OFERTA DE TRABALLOS FIN DE GRAO 2ª CONVOCATORIA CURSO FACULTADE DE MATEMÁTICAS

OFERTA DE TRABALLOS FIN DE GRAO 2ª CONVOCATORIA CURSO 2011-2012 FACULTADE DE MATEMÁTICAS Director Al01 Álxebra Clasificación de Módulos finitamente generados sobre un anillo de Dedekind Director Leovigildo Alonso Tarrío Exponer la clasificación de módulos finitamente generados sobre un anillo de Dedekind, una generalización de la clasificación conocida de grupos abelianos finitamente generados. Se incluirá una breve descripción de las propiedades básicas de estos anillos conmutativos. Haber superado la asignatura Estructuras algebraicas. Al02 Álxebra Residuos algebraicos Leovigildo Alonso Tarrío Una generalización natural del anillo de polinomios en una variable sobre un cuerpo es el anillo de series de potencias. Tiene sentido algebraico estudiar la teoría de residuos en este contexto. Se pretende dar una exposición de sus propiedades básicas y obtener alguna aplicación geométrica a las curvas algebraicas. Haber superado las asignaturas del área. Al03 Álxebra Os teoremas de incompletitude de Gödel Javier Barja Pérez En un artículo publicado por Kurt Gödel en 1931, con el título "Sobre sentencias formalmente indecidibles en los Principia Mathematica y sistemas afines I", se encuentra lo que se conoce como el Teorema de incompletitud de Gödel. Dice, textualmente, Teorema VI: Para cada clase recursiva primitiva y - consistente K de fórmulas, hay un signo de clase r, tal que ni v Gen r ni Neg(v Gen r) pertenecen a Flg(K) (donde v es la variable libre de r). Se trata de estudiar este primer teorema de incompletitud de Gödel relativo a la incompletitud de la aritmética y el segundo teorema de incompletitud relativo a la imposibilidad de probar la consistencia misma de un sistema formal que incluya los axiomas de la aritmética elemental. De una indiscutible importancia no sólo como teoremas (meta) matemáticos, sino en la lógica (en la teoría de sistemas formales) y en la filosofía, así como las consecuencias que de él se han derivado no sólo la respuesta negativa a la pretensión de David Hilbert de confiar en un número finito de procesos puramente lógicos para evitar problemas, sino en las

FACULTADE DE MATEMÁTICAS consecuencias positivas como es la propuesta de función recursiva como modelo de función efectivamente calculable. Davis, M. The undecidable. Basic papers on undecidable propositions, unsolvable problems and computable functions (1965), Raven Press, Hewlett, N.Y. Enderton, H.B. A mathematical introduction to logic (1972), Academic Press. Gödel K. Uber formal unentscheidbase Satze der Principia Mathematica und verwandter Systeme. Monatshefte für Mathematik und Physik, vol 38 (1931), 173-198. Gödel K. Obras Completas. Introducción y notas J.Mosterin (1981), Alianza Editorial, Alianza Universidad, n 286, 430. Kleene, S. C.Introduction to metamathematics (1971)Wolters-Noordhoff, Mendelson, E. Introduction to Mathematical Logic 4Ed (1997), Chapman Hall. Yasuhara, N. Recursive function theory and logic (1971), Academic Press. Al04 Álxebra Grupo de Brauer dun anel conmutativo José Manuel Fernández Vilaboa Trátase de introducir a noción de álxebras de Azumaya como unha xeneralización das álxebras centrais simples sobre un corpo e de definir o grupo de Brauer dun anel conmutativo R: Br(R). Complementarase co establecemento de un funtor dende a categoría de aneis conmutativos ata categoría de grupos abelianos e con o estudo de varios exemplos e relacións entre grupos de Brauer. Al05 Alxebra Extensiones de dominios de Dedekind. Finitud del número de clase de un cuerpo global. Leoncio Franco Fernández Se trata de plantear la factorización de ideales primos en extensiones de dominios de Dedekind y, en particular, en cuerpos globales. A continuación se probará el teorema de finitud del número de clase para tales cuerpos. 1. Valores absolutos y divisores primos de un cuerpo. Extensiones de valores absolutos [3,5] 2. Extensiones de dominios de Dedekind. Caso separable y no separable.[4] 3. Teorema de Kummer. [2,3,5] 4. Cuerpos globales.[2,5] 5. Retículos.[4] 6. Teoría de Minkowski.[4] 7. Finitud del número de clase.[1,4] [1] Adams-Goldstein, Introduction to Number Theory, Prentice Hall 1976 [2] Cassels-Fröhlich, Algebraic Number Theory, AP 1967 [3] Lang, Algebraic number theory, Addison-Wesley 1970 [4] Neukirch, Algebraic number theory, Springer 1999

