f r r r b f r r r b f r r r b d d d Na stranama kutnih prostora nalaze se brojevi: Dakle, označavanje strana kutnih kockica glasi: Rotacijom desne strane kocke za 90, dobiva se: Kad se izvrši osnovni potez R, kutne kockice na lijevoj strani su netaknute pa je x 1 = 0, x 4 = 0, x 5 = 0 i x 6 = 0. Sa dijagrama se očitava: x 2 = 1, x 3 = 2, x 7 = 2 i x 8 = 1. Stoga, x = (0, 1, 2, 0, 0, 0, 2, 1) Na isti način se može pokazati orijentacija rubnih kockica:

27 24 Početna konfiguracija: u u u f r r r b f r r r b f r r r b d d d Numeracija strana rubnih prostora: Numeracija rubnih kockica: Rotacija desne strane za 90 : Sa dijagrama se očitava da niti jedna rubna kockica nije promijenila svoju orijentaciju nakon što se primijenio osnovni potez R, pa je y = (0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0). Stoga, svaka konfiguracija Rubikove kocke se može opisati sa σ S 8, τ S 12, x (Z/3Z) 8 i y (Z/2Z) 12, tj. svaka konfiguracija Rubikove kocke je uredena 4-orka (σ, τ, x, y). Primjedba 3.3 Početna konfiguracija Rubikove kocke je (1, 1, 0, 0) Valjane konfiguracije Rubikove kocke No, od mogućih konfiguracija Rubikove kocke, nisu sve valjane. Konfiguracija Rubikove kocke je valjana ako se može dobiti slijedom poteza na kocki koja se nalazi u početnom položaju. Sljedeći teorem daje karakterizaciju valjanih konfiguracija: Teorem 3.2 Konfiguracija (σ, τ, x, y) je valjana ako i samo ako sgn σ = sgn τ, x i 0(mod 3) i y i 0(mod 2). Dokaz ovog teorema se može naći u [3], poglavlje 11, str. 35. Teorem pokazuje da od svih mogućih konfiguracija Rubikove kocke, samo je 1 12 valjana. To znači da postoji više od valjanih konfiguracija, što nije mali broj. Primjer 3.15 Osnovni potez R se može zapisati kao: R=(rfu rub rbd rdf)(ru rb rd rf)

28 25 Ciklus kutnih kockica se sastoji od neparnog broja transpozicija, pa preslikavanje σ S 8 ima predznak 1. Ciklus rubnih kockica sa sastoji od neparnog broja transpozicija, pa preslikavanje τ S 12 takoder ima predznak 1. Orijentacija kutnih kockica je x = (0, 1, 2, 0, 0, 0, 2, 1), pa vrijedi x i 0(mod 3). Orijentacija rubnih kockica je y = (0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0), pa vrijedi y i 0(mod 2). Stoga, osnovni potez R je valjana konfiguracija Graf Svaka permutacijska grupa ima svoju grafičku interpretaciju. Za početak, pitanje glasi: što je graf? Definicija 3.18 Graf je uredeni par (V, E) koji se sastoji od skupa V čiji se elementi zovu vrhovi skupa E čiji su elementi neuredeni parovi {{v 1, v 2 } v 1, v 2 bridovi. V } koji se zovu Definicija 3.19 Ako je svakom elementu iz E pridružen ureden par iz V, onda se graf zove usmjereni graf ili digraf (eng. directed graph). Graf se prikazuje crtežom u ravnini u kojem se vrhovi grafa prikazuju točkama, bridovi kao spojnice točaka, a usmjereni bridovi kao spojnice sa strelicom. Ako e = {v 1, v 2 } pripada skupu E, tada se kaže da je e brid od v 1 do v 2 (ili od v 2 do v 1 ). Put od vrha v do vrha w je konačan slijed bridova od v do w. Ako taj put postoji, onda se kaže da su vrhovi v i w povezani. Ako je svaki par vrhova povezan, kaže se da je graf (V, E) povezan. Stupanj vrha v je broj bridova incidentnih s v, a oznaka je stupanj(v) ili deg(v). Definicija 3.20 Udaljenost vrhova v i w u grafu je duljina d(v, w) najkraćeg puta koji spaja v i w. Ako v i w nisu povezani tada je d(v, w) =. Dijametar grafa je najveća udaljenost: Cayley graf diam (V, E)= max {d(v, w) v, w V }. Neka je G = g 1, g 2,, g n permutacijska grupa, tada vrijedi: Definicija 3.21 Cayley graf od G je graf (V,E) čiji su vrhovi V elementi od G, a bridovi se odreduju sljedećim uvjetom: ako x i y pripadaju V=G, tada postoji brid od x do y (ili od y do x) ako i samo ako y = g x ili x = g y, za neki g G. Definicija 3.22 Cayley digraf od G je digraf (V,E) čiji su vrhovi V elementi od G, a bridovi se odreduju sljedećim uvjetom: ako x i y pripadaju V=G, tada postoji brid od x do y ako i samo ako y = x g, za neki g G.

