Aritmetika i geometrija pitagorejaca

Sveučilište J.J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Ivana Šovagović Aritmetika i geometrija pitagorejaca Diplomski rad Osijek, 2010.

Sveučilište J.J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Ivana Šovagović Aritmetika i geometrija pitagorejaca Diplomski rad Mentor: doc. dr. sc. Franka Miriam Brückler Osijek, 2010.

Sadržaj 1. Uvod 1 2. Aritmetika 2 2.1. Svojstva brojeva............................... 2 2.1.1. Parni i neparni brojevi....................... 2 2.1.2. Prosti i složeni brojevi....................... 5 2.1.3. Savršeni i prijateljski brojevi.................... 7 2.1.4. Figurativni brojevi......................... 9 2.2. Sredine brojeva............................... 16 2.2.1. Aritmetička sredina........................ 16 2.2.2. Geometrijska sredina........................ 17 2.2.3. Harmonijska sredina........................ 18 3. Geometrija 19 3.1. Pitagorin teorem i Geometrijska algebra................. 20 3.1.1. Pitagorin teorem.......................... 20 3.1.2. Obrat Pitagorinog teorema..................... 22 3.1.3. Pitagorejske trojke......................... 23 3.1.4. Geometrijska algebra........................ 25 3.2. Sumjerljive veličine i iracionalnost od 2................. 28 3.3. Pravilni poliedri............................... 30 Literatura

1 1. Uvod Pitagora je roden na Samosu (569. 475. pr. Kr.), grčkom otoku koji je danas dio turske obale. Bio je odličan matematičar, često ga se opisuje kao prvog pravog matematičara. Mnogo je putovao i na svojim putovanjima se susreo s mnogim filozofima i misliocima koji su uvelike utjecali na njega. Pitagora je osnovao, oko 518. pr. Kr. u Krotonu, u južnoj Italiji, filozofsko-religioznu školu poznatu pod nazivom pitagorejska škola, a čije sljedbenike nazivamo pitagorejcima. Bio je značajna osoba koja je doprinijela razvoju matematike, no ne zna se je li išta od njemu pripisanih rezultata stvarno njegovo, ili su to dokazali drugi pitagorejci. Pitagorejska dostignuća su značajna u četiri područja: aritmetici, astronomiji, geometriji i glazbi. U ovom diplomskom radu su opisana njihova dostignuća u aritmetici i geometriji. Drugo poglavlje opisuje pitagorejsku aritmetiku. Pitagoru se često naziva ocem brojeva jer je vjerovao da se sve oko nas može objasniti pomoću prirodnih brojeva i odnosima medu njima. Poznat je Pitagorin stav Sve je broj, pri čemu misli na prirodne brojeve. Svaki prirodan broj, prema njegovom uvjerenju, ima vlastitu osobinu i značenje. Pitagora i pitagorejci su pročavali svojstva brojeva danas poznatih kao parnih i neparnih, prostih i složenih, savršenih i prijateljskih, te figurativnih brojeva. Poznavali su aritmetičku, geometrijsku i harmonijsku sredinu brojeva. Vjerovali su da je sve povezano s matematikom. Treće poglavlje opisuje pitagorejsku geometriju. Navodno je Pitagora naučio geometriju na putovanjima u Egipat i Babilon, ali su ga zasigurno s geometrijom upoznali grčki filozofi Ferekid (6. st. pr. Kr.), Tales (640. 547. pr. Kr.) i Anaksimandar (610. 546. pr. Kr.). Pitagoru se najviše veže uz Pitagorin teorem, za kojeg se smatra da ga je on prvi dokazao, no teorem je, bar u nekim specijalnim slučajevima, bio poznat ranim indijskim, kineskim i babilonskim matematičarima. Uredena trojka prirodnih brojeva koja zadovoljava uvjete Pitagorinog teorema naziva se pitagorejska (ili Pitagorina) trojka. Linearne i kvadratne jednadžbe pitagorejci su rješavali geometrijski, što znači da su poznavali geometrijsku algebru. Pitagorejci su, suprotno svom vjerovanju, otkrili nesumjerljivost stranice i dijagonale kvadrata, tj. postojanje iracionalnih brojeva. Poznavali su i pet pravilnih poliedara i njihova osnovna svojstva, te konstrukciju pravilnih poligona s tri, četiri, pet i šest strana. Matematička načela koja su otkrili pitagorejci skupljena su u opsežnom djelu, Elementima, koje je oko 300. pr. Kr. napisao grčki matematičar Euklid (330. 260. pr. Kr.). Euklidovi Elementi su skup knjiga od povijesnog i kulturnog značaja, ne samo za matematiku, nego i za cjelokupno ljudsko znanje. U II. knjzi su opisana dostignuća geometrijske algebre. Knjige VII., VIII. i IX. iznose rezultate pitagorejske aritmetike.

2 U XIII. knjizi konstruira se pet pravilnih poliedara (Platonova tijela) i dokazuje da drugih nema. Druga pitagorejska otkrića mogu se pronaći i u ostalim knjigama Elemenata. 2. Aritmetika Pitagora se često naziva ocem brojeva jer su on i njegovi učenici vjerovali da se cijeli svijet i sve oko nas može objasniti pomoću prirodnih brojeva i odnosima medu njima. Odbacivali su misao da je broj samo oznaka za količinu, te su brojevima pridavali mistična značenja. Temelj svih brojeva je broj jedan, Monada. Smatrali su da Monada nije broj nego princip. Povezivali su jedinicu s razumom. Broj dva ili Dijada je prvi paran broj i označava radanje pa se smatra ženskim brojem. Parni brojevi su za pitagorejce nositelji ženskog načela. Broj tri ili Trijada je prvi neparan broj, a neparni brojevi su za njih nositelji muškog načela. Broj četiri ili Tetrada je broj pravde, jer je broj koji se dijeli na dva jednaka dijela. Broj pet ili Pentada je broj ljubavi, simbol je za brak jer je spoj prvog ženskog i prvog muškog broja. Broj šest ili Heksada je simbol sreće i smatrao se sretnim brojem. Broj sedan ili Heptada predstavlja nevinost ili čistoću. Broj osam ili Ogdoada je broj prijateljstva. Broj devet ili Eneada se veže uz devetomjesečni period embrionalnog života. Broj deset ili Dekada je za pitagorejce sveti broj kojemu se klanjaju. Pitagorin stav Sve je broj! nam govori da su on i njegovi učenici s prirodnim brojevima objašnjavali sve pojave koje nas okružuju. 2.1. Svojstva brojeva Pitagora i pitagorejci su na razne načine klasificirali prirodne brojeve. 2.1.1. Parni i neparni brojevi Prirodni brojevi mogu biti parni ili neparni. Ako prirodan broj nije paran, tada je neparan, i obrnuto, ako prirodan broj nije neparan, tada je paran. Parni i neparni brojevi se razlikuju po svojstvima. Prema pitagorejcima, Definicija 2.1 Paran je onaj broj koji je djeljiv na dva jednaka dijela. Danas kažemo da su parni brojevi prirodni brojevi koji su djeljivi s brojem 2, odnosno brojevi koji pri dijeljenju s brojem 2 imaju ostatak 0. Svaki paran broj je umnožak broja 2 i nekog prirodnog broja m. Parne brojeve stoga zapisujemo u obliku: n = 2m. To su brojevi: 2, 4, 6, 8, 10,...