[5] Weiss, Algebraic number theory, MacGraw-Hill 1963 An03 Análise Matemática Transformada de Fourier, Transformadas de Fourier discretas. Aplicacións. Francisco Javier Fernández Pérez O traballo consta de dúas partes, na primeira estúdase a transformada de Fourier, a súa inversa e as principais propiedades, así como a aplicación á resolución dalgún problema de ecuacións en derivadas parciais. Na segunda parte adícase a transformada de Fourier discreta, e a súa aplicación ó tratamento dixital de imáxenes, procesamento de señais e ó estudo das características da estructura xeométrica dunha imaxe. An05 Análise Matemática Funcións reais de variable real, medida de Lebesgue e ecuacións diferenciais Rodrigo López Pouso Funcións de variación limitada. Propiedades. Funcións que aplican conxuntos de medida cero en conxuntos de medida cero. Funcións absolutamente continuas. Propiedades. O Teorema Fundamental do integral de Lebesgue. Aplicación ás ecuacións diferenciais. Bibliografía básica: Cálculo na K. R. Stromberg, An Introduction to Classical Real Analysis, Wadsworth Inc., California (1981). J. K. Hale, Ordinary differential equations, Wiley-Interscience, New York (1969). An06 Análise Matemática A hipótese de Riemann Juan José Nieto Roig Describir o enunciado da famosa Hipótese de Riemann e a súa relación con distintos campos da matemática (teoría de números, variable complexa, probabilidade, física matemática, criptografía, computación, etc ) e algunhas das súas implicacións.

An07 Análise Matemática Aspectos topolóxicos da dinámica discreta Miguel Antonio del Río Vázquez Consideraranse algúns conceptos topolóxicos básicos do estudo abstracto da dinámica discreta, incidindo especialmente naqueles que tratan de expresar ou medir a complexidade dinámica dun sistema, como son a transitividade, a entropía topolóxica e as distintas nocións de caos. An08 Análise Matemática CICLOS LÍMITE EN SISTEMAS DINÁMICOS PLANOS. Gerardo Rodríguez López Enmárcase o traballo no contexto da análise global dos sistemas diferenciais autónomos non lineais no plano e debe contemplar os aspectos incluídos no seguinte esquema: 1. Presentación das notacións e conceptos básicos, exemplos, e primeiros criterios a aplicar no estudo da existencia de ciclos límite. 2. Estudo dalgún instrumento de interese na determinación de ciclos límite. 3. Conclusións sobre a existencia (ou non existencia) de ciclos límite en certo tipo de campos diferenciais no plano. 4. Interpretacións físicas e notas históricas. BIBLIOGRAFÍA: Existe na biblioteca da Facultade de Matemáticas abundante bibliografía sobre o tema. Como referencias básicas tomaranse: PERKO,L. "Differential Equations and Dynamical Systems". Springer- Verlag.1996. YE YAN-QUIAN and others. "Theory of Limit Cycles". Translations of mathematical monographs. Vol 66. Am. Math. Soc. No momento de inicio do traballo, o alumno debe ter un dominio razoable da teoría xeral de ecuacións diferenciais ordinarias, estudada nas distintas materias do grao. An09 Análise Matemática Recursos didácticos baseados nas novas tecnoloxías para o estudo das ecuacións

diferenciais ordinarias Rosana Rodríguez López O traballo consiste nunha recopilación de ferramentas web relacionadas co estudo das ecuacións diferenciais ordinarias, así coma na elaboración de materiais baseados en aplicacións informáticas que permitan resolver ecuacións diferenciais e visualizar o comportamento das súas solucións. Será de interese particular poñer de manifesto cómo a utilización de programas de cálculo simbólico, especialmente aqueles de libre distribución, son de utilidade para complementar o estudo das ecuacións diferenciais, e para a visualización e interpretación de conceptos e técnicas correspondentes a este eido das matemáticas. Ter superadas as materias G1011226 Introdución ás Ecuacións Diferenciais Ordinarias G1011322 Ecuacións Diferenciais Ordinarias G1011329 Series de Fourier e Introdución ás Ecuacións en Derivadas Parciais Ter s de programas de cálculo simbólico An10 ANÁLISE MATEMÁTICA Funcións e os seus promedios Rosa Mª Trinchet Soria Na vida cotiá, moitas informacións chégannos en forma de promedios, polo que, de xeito natural, xorden certas cuestións: Qué relacións poderíamos establecer entre estes promedios e os datos orixinais? E, en particular, ata que punto poderíamos recuperar estes datos a partir dos seus promedios? O obxectivo do traballo é explorar algunhas destas cuestións, en relación a promedios obtidos a partir de integrais, o tempo que se desenvolven sinxelos programas (de representación gráfica e/ou de cálculo) ilustrativos das cuestións tratadas O desenvolvemento do traballo dará pé a que os alumnos mostren as distintas habilidades acadadas en relación ás competencias contempladas na memoria do Grao; ademais das competencias específicamente sinaladas na normativa dos TFG, farase máis fincapé naquelas competencias que se refiren ó uso de programas informáticos, por exemplo, a efectos de representación gráfica, etc.) An11 ANÁLISE MATEMÁTICA Transformacións de Möbius: unha introdución Rosa Mª Trinchet Soria Dende moitos puntos de vista, é interesante considerar ás funcións complexas dunha variable complexa como transformacións do plano complexo en si mesmo (e, mesmo a algunhas das súas extensións ó plano ampliado coma transformacións deste en si mesmo). Entre elas, as transformacións de Möbius (tamén chamadas transformacións homográficas; transformacións lineais fraccionarias,...) constitúen unha importante familia de funcións, con conexións en distintos campos, se cadra, debido en parte ás súas relacións coas xeometrías non

