ài toán về các hình vuông dựng ra ngoài một tam giác guyễn Văn inh ăm 2015 húng ta bắt đầu từ một bài toán khá quen thuộc. ài 1. ho tam giác. Dựng ra ngoài tam giác các tam giác và lần lượt vuông cân tại và. Gọi là trung điểm của. hứng minh rằng tam giác vuông cân tại. hứng minh. ách 1. Gọi, lần lượt là trung điểm của,. Ta có = 1 2 =, = 1 =. 2 Đồng thời = 90 + =, suy ra = (c.g.c). Từ đó = và = + + = + + = 180 = 90. Vậy tam giác vuông cân tại. ách 2. Gọi đối xứng với qua. Suy ra = =. ằng phép cộng góc đơn giản dễ thấy = 90 + =. Do đó = (c.g.c), suy ra = và =. Ta thu được = = 90. Suy ra tam giác vuông cân tại. ại có là trung điểm của nên tam giác vuông cân tại. hận xét. ằng phương pháp tương tự cách 2 bài 1 chúng ta có thể chứng minh kết quả tương tự sau. ho tam giác, dựng vào phía trong các tam giác và lần lượt vuông cân tại và. Gọi là trung điểm. hi đó tam giác vuông cân tại. 1
ài toán 1 tuy đơn giản nhưng là một bài toán có ý nghĩa. húng ta sẽ xây dựng một chuỗi các bài toán thú vị bắt nguồn từ bài toán 1 như sau. ài 2. ho tam giác. Dựng ra ngoài tam giác các hình vuông, Q. Gọi, lần lượt là tâm của hai hình vuông,, lần lượt là trung điểm của,. hứng minh rằng là hình vuông. Q hứng minh. Áp dụng bài toán 1 cho tam giác và tam giác suy ra các tam giác và lần lượt vuông cân tại và. Suy ra đpcm. ài 3. ho tam giác. Dựng ra ngoài tam giác các tam giác và lần lượt vuông cân tại và. Gọi là trung điểm. hứng minh rằng tam giác vuông cân tại. hứng minh. Áp dụng bài toán 2 cho tam giác ta có ngay đpcm. 2
ài 4. (Định lý Vecten). ho tam giác. Dựng ra ngoài tam giác các hình vuông RS,, Q. Gọi,, lần lượt là tâm của các hình vuông này. hứng minh rằng,, đồng quy. hứng minh. ách 1. T Q S R Gọi,, T lần lượt là trung điểm của, Q,. Áp dụng bài 1 suy ra tam giác vuông cân tại. Từ đó T. Áp dụng bài 4 suy ra tam giác vuông cân tại. Suy ra tứ giác là hình vuông, từ đó là trung điểm. ại có là đường trung bình của tam giác Q, T, lần lượt là trung điểm của và Q nên T là trung điểm. Suy ra T. Vậy. hứng minh tương tự suy ra,, đồng quy tại trực tâm của tam giác. ách 2. 3
D Q I S R Dựng các hình bình hành D, QS, R. Gọi, I lần lượt là trung điểm, S. Dễ thấy = S. Do đó = I và IS =, suy ra I =. Từ đó I = (c.g.c), ta thu được tam giác vuông cân tại. hứng minh tương tự các tam giác,, D, D, đều vuông cân. Suy ra,, lần lượt là trung điểm của, D, D và,, lần lượt là trung trực của các đoạn thẳng, D, D. Suy ra,, đồng quy tại tâm ngoại tiếp của tam giác D. hú ý vào cách 1 của bài 4, theo phép chứng minh này ta có và =. ết quả này có thể mở rộng như sau. ài 5. (Định lý Van-ubel). ho tứ giác D. Dựng ra ngoài tứ giác các hình vuông, GH, DJI, D. Gọi,,, T lần lượt là tâm của các hình vuông này. hứng minh rằng T và = T. 4
H T G D J I hứng minh. Gọi là trung điểm D. Áp dụng bài 1 cho hai tam giác D và D suy ra các tam giác T và đều vuông cân tại. Từ đó = T và = T, =. Ta thu được = T (c.g.c). Suy ra = T và = T. ằng một số phép cộng góc đơn giản suy ra T. Từ định lý Van-ubel tác giả đã khai thác và tìm ra một bài toán khá thú vị, được đăng trên tạp chí TTT2 như sau. ài 6. ho tứ giác D. Dựng ra ngoài tứ giác các hình vuông, GH, DJI, D. Gọi R, S, U, V lần lượt là trung điểm của, G, HI, J. hứng minh rằng RU SV và RU = SV. S R G T H D V U J I 5
hứng minh. Gọi,,, T lần lượt là tâm của 4 hình vuông trên. Áp dụng bài 1 cho tam giác suy ra tam giác T R vuông cân tại R. hứng minh tương tự, các tam giác S, U, V T lần lượt vuông cân tại S, U, V. Áp dụng định lý Van-ubel cho tứ giác T suy ra RU SV và RU = SV. ài toán 1 là một bổ đề đơn giản nhưng rất hữu ích trong những bài toán dựng hình vuông ra ngoài tam giác. ài viết xin tạm dừng ở đây, mong bạn đọc tiếp tục khám phá ra những bài toán của riêng mình. Tài liệu [1] Vecten oints, from Wolfram athworld. http://mathworld.wolfram.com/vectenoints.html [2] van ubel s Theorem, from Wolfram athworld. http://mathworld.wolfram.com/vanubelstheorem.html [3] Tạp chí Toán tuổi thơ 2 tháng 10 năm 2008. mail: ovemathforever@gmail.com 6