29 26 Cayley graf je koristan način da se dobije uvid u strukturu grupe i podgrupa Rubikove kocke. Svojstva koja opisuju Cayley graf za grupu Rubikove kocke su: Svaki g G je vrh. Svakom generatoru grupe s S je dodijeljena boja c s. Za neki g G, s S, elementi koji odgovaraju g i gs su spojeni usmjerenim bridom koji je boje c s. Cayley graf za grupu Rubikove kocke bi imao 43 trilijuna vrhova, no ipak, može se prikazati Cayley graf za manje podgrupe. Cayley graf za podgrupu grupe Rubikove kocke generiran osnovnim potezom R izgleda: Slika 3.3. Cayley graf Pitanje je kako bi izgledao Cayley graf za grupu generiranu sa U? On bi izgledao isto kao i za grupu generiranu sa R. Ako dvije grupe imaju isti Cayley graf, tada one imaju istu strukturu, pa se za njih kaže da su izomorfne. Dvije izomorfne grupe imaju jednak red i isti utjecaj na kocku. Na primjer, potez FFRR ima isti utjecaj na kocku kao i potez RRBB kad bi L strana sada bila prednja. Štoviše, rješenje Rubikove kocke je zapravo put u grafu od vrhova koji su povezani u trenutni položaj kocke do vrhova koji su povezani u identitetu. Broj poteza u najkraćem mogućem rješenju je udaljenost izmedu tih vrhova. Dijametar Cayleyevog grafa od G je broj poteza najboljeg mogućeg rješenja najgoreg mogućeg slučaja Božanski algoritam Drugi naziv za traženje dijametra Cayleyevog grafa grupe Rubikove kocke je božanski algoritam (iako se taj naziv koristi i za označavanje jednog težeg problema). To je algoritam koji daje osnovne poteze koji iz bilo koje konfiguracije vode ka početnom položaju, a broj tih osnovnih poteza se zove božanski broj. Dijametar Cayleyevog grafa je neriješen problem za mnoge slagalice, te ga je čak i uz pomoć računala jako teško pronaći.