euclideanas. O obxectivo do traballo é iniciar o estudo desta familia de transformacións, das que se consideraran as súas propiedades básicas. O traballo incluirá, tamén, aqueles conceptos e feitos máis significativos que poidan convir como prerrequisitos ó tema en estudo (por exemplo: significado xeométrico da derivada complexa; conservación de ángulos, etc.) O desenvolvemento do traballo dará pé a que os alumnos mostren as distintas habilidades acadadas en relación ás competencias contempladas na memoria do Grao; ademais das competencias específicamente sinaladas na normativa dos TFG, farase máis fincapé naquelas competencias que se refiren ó uso de programas informáticos, por exemplo, a efectos de representación gráfica, etc.) Director/es As01 Astronomía e Astrofísica A eclipse de 1912 en Galicia José Angel Docobo Durántez A comezo do pasado século houbo tres eclipses de Sol que xunto co achegamento do cometa Halley deron lugar a un importante pulo da Astronomía no estado español. O vindeiro ano cúmplense cen dunha histórica eclipse que puido ser vista dende Galicia como totalanelar. Trátase de estudar sobre o mapa de Galicia as distintas zonas nas que se contemplou o fenómeno. Para elo o alumnado deberá poñerse ó dia sobre o cálculo de eclipses e facer unha programación dos correspondentes algoritmos. Ter cursado Fundamentos de Astronomía Director/es As02 Astronomía e Astrofísica Programación do problema de dous corpos José Angel Docobo Durántez O Problema de dous corpos é a base da Mecánica Celeste e, en particular, do cálculo de órbitas keplerianas. Proponse facer un estudo global deste problema, programando distintos algoritmos como a Ecuación de Kepler e as leis horarias para os movementos parabólico e hiperbólico. Ter cursado Fundamentos de Astronomía As03 Astronomía e Astrofísica Fotografía astronómica con CCD Director/es Josefina F. Ling - Traballo teórico-observacional

- Estrutura e fundamentos das cámaras electrónicas - Introdución a fotográfica astronómica dixital. - Manexo básico de cámaras CCD acopladas a telescopios, para a obtención de imaxes fotográficas. - Adquisición e tratamento de imaxes de obxectos astronómicos co software e o instrumental existente no Observatorio Astronómico R. M. Aller. Haber cursado a materia de Fundamentos de Astronomía Se valorarán: - Coñecementos de programas de tratamento de imaxes. - Soltura na utilización de recursos de Internet. - Habilidade no uso de instrumental electrónico e/ou astronómico Director As04 Astronomía y Astrofísica Propiedades orbitales y astrofísicas de estrella eruptiva UV Ceti V. Tamazian Se propone que el/la alumno/a prepare inicialmente los archivos de datos dinámicos y astrofísicos de UV Ceti utilizando distintas herramientas de investigación (software dedicado y programación básica) y aprendiendo a manejar grandes bases de datos y catálogos estelares. Se hará un análisis estadístico de los parámetros orbitales y fotométricos del sistema binario UV Ceti. En base de abundante material fotométrico en fases de flare (erupciones), el/la alumno/a estudiará la relación entre actividad de UV Ceti y la posición de sus componentes en la órbita. Se pretende aclarar en qué medida la actividad estelar está relacionada con los parámetros dinámicos del sistema. Tener cursado Fundamentos de Astronomía Es03 Estatística e Investigación Operativa Contando eventos no tempo: o proceso de Poisson Rosa M. Crujeiras Casais O obxectivo deste TFG é que o alumno/a se familiarice co modelado de sistemas estocásticos estudando un caso sinxelo: o proceso de Poisson. O proceso de Poisson é un proceso de conteo en tempo continuo, con aplicacións en campos como as ciencias actuariais ou a teoría de redes de comunicación. O traballo comprende as seguintes tarefas: a) Revisión das distribucións exponencial e de Poisson. b) Construción do proceso de Poisson e estudo das súas propiedades. c) Simulación do proceso de Poisson. d) Extensión ao caso de procesos non homoxéneos. e) Aplicacións prácticas. a) Ter superadas as materias do Modulo de Probabilidade, Estatística e Investigación Operativa. b) Ter s de programación en R. c) Ser capaz de ler e entender bibliografía en inglés. Bibliografía:

