Prosječna mjesečna isplaćena neto plaća po zaposlenome u pravnim osobama Republike Hrvatske za srpanj iznosila je kuna.

Poglavlje 1 Uvod Korištenje riječi statistika u svakodnevnom životu najčešće je povezano s brojčanim vrijednostima kojima pokušavamo opisati bitne karakteristike nekog skupa podataka. Na službenim web stranicama Državnog zavod za statistiku Republike Hrvatske možemo pročitati (http://www.dzs.hr/ dana 6.6.2009): Prosječna mjesečna isplaćena neto plaća po zaposlenome u pravnim osobama Republike Hrvatske za srpanj 2009. iznosila je 5 308 kuna. Minimalna plaća za razdoblje od 1. lipnja 2009. do 31. svibnja 2010. u Republici Hrvatskoj iznosi 2 814,00 kuna. Stopa registrirane nezaposlenosti za kolovoz 2009. iznosila je 14,2%. Udio aktivnog stanovništva u radno sposobnom (stopa aktivnosti) iznosi 48%, istovremeno 43,7% radno sposobnih osoba je zaposleno (stopa zaposlenosti), a 8,9% radne snage je nezaposleno (stopa nezaposlenosti). Temelj statistike, kao znanstvene discipline, i istraživanja koje se koristi statističkim metodama također čine skupovi podataka. Statistika, kao znanstvena disciplina, bavi se razvojem metoda prikupljanja, opisivanja i analiziranja podataka te primjenom tih metoda u procesu donošenja zaključaka na temelju prikupljenih podataka. Statističko istraživanje fokusirano je na skup objekata (ljudi, životinja, biljaka, stvari, država, gradova, poduzeća, itd.) i skup odabranih veličina koje se na njima promatraju. Elemente skupa u statističkom istraživanju zovemo objektima ili jedinkama, a veličine koje se na jednikama promatraju zovemo varijablama. Sve jedinke koje se žele obuhvatiti istraživanjem, tj. o kojima se želi zaključivati, čine populaciju. Primjer 1.1 Bavimo se istraživanjem uspjeha iz kolegija statistika na Učiteljskom fakultetu u Osijeku, u generaciji 2009./2010. 1

Uvod 2 jedinke: varijabla: osobe, imenom i prezimenom ili nekom šifrom ocjena iz statistike U ovom primjeru navedena je samo jedna varijabla koja se analizira na jedinkama populacije, tj. uspjeh iz statistike. Međutim, često nas zanima nekoliko varijabli i/ili veze među njima. Npr. želimo li ispitati ovisi li uspjeh iz statistike u prethodnom primjeru o spolu, potrebno je u istraživanju populacije za svaku jedinku zabilježiti i vrijednost varijable spol (M ili Ž); želimo li ispitati ovisi li uspjeh iz statistike o grupi vježbi, potrebno je za svaku jedinku zabilježiti koju grupu vježbi je pohađala. Zbog preglednosti, prikupljene podatke prikazujemo tablično tako da jedan redak odgovara određenoj jedinki, a stupac jednoj varijabli. Primjer 1.2 Bavimo se istraživanjem uspjeha iz kolegija statistika na Učiteljskom fakultetu u Osijeku, u generaciji 2009./2010. u ovisnosti o spolu ispitanika i grupi vježbi koju su pohađali. Tablicu za bilježenje prikupljenih podataka treba organizirati na sljedeći način: matični broj studenta ocjena iz statistike spol grupa vježbi 1206 5 Ž A 1326 2 Ž B 942 4 Ž C............ U prethodnim primjerima nije problem istražiti cijelu populaciju obzirom da na Učiteljskom fakultetu u Osijeku, u generaciji 2009./2010. ima 81 upisan student. Međutim, istražujemo li, prije izbora za predsjednika neke države, preferencije građana prema nekom od kandidata, ne možemo ispitati sve osobe populacije (tj. sve državljane koji imaju pravo glasa) jer bi to bilo ekvivalentno provođenju izbora. Kada nije moguće istražiti veličine koje nas zanimaju na svim jedinkama populacije potrebno je iz populacije izdvojiti uzorak na kojemu će biti prikupljeni podaci. Obzirom da se o cijeloj populaciji želi zaključivati na temelju podataka prikupljenih na uzorku, za istraživanje je vrlo važno znati kako kreirati kvalitetan uzorak. Primjena statistike u istraživanju podrazumijeva da se u pripremi istraživanja izabranog problema poštuju sljedeća pravila: Populaciju koja je predmet istraživanja potrebno je detaljno proučiti, zabilježiti njene osnovne karakteristike i ciljeve istraživanja, kreirati kvalitetan uzorak i odabrati metodu za prikupljanje podataka. Izabrati prikladne metode za opis skupa prikupljenih podataka (deskriptivna statistika).

Uvod 3 Izabrati prikladne statističke metode za zaključivanje o populaciji na temalju prikupljenih podataka na uzorku. Sukladno ovim razmatranjima, u ovom kolegiju ćemo se baviti nekim metodama prikupljanja podataka i kreiranja uzorka, metodama deskriptivne statistike i metodama statističkog zaključivanja. Obzirom da se metode kojima se kreira uzorak i metode statističkog zaključivanja temelje na poznavanju osnovnih pojmova teorije vjerojatnosti, u kolegiju ćemo također navesti temeljne pojmove i zakone teorije vjerojatnosti potrebne za razumijevanje osnovnog statističkog aparata.