3 Za pitagorejce je: Definicija 2.2 Neparan je onaj broj koji nije djeljiv na dva jednaka dijela, odnosno koji se razlikuje za jedinicu od parnog broja. Neparni brojevi su prirodni brojevi koji pri dijeljenu s brojem 2 daju ostatak 1. Kada parnom broju dodamo jedinicu dobijemo neparan broj: n = 2m + 1; 3, 5, 7,... Da bismo dobili neparan broj 1 u ovom nizu zapisujemo: n = 2m 1; 1, 3, 5,... Postavlja se pitanje: Je li nula paran ili neparan broj? Teško je odgovoriti na pitanje: Imamo li parno ili neparno mnogo nečega čega uopće nemamo? No, nulu možemo zapisati u obliku 2m za m = 0, pa se danas smatra parnim brojem. Pitagorejci su proučavali aritmetičke operacije s parnim i neparnim brojevima, te su uočili sljedeća svojstva: Zbrajanje i oduzimanje paran broj uvećan za paran broj je paran broj, odnosno 2p + 2q = 2 (p + q); paran broj uvećan za neparan broj je isto kao i neparan broj uvećan za paran broj to je neparan broj, odnosno 2p + (2q + 1) = 2 (p + q) + 1; neparan broj uvećan za neparan broj je paran broj, odnosno (2p + 1) + (2q + 1) = 2 (p + q) + 2 = 2 (p + q + 1), gdje su s p i q označeni prirodni brojevi. Analogna svojstva vrijede i za oduzimanje: paran broj umanjen za paran/neparan daje paran/neparan broj, a neparni broj umanjen za neparni broj daje neparan. Množenje paran broj pomnožen s parnim brojem je paran broj, odnosno (2p) (2q) = 2 2 pq = 2 (2pq); paran broj pomnožen neparnim brojem, kao i neparan broj pomnožen s parnim brojem, je paran broj, odnosno (2p) (2q + 1) = 2 (p(2q + 1)); neparan broj pomnožen neparnim brojem je neparan broj, odnosno (2p + 1) (2q + 1) = 4pq + 2q + 2p + 1 = 2 (2pq + q + p) + 1, gdje su s p i q označeni prirodni brojevi.

4 Pitagorejci su i slikovito pokazali da vrijedi: zbroj dvaju parnih brojeva je paran broj. Prirodan broj n može se prikazati skupom od n kamenčića. Ako je paran, oni se mogu rasporediti u dva jednako duga reda. Zbrajanje dva prirodna broja može se prikazati objedinjavanjem odgovarajućih skupova kamenčića. Ako se zbrajaju dva parna broja, prikazana rasporedom na dva reda, dobije se broj čiji prikaz je takoder moguć u dva jednaka reda (slika 2.1). Slika 2.1 Zbroj dva pravokutnika iste visine je pravokutnik iste širine Kada se spoje dva pravokutnika kojima je zajednička visina 2 dobije se pravokutnik širine 2, bez obzira na dužinu pravokutnika. U VII. knjizi Euklidovih Elemenata definiraju se sljedeći pojmovi za koje se smatra da potječu od pitagorejaca: Definicija 2.3 Parno paran broj je onaj broj koji se mjeri parnim brojem paran broj puta. Primjerice, broj 8 je parno paran broj jer vrijedi 8 = 2 + 2 + 2 + 2 = 4 2. Suvremenim jezikom rečeno, parno paran broj je prirodan broj djeljiv s 4. Definicija 2.4 Neparno paran broj je onaj broj koji se mjeri parnim brojem neparan broj puta. Primjerice, broj 6 je neparno paran broj jer vrijedi 6 = 2 + 2 + 2 = 3 2. Suvremenim jezikom rečeno to je paran broj koji nije djeljiv s 4. Definicija 2.5 Parno neparan broj je onaj broj koji se mjeri neparnim brojem paran broj puta. Primjerice, broj 18 je parno neparan broj jer vrijedi 18 = 3 + 3 + 3 + 3 + 3 + 3 = 6 3. Suvremenim jezikom rečeno to je prirodan broj koji pri dijeljenju s brojem 2 daje neparan broj. Pitagorejci su govorili da takvi brojevi imaju neparnu polovinu. Definicija 2.6 Neparno neparan broj je onaj broj koji se mjeri neparnim brojem neparan broj puta. Primjerice, broj 15 je neparno neparan broj jer vrijedi 15 = 3 + 3 + 3 + 3 + 3 = 5 3. Suvremenim jezikom rečeno, neparno neparan broj je prirodan broj koji je uvijek neparan broj. Koji se dobije umnoškom dva neparna broja.

5 U IX. knjizi Euklidovih Elemenata može se pronaći propozicija, koju su dokazali pitagorejci. Propozicija 2.1 Ako broj ima neparnu polovinu, on je samo parno neparan. Dokaz. Neka broj a ima neparnu polovinu. Tvrdimo da je broj a samo parno neparan broj. Da je on parno neparan broj, to je jasno, jer ga njegova polovina, kao neparan broj, mjeri paran broj puta. Tvrdimo da su oni samo takvi. Zaista, ako je a parno paran broj, on se mjeri parnim brojem paran broj puta, pa i njegova polovina, neparan broj, mjeri se parnim brojem. A to nema smisla. Znači a je samo parno neparan broj. A to je trebalo dokazati. 2.1.2. Prosti i složeni brojevi Definicija 2.7 Prosti (prim) brojevi su prirodni brojevi djeljivi s brojem 1 i sami sa sobom. Pitagorejci su ih zvali pravčastim brojevima, jer se pomoću točkica ne mogu prikazati kao više jednakih redova. Primjer 2.1 Nekoliko prvih prostih brojeva su: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37,... Definicija 2.8 Složeni brojevi su prirodni brojevi veći od 1, koji su osim s 1 djeljivi i sa samim sobom i s barem još jednim brojem. Pitagorejci su ih zvali ravninskim brojevima. Primjer 2.2 Nekoliko prvih složenih brojeva su: 4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15, 16, 18, 20, 21,... Broj jedan nije niti prost niti složen. Dakle, prirodne brojeve možemo podijeliti u tri vrste: Broj 1, Prosti brojevi, Složeni brojevi Pitagorejci su poznavali i medusobni odnos izmedu dva prirodna broja. To su definirali: Definicija 2.9 Medusobno prosti brojevi su brojevi kojima je zajednička mjera broj jedan. Definicija 2.10 Medusobno složeni brojevi su brojev kojima je zajednička mjera neki broj različit od jedan.

6 U VII. knjizi Euklidovih Elemenata mogu se naći mnogi rezultati o prostim i složenim brojevima koji su proizašli od pitagorejaca. Propozicija 2.2 Svaki složen broj je višekratnik nekog prostog broja. Dokaz. Neka je a neki složen broj. Tvrdimo da je broj a višekratnik nekog prostog broja. Ako je a složen broj, tada je on djeljiv s nekim brojem. Neka postoji takav broj i neka to bude broj b. Ako je b prost broj tada je ono što se traži ispunjeno. Ako je on složen, tada je on djeljiv s nekim brojem. Neka postoji takav broj i neka to bude broj c. Kako je c djeljiv s b, a b s a, onda je c djeljiv i s a. Ako je c prost broj, onda je time ono što se traži ispunjeno. A ako je on složen broj, tada je on djeljiv s nekim brojem. Nakon primjene ovog postupka ostat će neki prost broj koji će biti djeljiv s a. Jer, ako ne ostaje takav broj, onda će broj a moći biti djeljiv s beskonačnim nizom brojeva, od kojih je svaki manji od drugog, a to je nemoguće. Prema tome naći će se neki prost broj, koji će biti djeljiv s prethodnim brojem, a time će biti djeljiv i s brojem a. Na ovaj način svaki složen broj je višekratnik nekog prostog broja. A to je trebalo dokazati. Propozicija 2.3 Svaki je broj ili prost ili je višekratnik prostog broja. Dokaz. Neka je a neki broj. Tvrdimo da je a ili prost broj ili je višekratnik prostog broja. Ako je a prost broj, onda je time ono što se traži ispunjeno. Ako je on složen, onda je višekratnik nekog prostog broja (propozicija 2.2). Na ovaj način, svaki broj je ili prost ili je višekratnik prostog broja. A to je trebalo dokazati. Propozicija 2.4 Ako prost broj ne dijeli zadani broj, onda je s njim relativno prost. Dokaz. Neka je a prost broj i neka nije djeljiv s brojem b. Tvrdimo da su brojevi a i b medusobno prosti. Zaista, ako brojevi a i b nisu medusobno prosti, onda su djeljivi s istim brojem. Neka su oba broja djeljiva s brojem c. Kako je b višekratnik od c, a a nije višekratnik od b, tada su brojevi c i a različiti. Sada kako je c djeljiv s a i b, dakle djeljiv je s a koji je prost broj, a to je nemoguće. Prema tome, ne postoji broj koji je djeljiv s a i b. Brojevi a i b su medusobno prosti. A to je trebalo dokazati.

