FRAKTALNA MEHANIKA Prof.dr Đuro Koruga LEKCIJA 7 7.1 FIBONAČIJEVI BROJEVI Fibonači (Leonardo de Pisa, Fibonacci, 1170-150) posmatrajući prirodni proces, raznožavanje zečeva, došao je do otkrća jedne posebne klase brojeva, koji pripadaju skupovima brojeva (1.61803...) i (0.61803...). Ovo svoje saznanje publikovao je 10. godine u knjizi Liber Abaci. Brojevi se mogu dobiti na i mogu se dobiti na više načina, a mi ćemo ovde pokazati dva. Prvi je preko niza brojeva : 0,0!,1,,3,5,8,13,1,34,55,89,144...tako što se ovi brojevi satavljaju u odnos: Leonardo de Pisa Fibonacci 0! 0 0 0 0! 1 0! 1 1 0! 1 1 0. 5 1 3 1.5 0. 666 3 5 3 1.666 0. 6 3 5 8 5 1.6 0. 65 5 8 13 8 1.65 0. 615 8 13 1 13 1.615 0. 619 13 1 34 1 1.619 0. 617 1 34...... 5 1 5 1 1.61803 0.61803 Fig.7.1: Shematski prikaz razmnožavanja zečeva i generisanje Fibonačijevih brojeva na bazi para brojeva (primena ovog zakona najedekvatnija je kod procesa i/ili sistema koji generišu parove. Drugi pristup je preko kvadratnih jednačina. Prva kvadratna jednačina x x 1 0, daće rešenja, x1= -1.61803 i x=0.61803..., dok će kvadratna jednačina x x 1 0 dati rešenja x1= 1.61803 i x= -0.61803... što daje četiri rešenja: -,, -, što se može grafički predstaviti - - 1
Medjutim, Binet je uopštio Fibonačijev niz u formi što je predstavljeno na Fg. 7.. Fig.7. : Binetovo uopšteneo rešenje Fibonačijevijeve serije Ovo uopštenje daje rešenje i za vrednosti x 0, u formi: Pored uočavanja fenomena razmnožavanja zečeva i formiranje potpuno novog sistema brojeva Fibonači je deo veliki doprinos matematici time što je indijsko-arabski system brojeva uveo u matematiku zapadne civilizacije. Leonard of Pisa or Fibonacci played an important role in reviving ancient mathematics and made significant contributions of his own. Liber abaci introduced the Hindu- Arabic place-valued decimal system and the use of Arabic numerals into Europe. Od mnoštva primera primene i realizacije zlatnog preseka na bazi Fibonačijevih brojeva ( raspored lišća na granama drvećaprincip minimum metanja, pirmida u Egiptu, hramova u antičkoj Grčkoj, proporcija ljudskog tela, periodnog sistema elementa, genetkog koda i dr. ) Paskalov trougao i šah su dava najelegantnija primera primene Fibonačijevih brojeva u matematicii i nuci generalno.
Da to pokažemo na šahovskoj ploči, polazimo od opšte poznate činjenice da snaga svake figure zavisi od njene pokretljivosti po šahovskoj tabli. Dama je zato najjača šahovska figura, jer može sa svakog polja učiniti više poteza nego bilo koja druga figura. Da bi se dobio numerički izraz za snagu svake pojedine figure, može se ovom problemu prići na sledeći način, sl.7.4: Slova S, L, T, D označavaju redom: Skakača, Lovca, Topa, Damu. Za svaku od tih figura iskorišćena je samo četvrtina dijagrama, jer pozicije su iste u sva četri polja pa su isti brojevi u ostale tri četvrtine dijagrama simetrično raspoređeni. Ako sad sumu svih brojeva na čitavoj tabli nazovemo potencijom figure kojoj ta suma pripada i označimo je odgovarajućim slovom, dobija se: S 336, L 560, T 896, D 1456. Lako se ouočava da je: D T L. što nije ništa neobično, jer dama sadrži u svom kretanju i poteze topa i poteze lovca. Međutim, više iznenađuje relacija T L S, koja omaogućava da se formiraju odnosi: D: T T: L i T: L L: S. Ako se ima u vidu da je: D T L i T L S, Tada se dolazi do saznanja da su veličine D, T, L i TLS,, u relaciji preko ZLATNOG PRESEKA, jer D:T 1456:896 1.6..., T:L 896:560 1.6..., L:S 560:336 1.6...,. Sva tri odnosa podudaraju se tačno na jednu decimalu, jer nisu uzeti u obzir pešaci i kralj. Kada se sve to uzme u obzir i uvede korekcioni faktor za odnos Dama = Top-Lovac ( dama je jedna figura i stoji na jednom polju, a top i lovac su dve figure i 3