Poglavlje 2 Prikupljanje i organizacija podataka 2.1 Populacija i uzorak Populaciju čine sve jedinke koje su predmet istraživanja Primjer 2.1 Istražujemo prehrambene navike i razlike u prehrambenim navikama između stanovnika Slavonije i Baranje i stanovnika Dalmacije. Populaciju čine svi stanovnici Slavonije, Baranje i Dalmacije. Međutim, ako nas zanimaju samo prehrambene navike studenata iz tih područja, onda populaciju čine samo studenti iz Slavonije, Baranje i Dalmacije. Uzorak je podskup jedinki iz populacije Da bi zaključci prilikom istraživanja o populaciji, na temelju podataka iz uzorka, bili ispravni, nužno je da uzorak bude REPREZENTATIVAN, tj. u njemu moraju biti zastupljne sve tipične karakteristike populacije bitne za istraživanje. Primjer 2.2 U prethodnom primjeru, ako populaciju čine svi stanovnici Slavonije, Baranje i Dalmacije, onda ne možemo istraživanje provesti samo na uzorku djece koja pohađaju srednju školu. To bi nam možda bilo praktično, ali takav uzorak nije reprezentativan za zaključivanje o cijeloj populaciji. Jedan od načina izbora jedinki iz populacije u uzorak je temeljen na formiranju takozvanog slučajnog uzorka. Slučajan uzorak iz populacije formira se tako da svaka jedinka populacije ima jednaku vjerojatnost (šansu) da uđe u uzorak. Obzirom da se u gornjoj definiciji pojavljuje pojam vjerojatnost, metodu formiranja slučajnog uzorka ostavljamo za sljedeća poglavlja, nakon što pojasnimo pojam vjerojatnosti. 4

Prikupljanje i organizacija podataka 5 2.2 Izvori podataka Podaci iz javnih izvora (knjige, časopisi, novine, web). Podaci iz dizajniranog eksperimenta (Istraživač raspoređuje eksperimentalne jedinke u skupine nad kojima vrši eksperimente te bilježi podatke za varijable koje ga zanimaju). Primjer 2.3 Jedno medicinsko istraživanje proučava snagu nekog lijeka u prevenciji moždanog udara. Skupinu ljudi s kojima će se vršiti istraživanje istraživač dijeli na dvije skupine: tretiranu i kontrolnu. Ljudima u tretiranoj skupini daje se lijek, dok se ljudima u kontrolnoj skupini daje nadomjestak koji izgleda isto kao lijek ali zapravo nije ništa što može imati bilo kakav utjecaj na organizam. Podaci iz ankete. Istraživač sastavlja anketni upitnik, izabire skupinu ljudi koju anketira i na osnovu njihovih odgovora prikuplja podatke. Podaci prikupljeni promatranjem. Istraživač promatra eksperimentalne jedinke u njihovom prirodnom okruženju i bilježi podatke za varijable od interesa. Primjer 2.4 (stanovnistvo.xls; stanovnistvo.sta) Pretpostavimo da želite saznati starosnu strukturu (prema godinama starosti) stanovništva u svom gradu/selu te da ste u svrhu tog problema počeli s prikupljanjem podataka (u ovom konkretnom primjeru podatke prikupljate usmenom anketom). Doivene podatke organiziramo u bazu koja sadrži četiri varijable: osnovna škola - varijabla koja sadrži podatke o godinama starosti za pedeset slučajno odabranih učenika vama najbliže osnovne škole u gradu, fakultet - varijabla koja sadrži podatke o godinama starosti za pedeset slučajno odabranih studenata fakulteta na kojem i sami studirate, gradska knjižnica - varijabla koja sadrži podatke o godinama starosti za pedeset slučajno odabranih posjetitelja gradske knjižnice, telefonska anketa - varijabla koja sadrži podatke o godinama starosti za pedeset osoba čiji smo telefonski broj slučajno odabrali u imeniku. Zadatak 2.1 Nakon kratke analize baze podataka stanovnistvo.sta, s obzirom na način njihovog prikupljanja i kategoriju anketiranih ispitanika, komentirajte reprezentativnost ovih podataka te pokušajte konstruirati način prikupljanja podataka koji bi obuhvatio reprezentativan uzorak (za starosnu strukturu) iz populacije stanovnika vašeg grada/sela.