Kulkarni, V.G. (1995) Modeling and Analysis of Stochastic Systems. Chapman & Hall. Es04 Estatística e Investigación Operativa Evolución de poboacións: Procesos de Nacemento e Morte Pedro Faraldo Roca O obxectivo deste TFG é que o alumno/a se familiarice co modelado de sistemas estocásticos estudando o proceso de Nacemento e Morte.O proceso de Nacemento e Morte é un proceso de Markov en tempo continuo, con aplicacións en campos como a evolución das poblacións. O traballo comprende as seguintes tarefas: a) Revisión dos procesos de Markov en tempo continuo e espazo de estados discreto. b) Ecuacións diferenciais de Kolmogorov. c) Propiedades das matrices de transicións d) Procesos de nacemento e morte. e) Aplicacións prácticas. d) Ter superadas as materias do Modulo de Probabilidade, Estatística e Investigación Operativa. e) Ter s de programación en R. f) Ser capaz de ler e entender bibliografía en inglés. Bibliografía: Ross,s.M.(2ª ed. 1996) Stochastic Processes. John Wiley and Sons,Inc. Kulkarni, V.G. (1995) Modeling and Analysis of Stochastic Systems. Chapman & Hall. Es05 Estatística e Investigación Operativa Exemplos notables de Probabilidade e Estatística Manuel Febrero Bande O obxectivo deste traballo é desenrolar nun entorno informático amigable exemplos notables da didáctica da Probabilidade e da Estatística complementando ferramentas xa existentes como o paquete TeachingDemos do programa R. Soltura co paquete estatístico R Es09 Estadística e Investigación Operativa Una Introducción al bootstrap mediante R José Manuel Prada Sánchez

FACULTADE DE MATEMÁTICAS El objetivo de este trabajo es que el alumno conozca el fundamento así como las principales aplicaciones en el ámbito de la estadística de la metodología bootstrap, ilustradas con el software estadístico R. Se pretende estimular la visión crítica del alumno mediante el planteamiento de estudios de simulación con R, que permitan comparar el comportamiento de las técnicas inferenciales clásicas con el relativo a la técnica de remuestreo bootstrap, a la hora de abordar los principios metodológicos básicos de la inferencia estadística Se recomienda que el alumno tenga experiencia en el manejo de lenguajes de programación. Es10 Estatística e Investigación Operativa Revisión de métodos de estimación no paramétricos de la función de regresión y algunas aplicaciones Luis Alberto Ramil Novo Se trata de revisar dos métodos de estimación de la función de regresión que se basan en estimaciones polinómicas locales. Los conocidos como estimador spline suaves (o smoothing spline), y el estimador polinómico local. La revisión incluye el análisis de algunas aplicaciones en los contrastes de evaluación de modelos de regresión polinómicos. Las aplicaciones de estos métodos requieren la búsqueda de software disponible o de su desarrollo. Haber cursado las asignaturas de Inferencia Estadística del Grado y aconsejable cursar la optativa de regresión y multivariante de cuarto curso. Conocimiento de algún lenguaje de programación. Las tutorías necesarias tendrán lugar en la sede del Departamento de Estadística e I.O. en el campus de Lugo. Es12 Estadística e Investigación Operativa Modelos de regresión cuantil César A. Sánchez Sellero Los modelos de regresión cuantil describen el comportamiento de cierto cuantil de la variable respuesta condicionado a las variables explicativas. Gozan de buenas propiedades de robustez y flexibilidad frente a los modelos clásicos basados en la esperanza condicionada y el método de mínimos cuadrados. Este trabajo consiste en revisar los modelos de regresión cuantil y efectuar una evaluación comparativa de sus propiedades mediante estudios de simulación. Para los estudios de simulación se empleará el software R, en el cual destacamos el paquete quantreg, dedicado a la regresión cuantil. Bibliografía: Koenker, R. (2005). Quantile regression. Cambridge University Press. Haber superado las materias Elementos de Probabilidad y Estadística, Programación Lineal y