30 27 Slagalice kojima je naden dijametar su: Slagalica Dijametar Pyraminx 11 (bez poteza vrha) Skewb Rubikova kocka 14 (u QTM) Dijametri su pronadeni uz pomoć računala. Mnogi ljudi su se bavili otkrivanjem božanskog algoritma za Rubikovu kocku. Taj problem i danas pobuduje veliki interes kod matematičara i obožavatelja Rubikove kocke. Postoji dva puta za traženje božanskog algoritma i božanskog broja: 1. Osnovni potezi su okreti bilo koje strane za 90 ili za 180. Stoga, u ovom slučaju, božanski broj je dijametar Cayleyevog grafa grupe G koja je generirana sa skupom L, R, U, D, F, B, L 2, R 2, U 2, D 2, F 2, B 2. Takva metrika u kojoj je i okret za 180 osnovni potez kraće će se zvati i pisati HTM (eng. half-turn metric). 2. Osnovni potezi su okreti bilo koje strane za 90. Božanski broj je dijametar Cayleyevog grafa grupe G koja je generirana sa skupom L, R, U, D, F, B. Takva metrika će se zvati QTM (eng. quarter-turn metric). Potrebno je najmanje 18 poteza kako bi se složila Rubikova kocka i taj broj označava donju granicu. Pitanje je, koliko je potrebno najviše poteza, tj. koliko iznosi gornja granica? Smatra se da je najteži slučaj za rješavanje Rubikove kocke kad se sve kutne i rubne kockice na Rubikovoj kocki nalaze u pravilnom položaju, a rubne kockice nisu pravilno orijentirane. Taj slučaj, kada je položaj kocke najdalji od početnog položaja, je nazvan superflip g. Dik T. Winter je pokazao da se taj slučaj može riješiti u 20 osnovnih poteza u HTM, a Michael Reid i Jerry Bryan su g. pokazali da je potrebno 24 osnovnih poteza u QTM. Medutim, g. Reid je otkrio položaj kojemu treba 26 osnovnih poteza u QTM kako bi se vratio u početni položaj, taj položaj je nazvan superflip sastavljen sa 4 točkice. Prve gornje granice su temeljene na ljudskim algoritmima. Smatralo se da božanski broj iznosi oko 100. No, takav pristup nije bio zadovoljavajući, te su se tražili novi načini i počela su se koristiti računala. Kombinirajući najgore moguće slučajeve, Morwen Thistlethwaite je otkrio da gornja granica iznosi oko 52. Douglas Hofstadter je detaljno opisao Thistlethwaiteov algoritam u časopisu Scientific American, g. Njemački profesor matematike Herbert Kociemba je g. poboljšao Thistlethwaiteov algoritam. Pomoću tog algoritma, u većini slučaja je bilo potrebno manje od 21 poteza da bi se složila Rubikova kocka. Michael Reid je godine dokazao da se svaka konfiguracija može riješiti u najviše

31 28 29 osnovnih poteza u HTM i u 42 osnovnih poteza u QTM g. Richard Korf je objavio svoj algoritam. Korfov algoritam daje optimalno rješenje, ali ne analizira najgore slučajeve i ne zna se koliko osnovnih poteza je potrebno ovom algoritmu. Za daljnja poboljšanja, veliku ulogu je imao Silviu Radu koji je svojom metodom pokazao da se svaka konfiguracija može riješiti u 27 osnovnih poteza u HTM i 35 osnovnih poteza u QTM. No, čak ni super računala nisu mogla istražiti sve moguće konfiguracije kako bi se pronašao najbolji put do rješenja. Profesor Gene Cooperman i njegov student Daniel Kunkle sa Sveučilišta Northeastern razvili su inteligentnu matematičku i računalnu strategiju kako bi računalu olakšali zadatak. Na primjer, ako je jedna strana u istoj boji, zadatak je riješen. Takoder, dvije konfiguracije smatrane su identičnima ako su dvije boje samo medusobno zamjenjene. Na temelju toga, broj