Prikupljanje i organizacija podataka 6 2.3 Tipovi varijabli Kvalitativne varijable Vrijednosti varijable svrstavamo u kategorije. Primjer 2.5 Sljedeće varijable su kvalitativnog tipa. Radna mjesta u školi (spremačica, domar, tajnik, nastavnik, pedagog, ravnatelj). Opisne ocjene: ništa, malo, srednje, puno. Numeričke varijable Vrijednosti numeričke varijable su elementi skupa realnih brojeva. Primjer 2.6 Sljedeće varijable su numeričkog tipa. Broj ulovljenih komaraca u klopku. Postotak prolaznosti na pojedinim ispitima u toku jedne akademske godine. Temperatura mora. Broj bodova na državnoj maturi iz matematike u jednoj generaciji. Među numeričkim varijablama razlikujemo diskretne i kontinuirane varijable. Diskretne varijable mogu poprimiti samo konačno ili prebrojivo mnogo vrijednosti Primjer 2.7 Sljedeće varijable su diskretne. Broj ulovljenih komaraca u klopku. Broj dana u godini s temperaturom zraka većom od 35 o C. Skup vrijednosti kontinuiranih varijabli je cijeli skup realnih brojeva ili neki interval. Primjer 2.8 Sljedeće varijable su kontinuirane. Postotak prolaznosti na pojedinim ispitima u toku jedne akademske godine. Temperatura mora.

Prikupljanje i organizacija podataka 7 Primjer 2.9 (auti.sta) Baza podataka sastoji se od dvije varijable: auti - diskretna numerička varijabla koja sadrži podatke o broju prodanih automobila po danu za sto promatranih dana, uspješnost dana - kvalitativna varijabla koja podatke iz varijable auti klasificira u pet kategorija (svaka kategorija je jedan konačan skup) na sljedeći način: Broj prodanih automobila Pridružena kategorija 0-4 1 5-8 2 9-12 3 13-16 4 više od 17 5 Primjer 2.10 (glukoza.sta) Baza podataka sastoji se od tri varijable: dob osobe - diskretna numerička varijabla koja sadrži podatke o godinama starosti za sto promatranih osoba, koncentracija glukoze - kontinuirana numerička varijabla koja sadrži podatke o koncentraciji glukoze u krvi za svaku od sto promatranih osoba, kategorija - kvalitativna varijabla koja podatke iz varijable koncentracija glukoze klasificira u dvije kategorije (svaka kategorija je jedan interval pozitivnih realnih brojeva) na sljedeći način: Interval koncentracije glukoze koncentracija < 6 mmol/l koncentracija 6 mmol/l Pridružena kategorija N - normalna koncentracija P - povišena koncenracija Primjer 2.11 (kolegij.sta) Baza podataka sastoji se od sedam varijabli: godina upisa - kvalitativna varijabla koja sadrži podatke o akademskoj godini upisa na studij za sto promatranih studenata, kategorija - kvalitativna varijabla koja podatke iz varijable godina upisa klasificira u tri kategorije (svaka kategorija je jedan konačan skup) na sljedeći način: Akademska godina upisa Pridružena kategorija student upisan prije 1990. godine 1 student upisan 1990., 1991. ili 1992. godine 2 student upisan 1993. ili 1994. godine 3

Prikupljanje i organizacija podataka 8 opća kemija, organska kemija, anorganska kemija, mikrobiologija - četiri diskretne numeričke varijable koje sadrže podatke o postignutim ocjenama na ispitima iz spomenutih kolegija za svakog od sto promatranih studenata, prosjek - kontinuirana numerička varijabla koja sadrži prosječne ocjene iz četiri spomenuta kolegija za svakog od sto promtranih studenata. Primjer 2.12 (student.sta, student-grupe.sta) Baza podataka student.sta sastoji se od dvije varijabli: klasično studiranje - diskretna numerička varijabla koja sadrži podatke o godinama starosti za grupu promatranih studenata koji studiraju na klasičan način (stanuju u gradu u kojem studiraju ili putuju na predavanja), e-learning - diskretna numerička varijabla koja sadrži podatke o godinama starosti za grupu promatranih studenata koji studiraju putem Interneta (tzv. e-learning). Baza podataka student-grupe.sta sastoji se od dvije varijabli: dob studenta - diskretna numerička varijabla koja sadrži podatke o godinama starosti za sto promatranih studenata koji studiraju ili na klasičan način ili putem Interneta, način studiranja - kvalitativna varijabla koja podatke iz varijable dob studenta klasificira u dvije kategorije prema sljedećem kriteriju (bez obzira na podatke sadržane u varijabli dob studenta): Kriterij klasifikacije Pridružena kategorija student studira na klasičan način 1 student studira putem Interneta 0 Primjer 2.13 (anketa.sta) Baza podataka sastoji se od šest varijabli: prosjek - kontinuirana numerička varijabla koja sadrži podatke o prosječnoj ocjeni studiranja za 49 promatranih studenata, položeno - kvalitativna varijabla koja promatrane studente klasificira u dvije kategorije s obzirom na to jesu li položili ispit iz promatranog kolegija prema sljedećem kriteriju: Status ispita Pridružena kategorija student je položio ispit 1 student nije položio ispit 0

