obter grupos de Lie máis interesantes, estudarase S 3 a esfera de dimensión 3 dos cuaternios

ÁREA DE ÁLXEBRA Xeometría dos números complexos e dos cuaternios: os grupos de rotacións de R 3 e R 4 Manuel Ladra González As rotacións no plano arredor dun punto pódense identificar con S 1. S 1 ademais de ser un obxecto xeométrico ten estrutura alxébrica de grupo de Lie. Pero S 1 é un grupo de Lie conmutativo. Para obter grupos de Lie máis interesantes, estudarase S 3 a esfera de dimensión 3 dos cuaternios Área de coñecementoálxebra unidade. S 3 é un grupo de Lie non conmutativo coñecido como SU (2) e estreitamente relacionado ao grupo SO (3) do grupo das rotacións do espazo R 3, que é un grupo simple. Tamén se estudará o grupo de rotacións de R 4, SO (4) que pode describirse tamén con axudá dos cuaternios. Ao contrario que SO (3), SO (4) é un grupo non simple. Área de coñecementoálxebra Introducción á K-Teoría Alxébrica Celso Rodríguez Fernández Preténdese que o alumno adquira os coñecementos básicos de K-teoría alxébrica. Debe ser capaz de expoñer e defender en público os aspectos básicos dos primeiros grupos de K- Teoría: GL(R), E(R), ST(R), K1(R) e K2(R). Cálculo de grupos de Galois Leovigildo Alonso Tarrío Se trata de exponer métodos para el cálculo del grupo de Galois a partir de los coeficientes de un polinomio en una variable. La exposición debe ser accesible a cualquier graduado en matemáticas y se complemetará con la descripción explícita de ejemplos concretos. Área de coñecementoalxebra Haber superado las asignaturas Estructuras algebraicas y Ecuaciones algebraicas de tercer curso de grado. Área de coñecementoálxebra Aplicacións do teorema chinés dos restos en criptografía José Luis Gómez Pardo Estudo do teorema chinés (incluíndo os aspectos computacionais e a súa complexidade) e algunhas das súas aplicacións criptográficas (descifrado RSA, ataques contra RSA, criptosistema de Rabin, algoritmo de Pohlig-Hellman ).

Área de coñecementoanálise Matemática ÁREA DE ANÁLISE MATEMÁTICA Nocións do estudo cualitativo da dinámica discreta. Miguel Antonio del Río Vázquez Trátase de introducir algúns conceptos elementais da dinámica discreta e ilustrar a súa comprensión mediante consideración de distintos exemplos. Xunto a casos con comportamento dinámico sinxelo, presentaranse casos con dinámica moi complexa. Área de coñecementoanálise Matemática A hipótese de Riemann Juan José Nieto Roig Coñecer o enunciado da famosa Hipótese de Riemann e a súa relación con distintos campos da matemática (teoría de números, variable complexa, probabilidade, física matemática, criptografía, computación, etc ) e algunhas das súas implicacións. Funcións reais de variable real e medida de Lebesgue Rodrigo López Pouso Funcións de variación acotada. Propiedades. Funcións que aplican conxuntos de medida cero en conxuntos de medida cero. Funcións absolutamente continuas. Propiedades. O Teorema Fundamental do Cálculo na integral de Lebesgue. Aplicación ás ecuacións diferenciais. Área de coñecementoanálise Matemática Ter un bo coñecemento da análise das funcións dunha variable real e da medida de Lebesgue.

ÁREA DE ASTRONOMÍA E ASTROFÍSICA FOTOGRAFÍA ASTRONÓMICA CON CCD Josefina F. Ling -Traballo teórico-observacional -Estrutura e fundamentos das cámaras electrónicas -Introdución a fotográfica astronómica dixital. -Manexo básico de cámaras CCD acopladas a telescopios, para a obtención de imaxes fotográficas. -Adquisición e tratamento de imaxes de obxectos astronómicos co software e o instrumental existente no Observatorio Astronómico R. M. Aller. Área de -Astronomía e Astrofísica coñecemento Haber cursado a materia de Fundamentos de Astronomía Se valorarán: Outras -Coñecementos de programas de tratamento de imaxes. observacións -Soltura na utilización de recursos de Internet. -Habilidade no uso de instrumental electrónico e/ou astronómico ÁREA DE ESTATÍSTICA E IO Exemplos notables de Probabilidade e Estatística Manuel Febrero Bande O obxetivo deste traballo é desenrolar nun entorno informático amigable exemplos notables da didáctica da Probabilidade e da Estatística complementando ferramentas xa existentes como o paquete TeachingDemos do programa R. Área de coñecementoestatística e Investigación Operativa Soltura co paquete estatístico R Modelos y Algoritmos en Problemas de Rutas de Vehículos. Balbina V. Casas Méndez Los modelos de rutas de vehículos son de gran aplicación en problemas de logística que aparecen en la vida real. La complejidad de este tipo de problemas ha conducido a la introducción e implementación de algoritmos heurísticos que permiten resolverlos con un razonable esfuerzo computacional. Área de coñecementoestadística e Investigación Operativa Es conveniente que el alumno cursara la materia Programación Lineal y Entera. Modelos de regresión con efectos aleatorios Wenceslao González Manteiga Se trata de revisar y describir los modelos de regresión con efectos aleatorios con respuesta cualitativa y continua que surgieron en los últimos años. Elaborar una posible lista de macros en R relacionadas con las distintas metodologías e ilustrar la potencialidad de los métodos en modelos de predicción de datos medioambientales y biomédicos que le serán suministrados al alumno. Área de coñecementoestadística e Investigación Operativa Haber cursado las asignaturas de Inferencia Estadística del Grado y aconsejable cursar la optativa de regresión y multivariante de cuarto curso. Se aconseja tener conocimientos de R.