konfiguracija je smanjen na nešto više od Nadalje, otkrili su da se konfiguracija može riješiti okretanjem za pola kruga bez okreta za četvrtinu kruga te da je za njihovo rješenje potrebno 13 ili manje poteza. Te konfiguracije nazvali su posebne konfiguracije. Potom su istražili kako bilo koju konfiguraciju pretvoriti u posebnu konfiguraciju. U proces računanja uključili su i super računalo kojemu su omogućili da izravno dolazi do podataka preciznim pohranjivanjem na tvrdom disku bez pretraživanja. To ga je dodatno ubrzalo kao i korištenje njihovih strategija. Nakon 63 sata rada, računalo je došlo do zaključka da je potrebno izvesti najviše 16 osnovnih poteza da bi se bilo koja konfiguracija složila u posebnu. Na temelju tog podatka, došli su do zaključka da je 29 osnovnih poteza dovoljno za rješavanje svih konfiguracija Rubikove kocke. Budući da to nije bilo dovoljno za ostvarenje rekorda, dalje su istraživali i ustvrdili su da se svaka konfiguracija može riješiti u najviše 26 osnovnih poteza u HTM. Sve te rezultate, Gene Cooperman i Daniel Kunkle su predstavili 29. srpnja g. u Waterloou u Ontariju. Kalifornijski programer Tomas Rokicki je g. dokazao da je dovoljno najviše 25 osnovnih poteza za rješavanje Rubikove kocke, a iste godine je objavio da ima dokaz da su dovoljna 22 osnovna poteza u HTM. Godinu dana kasnije dao je dokaz da je taj broj jednak 29 u QTM. Metode za traženje božanskog broja lakše se primjenjuju u HTM nego u QTM. Konačno, smatra se, ali nije još sasvim dokazano da božanski broj u QTM iznosi 26. Općenito vrijedi da se n n n Rubikova kocka može optimalno riješiti u Θ(n 2 /log(n)) osnovnih poteza. Godine Tomas Rokicki, Herbert Kociemba, Morley Davidson i John Dethridge su objavili trenutačni zadnji dokaz u otkrivanju božanskog broja. Uz pomoć računala pokazali su da se sve konfiguracije Rubikove kocke mogu riješiti sa maksimalno 20 osnovnih poteza u HTM. Istraživači su došli do rezultata tako da su problem sveli na potprobleme koji su bili dovoljno mali kako bi stali u memoriju modernog

32 29 računala te se na takav način problem brže rješavao. Koristeći znanje o simetrijama te program kojeg su sami napisali, svaki potproblem je uspješno riješen te su na kraju došli do rezultata. Istraživači tvrde: Trebalo je 15 godina nakon predstavljanja kocke da se nade raspored kockica iz kojeg se zagonetka može riješiti u 20 osnovnih poteza. Primjereno je da 15 godina nakon toga možemo dokazati da se kockice mogu posložiti u 20 osnovnih poteza iz svih pozicija. No, interes za božanski algoritam i božanski broj sigurno neće prestati. Taj problem će se i dalje istraživati i tko zna što donosi budućnost. Postoji još jedan problem vezan za graf grupe Rubikove kocke koje glasi: je li Cayley graf za grupu Rubikove kocke Hamiltonov graf? Definicija 3.23 Hamiltonov ciklus na grafu G je ciklus koji sadrži sve vrhove od G. Graf koji ima Hamiltonov ciklus zove se Hamiltonov graf. Hamiltonov ciklus je slijed bridova koji formiraju put u grafu tako da se kroz svaki vrh prode točno jedanput. Tada, problem grupe Rubikove kocke glasi: Neka je G grupa Rubikove kocke. Ima li Cayleyev graf od G Hamiltonov ciklus, tj. može li se svaka konfiguracija Rubikove kocke posjetiti točno jedanput koristeći osnovne poteze R, L, U, D, F, B? To je poseban slučaj općenitog neriješenog problema: za proizvoljnu