Prikupljanje i organizacija podataka 9 prisutnost p, prisutnost v - dvije kvalitativne varijable koje prisutnost studenata na predavanjima/vježbama klasificiraju u tri kategorije na sljedeći način: Prisutnost studenta na p/v Pridružena kategorija student sa p/v nije nikada izostao 1 student je sa p/v izostao samo jednom 2 student je sa p/v izostao barem dva puta 3 težina kolegija, dostatnost materijala - dvije diskretne numeričke varijable koja sadrže subjektivne ocjene (u standardnoj skali od 1 do 5) promatranih studenata za težinu kolegija i dostatnost dostupnih materijala za pripremanje ispita iz promatranog kolegija. Zadatak 2.2 Na sličan način proanalizirajte sljedeće baze podataka: a) baza podataka TV-program.sta sastoji se od sljedećih varijabli: varijabla spol sadrži informaciju o spolu ispitanika, varijable HRT1, HRT2, NovaTV i RTL sadrže subjektivne ocjene kvalitete ljetne programske sheme navedenih televizijskih programa, varijabla prosjek sadrži prosječnu ocjenu kvalitete ljetne programske sheme navedenih televizijskih programa. b) Baza podataka zdravlje.sta sadrži neke zdravstvene podatke anketiranih ispitanika: varijable godine i spol sadrže podatke o starosti u godinama i spolu ispitanika; vrijednosti varijable zdravlje su subjektivne ocjene vlastitog zdravstvenog stanja ispitanika; varijabla broj-pregleda sadrži informacije o ukupnom broju zdravstvenih pregleda svakog ispitanika u tekućoj kalendarskoj godini; varijabla dodatno-zdravstveno sadrži podatke o dodatnom zdravstvenom osiguranju svakog ispitanika (1 - ispitanik je dodatno osiguran; 0 - ispitanik nije dodatno osiguran); varijabla cijena sadrži cijenu u kunama najskupljeg zdravstvenog pregleda svakog ispitanika (u tekućoj kalendarskoj godini). Zadatak 2.3 U bazi podataka navike.sta nalaze se rezultati praćenja životnih navika svakog pojedinca iz uzorka u vremenskom periodu od 300 dana. Bilježeni su podaci o broju različitih dnevnih novina koje je prelistao (varijabla Dnevne_novine), broju televizijskih vijesti koje je gledao na raličitim TV kanalima (varijabla TV_vijesti) te broju kava koje je popio (varijabla Kava), a sve to na bazi jednog dana. U varijabli Vrijeme nalaze se podaci o vremenskim prilikama svakog od promatranih dana. Odredite tipove varijabli.

Prikupljanje i organizacija podataka 10 Zadatak 2.4 U bazi podataka gorivo.sta nalaze se podaci o udaljenosti od radnog mjesta (varijabla Udaljenost_posao) i mjesečnim troškovima za gorivo (varijabla Troskovi_gorivo) za 100 slučajno odabranih zaposlenih ljudi. Odredite tipove varijabli.

Poglavlje 3 Deskriptivna statistika 3.1 Metode opisivanja kvalitativnih podataka Kvalitativne varijable primaju vrijednosti koje su razvrstane u kategorije. Osnovna mjera kojom opisujemo zastupljenost jedne kategorije u uzorku je frekvencija kategorije. Neka varijabla, koju ćemo označiti X, ima k kategorija (recimo k = 5 znači da varijabla ima 5 kategorija) Označimo pojedine kategorije kao x 1, x 2,..., x k, odnosno, u drugom zapisu: {x i : i = 1,..., k}. Frekvencija kategorije x i je broj izmjerenih vrijednosti varijable koje pripadaju kategoriji x i, i = 1,..., k. Frekvenciju kategorije x i označavamo f i. Frekvencija pojedine kategorije ovisi o broju izvršenih mjeranja, tj. dimenziji uzorka. Da bismo lakše usporedili i tumačili rezultate raznih istraživanja, u opisu zastupljenosti jedne kategorije u uzorku često koristimo i relativnu frekvenciju kategorije. Relativna frekvencija kategorije x i je broj izmjerenih vrijednosti varijable koje pripadaju kategoriji x i podijeljen s ukupnim brojem izmjerenih vrijednosti za ispitivanu varijablu, i = 1,..., k. Ako je n dimenzija uzorka, tj. broj svih izmjerenih vrijednosti ispitivane varijable, relativnu frekvenciju kategorije x i računamo kao f i n. Frekvencije i relativne frekvencije pojedinih kategorija prikazujemo tablično ili grafički. 11

Deskriptivna statistika 12 3.1.1 Tablični prikaz frekvencija i relativnih frekvencija U tabličnom prikazu frekvencija i relativnih frekvencija trebaju biti zastupljene sve kategorije pojedine varijable. Relativne frekvencije najčešće izražavamo u obliku postotka. Primjer 3.1 Pogledati dokument tablica i graf.xls Zadatak 3.1 (hormon.sta, nalaz.sta) U bazama podataka hormon.sta i nalaz.sta pomoću programskog paketa Statistica odredite frekvencije i relativne frekvencije svih kategorija za varijable koje smatrate kvalitativnima. Rješenje: Statistics Basic Statistics/Tables Frequency Tables Choose variables Summary 3.1.2 Grafički prikazi Grafički način prikazivanja frekvencija i relativnih frekvencija kategorija kvalitativnih varijabli je pomoću histograma frekvencija odnosno histograma relativnih frekvencija. Možemo također koristiti i "pite" Primjer 3.2 Pogledati dokument tablica i graf.xls Zadatak 3.2 (hormon.sta) Za podatke iz baze hormon.sta odredite frekvencije i relativne frekvencije svih kategorija za varijable koje smatrate kvalitativnima. Rezultate prikažite tablično i grafički (koristeći Statisticu i Excel). Rješenje: - Statistica - histogram frekvencija: Statistics Basic Statistics/Tables Frequency Tables Choose variables Histograms; - Statistica - histogram relativnih frekvencija: Graphs Histograms Choose variables Advanced Pod "Y axis" uključiti "%" OK; - Statistica - kružni dijagram (pita): Graphs 2D Graphs Pie Charts (opcija Pie Chart - Counts) Choose variables Advanced Pie Legend - Text and Percent OK. Primjer 3.3 (bebe.sta) U bazi podataka bebe.sta nalazi se dio podataka o nekim ocjenama tek rođene bebe, načinu poroda i majci iz istraživanja koje je provedeno u jednoj bolnici. Odredite frekvencije i relativne frekvencije svih kategorija za varijable koje smatrate kvalitativnima. Rezultate prikažite tablično i grafički (koristeći Statisticu i Excel).

