TẠP CHÍ KHOA HỌC Đại học Hế Số 53 009 BÀI TOÁN DÂY RUNG TRÊN MÔI TRƯỜNG SONG SONG TÓM TẮT Ngyễn Mậ Hân Trường Đại học Khoa học Đại học Hế Trần Anh Nam Trường CĐSP Kỹ hậ Gia Lai Bài oán dây rng được biế đến mộ cách rộng rãi rong khoa học kỹ hậ đặc biệ rong lĩnh vực ử lý âm hanh. Bài báo này giới hiệ mộ phương pháp để song song hóa giải hậ bài oán dây rng. Bằng cách sử dụng chẩn lập rình song song LAM/MPI rên cụm máy ính sử dụng hệ điề hành Lin giải hậ song song cho bài oán dây rng đã được cài đặ hành công và có ý nghĩa hực ế. I. Giới hiệ Hầ hế các nhạc cụ hường sử dụng dây rng để ạo nên các âm hanh rong âm nhạc như đàn giar đàn cello và piano. Bấ kỳ ai đã chơi các loại nhạc cụ này đề biế rằng sự hay đổi độ căng của dây sẽ làm hay đổi ần số âm hanh của dây. Ở đây chúng ôi em é mộ dây rng bằng cách giữ cố định ở hai đầ và mô ả hành vi của nó. Sa đó sử dụng công cụ oán học để mô ả các hiện ượng sóng. Trong rường hợp ổng qá sự chyển động sóng được biể diễn bởi mộ hàm heo hời gian. Xé hàm biể diễn biên độ của dây rng giữa hai điểm nế biên độ này là nhỏ hì nó được ác định bởi phương rình đạo hàm riêng dạng hyperbolic hể hiện bởi phương rình sóng [1]: c = Trong phần chúng ôi rình bày phương pháp giải bài oán dây rng bằng phương pháp ính dựa vào ấp ỉ ỉ sai phân của đạo hàm riêng cấp. Sa đó chúng ôi áp dụng phương pháp lận của Ian Foser để hiế kế giải hậ song song cho bài oán rong phần 3. Trong phần 4 chúng ôi hực hiện đánh giá độ phức ạp của giải hậ song song. Kế qả hực nghiệm được rình bày rong phần 5 và cối cùng là kế lận của bài báo được rình bày rong phần 6. II. Phương pháp giải bài oán dây rng Để có hể giải bài oán dây rng bằng phương pháp ính chúng ôi sử dụng phương pháp sai phân hữ hạn biến đổi phương rình đạo hàm riêng 1.1 hành phương rình sai phân nhờ ấp ỉ ỉ sai phân của đạo hàm riêng cấp hai: 1.1 7
8.1. Thay.1 và. vào 1.1 a có: c = hay ] [ L =.3 Trong đó c L =. Chúng a sẽ ây dựng lưới ính oán gồm các điểm lưới i = i-1 j = j-1. Ta có: i j = [i-1 j-1] i j = 1 3. Nên có hể viế gọn.3 lại như sa: L i1j ii i-1j = ij1 ij ij-1.4 hay ij1 = L i1j ij i-1j ij ij-1.5 III. Thiế kế giải hậ song song Khảo sá.5 a hấy phần ử ij1 phụ hộc vào các phần ử ij ij-1 i1j và i-1j. Do đó áp dụng phương pháp lận của Foser để hiế kế giải hậ song song cho bài oán dây rng [1]. Phương pháp này bao gồm bốn bước sa: Phân đoạn Tryền hông Tổng hợp Ánh ạ Phân đoạn là qá rình chia việc ính oán và dữ liệ hành các công việc nhỏ hơn chấp nhận sự ính oán dư hừa và dữ liệ được lư rữ ối ư nhấ. Mô hình ryền hông giữa các iến rình được hực hiện rong bước hứ hai của phương pháp lận nó có khả năng cân bằng ải giữa các iến rình các iến rình có hể rao đổi dữ liệ cho nha rong qá rình ính oán. Qá rình ổng hợp được iến hành ở bước hứ ba nó hực hiện nhóm các công việc nhỏ hành các công việc lớn hơn. Bước cối cùng là ánh ạ đó là qá rình gán các iến rình cho các bộ ử lý. Mục đích của việc ánh ạ là cực đại hóa khả năng của bộ ử lý và cực iể hóa sự ryền hông giữa các bộ ử lý. Chúng a sẽ mô ả chi iế bốn giai đoạn này như sa.