Entera, Probabilidad y Estadística e Inferencia Estadística. Asimismo, es recomendable cursar la materia Modelos de regresión y análisis multivariante. Tener capacidad de leer bibliografía en inglés. Disponer de conocimientos generales del lenguaje R. MA01 Matemática Aplicada Desenvolvemento de software paralelo para a resolución de EDPs usando o método de elementos finitos José A. Alvarez Dios Proponse a realización de programas en Fortran 2000 e MPI para a resolución de EDPs que aproveiten a capacidade de procesamiento simultáneo das arquitecturas multinúcleo de última xeración. Os devanditos códigos deben comprender exemplos de esquemas paralelos de elementos finitos mediante descomposición de dominios e uso dun precondicionador ou do complemento de Schur. O estudante debe ter s de resolución numérica de ecuacións en derivadas parciais e de programación en Fortran usando librerías. Nese sentido, recoméndase ter cursado ou cursar Informática, Métodos Numéricos en Optimización e Ecuacións Diferenciais, e Análise Numérica de Ecuacións en Derivadas Parciais. Así mesmo, debe ter a suficiente competencia en lingua inglesa para ler bibliografía de carácter científico sobre o tema proposto. MA02 Matemática Aplicada Desenvolvemento de software paralelo para a resolución de EDPs usando o método de diferencias finitas José A. Alvarez Dios Proponse a realización de programas en Fortran 2000 e MPI para a resolución de EDPs que aproveiten a capacidade de procesamiento simultáneo das arquitecturas multinúcleo de última xeración. Os devanditos códigos deben comprender exemplos de esquemas paralelos de diferenzas finitas mediante coloreado ou outras técnicas. O estudante debe ter s de resolución numérica de ecuacións en derivadas parciais e de programación en Fortran usando librerías. Nese sentido, recoméndase ter cursado ou cursar Informática, Métodos Numéricos en Optimización e Ecuacións Diferenciais, e Análise Numérica de Ecuacións en Derivadas Parciais. Así mesmo, debe ter a suficiente competencia en lingua inglesa para ler bibliografía de carácter científico sobre o tema proposto.

Codigo Director/es FACULTADE DE MATEMÁTICAS MA03 Modelización e simulación numérica das deformacións termomecánicas de estruturas sinxelas usadas na Enxeñería Civil durante un incendio. Patricia Barral Rodiño Trátase de realizar: 1) A modelización matemática das deformacións termomecánicas sufridas por estruturas sinxelas de aceiro e/ou formigón usadas na Enxeñería Civil durante un incendio. 2) A simulación numérica utilizando o paquete de software libre Code_Aster. Matemática Aplicada Ter cursado: Taller de Simulación Numérica e Modelización Matemática MA04 Matemática Aplicada Modelos matemáticos de sistemas de reaccións químicas Alfredo Bermúdez de Castro No caso dun tanque axitado a evolución das concentracións dos compostos presentes nun sistema de reaccións químicas con diferentes escalas de tempo, está rexido por un conxunto formado por ecuacións diferenciais ordinarias e ecuacións alxebraicas. O traballo comezará pola introdución e o estudo destes modelos e seguirá polo establecemento de algoritmos eficientes para a resolución numérica, que serán implementados en ordenador. MA05 Matemática Aplicada Modelos matemáticos non lineares de circuítos eléctricos Alfredo Bermúdez de Castro Trátase da modelización matemática de circuitos eléctrico con compoñentes que teñen un comportamento non linear. O modelo consiste nun sistema de ecuacións diferenciais ordinarias. O traballo incluirá a resolución de mesmo co emprego de métodos numéricos axeitados CÓDIGO Director/es MA06 Algunos elementos matemáticos empleados en la Mecánica de los Medios Continuos. Óscar López Pouso. Contenidos: (1) Conceptos de cuerpo y deformación.teoremas integrales del Cálculo Vectorial.Campos gradiente. Fuerza. Ecuación del movimiento. (2) Definición de cuerpo como una variedad tridimensional con esquinas. Teoremas integrales del Cálculo Vectorial en variedades con esquinas.