Deskriptivna statistika 13 Primjer 3.4 (navike.sta) U bazi podataka navike.sta odredite frekvencije i relativne frekvencije svih kategorija za varijable koje smatrate kvalitativnima. Rezultate prikažite tablično i grafički (koristeći Statisticu i Excel). Zadatak 3.3 (nalaz.sta) Za podatke iz baze nalaz.sta odredite frekvencije i relativne frekvencije svih kategorija za varijable koje smatrate kvalitativnima. Rezultate prikažite tablično i grafički (koristeći Statisticu i Excel). Zadatak 3.4 (zdravlje.sta) Za podatke kvalitativnog tipa sadržane u bazi podataka zdravlje.sta napravite sljedeće tablične i grafičke prikaze: a) napravite tablice i nacrtajte histograme frekvencija i relativnih frekvencija za podatke sadržane u varijablama spol i zdravlje, b) napravite tablice i nacrtajte histogram frekvencija i relativnih frekvencija za podatke sadržane u varijabli zdravlje posebno za kategoriju ispitanika ženskog spola, a posebno za kategoriju ispitanika muškog spola, c) nacrtajte zajednički histogram frekvencija i relativnih frekvencija svih podataka sadržanih u varijabli zdravlje kategoriziran prema spolu ispitanika, d) napravite tablice i nacrtajte kružni dijagram relativnih frekvencija za podatke sadržane u varijablama spol i zdravlje, e) napravite tablice i nacrtajte kružni dijagram relativnih frekvencija za podatke sadržane u varijabli zdravlje posebno za kategoriju ispitanika ženskog spola, a posebno za kategoriju ispitanika muškog spola, f) nacrtajte zajednički kružni dijagram frekvencija i relativnih frekvencija svih podataka sadržanih u varijabli zdravlje kategoriziran prema spolu ispitanika. Zadatak 3.5 (TV-program.sta) Za podatke kvalitativnog tipa sadržane u bazi podataka TV-program.sta napravite sljedeće tablične i grafičke prikaze: a) napravite tablice i nacrtajte histogram frekvencija i relativnih frekvencija za podatke sadržane u varijablama spol i HRT1, b) napravite tablice i nacrtajte histogram frekvencija i relativnih frekvencija za podatke sadržane u varijabli HRT1 posebno za kategoriju ispitanika ženskog spola, a posebno za kategoriju ispitanika muškog spola,

Deskriptivna statistika 14 c) nacrtajte zajednički histogram frekvencija i relativnih frekvencija svih podataka sadržanih u varijabli HRT1 kategoriziran prema spolu ispitanika, d) napravite tablice i nacrtajte kružni dijagram relativnih frekvencija za podatke sadržane u varijablama spol i NovaTV, e) napravite tablice i nacrtajte kružni dijagram relativnih frekvencija za podatke sadržane u varijabli NovaTV posebno za kategoriju ispitanika ženskog spola, a posebno za kategoriju ispitanika muškog spola, f) nacrtajte zajednički kružni dijagram frekvencija i relativnih frekvencija svih podataka sadržanih u varijabli NovaTV kategoriziran prema spolu ispitanika. 3.2 Metode opisivanja numeričkih podataka Numerički podaci mogu biti diskretni i kontinuirani. Primjer 3.5 (hormon.sta, anketa.sta) Proučite numeričke podatke u bazama hormon.sta i anketa.sta. varijable diskretne a koje neprekidne? Koje su numeričke Rješenje: - hormon.sta - niti jedna numerička varijabla nije diskretna - anketa.sta - diskretne numeričke varijable su: Br-kol, Položeno, Prisutnost-P, Prisutnost-V, Redovitost-P, Redovitost-V. Primjer 3.6 Proučite numeričke podatke u bazama cijena.sta i komarci.sta. Koje su numeričke varijable diskretne a koje neprekidne? Ako su numeričke vaijable diskretne, možemo u opisu mjerenih vrijednosti za te varijable ponovo primijeniti frekvencije (odnosno relativne frekvencije) pojedine kategorije odnosno grafički prikazati podatke histogramima ili strukturiranim krugovima. Primjer 3.7 (anketa.sta) Za jednu diskretnu numeričku varijablu iz baze anketa.sta odredite frekvencije i relativne frekvencije svih kategorija. Rezultate prikažite tablično i grafički (koristeći Statisticu i Excel). Rješenje: - Statistica - tablica frekvencija i relativnih frekvencija: Statistics Basic Statistics/Tables Frequency Tables Choose variables Summary;