Bài oán Phân đoạn Tryền hông Ánh ạ Tổng hợp 3.1. Phân đoạn Hình 1. Thiế kế giải hậ song song heo Ian Foser Để song song hóa chúng a cần chọn loại dữ liệ để phân ách. Sự phân ách dữ liệ được chọn hông qa sự phân ách hàm. Chúng a cần sử dụng cùng mộ hàm rên ấ cả các iến rình nhưng với những dữ liệ khác nha. Theo.5 ij1 phụ hộc vào ij và ij-1. Mặ khác ij1 yê cầ các giá rị i1j và i-1j phải được ính oán rước. Để ây dựng lưới ính oán cho bài oán chúng a iến hành rời rạc hóa miền không gian và hời gian hành các khoảng bởi ma rận hai chiề như Hình. Do đó việc ính giá rị của mỗi phần ử phụ hộc vào các phần ử lân cận được minh họa rong Hình 3. T = ij i j 0 a Hình. Lưới ính oán là ma rận hai chiề 9
ij1 i-1j ij i1j 3.. Tryền hông Hình 3. Sự phụ hộc dữ liệ của phần ử cần ính Sự ryền hông giữa các điểm lưới được chỉ ra rong Hình 3 nó được sy ra ừ công hức.5. Giá rị của phần ử cần ính ij1 rong lưới ính oán phụ hộc vào giá rị của các phần ử i-1j ij i1j ij-1. Để ính giá rị của các phần ử rên dòng j1 chúng a cần biế giá rị của các phần ử rên dòng j và j-1. Hai dòng này được khởi ạo giá rị nhờ vào điề kiện đầ của bài oán mà không ốn bấ kỳ chi phí ryền hông nào. 3.3. Tổng hợp ij-1 Tổng hợp là qá rình nhóm các công việc lại hành các khối lớn hơn để loại bỏ sự ryền hông giữa các iến rình. Mỗi iến rình là mộ khối cộ có số phần ử bằng nha. Hình 4. Cách bố rí các điểm ảo Để dễ dàng hơn rong việc lập rình song song chúng ôi sử dụng các điểm ảo [1] đó chính là các ô nhớ được sử dụng để lư rữ dữ liệ của các iến rình bên cạnh. Điề này cho phép chương rình song song cập nhậ giá rị của các phần ử rên cùng mộ bước lặp. Hình 5. Sự ryền hông giữa các iến rình 30
3.4 Ánh ạ Sa khi ổng hợp chúng a iến hành gán mỗi iến rình cho mộ bộ ử lý việc ánh ạ cố gắng cực đại hóa khả năng của bộ ử lý và cực iể hóa sự ryền hông giữa các bộ ử lý. IV. Độ phức ạp của giải hậ song song Đối với giải hậ song song nế số phần ử rên mỗi iến rình là như nha hì độ phức ạp của nó là On/p rên mỗi bước lặp rong đó n là số điểm rên dây rng p là số iến rình. Thời gian ryền hông đối với việc gửi và nhận là O1. Do đó oàn bộ hời gian ryền hông qa giải hậ song song là Op. V. Kế qả hực nghiệm Chúng ôi chọn chẩn lập rình LAM/MPI rên môi rường Lin để hực nghiệm bài oán đặ ra vì những ư điểm của nó so với các chẩn lập rình song song khác như PVM MPICH[] Sa đó hực hiện cài đặ bài oán với ngôn ngữ lập rình C kế hợp với các hư viện của MPI [3] [4]. Bài oán được hực hiện rên cụm máy ính Lin với cấ hình của các nú như sa: Mainboard Memory Hard Disk Eherne card ASUS P4BGL-MX wlan Celeron 1.8GHz 56 MB DDR PC6 40 GB HDD Realek RTL 8139 Family PCI Fas Eherne 100Mbps Cấ hình của các nú ham gia ính oán Kế qả đo được hể hiện rong Bảng 1 và Bảng. Bảng 1. Thời gian đo được sa 000 bước 10 iến rình và kích hước bài oán ừ 1000 điểm đến 10000 điểm hời gian được ính bằng giây Nú Điểm 1000 000 3000 4000 5000 6000 7000 8000 9000 10000 1 01.53 01.71 01.75 01.94 0.13 0.35 0.37 0.44 0.50 0.79 0.13 0.19 0.30 0.44 0.53 0.56 0.65 0.81 0.94 03.00 3 01.60 01.63 01.67 01.69 01.85 01.94 01.97 0.09 0.1 0.19 4 01.40 01.4 01.59 01.66 01.67 01.8 01.93 0.06 0.15 0.17 5 01.8 01.30 01.44 01.59 01.61 01.70 01.90 0.00 0.01 0.03 31