7 IX. knjizi Euklidovih Elemenata mogu se pronaći propozicije, koje su takoder dokazali pitagorejci. Propozicija 2.5 Postoji beskonačno mnogo prostih brojeva. Dokaz. Pretpostavimo suprotno. Prostih brojeva ima konačno mnogo. Tada medu njima postoji najveći, označimo ga s p. Neka je M produkt svih tih prostih brojeva uvećan za 1, odnosno M = 2 3 p + 1. Tada je M > p, dakle složen je pa je djeljiv s nekim prostim brojem. No, M očito nije djeljiv s jednim od prostih brojeva 2, 3,...p, pa bi mogao postojati prost broj veći od p. A to je kontradikcija s pretpostvkom. Propozicija 2.6 Najmanji zajednički višekratnik skupa prostih brojeva nije djeljiv niti s jednim drugim prostim brojem. Dokaz. Neka je a najmanji zajednički višekratnik prostih brojeva b, c i d. Tvrdimo, da a nije djeljiv niti s jednim drugim prostim brojem osim njih. Pretpostavimo suprotno. Neka je broj a djeljiv prostim brojem e koji je različit od b, c i d. Kako je a djeljiv s e kao rezultat dijeljenje je broj z, odnosno umnožak brojeva e i z je broj a. Ako je umnožak neka dva broja djeljiv s prostim brojem, onda je taj prosti broj djeljiv s jednim od polazna dva broja. Prema tome b, c i d su djeljivi s jednim od brojeva e ili z. Oni nisu djeljivi s e jer je e prost broj i različit je od b, c i d. Znači djeljivi su s brojem z, koji je manji od a. A to je nemoguće jer je a najmanji višekratnik prostih brojeva b, c i d. Tada broj a nije djeljiv niti s jednim drugim prostim brojem osim b, c i d. A to je trebalo dokazati. 2.1.3. Savršeni i prijateljski brojevi U III. knjizi Euklidovih Elemenata se može pronaći definicija koju su dali pitagorejci: Definicija 2.11 Savršeni brojevi su brojevi koji su jednaki zbroju svojih pravih djelitelja. Primjer 2.3 Prva četiri savršena broja su: 6 = 1 + 2 + 3, 28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14, 496 = 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 31 + 62 + 124 + 248, 8128 = 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 32 + 64 + 127 + 254 + 508 + 1016 + 2032 + 4064. Prva četiri savršena broja poznavali su i pitagorejci.

8 Navodi se i opće pravilo po kojem se mogu pronaći savršeni brojevi, a koje je takoder pitagorejskog porijekla. To pravilo nije bilo poznato Grcima prije Pitagore. Ono glasi: Kada je zbroj: 1 + 2 + 2 2 +... + 2 m = p prost broj, gdje je m prirodan broj, tada je 2 m p savršen broj. Na primjer, 1 + 2 + 4 = 7 je prost broj, slijedi da je 2 2 7 = 28 savršen broj. U IX. knjizi Euklidovih Elemenata se može pronaći teorem koji se smatra pitagotejskim: Teorem 2.1 Ako je p = 2 m 1 prost broj, onda je n = 2 m 1 p savršen. Dokaz. Ako je p = 2 m 1 prost, onda n ima djelitelje: 1, 2, 2 2,...2 m 1, p, 2p, 2 2 p,...2 m 1 p, slijedi iz osnovnog teorema aritmetike o jedinstvenoj faktorizaciji prirodnih brojeva na proste faktore, no nama potreban slučaj je dan u propoziciji 2.6. Slijedi da zbroj svih djelitelja od n iznosi:. (1 + p)(1 + 2 +... + 2 m 1 ) = (1 + p)(2 m 1) = (1 + p)p = 2n Kako je i broj n uključen medu djelitelje, oduzimanjem broja n dobivamo da je suma pravih djelitelja od n jednaka n. Korištena formula za sumu geometrijskog reda može se naći u IX. knjizi Euklidovih Elemenata i takoder je bila poznata pitagorejcima. Prosti brojevi oblika 2 m 1 su danas poznati kao Mersenneovi brojevi, nazvani su po francuskom matematičaru Marinu Mersenneu (1588. 1648.) koji je u 17. stoljeću pronašao prvih osam savršenih brojeva. Može se primjetiti da su svi do sada navedeni savršeni brojevi parni. Do danas nije poznato postoje li neparni savršeni brojevi. To je jedan od najpoznatijih problema suvremene teorije brojeva. Prema pitagorejcima, Definicija 2.12 Prijateljski broj je onaj prirodan broj koji ima svoj prijateljski par. Prirodni brojevi a i b čine par prijateljskih brojeva ukoliko je zbroj pravih djelitelja broja a (onih koji su manji od a) jednak broju b i ujedno zbroj pravih djelitelja broja b jednak broju a.

9 Otkriće prijateljskih brojeva pripisuje se Pitagori, koji je vjerovao da ti brojevi imaju posebno značenje. Na temelju njih su se u prošlosti spajali odredeni brakovi. Brojevi 220 i 284 čine najmanji par prijateljskih brojeva i taj je par bio poznat pitagorejcima. Pravi djelitelji broja 220 su: 1, 2, 4, 5, 10, 11, 20, 22, 44, 55 i 110. Zbroj pravih djelitelja broja 220 daje 284: 1 + 2 + 4 + 5 + 10 + 11 + 20 + 22 + 44 + 55 + 110 = 284. Pravi djelitelji broja 284 su: 1, 2, 4, 71 i 142. Zbroj pravih djelitelja broja 284 daje 220: 1 + 2 + 4 + 71 + 142 = 220. 2.1.4. Figurativni brojevi Stari su Grci, a posebno pitagorejci, osobitu pažnju pridavali geometrijskom predočavanju prirodnih brojeva pomoću pravilnih rasporeda točkica. Posebnim slaganjem točkica oblikuju se odredene geometrijske figure, pa se ti brojevi nazivaju figurativni brojevi. Pravilno rasporedujući točkice mogu se dobiti različiti poligonalni oblici (trokut, kvadrat, pravokutnik,...). No, točkice se mogu pravilno rasporediti i u trodimenzionalna tijela (piramidu, kocku, tetraedar,...). Brojevi koji se mogu prikazati u obliku trokuta nazivaju se trokutni brojevi. Kod trokutnih brojeva prvi red sadrži jedan element a svaki sljedeći red sadrži jedan element više od prethodnog. Trokutni su brojevi: 1, 3, 6, 10, 15, 21,... U nizu trokutnih brojeva počinje se neparnim brojem, a nakon toga slijede alternirajući dva parna, dva neparna, dva parna, dva neparna itd. Slika 2.2 Trokutni brojevi: 1, 3, 6, 10 i 15 Pitagorejci su otkrili da je zbroj proizvoljnog broja uzastopnih prirodnih brojeva trokutni broj, odnosno da se trokutni brojevi mogu zapisati u obliku: T n = 1 + 2 +... + n = n(n+1) 2.