Deskriptivna statistika 15 - Statistica - histogram frekvencija: Statistics Basic Statistics/Tables Frequency Tables Choose variables Histograms; - Statistica - histogram relativnih frekvencija: Graphs Histograms Choose variables Advanced Pod "Y axis" uključiti "%" OK. Primjer 3.8 Odredite tablicu frekvencija i histogram za jednu od varijabli iz baze komarci.sta po izboru. Uočite da je strukturirani krug vrlo nepraktičan za prikazivanje varijabli s velikim brojem kategorija. Ako numeričke varijable nisu dane kategorijalno, za prikazivanje skupa izmjerenih vrijednosti neće nam puno pomoći frekvencije i histogrami napravljeni na osnovu svake pojedine izmjerene vrijednosti. Primjer 3.9 Zašto? Otvorite bazu podataka komarci.sta i odredite tablicu frekvencija i histogram tako da za kategorije uzmete sve međusobno različite izmjerene vrijednosti varijable broj. Postupak razvrstavanja numeričkih podataka u kategorije Najčešće skup svih mjerenih vrijednosti (ili nešto veći skup koji sadrži skup svih mjerenih vrijednosti ali je jednostavniji za podijeliti na jednake dijelove) podijelimo na disjunktne intervale jednake duljine. Nije nužno da su intervali jednake duljine. Nema točno danog pravila po kojemu bi trebalo definirati duljine intervala niti nihov broj, ali je jasno da ih ne smije biti niti previše niti premalo da bi cijeli postupak imao smisla i služio svrsi (a to je u ovom času prikazivanje skupa mjerenih vrijednosti). Primjer 3.10 (komarci.sta) Iskoristite podatke iz baze komarci.sta. Mijenjajte broj intervala na koji dijelite skup vrijednosti. Proučavajte što se događa i pribilježite vaš zaključak. Primjer 3.11 (hormon.sta) a) Odredite tablicu frekvencija i histogram neke od kvantitativnih varijabli iz baze podataka hormon.sta tako da za kategorije uzmete sve međusobno različite izmjerene vrijednosti. b) Iskoristite podatke iz baze hormon.sta. Mijenjajte broj intervala na koji dijelite skup vrijednosti. Proučavajte što se događa i pribilježite vaš zaključak. Rješenje: a) Zbog prevelikog broja različitih izmjerenih vrijednosti broj kategorija je prevelik i rezultat analize najčešće ne daje željene informacije. Zato pribjegavamo drugim metodama kategoriziranja kvantitativnih varijabli.

Deskriptivna statistika 16 b) Ako veliki skup podataka kategoriziramo (podijelimo) u nekoliko disjunktnih intervala po kriteriju za koji smatramo da će nam dati željene rezultate, tablični i grafički prikazi frekvencija i relativnih frekvencija postaju pregledniji i informativniji. Numeričke karakteristike skupa podataka Karakteristika kvantitativnih podataka je da među njima postoji uređaj. Na osnovu te činjenice možemo definirati numeričke karakteristike koje imaju logičnu interpretaciju i mogu se iskoristiti u cilju prikazivanja skupa mjerenih vrijednosti. Aritmetička sredina Aritmetička sredina niza izmjerenih vrijednosti x 1, x 2,..., x n za varijablu X definirana je izrazom: n x = 1 n i=1 x i Aritmetička sredina je numerička karakteristika koja spada u mjere centralne tendencije, tj. mjeri "srednju vrijednost" podataka. Median Da bismo razumjeli i odredili median potrebno je prvo poredati izmjerene vrijednosti varijable X: x 1, x 2,..., x n po veličini. Median je također jedna mjera centralne tendencije kao i aritmetička sredina, a ima značenje izmjerene vrijednosti koja se nalazi na sredini niza podataka kada je on uređen po veličini, tj. baram pola podataka je manje ili jednako medianu, a istovremeno je barem pola podataka veće ili jednako od mediana. Način njegovog izračuna ovisi o tome da li imamo paran ili neparan broj izmjerenih vrijednosti za varijablu. Ukoliko imamo neparan broj izmjerenih vrijednosti, onda postoji vrijednost koja je na srednjoj poziciji u uređenom skupu, pa nju definiramo kao median. Primjer 3.12 Neka su izmjerene vrijednosti jedne varijable sljedeće: 1, 2, 5, 6, 5, 1, 2, 7, 2, 2, 3. Prvo ove vrijednosti poredamo po veličini: 1, 1, 2, 2, 2, 2, 3, 5, 5, 6, 7. Obzirom da ih ima sve skupa 11, vrijednost mediana je vrijednost koja je na 6. poziciji u tako dobivenom nizu, tj. broj 2.