(3) Regularidad del potencial φ(x,t) conocida la regularidad del campo gradiente u(x,t) = grad φ(x,t). Existencia de potenciales regulares para campos gradiente regulares. Objetivos: Este Trabajo Fin de Grado (TFG) se propone con tres objetivos: - Por un lado, el estudio de ciertos conceptos y elementos muy conocidos e importantes de la Mecánica del Continuo, pero que ya no se estudian dentro del Grado en Matemáticas. - Por otro, continuar el Trabajo Académicamente Dirigido (TAD), en fase de elaboración, del estudiante D. Néstor León Delgado (referencia [4]), cuyo objetivo es el de conectar los conceptos matemáticos de la Mecánica del Continuo con los equivalentes de la Geometría Diferencial. - Por último, enfrentar al alumno con una cuestión no resuelta en la bibliografía (punto (3) de los contenidos), de una complejidad adecuada a un estudiante de último año de Grado en Matemáticas, sobre la que debe reflexionar y dar alguna respuesta. Motivación: La Mecánica del Continuo hace uso de numerosas herramientas matemáticas; un curso introductorio basado en los conceptos de la Mecánica Racional de Truesdell y Noll, como el expuesto en el libro de Gurtin [1], recurre a conceptos como el de cuerpo, que en términos matemáticos es una variedad con esquinas, y de deformación, que en términos matemáticos es un C 1 -difeomorfismo entre dos cuerpos que cumple ciertas propiedades. Es natural, por otra parte, que en las obras de Mecánica del Continuo no se preste atención a esos conceptos desde el punto de vista matemático. Por ejemplo, Gurtin no incluye una definición completa de lo que entiende por cuerpo, remitiendo al lector al libro de O. D. Kellogg Foundations of Potential Theory, publicado por Springer en el año 1929 y reimpreso por Dover en 1953. Si combinamos los contenidos de los dos párrafos anteriores, llegamos a la conclusión de que tiene cabida una revisión de esos elementos matemáticos desde el punto de vista de un matemático o, en este caso, de un estudiante de Matemáticas. Bibliografía: [1] Morton E. GURTIN. An Introduction to Continuum Mechanics. Academic Press, New York, 1981. [2] Dominic JOYCE. On Manifolds with corners. arxiv:0910.3518, version 2, October 2010. [3] Steven G. KRANTZ y Harold R. PARKS. Geometric Integration Theory. Birkhäuser, Boston, 2008. [4] Néstor LEÓN DELGADO. Sobre las deformaciones en la Mecánica de los Medios Continuos. Trabajo Académicamente Dirigido por Óscar López Pouso y José Antonio Oubiña Galiñanes. Facultad de Matemáticas de la USC, curso 2010-2011. [5] Richard B. MELROSE. Diferential Analysis on Manifolds with Corners, Massachusetts Institute of Technology. Unpublished notes.

Matemática Aplicada. El estudiante debe ser capaz de leer bibliografía escrita en inglés. Director/es M07 La ecuación de Boltzmann. Óscar López Pouso. A mediados del s. XIX, Maxwell descubrió la fórmula para la distribución de probabilidad de las velocidades de las partículas de un gas en equilibrio, pero fue Boltzmann quien, hacia finales del mismo siglo, derivó la ecuación que gobierna la evolución dinámica de esa distribución de probabilidad, ecuación llamada de Boltzmann, que describe cómo cambia conforme avanza el tiempo, es decir, cómo evoluciona, el estado de un gas, no necesariamente en equilibrio. Las ideas de Boltzmann fueron clave en el análisis que Planck haría más adelante al analizar la radiación emitida por un cuerpo negro, así como en dos de los artículos que Einstein publicó en 1905: uno en el que proporcionó un método para determinar las dimensiones moleculares y otro en el que explicaba la naturaleza del movimiento browniano. La ecuación de Boltzmann tuvo también importancia desde el punto de vista puramente matemático, pues fue la primera ecuación que describió la evolución de una probabilidad en el tiempo. A partir de la ecuación de Boltzmann se pueden obtener, mediante reescalados y pasos al límite, ecuaciones macroscópicas de tanta trascendencia como las ecuaciones de Euler o las ecuaciones de Navier-Stokes de la mecánica de fluidos. Por nuestra parte, hemos llegado a esta propuesta de Trabajo de Fin de Grado (TFG) porque la ecuación de Boltzmann está siendo en estos últimos años utilizada en modelos matemáticos ligados al tratamiento del cáncer con radioterapia. El alumno debe estudiar y hacer un resumen de partes seleccionadas del libro [1] Carlo CERCIGNANI. Ludwig Boltzmann: The Man Who Trusted Atoms. Oxford University Press, Oxford, 2006 (segunda impresión; fecha de la primera edición: 1998). La información contenida en esta descripción ha sido tomada, en su mayoría, de las partes introductorias de la referencia [1]. Matemática Aplicada. El estudiante debe ser capaz de leer bibliografía escrita en inglés. Director/es MA08 Simulación numérica de sistemas de camuflaxe nun modelo simple de propagación de ondas Andrés Prieto Aneiros O obxectivo principal deste traballo consiste na simulación numérica dun sistema de camuflaxe (ou anti-detección) nun modelo simple (linear e nunha dimensión). En concreto,