permutacijsku grupu sa danim skupom generatora, je li njezin Cayleyev graf Hamiltonov? No, još se ne zna efikasni algoritam za rješavanje tog problema Strategije za rješavanje Rubikove kocke Postoje ljudi koji samo pogledaju Rubikovu kocku i odmah znaju kako ju vratiti u početno stanje. No ipak, većina treba neke strategije, što jednostavnije to bolje, za pomoć pri rješavanju. Važni pojmovi za rješavanje kocke su pojam komutatora i pojam konjugiranja. Radi se o matematičkim pojmovima koji se lagano mogu razumjeti uz pomoć Rubikove kocke Komutatori Komutator je kombinacija dvaju poteza tako da se prvo izvede jedan potez pa drugi potez, zatim se prvi potez izvede u suprotnom smjeru i na kraju se izvede drugi potez takoder u suprotnom smjeru. Opći oblik komutatora je: [M, P ]=MP M 1 P 1, gdje su M i P bilo koji potezi na Rubikovoj kocki. Primjer 3.16 Odredimo komutator poteza M = LF i poteza P = L 2 R, (pritom koristimo formulu za inverz i činjenicu da je inverz kvadrata osnovnog poteza on sam, tj. (L 2 ) 1 = L 2 ):

33 30 [M, P ] = [LF, L 2 R] = LF L 2 RF 1 L 1 R 1 L 2. Ako potezi M i P komutiraju (na primjer, ako su oba iz grupe C 4 ), njihov komutator je jednak I. Iz te činjenice potječe naziv za komutator. Komutatori se koriste kada se s dva poteza M i P može puno toga napraviti, no oni uzrokuju neke neželjene efekte koji se uz pomoć M 1 P 1 eliminiraju. Često se žele zamjeniti dvije, tri ili četiri kockice i te se zamjene bilježe uz pomoć ciklusa. Različitim potezima nastaju ciklusi kockica koji dovode do rješenja Rubikove kocke. Većinom se komutatori koriste za zaokretanje kutnih kockica koji imaju pravilan položaj, ali nisu pravilno orijentirani te za postizanje ciklusa. Imaju još jedno svojstvo koje se odnosi na dva osnovna poteza koji se nalaze na susjednim stranama: ako se dva puta provede njihov komutator dobije se 3-ciklus rubnih kockica i sve kutne kockice ostanu na mjestu, a triput provedeni komutator zamjenjuje točno dva para kutnih kockica tako da se niti jedna rubna kockica ne pomakne Konjugacija Konjugacija je još jedan koristan pojam za izgradnju naredbi za rješavanje Rubikove kocke. Potezi dobiveni konjugiranjem su potezi koji se sastoje od prvog poteza, zatim drugog poteza i na kraju prvi potez u suprotnom smjeru. Konjugiranje poteza M potezom P je potez P 1 MP i označava se M P = P 1 MP. Konjugiranje se najviše primjenjuje kada se žele dobiti odredeni ciklusi rubnih ili kutnih kockica Strategije U odjeljku o algoritmima pokazane su neke metode za rješavanje Rubikove kocke. No, postoje odredene matematičke ideje koje su vrlo korisne za rješavanje kocke 2. Uz poznate osnovne poteze R, L, U, D, F, B, neka M R označava okret srednjeg dijela koji je paralelan s desnom stranom u smjeru kazaljke na satu za 90. Neka se prvo krene s rješavanjem kutnih kockica. Pretpostavka je da se želi kutna kockica lfd premjestiti u položaj urf kutne kockice. Tada se učini potez R 1 DR i dobije se jedan od tri sljedeća slučaja: 1. Riješene su sve kutne kockice. 2. Sve su kutne kockice riješene, samo se dvije moraju zamijeniti. 3. Sve su kutne kockice riješene, samo se 3 moraju ciklički permutirati. 2 Strategije i oznake su preuzete iz [7], poglavlje 15, str 286.