Deskriptivna statistika 17 Ukoliko imamo paran broj izmjerenih vrijednosti onda ne postoji podatak koji je na srednjoj poziciji jer srednje pozicije "zauzimaju" dva podatka. Median se tada definira kao polovina između ta dva podatka. Primjer 3.13 Neka su izmjerene vrijednosti jedne varijable sljedeće: 1, 2, 5, 6, 5, 1, 2, 7, 2, 2, 3, 3. Prvo ove vrijednosti poredamo po veličini: 1, 1, 2, 2, 2, 2, 3, 3, 5, 5, 6, 7. Obzirom da ima 12 podataka, "sredinu" čine 6. i 7. podatak, tj. vrijednosti 2 i 3. Median ovog skupa podataka je sredina ta dva broja, tj. median je (2+3)/2 = 2.5. Postotna vrijednost, donji i gornji kvatil Medijan odgovara pedeset postotnoj vrijednosti obzirom da je barem 50% podataka manje od medijana i barem 50% podataka veće od medijana. Postotna vrijednost za neki izabrani broj p (0, 100), označimo je x p, definira se poštujući zahtjev da je p% izmjerenih vrijednosti manje ili jednako x p, dok je (100 p)% vrijednosti veće ili jednako x p. Dvadesetpet postotna vrijednost zove se donji kvartil, a sedamdesetpet postotna vrijednost zove se gornji kvartil. Analogno kao i kod računanja medijana, ako se na traženoj poziciji za računaje postotne vrijednosti nalaze dva podatka u uređenom skupu izmjerenih vrijednosti, postotnu vrijednost određujemo kao njihovu sredinu. Primjer 3.14 Neka su izmjerene vrijednosti jedne varijable sljedeće: 1, 2, 5, 6, 5, 1, 2, 7, 2, 2, 3, 3. Prvo ove vrijednosti poredamo po veličini: 1, 1, 2, 2, 2, 2, 3, 3, 5, 5, 6, 7. Želimo li odrediti donji kvartil, potrebno je prvo odrediti četvrtinu podataka (25%). Obzirom da imamo 12 podataka, četvrtinu (25%) čine tri podatka. Treći podatak u gornjem nizu je broj 2 pa je to ujedno donji kvartil. Slično, 75% ovog skupa podataka čini 9 podataka. Deveti broj u gornjem nizu je broj 5, pa je to ujedno gornji kvartil. Mod Mod je vrijednost iz niza izmjerenih vrijednosti kojoj pripada najveća frekvencija, tj. izmjerena je najviše puta. Mod ne mora biti jedinstven.

Deskriptivna statistika 18 Primjer 3.15 Neka su izmjerene vrijednosti jedne varijable sljedeće: 1, 2, 5, 6, 5, 1, 2, 7, 2, 2, 3, 3. Vidimo da je vrijednost 2 izmjerena najviše puta (4 puta) pa je 2 mod ovog skupa podataka. Najmanja i najveća vrijednost, raspon podataka Raspon podataka je mjera koja pokazuje koliko su podaci raspršeni, tj. to je jedna od mjera raspršenosti podataka. Definiran je kao razlika između najveće i najmanje vrijednosti u skupu mjerenih vrijednosti varijable. Primjer 3.16 Neka su izmjerene vrijednosti jedne varijable sljedeće: 1, 2, 5, 6, 5, 1, 2, 7, 2, 2, 3, 3. Vidimo da je vrijednost 1 najmanja izmjerena vrijednost, a 7 najveća. Raspon je 7 2 = 5. Varijanca i standardna devijacija Varijanca i standardna devijacija također spadaju u grupu mjera raspršenosti podataka. One karakteriziraju raspršenost podataka oko aritmetičke sredine. Varijanca niza izmjerenih vrijednosti x 1, x 2,..., x n varijable X definirana je izrazom: s 2 = 1 n n (x i x) 2, a standardna devijacija je kvadratni korijen varijance, tj. s = s 2 = 1 n (x i x) n 2. Korištenjem numeričkih karakteristika kvantitativnih varijabli može se skup mjerenih vrijednosti prikazati grafički pomoću kutijastog dijagrama (engleski: box plot ili boxplot ili box-and-whisker plot). Kutijastm dijagramom prikazujemo odnos 5 numeričkih karakteristika skupa izmjerenih vrijednosti: minimalnu vrijednost, donji kvartil, medijan, gornji kvartil, i maksimalnu vrijednost. Na kutijastom dijagramu se također označavaju takozvane stršeće vrijednosti ako postoje. i=1 i=1