10 Vizualni dokaz tog identiteta vidljiv je na slici 2.3. Na kojoj je prikazan trokutni broj 15, koji se dobije zbrajanjem prvih pet prirodnih brojeva. Slika 2.3 Trokutni broj 15 Medu trokutnim brojevima nalazi se i tzv. Tetraktis. Tetraktis su činile deset točkica. Broj 10 je za pitagorejce bio poseban broj. Predstavljao je četiri elementa (vatra, voda, zrak i zemlja). Ako u bazu stavimo četiri točkice, pa iznad njih tri, pa dvije, pa na vrh jednu, dobije se jednakostraničan trokut sa stranicama 4 4 4, zbog čega se i nazivao Tetraktis. Pitagorejci su pokazali da je zbroj dva uzastopna trokutna broja jednak zbroju uzastopnih neparnih brojeva. To su opisali i formulom: T n + T n+1 = 1 + 3 + 5 +... + (2n + 1) = (n + 1) 2. Na slici 2.6 može se vidjeti da je zbroj dva uzastopna trokutna broja 10 i 15, odnosno četvrtog i petog trokutnog broja jednak 25. To se dobije i prema formuli, gdje je n = 4; (n + 1) 2 = (4 + 1) 2 = 5 2 = 25. Brojevi koji se mogu prikazati u obliku kvadrata nazivaju se kvadratni brojevi. Kvadratni su brojevi 1, 4, 9, 16, 25, 36... U nizu kvadratnih brojeva alterniraju paran, neparan, paran, neparan itd. Slika 2.4 Kvadratni brojevi: 1, 4, 9, 16 i 25

11 Pitagorejci su otkrili da je zbroj prvih n neparnih brojeva kvadratni broj, odnosno da se kvadratni brojevi mogu zapisati u obliku: K n = 1 + 3 + 5 +... + (2n 1) = n 2. Ako se krene od 1, dodavanjem uzastopnih neparnih brojeva 3, 5, 7, dobiju se uzastopni kvadratni brojevi 4, 9, 16, kao što je prikazano na slici 2.5. Slika 2.5 Kvadratni brojevi Vezano za kvadratne brojeve pitagorejci su otkrili da je paran kvadratni broj četverostruki kvadratni, tj. da ako je kvadratni broj djeljiv s 2, onda je djeljiv i s 4. Vjeruje se da su pitagorejci otkrili i da postoje kvadratni brojevi kojima je zbroj opet kvadratni broj (propozicija 3.1). Osim toga, pitagorejci su otkrili i veze izmedu trokutnih i kvadratnih brojeva: Zbroj svakih dvaju uzastopnih trokutnih brojeva je kvadratni broj. Prikazali su to formulom: T n + T n 1 = 1 2 (n + 1) + 1 2 (n 1)n = n2. Vizualni dokaz tog identiteta vidljiv je na slici 2.6. Slika 2.6 Zbroj trokutnih brojeva 10 i 15 je kvadratni broj 25

12 U 6. i 5. st. pr. Kr. u okviru učenja o parnim i neparnim brojevima otkrili su i da je neparni kvadratni broj osmerostruki trokutni broj uvećan za 1, odnosno ako je broj n neparan, onda broj 8 dijeli n 2 1. To je vidljivo i na slici 2.7: Slika 2.7 7 2 = 1 + 8(1 + 2 + 3) Pitagorejci su proučavajući figurativne brojeve zaključili da postoje brojevi koji su istodobno trokutni i kvadratni. To su brojevi koji se mogu prikazati i u obliku trokuta i u obliku kvadrata. Brojevi 1, 36, 1225, 41616, 1413721 su istodobno i trokutni i kvadratni brojevi. To su objasnili tako što se odredeni trokut pretvara u jednakokračni pravokutni trokut. On se tada prekrije kvadratima kao što je prikazano na slici 2.8. Presjekom trokuta s kvadratom nastaju dva manja (jednaka) trokuta i jedan veći. Slika 2.8 Presjek trokuta i kvadrata Kvadrat i trokut su jednaki uvijek kada je zbroj dvaju malih trokuta jednak velikom trokutu. Odnosno, veliki trokut je dva puta veći od malog trokuta. Ovo se može objasniti slikovito tako da se sa slike 2.8 izbrišu točkice, a ostave se samo oblici.

13 Tada se dobiva sljedeća slika. Slika 2.9 Presjek trokuta i kvadrata, bez točkica Na taj se način pronalaženje kvadratnog broja, koji je ujedno i trokutni, svelo na pronalaženje trokutnog broja čije je udvostručenje trokutni broj. Brojevi koji se mogu prikazati u obliku pravokutnika, kojima se stranica razlikuje za 1, nazivaju se pravokutni brojevi. Pravokutni su brojevi: 2, 6, 8, 10, 12, 20... Pitagorejci su otkrili da je zbroj prvih n parnih brojeva pravokutni broj, odnosno da se pravokutni brojevi mogu zapisati u obliku: P n = 2 + 4 +... + 2n = n(n + 1). Ako se krene od 2, dodavanjem uzastopnih parnih brojeva 4, 6, 8, dobiju se uzastopni pravokutni brojevi 6, 12, 20, kao što je prikazano na slici 2.10. Slika 2.10 Pravokutni brojevi: 2, 6, 12 i 20 Pitagorejci su uočili i pokazali i vezu izmedu pravokutnih i trokutnih brojeva: Pravokutni broj je dvostruki trokutni broj, tj. To nam pokazuje slika 2.11: n(n + 1) = 2 n(n+1) 2. Slika 2.11 Dva puta trokutni broj 10 je pravokutni broj 20

14 Od poligonalnih figurativnih brojeva pitagorejci su poznavali i peterokutne i šesterokutne brojeve. Peterokutni brojevi su brojevi koji se mogu prikazati u obliku peterokuta. Peterokutni su brojevi: 1, 5, 12, 22, 35,... Slika 2.12 Peterokutni brojevi: 1, 5, 12, 22 i 35 Kod petrokutnih brojeva se kreće od 1 i redom se dodaju brojevi 4, 7, 10,..., odnosno redom se dodaju elementi aritmetičkog niza koji se razlikuju za 3. Peterokutni brojevi se danas zapisuju u obliku: P k n = 1 + 4 + 7 +... + (3n 2) = 3n2 n 2. Vizualni dokaz tog identiteta vidljiv je na slici 2.13. Slika 2.13 Peterokutni brojevi Šestrokutni brojevi su brojevi koji se mogu prikazati u obliku šesterokuta. Šesterokutni su brojevi: 1, 6, 15, 28, 45,... Slika 2.14 Šesterokutni brojevi: 1, 6, 15, 28 i 45

15 Kod šesterokutnih brojeva se kreće od 1 i redom se dodaju brojevi 5, 9, 13,..., odnosno redom se dodaju elementi aritmetičkog niza koji se razlikuju za 4. Šesterokutni brojevi se mogu prikazati u obliku: S n = 1 + 5 + 9 + 13 +... + (4n 3) = n(2n 1). Vizualni dokaz tog identiteta vidljiv je na slici 2.15. Slika 2.15 Šesterokutni brojevi Figurativni brojevi koji slaganjem točkica oblikuju piramide, kojima su baze pravilni poligoni, nazivaju se piramidalni brojevi. Slika 2.16 Piramidalni brojevi, kojima je baza trokut, kvadrat, peterokut, šesterokut Figurativni brojevi koji se slaganjem točkica oblikuju u kocku, nazivaju se kockasti brojevi. Kockasti su brojevi: 1, 8, 27, 64, 125, 216, 343,... Mogu se zapisati u obliku n 3. Slika 2.17 Kockasti brojevi: 8 i 27

16 Figurativni brojevi koji slaganjem točkica oblikuju tetraedar 1, nazivaju se tetraedalni brojevi. Sume su uzastopnih trokutnih brojeva. Tetraedalni brojevi su: 1, 4, 10, 20, 35, 56, 84, 120,... Mogu se zapisati u obliku: 1n(n + 1)(n + 2). 6 Slika 2.18 Tetraedalni broj: 20 2.2. Sredine brojeva Otkriće aritmetičke, geometrijske i harmonijske sredine se pripisuje pitagorejcima (6. st. pr. Kr). 2.2.1. Aritmetička sredina Pitagorejci su definirali aritmetičku sredinu na ovaj način: Definicija 2.13 Aritmetička sredina je kada tri prirodna broja a, b, c pokazuju uzastopnu razliku. Odnosno, koliko je prvi broj veći od drugog, toliko je drugi broj veći od trećeg. Kod aritmetičke sredine se dogada da je odnos izmedu većih brojeva manji, a izmedu manjih veći. Zapisano pomoću formule, aritmetička sredina glasi: a b = a = b = c, b c a b c što je ekvivalentno s: a + c = 2b, za brojeve a > b > c. 1 Tetraedar je geometrijsko tijelo omedeno s četiri plohe koje imaju oblik trokuta i rasporedene su tako da tijelo ima šest bridova i četiri vrha. Vidi Treće poglavlje.