34 31 U 2. slučaju potez UF [R, U] 3 F 1 = UF RUR 1 U 1 RUR 1 U 1 RUR 1 U 1 F 1 napravi cikluse (ubr ufl) i (uf ul ub ur). No, ako kutne kockice koje se trebaju zamijeniti nisu u ubr i ufl položaju, samo se rotira Rubikova kocka tako da prva kockica bude u ubr položaju, drugu kockicu nekim potezom X staviti u ufl položaj te tada napraviti potez iznad pa potez X 1. U 3. slučaju potez [RDR 1, U] = RDR 1 URD 1 R 1 U 1 permutira 3 kutne kockice (brd urb ulb). Takoder, ako se kutne kockice ne nalaze u brd, urb i ulb položajima, primijeni se trik opisan u 2. slučaju. Nakon što su sve kutne kockice vraćene u svoj početni položaj, kako bi se riješile rubne kockice (ignorirajući orijentaciju) može se primijeniti potez MR 2U 1 M 1 R U 2 M R U 1 MR 2. Taj potez napravi ciklus (uf ul ur). Za pravilno orijentiranje kutnih kockica koriste se potezi kao na primjer (R 1 D 2 RB 1 U 2 B) 2 koji djeluje na kutnu kockicu ufr u smjeru kazaljke na satu i na kutnu kockicu bld u suprotnom smjeru kazaljke na satu. Za pravilnu orijentaciju rubnih kockica se koristi potez (M R U) 3 U(M 1 R U)3 U koji djeluje na rubne kockice uf i ub, a potez (M R U) 4 djeluje na rubne kockice ub i ul, te rubne kockice df i db. Slijedi tablica sa korisnim potezima koji djeluju samo na odredene kockice, dok ostale kockice na Rubikovoj kocki ostaju netaknute: Potez Učinak MR 2U 1 M 1 R U 2 M R U 1 MR 2 3-ciklus rubnih kockica (uf ul ur) (M R U) 3 U(M 1 R U)3 U djeluje na rubne kockice uf i ub (R 2 U 2 ) 3 permutira (uf ub)(fr br) (M R U) 4 djeluje na rubne kockice ub,ul i df,db (R 1 D 2 RB 1 U 2 B) 2 ufr+, bld++ [R, U] 3 = (RUR 1 U 1 ) 3 permutira (ufr dfr)(ubr ubl) F 2 L 2 U 2 (F 2 L 2 ) 3 U 2 L 2 F 2 permutira (uf ub)(ur ul) (D 2 R 2 D 2 (F 2 R 2 ) 2 U) 2 permutira (ufl ubr)(dfr dbl) (MR 2UM2 R U 2 ) 2 permutira (ufl ubr)(ufr ubl) RDR 1 URD 1 R 1 U 1 3-ciklus kutnih kockica (brd urb ulb) Tablica 2.1. Potezi i njihovi učinci 3 Jedan je pristup rješavanju Rubikove kocke koristeći računalo, koji se naziva metoda podgrupa, da se krene od konstruiranja podgrupa: G n = 1 G n 1... G 1 G 0 = G gdje je G = R, L, F, B, U, D grupa Rubikove kocke, te se provode sljedeće strategije: Neka g 0 G predstavlja željeni položaj Rubikove kocke. 3 Tablica preuzeta iz [7], poglavlje 15, str. 288.

35 32 Treba odrediti konačan skup klasa prikazan s G k+1 /G k : G k+1 /G k = r k i=1 g k+1,i G k+1, r k > 1, 0 k < n (pritom vrijedi: m n 1 = 1 i g n,1 = 1). (Korak 1): Ako je g 0 g 1,i G 1 (i {1,..., n 1 }) tada g 1 = g 1,i i g 1 = g 1 1 g 0 (pritom g 1 G 1 ). (Induktivan korak): Ako je definiran g k G k i ako je g k g k+1,jg k (j {1,..., n 1 }), tada g k+1 = g k+1,j i g k+1 = g 1 k+1 g k (pritom g k+1 G k+1). Sve zajedno daje 1 = gn 1 gn 1g n g1 1 g 0, stoga vrijedi g 0 = g 1 g 2... g n 1 g n. Treba se izabrati takav slijed podgrupa G i tako da su klase kraće s relativno jednostavnim potezima na Rubikovoj kocki što će rezultirati da rješenje g 0 = g 1 g 2... g n 1 g n ne bude predugo. Taj se pristup rješavanju kocke lako može prikazati na jednostavnom primjeru kao što je kut-rub metoda: Primjer 3.17 Neka je G 1 podgrupa koja ne utječe na kutne kockice, G 2 podgrupa koja ne utječe na kutne i rubne kockice, G 3 podgrupa koja ne utječe na kutne i rubne kockice niti na orijentaciju kutnih kockica i G 4 = {1}, tada vrijedi: Ideja je sljedeća: G 4 = {1} G 3 G 2 G 1 G 0 = G. 1. Neka g 0 G označava traženi položaj Rubikove kocke. 