Deskriptivna statistika 19 Zadatak 3.6 U razredu koji broji 25 učenika zaključne ocjene iz matematike na kraju školske godine raspodjenjene su na sljedeći način: tri učenika ima peticu, sedam učenika četvorku, osam učenika trojku, pet učenika dvojku, a dva učenika moraju pristupiti popravnom ispitu (imaju jedinicu). a) Sastavite tablicu frekvencija i relativnih frekvencija za kategoriju Ocjena. b) Koristeći Statisticu i Excel grafički prikažite frekvencije i relativne frekvencije (histogramima i kružnim dijagramima). c) Izračunajte aritmetičku sredinu, mod, raspon te varijancu i standardnu devijaciju ovog skupa podataka. d) Izračunajte numeričke karakteristike ovog skupa podataka koje su vam potrebne da biste skicirali kutijasti dijagram te ga skicirajte. e) Koristeći Statisticu i Excel kreirajte bazu podataka, izračunajte sve spomenute numeričke karakteristike ovog skupa podataka te nacrtajte pripadni kutijasti dijagram na bazi mediana. Zadatak 3.7 Pažljivim proučavanjem kretanja cijena prehrambenih proizvoda analitičar tržišta uočio je da isti proizvodi nemaju jednaku cijenu u različitim trgovačkim centrima. Promatrajući deset trgovačkih centara, zabilježio je cijene proizvoda kod kojeg su razlike bile najizraženije: Trgovački centar 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Cijena proizvoda 45.52 44.64 39.99 48.95 51.59 46.89 52.02 56.89 50.21 49.99 a) Izračunajte aritmetičku sredinu, mod, raspon te varijancu i standardnu devijaciju ovog skupa podataka. b) Izračunajte numeričke karakteristike ovog skupa podataka koje su vam potrebne da biste skicirali kutijasti dijagram te ga skicirajte. c) Koristeći Statisticu i Excel kreirajte bazu podataka, izračunajte sve spomenute numeričke karakteristike ovog skupa podataka te nacrtajte pripadni kutijasti dijagram na bazi mediana.

Deskriptivna statistika 20 Zadatak 3.8 (ocjena.sta) Iskoristite bazu podataka ocjena.sta i odredite numeričke karakteristike nekoliko varijabli po vašem izboru. Također prikažite te vrijednosti kutijastim dijagramom. Rješenje: Deskriptivna statistika: Statistics Basic Statistics/Tables Descriptive Statistics Choose variables Advanced (uključiti željene numeričke karakteristike) Summary. Kutijasti dijagram: Statistics Basic Statistics/Tables Descriptive Statistics Choose variables Box & whisker Plot for all variables. Zadatak 3.9 (anketa.sta) Iskoristite bazu podataka anketa.sta i odredite numeričke karakteristike nekoliko varijabli po vašem izboru. Također prikažite te vrijednosti kutijastim dijagramom. Detekcija stršećih vrijednosti 1 Podatak koji je značajno veći ili manji u odnosu na druge podatke vezane uz isto slučajno obilježje (u kontekstu baze podataka govorimo o podatku koji je značajno veći ili manji od ostalih podataka u varijabli koja predstavlja slučajno obilježje) nazivamo stršeći podatak ili outlier. Pojavljivanje stršećih podataka najčešće je vezano uz jedan od sljedećih razloga: podatak je ili netočno izmjeren ili krivo unesen u bazu podataka, podatak dolazi iz druge populacije (ne iz populacije koju promatramo u kontekstu problema kojeg proučavamo), podatak je točno izmjeren i unesen u bazu, ali predstavlja rijetku pojavu u populaciji. Vrlo korisna grafička metoda za detekciju stršećih podataka je kutijasti dijagram na bazi mediana - u programskom paketu Statistica kutijasti dijagrami osjetljivi na stršeće vrijednosti crtaju se odabirom opcije Means with Error Plots iz izbornika Graphs. Zadatak 3.10 (zdravlje.sta, zdravlje-sv.sta) a) Nacrtajte i proanalizirajte kutijasti dijagram na bazi mediana za podatke sadržane u varijabli godine u bazi podataka zdravlje.sta.

Deskriptivna statistika 21 b) Među podacima u varijabli godine u bazi podataka zdravlje.sta nalazi se jedna stršeća vrijednost. Pokušajte ju identificirati crtanjem kutijastog dijagrama osjetljivog i neosjetljivog na stršeće vrijednosti. Što se događa s numeričkim karakteristikama podataka u varijabli godine nakon zanemarivanja identificirane stršeće vrijednosti. Zadatak 3.11 (glukoza-sv.sta) a) Napravite deskriptivnu statistiku podataka sadržanih u varijabli koncentracija glukoze. Grafičkom metodom odredite stršeću vrijednost u ovom skupu podataka. Možete li se složiti s tvrdnjom da je identificirani podatak zaista stršeća vrijednost ili ipak sumnjate u dobiveni rezultat? Obrazložite svoj odgovor. b) Grafičkom metodom identificirajte stršeće vrijednosti među podacima u varijabli dob osobe. Što se događa s numeričkim karakteristikama podataka nakon zanemarivanja identificirane stršeće vrijednosti. 3.3 Domaća zadaća 1 Koristeći javne izvore podataka ili podatke koje ste prikupljali u drugim kolegijima u eksperimentalnim uvjetima formirajte jednu bazu podataka koja će sadržavati najmanje dvije kvalitativne varijable, najmanje jednu diskretnu numeričku varijablu koja i jednu kontinuiranu numeričku varijablu. Opišite o kakvom se istraživanju radi i zašto se mjere vrijednosti navedenih varijabli. Vodite računa da baza sadrži što više jedinki. Navedite točan izvor podataka. Iskoristite prethodno opisane postupke i pojmove te prikažite vašu bazu podataka. Domaću zadaću treba predati za 14 dana u printanom obliku. Bazu podataka ne printati u potpunosti nego samo tabelirani izvadak iz baze koji sadrži 5 jedinki i njihove vrijednosti za sve varijable.