no traballo realizaranse as seguintes tarefas: a) facer unha revisión bibliográfica das ecuacións diferenciais ordinarias (EDOs) máis habituais que se usan para modelar os sistemas de camuflaxe, b) a partir dun sistema de EDOs coas súas respectivas condicións de contorno, escribir un problema co que se calcula a propagación das ondas no sistema de camuflaxe, c) implementar nun código (en Matlab ou Fortran) un método de diferencias finitas (ou elementos finitos) co que simular numericamente o sistema de camuflaxe. Matemática Aplicada a) Ter superadas as materias: Métodos Numéricos en Optimización e Ecuacións Diferenciais, Series de Fourier e Introdución ás Ecuacións en Derivadas Parciais e Cálculo Vectorial e Integración de Lebesgue. b) Estar a cursar as materias: Modelización Matemática, Taller de Simulación Numérica e/ou Análise Numérica de Ecuacións en Derivadas Parciais. MA09 Matemática Aplicada Modelado e simulación numérica do dano sufrido por estruturas sinxelas usadas na Enxeñería Civil sometidas a altas temperaturas. Peregrina Quintela Estévez Trátase de realizar a modelización matemática do dano sufrido por estruturas sinxelas usadas na Enxeñería Civil cando son sometidas a altas temperaturas, como por exemplo cando a estrutura é sometida a un incendio. Ademais deberán obter da bibliografía os parámetros termo mecánicos máis importantes e realizar a correspondente simulación numérica utilizando o paquete COMSOL. Ter cursado as materia de Modelización Matemática e Taller de Simulación Numérica. Director/es MA10 Métodos de Galerkin discontinuos. Jerónimo Rodríguez García. En las últimas décadas, los métodos de Galerkin discontinuos han adquirido gran importancia entre los métodos numéricos para resolver EDP. Ello es debido a que combinan interesantes propiedades que podemos encontrar en los métodos de elementos finitos, como la posibilidad de tener alto orden, con la gran flexibilidad proporcionada por la imposición de la continuidad entre los elementos de forma débil mediante flujos numéricos. El alumno debe estudiar partes seleccionadas del libro Nodal discontinuous Galerkin methods: algorithms, analysis, and applications (New York: Springer, 2007), de Jan S. Hesthaven y Tim Warburton, además de programar algún ejemplo. Matemática Aplicada. Se recomienda estar cursando o haber superado la asignatura Métodos Numéricos para Ecuaciones en Derivadas Parciales del Grado en Matemáticas de la USC, u otras con contenidos similares (por ejemplo, Diferencias Finitas en EDP o Elementos Finitos en

EDP de la Licenciatura de Matemáticas de la USC). Los programas de esas asignaturas pueden ser consultados en la dirección web http://www.usc.es/gl/centros/matematicas/programa_materias.html. El estudiante debe ser capaz de leer bibliografía escrita en inglés. Director/es MA13 Elaboración de un programa de análisis de las propiedades de los métodos de integración para E.D.O. María Luisa Seoane Martínez Se trata de implementar en MATLAB un programa que, dados los coeficientes del método, analice las propiedades de consistencia, orden, estabilidad y convergencia y construya las funciones asociadas al estudio de la estabilidad numérica. En particular, deberá ser capaz de analizar familias paramétricas de métodos lineales multipaso o de tipo Runge-Kutta. Además, deberá construir los coeficientes de métodos significativos (Runge-Kutta de Gauss-Legendre, Adams-Bashforth, Adams-Moulton, BDF). Matemática Aplicada Haber superado todas las materias obligatorias de métodos numéricos y ecuaciones diferenciales ordinarias del grado u otras con contenidos equivalentes. Poseer conocimientos de MATLAB. MA 14 Análise e resolución numérica dun modelo de contacto dun sólido elástico sobre unha fundación. Director/es Juan M. Viaño Rey Trátase de analizar un método numérico para a resolución dun modelo de contacto sen e con rozamento de un sólido elástico sobre unha fundación ríxida e de resposta elástica. Incluirá: Busca de bibliografía e referencias para a descrición do problema mecánico e do modelo matemático e a súa análise. Descrición e análise dun método numérico para a súa discretización e resolución Programación en ordenador do método nun caso simple unidimensional ou bidimensional. Comparación de resultados cos obtidos en paquetes de elementos finitos (COMSOL) Escritura e presentación da memoria de resultados e conclusións. Matemática Aplicada Ter cursado G1011445 Taller de Simulación Numérica G1011448 Análise Numérica de Ecuacións en Derivadas Parciais XT01 Xeometría e Topoloxía