17 U duhu geometrijske algebre pitagorejaca, ako su zadane duljine dužina a i c, onda se duljina dužine b može konstruirati kao na slici: Slika 2.19 Konstrukcija aritmetičke sredine dva pozitivna broja Pitagorejci su znali (jer je očigledno iz geometrijske interpretacije) da se broj b nalazi izmedu brojeva a i c. 2.2.2. Geometrijska sredina Pitagorejci su definirali geometrijsku sredinu na ovaj način: Definicija 2.14 Geometrijska sredina tri prirodna broja a, b, c je kada se prvi broj odnosi prema drugom, kao drugi prema trećem. Zapisano pomoću formule, geometrijska sredina glasi: a b = a = b, b c b c što je ekvivalentno s: ac = b 2, za brojeve a > b > c. U duhu geometrijske algebre pitagorejaca, ako su a i b duljine dužina, onda se duljina dužine b konstruira pomoću jedne od slika: Slika 2.20 Konstrukcija geometrijske sredine dva realna broja Pitagorejci su znali (jer je očigledno iz geometrijske interpretacije) da se broj b nalazi izmedu brojeva a i c.

18 2.2.3. Harmonijska sredina Pitagorejci su definirali harmonijsku sredinu na ovaj način: Definicija 2.15 Harmonijska sredina tri prirodna broja a, b, c glasi: za koliko vlastite veličine je prvi broj veći od drugog, za toliki dio trećega, srednji broj je veći od trećega. Zapisano pomoću formule, harmonijska sredina glasi: a = b + a, b = c + c a b, odnosno = a, n n b c c 1 što je ekvivalentno s: + 1 = 2, za brojeve a > b > c. a c b Pitagorejci su harmonijsku sredinu koristili u glazbi, te je tako i dobila ime. Prema legendi, Pitagora je šetajući se zastao pred kovačnicom i ostao zadivljen glazbom koja je nastajala udaranjem četiriju čekića i predivnim suzvučjem. Suzvučje je sveo na omjere mase čekića. Ispitivanjem veza izmedu suzvučja i duljina žica pitagorejci su došli do pojma harmonijske sredine. Uočili su da se harmonijska sredina pojavljuje i u pravilnih poliedara. Uzmimo kao primjer kocku i pogledajmo kako se na njoj može primijetiti harmonijska sredina. Kocka ima 12 bridova i 6 strana. Treći prirodan broj koji nam nedostaje, broj vrhova kocke, izračunat ćemo primjenjujući formula za harmonijsku sredinu: Treći broj je 8. Kocka ima 8 vrhova. 1 + 1 = 2, a c b 1 + 1 = 2, 12 6 b 3 = 2, 12 8 24 = 3b, b = 8. Uzmemo li oktaedar, koji ima 6 vrhova i 12 bridova, dobivamo istu harmonijsku sredinu 8, koja je broj strana oktaedra. Harmonijska sredina se slično pojavljuje i kod ostalih pravilnih poliedara (tetraedar, dodekaedar i ikosaedar).

19 3. Geometrija Mnoge su se drevne civilizacije, primjerice egipatska i babilonska, već zanimale za geometriju, no toj znanosti su dali ime Grci. Grci su prvi shvatili da se priroda može razumjeti uz pomoć matematike: geometrija služi za otkrivanje, a ne samo za opisivanje. Smatra se da je Pitagora učinio geometriju grčkom znanošću, iako se vrlo malo otkrića iz tog područja može pripisati Pitagori i njegovim učenicima. Na Pitagoru su, u njegovoj mladosti, osobit utjecaj imala tri grčka filozofa: Ferekid, njegov učitelj Tales i njegov učenik Anaksimandar koji su ga najvjerojatnije na svojim predavanjima i upoznali s geometrijom. No, izvori govore i da se Pitagora s tom znanošću upoznao na svojim putovanjima u Egipat i Babilon. Geometrijska dostignuća koja se pripisuju Pitagori i pitagorejcima su: - kvadrat nad hipotenuzom jednak je zbroju kvadrata nad ostale dvije stranice u pravokutnom trokutu (Pitagorin teorem), - otkriće iracionalnih brojeva, tj. nesumjerljivih dužina (stranica i dijagonala kvadrata su nesumjerljive), - konstrukcija pravilnog peterokuta (stranica i dijagonala peterokuta su nesumjerljive), - zbroj kuteva u trokutu jednak je kao dva prava kuta (zbroj kuteva u trokutu je 180 o ), - pet pravilnih poliedara (Platonovih tijela), - i mnoga druga. Zbroj likova u antičkoj Grčkoj znači zbroj njihovih površina, a pod jednakosti likova se smatra da se jedan od tih likova može razrezati i presložiti u drugi. To se primjenjuje u geometrijskoj algebri, tj. na taj način se rješavaju linearne i kvadratne jednadžbe geometrijski.

20 3.1. Pitagorin teorem i Geometrijska algebra 3.1.1. Pitagorin teorem Za Pitagorin teorem se može reći da je jedan od osnovnih teorema elementarne geometrije. Smatra se prvim velikim teoremom u matematici. Samo porijeklo tog teorema nije sasvim poznato. Iako je prema legendi pripisan grčkom matematičaru Pitagori, iskopine 20. stoljeća u Mezopotamiji su otkrile da su drevni Babilonci više od tisuću godina prije Pitagorina vremena poznavali taj teorem (ili bar njegove specijalne slučajeve). Znanje o tom teoremu se takoder pojavljuje u nekim drevnim indijskim i kineskim radovima, koji sežu do vremena Pitagore, ako ne i ranije. Teorem nosi Pitagorino ime jer se smatra da je Pitagora, ili neki pitagorejac bio prvi matematičar koji je dokazao taj teorem. Pitagorin teorem glasi: Teorem 3.1 Površina kvadrata nad hipotenuzom je jednaka zbroju površina kvadrata nad katetama: c 2 = a 2 + b 2, gdje su a i b duljine kateta pravokutnog trokuta, a c duljina hipotenuze pravokutnog trokuta. U Pitagorino vrijeme nije bilo materijala za zapisivanje, pa su se stećena znanja kod pitagorejaca prenosila usmenim putem. Stoga ne postoji pouzdan izvor na osnovu kojeg bi se sa sigurnošću moglo tvrdi kako je izgledao originalni dokaz Pitagorinog teorema. Do danas ovaj teorem ima mnogo poznatih dokaza. Knjiga Elishe Scott Loomis, Pythagorean Proposition, koja je objavljena 1927. godine, a 1940. godine nadopunjena novim dokazima, sadrži 370 dokaza ovog teorema. Izmedu ostalih tu je naveden Euklidov dokaz, zatim dokazi koji se pripisuju grčkom matematičaru Claudius Ptolemaeusu (83. 161. pr. Kr), te njemačkom matematičaru Gottfried Wilhelm Leibnizu (1646. 1716.), zatim dokaz indijskog matematičara Bhaskare (1114. 1185.), te dokaz predsjednika SAD-a, Jamesa Abrama Garfielda (1831. 1881.) i mnogi drugi. Iskaz Pitagorinog teorema suma kvadrata nad katetama jednaka je kvadratu nad hipotenuzom u kontekstu starogrčke matematike treba shvatiti doslovno: moguće je razrezati kvadrate nacrtane nad katetama i presložiti ih u kvadrat nad hipotenuzom.