35 1 máy i gian giây 3 5 Thờ 15 máy 3 máy 4 máy 5 máy 1 1000 000 3000 4000 5000 6000 7000 8000 9000 10000 Kích hước điểm Hình 6. Biể đồ so sánh hời gian hực hiện kích hước ừ 1000 đến 10000 Bảng. Thời gian đo được sa 000 bước 10 iến rình và kích hước bài oán ừ 000 điểm Điểm Nú đến 0000 điểm hời gian được ính bằng giây 000 4000 6000 8000 10000 1000 14000 16000 18000 0000 1 01.71 01.94 0.35 0.44 0.79 03.15 03.19 03.48 03.69 04.01 0.19 0.44 0.56 0.81 03.00 03.5 03.6 03.31 03.65 03.90 3 01.63 01.69 01.94 0.09 0.19 0.56 03.00 03.01 03.0 03.53 4 01.4 01.66 01.8 0.06 0.17 0.34 0.81 0.83 0.85 03.90 5 01.30 01.59 01.70 0.00 0.03 01.94 01.97 0.01 0.19 0.7 Hình 6 cho hấy cùng mộ kích hước của bài oán cùng số điểm số iến rình và số bước nhưng hời gian hực hiện rên 1 nú nhanh hơn rên nú. Sở dĩ có điề này là do kích hước của bài oán không đủ lớn nên việc hực hiện rên máy ngoài chi phí ính oán còn có chi phí ryền hông giữa các iến rình qa LAN và sự ăng lên về kích hước dữ liệ do sự mã hóa dữ liệ ryền hông heo phương pháp RSA. Ty nhiên với kích hước bài oán đủ lớn hì ốc độ ính oán sẽ ăng lên đáng kể khi số nú ăng như hể hiện rên biể đồ ở Hình 7. i gian giây 45 4 35 3 5 Thờ 1 máy máy 3 máy 4 máy 5 máy 15 1 000 4000 6000 8000 10000 1000 14000 16000 18000 0000 Kích hước điểm Hình 7. Biể đồ so sánh hời gian hực hiện kích hước ừ 000 đến 0000 3
VI. Kế lận Trong bài báo này chúng ôi đã giới hiệ phương pháp giải bài oán dây rng nhờ ấp ỉ ỉ sai phân của đạo hàm riêng cấp để ác định biên độ rng của dây. Sa đó chúng ôi sử lận phương pháp lận của Ian Foser để hiế kế giải hậ song song hực hiện đánh giá độ phức ạp của hậ oán. Cối cùng cài đặ hậ oán dựa rên cụm máy ính Lin và đánh giá so sánh các kế qả đo được. TÀI LIỆU THAM KHẢO 1. Michael J. Qinn Parallel programming in C wih MPI and OpenMP Mc Graw Hill 004.. P. H Carns W. B. Ligon III S. P. McMillan R. B. Ross An evalaion of message passing implemenaions on Beowlf worksaions Parallel Archiecre Research Lab 001. 3. P. K. Jimack N. Toheed Developing parallel finie elemen sofware sing MPI Universiy of Leeds 000. 4. P. K. Jimack N. Toheed An inrodcion o MPI for compaional mechanics Universiy of Leeds 1999. VIBRATING STRING PROBLEM ON PARALLIZATION PROCESSING Ngyen Ma Han College of Sciences He Universiy Tran Anh Nam Gia Lai College of Technology Pedagogy SUMMARY Vibraing sring problem is widely regconised in science and echnology specially in acosic field. This paper sggess a mehod o parallise he vibraing sring problem. By sing LAM/MPI parallel programing sandard in clser compers we have scessflly bil parallel algorihm of vibraing sring problem. 33