Área de coñecementomatemática Aplicada ÁREA MATEMÁTICA APLICADA Elaboración de un programa de análisis de las propiedades de los métodos de integración para E.D.O. María Luisa Seoane Martínez Se trata de implementar en MATLAB un programa que, dados los coeficientes del método, analice las propiedades de consistencia, orden, estabilidad y convergencia y construya las funciones asociadas al estudio de la estabilidad numérica. En particular, deberá ser capaz de analizar familias paramétricas de métodos lineales multipaso o de tipo Runge-Kutta. Además, deberá construir los coeficientes de métodos significativos (Runge-Kutta de Gauss-Legendre, Adams-Bashforth, Adams- Moulton, BDF). Haber superado todas las materias obligatorias de métodos numéricos y ecuaciones diferenciales ordinarias del grado u otras con contenidos equivalentes. Poseer conocimientos de MATLAB Aproximación dos valores e vectores propios dunha matriz hermitiana (simétrica) polo método de Jacobi. Pilar Mato Eiroa A determinación dos valores e vectores propios dunha matriz cadrada é un problema que se presenta en numerosas ramas da Matemática. O método de Jacobi para matrices hermitianas (simétricas) consiste en construír, mediante transformacións de semellanza, unha sucesión de matrices que converxa, nun senso a precisar, cara unha matriz de autovalores coñecidos. Neste traballo trátase de elaborar un manual que responda ós seguintes items: -Exposición e análise de diversas estratexias para construír as matrices ortogonais elementais que interveñen no proceso. -Implementación dalgunha delas en FORTRAN 90 ou MATLAB. -Aplicación do método nalgún exemplo. Área de coñecementomatemática Aplicada Gusto pola Análise Numérica Matricial e a implementación de algoritmos. Simulación numérica de sistemas de camuflaxe en modelos que gobernan a propagación harmónica das ondas Andrés Prieto Aneiros O obxectivo principal deste traballo consiste na simulación numérica do comportamento de sistemas de camuflaxe (ou anti-detección) en modelos simples da acústica ou do electromagnetismo que gobernan a propagación harmónica das ondas. En concreto, o traballo involucra as seguintes tarefas: a) facer unha revisión bibliográfica dos distintos modelos matemáticos que caracterizan o comportamento destes sistemas de camuflaxe, b) analizar e enunciar un problema matemático simple (nun caso unidimensional ou nun caso de simetría radial en dúas dimensións) que involucre un destes sistemas (por exemplo, mediante unha transformación das coordenadas espaciais do modelo), e c) implementar nun programa de ordenador un método de discretización para poder simular numericamente o comportamento dun sistema de camuflaxe e avaliar cuantitativamente as súa eficiencia. Área de coñecemento Matemática Aplicada a) Ter superadas as materias: Métodos Numéricos en Optimización e Ecuacións Diferenciais, Series de Fourier e Introdución ás Ecuacións en Derivadas Parciais e Cálculo Vectorial e Integración de Lebesgue. b) Estar a cursar as materias: Modelización Matemática, Taller de Simulación Numérica e/ou Análise Numérica de Ecuacións en Derivadas Parciais.