21 Dokaz. Dokaz Pitagorinog teorema, koji je dao grčki matematičar Euklid (3. st. pr. Kr.) u Elementima (I. knjiga, 47. propozicija), smatra se originalnim pitagorejskim dokazom. Dokaz se temelji na slici 3.1. Slika 3.1 Slika koja se koristi za Euklidov dokaz Pitagorinog teorema Neka je ABC pravokutni trokut s pravim kutem pri vrhu C. Tvrdimo da je kvadrat AA 2 B 2 B jednak zbroju kvadrata AA 1 C 2 C i CC 1 B 1 B. Ucrtamo paralelu CE s AA 2 i spojimo A 2 s C i A 1 s B. Kako su kutevi ACB i ACC 2 pravi, slijedi da su C 2, C i B na istom pravcu. Analogno su C 1, C i A na istom pravcu. Kako su oba kuta BAA 2 i CAA 1 prava tj. jednaka, kad im oboma dodamo kut CAB dobijemo jednake kuteve BAA 1 i CAA 2. Sada trokuti ABA 1 i CAA 2 imaju jednake dvije stranice i kut medu njima ( AB = AA 2, AC = AA 1 i BAA 1 = CAA 2 ), pa su trokuti ABA 1 i CAA 2 jednaki (sukladni). Nadalje, pravokutnik ADEA 2 je dvostruki trokut CAA 2 jer imaju istu bazu AA 2 i istu visinu duljine AD. Analogno, kvadrat AA 1 C 2 C je dvostruki trokut ABA 1 jer imaju istu bazu AA 1 i istu visinu duljine AC. Slijedi da je kvadrat AA 1 C 2 C jednak pravokutniku ADEA 2. Analognim postupkom dobili bismo da je kvadrat CC 1 B 1 B jednak pravokutniku BDEB 2. Kako je kvadrat nad hipotenuzom AA 2 B 2 B očito jednak zbroju pravokutnika ADEA 2 i BDEB 2, slijedi da je jednak zbroju kvadrata nad katetama.

22 3.1.2. Obrat Pitagorinog teorema Pitagorejci su ne samo prvi dokazali Pitagorin teorem, nego i njegov obrat. Teorem 3.2 Ako je u trokutu kvadrat nad jednom od stranica jednak kvadratu nad ostalim dvjema stranicama trokuta, onda kut koji je obuhvaćen ostalim dvjema stranicama trokuta jest pravi kut. Pitagorejski dokaz obrata Pitagorinog teorema, može se pronaći u Euklidovim Elementima, (I. knjiga, 48. propozicija), odnosno smatra se da je taj dokaz pitagorejskog porijekla. Dokaz. Neka je kvadrat nad jednom stranicom trokuta ABC, stranicom BC, jednak kvadratima nad stranicama AB i AC. Neka je kut pri vrhu A pravi. Slika 3.2 Slika koja se koristi za dokaz obrata Pitagorinog teorema Nadalje, neka se iz točke A povuče dužina AD koja je okomita na dužinu AC. Tako da je AD jednaka AB. Spajanjem točaka D i C dobije se dužina DC. Kako je AD jednaka AB slijedi da su i kvadrati nad tim stranicama jednaki. No, kvadratima nad stranicama AD i AC jednak je kvadrat nad stranicom DC, jer je kut DAC pravi kut. A kvadratima nad stranicama AB i AC jednak je kvadrat nad stranicom BC, a to je pretpostavljeno. Stoga je kvadrat nad stranicom DC jednak kvadratu nad stranicom BC, tako da je i DC jednaka BC. Budući da je AD jednaka AB, a AC je zajednička stranica, slijedi da su i osnovice trokuta DC i BC jednake. Dakle i kutevi DAC i BAC su jednaki. Kako je kut DAC pravi kut, slijedi da je i kut BAC pravi. Dakle, ako je u trokutu kvadrat nad jednoj od stranica jednak kvadratima nad ostalim dvjema stranicama trokuta, onda kut koji je obuhvaćen ostalim dvjema stranicama trokuta jest pravi kut. A to je ono što smo trebali dokazati.

23 3.1.3. Pitagorejske trojke Pitagora i pitagorejci su vezano uz Pitagorin teorem proučavali pitagorejske trojke. No, sam pojam pitagorejskih trojki su poznavali i neki stari narodi, Babilonci, Egipćani i Kinezi. Oni su poznavali neke pitagorejske trojke, vazane za mjerenja zemljišta. Egipćani su poznavali pitagorejsku trojku (3, 4, 5). Babilonci su poznavali pitagorejske trojke: (3, 4, 5), (5, 12, 13), (8, 15, 17), (24, 7, 25) i (3456, 3367, 4825). Definicija 3.1 Pitagorejske trojke su trojke prirodnih brojeva a, b, c takve da je: a 2 + b 2 = c 2, tj. takve da su to stranice pravokutnog trokuta. Ukoliko su brojevi a, b i c relativno prosti 2, onda kažemo da je trojka (a, b, c) primitivna pitagorejska trojka. U Euklidovim Elementima se može pronaći rezultat kojeg su pronašli, a najvjerojatnije i dokazali pitagorejci. Propozicija 3.1 Postoje dva kvadratna broja kojima je i zbroj kvadratni broj. Dokaz. Neka su ab i bc dva broja koja su ili oba parna ili oba neparna. Ostatak, kad se od parnog broja oduzme paran broj ili od neparnog broja oduzme neparan broj je uvijek paran broj. Tada je ostatak ac paran broj. Neka je broj d polovina broja ac. Neka su brojevi ab i bc kvadratni brojevi. Tada je (ab bc) + (cd) 2 = (bd) 2. Ali kako je produkt dva kvadratna broja kvadratni broj, slijedi da je (ab bc) kvadratni broj. Tada su ponadena dva kvadratna broja jer je (ab bc) + (cd) 2 = (bd) 2. Jasno je da su pronadena dva kvadratna broja, (bd) 2 i (cd) 2, od kojih je jedan veći od drugog za (ab bc), i da je produkt (ab bc) kvadratni broj. Ako produkt (ab bc) nije kvadratni broj, onda su pronadena dva kvadratna broja (bd) 2 i (cd) 2, čija je razlika jednaka (ab bc), koji nije kvadrat. A to je trebalo dokazati. 2 Brojevi a i b su relativno prosti ako je najveć zajednički djelitelj brojeva a i b jednak 1, tj. brojevi a i b nemaju zajedničkih faktora.

24 Danas to zapisujemo na ovaj način: Neka je n 2 = ab, a m 2 = bc, gdje je n > m. Tada je n 2 m 2 paran broj. Neka je k = cd polovina tog broja. Tada vrijedi: Stoga, n 2 m 2 + k 2 = (m 2 + k) 2. (nm) 2 + ( n2 m 2 2 ) 2 = ( n2 +m 2 2 ) 2. Što daje dva kvadratna broja (nm) 2 i ( n2 m 2 2 ) 2, čiji zbroj je takoder kvadratni broj ( n2 +m 2 2 ) 2. Na taj način su dobivena tri prirodna broja koja zadovoljavaju uvijete definicije 3.1, to su brojevi: a = 2nm, b = n 2 m 2 i c = n 2 + m 2. Ako su m i n relativno prosti brojevi različite parnosti, i ako je n > m tada je trojka (a, b, c) primitivna pitagorejska trojka. U slučaju kada je m = 1, duljina veće katete je za dva manja od hipotenuze. Pitagorejci su takoder znali da pitagorejskih trojki ima beskonačno mnogo. U sljedećoj tablici su navedene neke pitagorejske trojke. Tablica 3.1 Tablica s nekoliko pitagorejskih trojki, pitagorejske trojke koje nisu primitivne označene su tamnije. (3, 4, 5) (11, 60, 61) (21, 20, 29) (45, 108, 117) (5, 12, 13) (13, 84, 85) (27, 36, 45) (35, 12, 37) (7, 24, 25) (15, 112, 113) (33, 56, 65) (45, 28, 53) (9, 40, 10) (55, 48, 73) (195, 28, 197) (15, 8, 17) (65, 72, 97) (91, 60, 109) (135, 72, 153) (77, 36, 85) (75, 100, 125) (105, 88, 137) (143, 24, 145) (117, 44, 125) (63, 16, 65) (99, 20, 101) (165, 52, 173) (39, 80, 89)

25 3.1.4. Geometrijska algebra Pitagoru i pitagorejce se takoder povezuje s otkrićem geometrijske algebre. Geometrijska algebra predstavlja geometrijski pristup algebri. To znači da se linearne i kvadratne jednadžbe rješavaju geometrijski. Druga knjiga Euklidovih Elemenata sadrži rezultate geometrijske algebre, koja se pripisuje pitagorejcima. Tu se navode neki primjeri jednadžbi koje se rješavaju pomoću geometrijske algebre, za koje se smatra da su ih otkrili pitagorejci: Primjer 3.1 Treba riješiti jednadžbu ax = b 2. Rješenje se dobije pomoću slike 3.3. Budući da dijagonala raspolavlja pravokutnik, dobiju se dva sukladna trokuta, pa slijedi jednakost kvadrata b 2 i pravokutnika ax. Dakle, x je tražena duljina. Slika 3.3 Pravokutnik s dijagonalom koja raspolavlja pravokutnik na dva sukladna trokuta Najpoznatiji problem geometrijske algebre je konstrukcija dijeljenja dužine u omjeru zlatnog reza. Primjer 3.2 Zadana je duljina dužine a, tada je potrebno na njoj odrediti točku tako da se cijela dužina odnosi prema većem od dobivena dva dijela dužine kao taj dio prema manjem dijelu. Označimo li veći dio s x, uvjet možemo zapisati kao: a : x = x : (a x). U suvremenoj matematici omjeri su ekvivalentni razlomcima, pa se sredivanjem dobije kvadratna jednadžba: Njezina su rješenja: x 2 + ax a 2 = 0. x 1,2 = a± 5a 2 2 = a 1± 5 2.