2. Potez označen s g 1 premjesti sve kutne kockice u pravilni položaj, stoga je g1 1 g 0 G 1. Neka je g 1 = g1 1 g Potez označen s g 2 premjesti sve rubne kockice u pravilni položaj, stoga je g2 1 g 1 G 2. Neka je g 2 = g2 1 g Potez označen s g 3 pravilno orijentira kutne kockice, stoga je g3 1 g 2 G 3. Neka je g 3 = g3 1 g Potez označen s g 4 pravilno orijentira rubne kockice. 6. Rješenje je g 0 = g 1 g 2 g 3 g 4. Matematičar Morwen Thistlethwaite razvio je jednu od najboljih metoda podgrupa koju je primijenio za računanje božanskog broja: Primjer 3.18 Thistletwaite je problem podijelio na manje potprobleme, tj. podijelio je grupu Rubikove kocke na sljedeće podgrupe: G 1 = R, L, F, B, U 2, D 2, G 2 = R, L, F 2, B 2, U 2, D 2, G 3 = R 2, L 2, F 2, B 2, U 2, D 2, i G 4 = {1}. Uz pomoć računala pokazao je sljedeće činjenice:

36 33 Postoji konačan skup susjednih klasa oblika {g 1,i 1 i n 1 } od G/G 1 tako da je svaki g 1,i najviše 7 poteza dugačak (i n 1 = 2048). Taj skup poteza djeluje samo na orijentaciju rubnih kockica. Postoji konačan skup susjednih klasa oblika {g 2,i 1 i n 2 } od G 1 /G 2 tako da je svaki g 2,i najviše 13 poteza dugačak (i n 2 = ). Taj skup poteza djeluje samo na orijentaciju kutnih kockica. Postoji konačan skup susjednih klasa oblika {g 3,i 1 i n 3 } od G 2 /G 3 tako da je svaki g 3,i najviše 15 poteza dugačak (i n 3 = 29400). Taj skup poteza premjesti sve kutne i bridne kockice u pravilni položaj. Postoji konačan skup susjednih klasa oblika {g 4,i 1 i n 4 } od G 3 /G 4 tako da je svaki g 4,i najviše 17 poteza dugačak (i n 4 = ). Dakle, Rubikovu kocku može se složiti u najviše = 52 poteza. Pokazana su dva od mnogobrojnih primjera u kojima se koristi strategija nazvana metoda podgrupa za rješavanje Rubikove kocke uz pomoć računala Rubikova kocka u današnjoj kulturi Rubikova kocka već 30-ak godina privlači pažnju cijelog svijeta. Dobila je svoje mjesto i u engleskom rječniku, a u Muzeju moderne umjetnosti u New Yorku nalazi se stalna izložba posvećena Rubikovoj kocki. Slaganje Rubikove kocke korišteno je u mnogim filmovima i TV serijama kao način pokazivanja inteligencije glavnih likova. Stoga, Rubikova se kocka pojavljuje u filmovima Armageddon, Dude, Where s My Car?, My Name is Khan, 3 Idiots, Let the Right One In, Wall-E, Hellboy, Being John Malkovich i TV serijama The Fresh Prince of Bel-Air, Seinfeld, Doctor Who, Everybody Hates Chris, The Simpsons i mnogim drugim. Rubik, nevjerojatna kocka je crtani film u kojemu je glavni lik osjetljiva Rubikova kocka, a Rubikova kocka se pojavljuje i u glazbenom spotu pjesme Viva Forever grupe Spice Girls. Rubikova kocka se redovito pojavljuje kao motiv u umjetnosti. U New York-u se nalazi skulptura u obliku Rubikove kocke, a veliki primjerak Rubikove kocke izgraden je na Sveučilištu u Michiganu (Slika 3.4.). Takoder, umjetnici su razvili stil u kojem se kao motiv koristi kocka i nazvali su ga Umjetnost Rubikove kocke ili Rubikov kubizam.

37 34 Slika 3.4. Skulptura Rubikove kocke u Michiganu Postoje različite komercijalizacije Rubikove kocke. Pojavljuje se kao motiv na modnim dodacima, knjigama, bilježnicama, privjescima i na mnogim drugim predmetima. Popularnost Rubikove kocke ne prestaje. Ta minijaturna igračka jedan je od rijetkih primjeraka koji se koristi i za zabavu i za ozbiljno učenje. Već su otkrivene njezine velike prednosti, a tko zna što sve donosi budućnost.