La ecuación de Boltzmann. Óscar López Pouso. A mediados del s. XIX, Maxwell descubrió la fórmula para la distribución de probabilidad de las velocidades de las partículas de un gas en equilibrio, pero fue Boltzmann quien, hacia finales del mismo siglo, derivó la ecuación que gobierna la evolución dinámica de esa distribución de probabilidad, ecuación llamada de Boltzmann, que describe cómo cambia conforme avanza el tiempo, es decir, cómo evoluciona, el estado de un gas, no necesariamente en equilibrio. Las ideas de Boltzmann fueron clave en el análisis que Planck haría más adelante al analizar la radiación emitida por un cuerpo negro, así como en dos de los artículos que Einstein publicó en 1905: uno en el que proporcionó un método para determinar las dimensiones moleculares y otro en el que explicaba la naturaleza del movimiento browniano. La ecuación de Boltzmann tuvo también importancia desde el punto de vista puramente matemático, pues fue la primera ecuación que describió la evolución de una probabilidad en el tiempo. A partir de la ecuación de Boltzmann se pueden obtener, mediante reescalados y pasos al límite, ecuaciones macroscópicas de tanta trascendencia como las ecuaciones de Euler o las ecuaciones de Navier-Stokes de la mecánica de fluidos. Por nuestra parte, hemos llegado a esta propuesta de Trabajo de Fin de Grado (TFG) porque la ecuación de Boltzmann está siendo en estos últimos años utilizada en modelos matemáticos ligados al tratamiento del cáncer con radioterapia. El alumno debe estudiar y hacer un resumen de partes seleccionadas del libro Ludwig Boltzmann: the man who trusted atoms (Oxford: Oxford University, 1998), de Carlo Cercignani. Área de coñecementomatemática Aplicada. El estudiante debe ser capaz de leer bibliografía escrita en inglés. Sobre el uso del axioma de elección en los resultados del Análisis Numérico. Óscar López Pouso. Recientemente, hemos observado que las demostraciones conocidas de la fórmula de Markov del error de cuadratura para fórmulas de Gauss parecen hacer uso del axioma de elección (AC, por axiom of choice ), sin que por otra parte ese uso se mencione en la bibliografía 1. En este Trabajo Fin de Grado (TFG) el estudiante deberá analizar esas demostraciones con la intención de dilucidar si la fórmula de Markov es cierta en Zermelo-Fraenkel, esto es, sin necesidad del AC. A partir de ese ejemplo, el estudiante hará un recorrido por los resultados dados en los cursos de Análisis Numérico de la Facultad de Matemáticas de la USC, con objeto de distinguir aquellos que hacen uso del AC de los que no lo hacen. 1 Lo cual no es extraño. Es muy generalizada la costumbre de no hacer mención de la dependencia del axioma de elección Área de coñecemento Matemática Aplicada. El estudiante debe ser capaz de leer bibliografía escrita en inglés.

ÁREA DE XEOMETRÍA E TOPOLOXÍA PROPIEDADES DINÁMICAS DOS MOSAICOS DE PENROSE Fernando Alcalde Cuesta En 1974, R. Penrose construíu unha familia de mosaicos repetitivos e aperiódicos do plano usando dúas teselas, o dardo e o papaventos [3]. Oitos anos máis tarde, en 1982, D. Shechtman descubriu unha aleación de alumnio e manganeso coas propiedades físicas dun cristal, pero cun patrón de difracción similar ao mosaico de Penrose. Xurdiu así o primeiro exemplo de sólido case-cristalino e o nacemento dun área da ciencia dos materiais que estimularía o estudo teórico dos mosaicos. No traballo, proponse o estudo da topoloxía e da dinámica do espazo dos mosaicos de Penrose. Usando unha idea de R. M. Robinson, recollida en [1] e [2], pódese explicitar un proceso repetitivo de construcción destes mosaicos. Isto permite probar que o espazo dos mosaicos de Penrose ten a dinámica medible dun autómata de Fibonacci. As taxas de aparición de papaventos e dardos están ben definidas e a súa razón coincide coa razón áurea. O traballo completarase cunha aplicación destes resultados en teoría da información [4]. Bibliografía: [1] A. Connes, Géométrie non commutative. InterÉditions, Paris, 1990. [2] B. Grünbaum, G. C. Shephard, Tilings and Patterns. W. H. Freeman and Co., New York, 1987. [3] R. Penrose, Pentaplexity. Mathematical Intelligencer, 2 (1979), 32-37. [4] E. Soljanin, Writing Sequences on the Plane, IEEE Trans. Info. Th., 48 (2002), 1344-1354. Área de coñecemento Xeometría e Topoloxía Clasificación de superficies e imposibilidade de clasificar variedades de dimensión catro Jesús Antonio Álvarez López En primeiro lugar, o alumno estudará ou recordará a clasificación das superficies pechadas. Usaranse representacións poligonais para describilas como sumas conexas de toros ou planos proxectivos. Usarase o grupo fundamental para distinguir estas superficies entre sí, que se calculará co teorema de Van Kampen. En segundo lugar, probarase que non existe ningunha clasificación similar para variedades pechadas de dimensión catro. Para eso, verase que calque grupo finitamente xerado pódese realizar como grupo fundamental dunha variedade de dimensión catro, no que tamén xogará un papel fundamental o teorema de Van Kampen. Entón o problema redúcese a imposibilidade de clasificar os grupos finitamente xerados, que é un teorema alxebraico bastante mais técnico; a demostración dese teorema podría estudar estudar tamén dependendo do tempo restante. Área de coñecemento Xeometría e Topoloxía Combina técnicas topolóxicas (cocientes, sumas conexas) e alxébricas (operacións con grupos). Ilustra o concepto de clasificación e a súa inexistencia. O Anel de Funcións continuas Xosé M. Masa Vázquez O conxunto de funcións reais continuas con dominio un espazo topolóxico pódese dotar dunha estrutura de anel, usando a suma e o produto en IR. A estrutura topolóxica do espazo e a estrutura alxébrica do anel están estreitamente relacionadas, de xeito que, baixo certas hipóteses, existe unha equivalencia natural entre espazo e anel. O traballo consiste en explorar esta relación, reconstruíndo o espazo, cando menos para espazos

compactos, a partir do anel, e construíndo, no caso de espazos completamente regulares non compactos, unha compactificación co mesmo anel de funcións reais continuas limitadas do espazo de partida. Área de coñecementoxeometría e Topoloxía