26 Uzima se pozitivno rješenje, jer samo ono ima geometrijski smisao: x = a 5 1 2. Pitagorejci su gornji problem riješili geometrijskom algebrom: Slika 3.4 Konstrukcija dijeljenja dužine u omjeru zlatnog reza Geometrijskom algebrom dokazuju se i mnogi algebarski identiteti, primjerice: Primjer 3.3 Treba dokazati da je (2a + b) 2 + b 2 = 2a 2 + 2(a + b) 2. Rješenje se dobije pomoću slike: Slika 3.5 Slika pomoću koje se dokazuje zadana jednakost u primjeru 3.3 Sa slike se vidi: AD 2 + DG 2 = AG 2 = AF 2 + F G 2 = ( AB 2 + BF 2 ) + ( EF 2 + EG 2 ).

27 Primjer 3.4 Treba dokazati da je (x + y) 2 = x 2 + 2xy + y 2. Geometrijski dokaz formule (x + y) 2 = x 2 + 2xy + y 2 je vidljiv na slici 3.6: Slika 3.6 Slika pomoću koje se dokazuje zadana jednakost u primjeru 3.4 Navedeni su ostali algebarski identiteti koje su pitagorejci dokazali geometrijski: a(b + c) = ab + ac; (a + b)a + (a + b)b = (a + b) 2 ; (a + b)b = ab + b 2 ; (a + 2b)a + b 2 = (a + b) 2 ; (2a + b)b + a 2 = (a + b) 2 ; (a + b) 2 + b 2 = 2(a + b)b + a 2 ; 4(a + b)b + a 2 = (a + 2b) 2 ; (a + 2b) 2 + a 2 = 2(a + b) 2 + 2b 2.

28 3.2. Sumjerljive veličine i iracionalnost od 2 Sumjerljivost veličina je jedan od temeljnih matematičkih pojmova u antičko doba. Dvije istovrsne geometrijske veličine (dužine, lika, tijela) su sumjerljive ako se odnose kao (prirodni) brojevi. Suvremenim jezikom rečeno, dvije dužine/lika/tijela su sumjerljiva ako se omjer njihovih duljina/površina/volumena može zapisati kao razlomak. Pitagorejci su vjerovali da se sve može prikazati i objasniti pomoću prirodnih brojeva, pa su vjerovali i da su sve geometrijske veličine medusobno sumjerljive. Medutim, nakon nekog vremena otkrili su da dijagonala kvadrata nije sumjerljiva s njegovom stranicom. Odnosno, omjer stranice i dijagonale kvadrata nisu mogli opisati kao omjer nikoja dva njima poznata broja. Drugim riječima, otkrili su da broj 2 nije racionalan broj. Tako su došli do zaključka da postoje omjeri veličina koji se ne mogu prikazati kao omjer dva (prirodna) broja. To otkriće se pripisuje Hipasusu iz Mezopotamije, oko 430. godine prije Krista. Pitagorejci su takve dužine nazvali alogon, što znači neracionalne, odakle današnji naziv iracionalan. No, riječ alogon ujedno znači i ono o čemu ne treba govoriti. Naime, ta činjenica ih je toliko razočarala da su je čuvali u tajnosti kako ne bi opovrgnula sve njihove dotadašnje tvrdnje o prirodnim brojevima. No, Hipasus je o tom svom otkriću pričao i van kruga pitagorejaca, pa je navodno za kaznu ubijen, udavljen u moru. Kako su pitagorejci otkrili iracionalnost 2 preko nesumjerljivosti stranice kvadrata i njegove dijagonale, pojam iracionalnosti se u početku odnosio samo na dužine. Svoj dokaz temelje na kombinaciji geometrije i teorije parnih i neparnih brojeva. Upravo dokaz nesumjerljivost stranice kvadrata i njegove dijagonale je dokaz iracionalnosti 2. Tek u 16. stoljeću, pojam iracionalnosti počeo se odnositi na brojeve. Tako da se suvremeni dokazi iracionalnosti 2 temelje na brojevima, a ne na dužinama. Npr. jedan od dokaza polazi od pretpostavke da je 2 racionalan broj, a dolazi se do kontradikcije i time do zaključka da je 2 iracionalan broj. Otkriće iracionalnih brojeva bio je značajan korak u razvoju matematike. Teorem 3.3 Stranica kvadrata nije sumjerljiva njegovoj dijagonali. Dokaz. Neka je dan kvadrat s vrhovima 1, 2, 3, 4. Neka su polovišta njegovih stranica, redom, A, B, C, D. Kako je 1234 kvadrat, tako je i ABCD kvadrat. Povucimo dijagonale AC i BD, i njihovo sjecište označimo sa S. Točka S je središte oba kvadrata.

29 Kvadrat 1234 je dvostruko veći od kvadrata ABCD i četverostruko od kvadrata 1ASD. Slika 3.7 Kvadrati 1234 i ABCD i središte navedenih kvadrata S Pretpostavimo da su stranica i dijagonala kvadrata sumjerljive. To znači da postoje prirodni brojevi a, b i duljina d takvi da je BD = ad i AD = bd. Ako su brojevi a i b oba parni, mogli bismo uzeti 2d umjesto d. Dakle, možemo pretpostaviti da je bar jedan od brojeva a i b paran. Kako je površina od 1234 dvostruka površini ABCD, slijedi a 2 d 2 = 2b 2 d 2 pa a mora biti paran (jer je paran kvadratni broj četverostruki kvadratni). Stoga je SD = ld, za neki prirodan broj l. Sada pak jer je površina od ABCD dvostruka površina od 1ASD slijedi b 2 d 2 = 2l 2 d 2 pa b mora biti paran. Dakle, a i b su oba parna, a to je u kontradikcijs s pretpostavkom. Pitagorejci su takoder znali konstruirati pravilni peterokut, vjerojatno su oni otkrili tu konstrukciju. Konstrukcija se temelji na sljedećoj slici: Slika 3.8 Peterokut ABCDE Bilo je dovoljno naći konstrikciju trokuta ABC koji je prikazan na slici 3.8, jer točke D i E bi se nakon toga lagano našle. Znajući da svaka dva broja imaju zajedničku mjeru, pitagorejci su tražili zajdničku mjeru dužina AB i AC. Pretpostavimo da takva dužina d postoji.