Clasificación de superficies non compactas Jesús A. Álvarez López Trátase de estender a clasificación de superficies do caso compacto ao caso non compacto. Ademais do xénero, que pode ser infinito, o novo invariante clave a estudar é o espazo de finais, xunto cos seus subespazos de finais con xénero non nulo (floridos) e orientables. Primeiro trataríase de describir estes invariantes e probar que son completos. Ademais probaríase que calquera espazo compacto Hausdorff totalmente disconexo, con un par de subespazos pechados, se poden realizar como espazo de finais dalgunha superficie, e os seus subespazos de finais floridos e orientables. XT03 Xeometría e Topoloxía Curvas de Bertrand. Aplicación a superficies minimales Agustín Bonome Dopico Neste traballo trátase en primeiro lugar de demostrar as principais propiedades das curvas de Bertrand e o teorema de caracterización de curvas de Bertrand. Utilizando curvas esféricas, presentarase un método de construción de curvas de Bertrand. Ademais, utilizando a relación destas curvas coas hélices circulares, probarase que o helicoide recto é, aparte do plano, a única superficie reglada minimal. Bibliografía básica: [1] Do Carmo, M.P. Geometría Diferencial de Curvas y Superficies. Alianza Universidad Textos 1990. [2] González Herrera, A.; Núñez Valdés, J. Algunas aplicaciones de las curvas de Bertrand. Matemáticas: Enseñanza Universitaria, Vol. XVI, Núm. 1, 2008, pp. 11-22 Universidad del Valle.Colombia. XT04 Xeometría e Topoloxía Converxencia en espazos topolóxicos Xosé Manuel Carballés Vázquez Despois de utiliza-las sucesións no primeiro curso para o estudo da topoloxía euclidiana, o alumno, no terceiro curso, puido constata-las dificultades para repeti-lo procedemento en espazos topolóxicos xerais. Neste traballo deberá afondar no problema mediante o estudo dos seguintes temas: 1.- Inadecuación das sucesións. Espazos secuenciais e as súas propiedades. 2.- Converxencia xeneralizada: redes e filtros.

3.- Uso de redes e filtros para a caracterización de propiedades topolóxicas. Ter superadas Topoloxía xeral e Topoloxía de superficies e cursar Topoloxía alxébrica XT06 Xeometría e Topoloxía Superficies de revolución con curvatura de Gauss constante Eduardo García Río Descrición das superficies de revolución con curvatura de Gauss constante. A realización de dito estudo precisará do uso de integrais elípticas, que serán utilizadas para a descrición das correspondentes curvas xeratrices. O cálculo da curvatura media de ditas superficies permitirá un acercamento á clasificación das superficies con curvaturas principais constantes. Unha boa referencia bibliográfica para a realización do traballo é a segunda edición do libro de A. Gray Modern Differential Geometry of Curves and Surfaces with Mathematica. A realización do traballo require dunha boa comprensión das materias Curvas e Superficies e Teoría Global de Superficies, correspondentes ao segundo e terceiro curso, respectivamente. Asemade, ter cursado a materia Variedades diferenciables permitirá ao estudante un mellor aproveitamento da realización do traballo. Será de utilidade que o estudante dispoña de s previos de programación e/ou do uso de software tipo Mathematica ou Mapple. XT08 Xeometría e Topoloxía Hipersuperficies de R n Luis Mª Hervella Torrón O alumno comezará estudando conceptos elementais como as aplicacións esfera e de Weingarten e as ecuacións de Gauss a partir da conexión estándar do espazo real Euclidiano n-dimensional.para elo deberá ter claros os conceptos de subvariedades diferenciables. Recoméndase o libro de Noel J. Hicks Notas sobre geometría diferencia para unha fácil lectura do tema. O alumno deberá cursar a materia de Variedades do 4º curso do Grao, Con este traballo pretendese estimular a intuición xeométrica do alumno de tal xeito que xeneralizacións que se fagan posteriormente resulten naturais. XT10 Xeometría e Topoloxía O Anel de Funcións continuas Xosé M. Masa Vázquez O conxunto de funcións reais continuas con dominio un espazo topolóxico pódese dotar dunha estrutura de anel, usando a suma e o produto en IR. A estrutura topolóxica do espazo e a estrutura alxébrica do anel están estreitamente relacionadas, de xeito que, baixo certas hipóteses, existe unha equivalencia natural entre espazo e anel. A un punto corresponde o

ideal maximal das funcións que se anulan nel. O traballo consiste en explorar esta relación, reconstruíndo o espazo, cando menos para espazos compactos, a partir do anel, e construíndo, no caso de espazos completamente regulares non compactos, unha compactificación co mesmo anel de funcións reais continuas limitadas do espazo de partida. XT11 Xeometría e Topoloxía Topoloxía de Espazos de Funcións Xosé M. Masa Vázquez Os espazos de funcións xogan un papel primordial en Análise Matemática, en Topoloxía e en Xeometría. Trátase de estudar algúns dos principais espazos de funcións, especialmente as topoloxías denominadas admisibles. Segundo o contexto, máis analítico ou máis xeométrico, tratarase do estudo da topoloxía da converxencia uniforme ou da topoloxía compacto-aberto. XT13 XEOMETRÍA E TOPOLOXÍA Xeometría do fibrado tanxente dunha variedade: sistemas de ecuacións diferenciais ordinarias de segunda orde Modesto R. Salgado Seco Descrición do fibrado tanxente TM como variedade diferenciable. Construción dos campos de vectores canónicos e da estrutura tanxente canónica. O propósito fundamental é estudar un tipo especial de campos de vectores na variedade TM, coñecidos como SOPDEs ou sprays, e que son a representación xeométrica dos sistemas de ecuacións diferenciais ordinarias de segunda orde. Cursar a materia: Variedades diferenciables