30 Pokazat ćemo da se tom dužinom d može izmjeriti bez ostatka ne samo stranica AB i dijagonala AC velikog peterokuta, već i stranica i dijagonala peterokuta A 1 B 1 C 1 D 1 E 1. Stvarno, ako je AC = md, AB = nd, bit će E 1 C = (m n)d, jer je AE 1 = AB i takoder C 1 E 1 = (m n)d i D 1 E 1 = (2n m)d, jer je C 1 E 1 = E 1 C i D 1 E 1 = AE 1 E 1 C, gdje su m i n prirodni brojevi. Dokazali smo da iz pretpostavke postojanja zajedničke mjere d dijagonale i strana peterokuta ABCDE proizlazi da ta ista mjera mjeri dijagonalu i stranicu peterokuta A 1 B 1 C 1 D 1 E 1. Prema istom argumentu mjera d mjeri i dijagonalu i stranicu peterokuta A 2 B 2 C 2 D 2 E 2. Jasno je da u nizu stalnog smanjivanja peterokuta moramo jednom doći do dužine manje od osnovne mjere d i njoj mjerene. To je kontardikcija. Odavde se zaključuje da su dijagonala i stranica peterokuta nesumjerljive, što je takoder pitagorejsko otkriće. Povlačeći dijagonale pravilnog peterokuta dobije se pentagram (peterokraka zvijezda). Pentagram je bio simbol prepoznavanja pitagorejaca. Smatrali su da simbolizira zdravlje (grčki, υγιεια), pa su tim slovima (uz zamijenu ει sa ν) označavali vrhove krakova. Slika 3.9 Pentagram 3.3. Pravilni poliedri Pravilni poliedri su geometrijska tijela kojima su sve strane (plohe) sukladni pravilni mnogokuti 3, a svi kutevi izmedu njihovih strana su jednaki i u svakom vrhu se sastaje jednako mnogo strana. 3 Mnogokut je dio ravnine omeden zatvorenom izlomljenom linijom.

31 Pitagorejsi su poznavali teorem, kojeg su i dokazali. Teorem 3.4 Zbroj kuteva u trokutu iznosi dva prava kuta. Dokaz. Da je zbroj kuteva u trokutu jednak dva prava kuta može se zaključiti pomoću sljedeće slike: Slika 3.10 Slika s označenim kutovima Neka je ABC proizvoljan trokut. Konstruiramo kroz točku A pravac DE koji je paralelan s BC. Kako su BC i DE paralelne, kutevi ABC i DAB su jednaki ( ABC= DAB). Takoder su i kutevi ACB i EAC jednaki ( ACB= EAC). Znači suma kuteva ABC + ACB je jednaka sumi kuteva DAB+ EAC. Dodajmo svakoj sumi i kut BAC, slijedi da je suma kuteva ABC + ACB+ BAC, odnosno, suma unutrašnjih kuteva trokuta, jednaka sumi kuteva DAB + BAC + CAE, odnosno sumi dva prava kuta. Iz prethodnog slijedi: Korolar 3.1 Zbroj kutova u n-terokutu iznosi 2n 4 prava kuta. Dokaz. Budući da se n-terokut može rastaviti na n 2 trokuta povlačenjem svih dijagonala iz jednog njegovog vrha, zbroj kuteva u n-terokutu je 2n 4 prava kuta. Poligon s n stranicama se može podijeliti na n 2 trokuta, pa je zbroj kuteva takvog poligona (n 2) 180 o. Prema tome, svaki kut pravilnog n-gona iznosi (n 2)180 o n. Ako se p takvih kuteva susretnu u jednog točki, onda je: p(n 2)180 o n = 360 o.

32 Postoji samo pet pravilnih poliedara, a prvi ih je opisao grčki matematičar i filozof Platon (427. 347. pr. Kr). Pravilni poliedri se zato još nazivaju i Platonova tijela. (pravilni) tetraedar, heksaedar (kocka), oktaedar, do- Pet pravilnih poliedara su: dekaedar i ikosaedar. Tetraedar je geometrijsko tijelo omedeno s četiri plohe koje imaju oblik trokuta i rasporedene su tako da tijelo ima šest bridova i četiri vrha. Strane pravilnog tetraedra su jednakostranični trokuti. Izgled tetraedra prikazan je na slici 3.11. Slika 3.11 Tetraedar Broj bridova na pojedinoj strani poliedra, broj vrhova na pojedinoj strani poliedra, broj bridova kroz pojedini vrh poliedra i broj strana kroz pojedini vrh poliedra je jednak i iznosi tri. Mreža tetraedra prikazana je na slici 3.12. Slika 3.12 Mreža tetraedra Heksaedar (kocka) je geometrijsko tijelo omedeno sa šest ploha koje imaju oblik kvadrata i rasporedene su tako da tijelo ima dvanaest bridova i šest vrhova. Izgled heksaedra (kocke) prikazan je na slici 3.13. Slika 3.13 Heksaedar (kocka)

33 Broj bridova i vrhova na svakoj strani kocke je četiri. Broj bridova i strana kroz svaki vrh kocke je tri. Mreža heksaedra (kocke) prikazana je na slici 3.14. Slika 3.14 Mreža heksaedra (kocke) Pravilni Oktaedar je geometrijsko tijelo omedeno s osam ploha koje su jednakostranični trokuti i rasporedene su tako da tijelo ima dvanaest bridova i osam vrhova. Izgled oktaedra prikazan je na slici 3.15. Slika 3.15 Oktaedar Broj bridova i vrhova na svakoj strani oktaedra je tri. Broj bridova i strana kroz svaki vrh oktaedra je četiri. Mreža oktaedra prikazana je na slici 3.16. Slika 3.16 Mreža oktaedra

34 Pravilni Dodekaedar je geometrijsko tijelo omedeno s dvanaest ploha koje imaju oblik pravilnih peterokuta i rasporedene su tako da tijelo ima trideset bridova i dvadeset vrhova. Izgled dodekaedra prikazan je na slici 3.17. Slika 3.17 Dodekaedar Broj bridova i vrhova na svakoj strani dodekaedra je pet. Broj bridova i strana kroz svaki vrh dodekaedra je tri. Mreža dodekaedra prikazana je na slici 3.18. Slika 3.18 Mreža dodekaedra Pravilni Ikosaedar je geometrijsko tijelo omedeno s dvadeset ploha koje su jednakostranični trokuti i rasporedene su tako da tijelo ima trideset bridova i dvadeset vrhova. Izgled ikosaedra prikazan je na slici 3.19. Slika 3.19 Ikosaedar

35 Broj bridova i vrhova na svakoj strani ikosaedra je tri. Broj bridova i strana kroz svaki vrh ikosaedra je pet. Mreža ikosaedra prikazana je slici 3.20. Slika 3.20 Mreža ikosaedra U sljedećoj tablici prikazani su osnovni podaci o svih pet pravilnih poliedara. Tablica 3.2 Podaci o pet pravilnih poliedara. tip poliedra broj vrhova broj bridova broj strana strane su tetraedar 4 6 4 trokuti heksaedar(kocka) 8 12 6 kvadrati oktaedar 6 12 8 trokuti dodekaedar 20 30 12 peterokuti ikosaedar 12 30 20 trokuti Prema legendi, otkriće pravilnog dodekaedra se pripisuje Hipasusu. No, priča kaže da on to otkriće nije htio pripisati Pitagori, te je izbačen iz pitagorejske škole. Smatra se da je Pitagora znao konstruirati samo prva tri pravilna poliedra (tetraedar, heksaedar i oktaedar), dok ostala dva (dodekaedar i ikosaedar) nije znao. Pravilni poliedri (Platonova tijela) su danas u uskoj vezi s razvijenom granom popločavanja ravnine 4. Pitagorejci su znali da postoje tri načina za prekrivanje površine pravilnim poligonima. Pomoću pravilnih trokuta, četverokuta i šesterokuta. Kako je zbroj kuteva u n-terokutu 2n 4 prava kuta, znači da je u pravilnom n- terokutu svaki kut jednak α = 2n 4 n pravih kuteva. Ako se u nekoj točki ravnine sastaje m pravilnih n-terokuta, mora vrijediti: mα = m 2n 4 n π 2 = 2π. Ispitivanjem svih mogućih kombinacija za m i n koji su prirodni brojevi dobije se da su jedine mogućnosti za n = 3 i m = 6, za n = 4 i m = 4, te za n = 6 i m = 3, tj. moguće je prekrivanje površine samo pravilnim trokutima, četverokutima i šesterokutima. 4 Dijeljenje ravnine na mnogokute koji bi ju u potpunosti prekrili, bez praznina i preklapanja, uz odredene pravilnosti s obzirom na vrstu, oblik i poredak mnogokuta.