stoje na dva odvojena polja- situacija nije ista) dobija se da je potencija šaha data kao rešenje zlatnog preseka. Dodelite sada pojedinim organima ili funkcijama ljudskog organizma šahovsku figuru sa spekta fizioloških aktivnosti, imajui u vidu da biomolekuli i organizam kao celina trebaju biti u harmoniji kao deo-celina. Tabela 7.: Staja biomolekula (klatrina,mikrotubula i dr ) koji na osnovu svoje strukture imaju energetski zakon zlatnog preseka Harmonizovani sitem na bazi I. Pored toga treba imati u vidu da se svi brojevi dekadnog sistema mogu generisati iz i na sledeći (ili neki drugi) način: - = 1 + = + = 3 3-3 = 4 ( + ) = 5 ( + ) = 6 4 + 4 = 7 ( 3-3 ) =8 3( + )= 9 (( + ) ) = 10 5-5 = 11... 6 + 6 = 16... ( 3 + 3 ) = 0... Suncokret kao prirodno rešenje harmonizacije strukturalno-energetskoinformacionih procesa koji daju (obezbeđuju) harmnizovan odnos dela i celine. što postavlja uzročno-posledično pitanje dekadnog sistema: da li se zlatni presek generiše iz prirodnih brojeva, ili priroda koja radi po zakonu zlatnog preseka u našem umu generiše dekadni broji sistem? 4
Proizvod činilaca Savršenog broja Proizvod činilaca Savršenog broja 7. SAVRŠENI BROJEVI Neki broj je savršen ako je zbir njegovih činioca jednak njemu samom. Ovo je veoma važno prilikom izučavanja sistema, a još važnije u inženjerskoj praksi prilikom određivanja ustrojstva sistema. Stari Grci znali su za četiri savršena broja: 6, 8, 496 i 818. Čnioci ova četiri broja su: 6 = 1 + + 3 8 = 1 + + 4 + 7 + 14 496 = 1 + + 4 + 8 + 16 + 31 + 6 + 14 + 48 818 = 1 + + 4 + 8 + 16 + 3 + 64 + 17 + 54 + 508 + 1016 + 03 + 4064 Primećujemo da kod drugog, trećeg i četvrtog savršenog broja postoji mesto asimetrije. Tako naprimer kod drugog savršenog broja posle 4 trebalo bi očekivati 8, ali to nije slučaj jer 8 nije činilac broja 8. Isto je kod trećeg savršenog broja, posle 16 je 31 (a ne 3), odnosno kod četvrtog 64 i 17. Posle ovog jediničnog pomaka na datim mestima sistem se simetrično udvostručava. Računanje savršenih brojeva može se vršiti po dve formule n-1 ( n -1) n ( n+1-1), a vrednosti su sistematizovane u tabeli 7.. Računanje po formuli n-1 ( n -1) Računanje po formuli n ( n+1-1) 0 0-1 ( 0-1)=1/ x 0= 0? 0 ( 0+1-1)=1 x 1= 1 1 (!) 1 1-1 ( 1-1)=1 x 1= 1 1 1-1 ( -1)= x 3= 6 6 1 3 3-1 ( 3-1)=4 x 7= 8 8 6 784 4 4-1 ( 4-1)=8 x 15= 10 10 7 3,583 10 14 5 5-1 ( 5-1)=16 x 31= 496 496 4 6,05 10 10 1 ( 1+1-1)= x 3= 6 6 1 6 ( +1-1)=4 x 7= 8 8 784 3 ( 3+1-1)=8 x15=10 10 7 3,583 10 14 4 ( 4+1-1)=16x31= 496 496 4 6,05 10 10 5 ( 5+1-1)=3 x 63= 016 016 17 1,5 10 56 6 6-1 ( 6-1)=3 x 63=016 016 17 1,5 10 56,88 10 3 6 ( 6+1-1)=64x17= 818 818 6 7 7-1 ( 7-1)=64x17= 818 818 6,88 10 3 7 ( 7+1-1)=17x = 351............... 5
Do danas najveći poznati savršeni broj otkriven je 001 godine i glasi: 13466916 ( 13466917 1), a broj ima 4 miliona cifara, što znači da bi nam trebala 1000 stranica knjige da ispišemo njegovu vrednost! 7.3 SAVRŠENO-HARMONIZOVANI BROJNI SISTEMI Genetski kod je harmonizovani sistem (Lekcija 8) po zakonu zlatnog preseka. Ali, da li je on kao prirodan kod i savršen? (potražite odgovor samostalno, a ako ne uspete naći će te rešenje u Lekciji 13). Videli smo u poglavlju 7. da se svi brojevi dekadnog sistema mogu generisati na bazi i, što znači da je dekadni sistem harmonizovan sistem po zakonu zltnog preseka. Od svih do sada poznaih brojnih sistema jedino je 6 Sumerski brojni sistem (heksadekadni) sinergetski savršeno-harmonizovani. To je sistem po kome smo odredili skalu vremena i računamo vrednosti vremena. Jedan obrt je podelje na 4 jedinice, tako da 1/4 jedinica u sebi sadrži manju
jedinicu koja je 60 puta manja, a zatim ova jedinica koja je 1/1440 manja od obrta (spina Zemlje) je podeljena na 60 manjih jedinica 1/86400. Očigledno je da je spin Zemlje podeljen na par dan-noć koji imaju 1 + 1 = 4 jedinice koje nazivamo čas (toliko ima simetrijskih elementa ose 5-og reda u ikosaderaskom sistemu). Manja jedinica, ovako dobijene jedinice je 60 puta manja od časa i nazivamo je minut, a 60 puta manja od nje je sekund. Broj 60 je najmanji mogući sinergetski savršenoharmonizovani broj dekadnog i heksagonalnog sistema: prvi je savršen, a drugi harmonizovan. Kakao su stari Sumerani mogli da dođu do ovako genijalnog sistema (koga mi ne menjamo i ako istorija pokušava seve da promeni)? Jedan od mogućih, i najverovatniji, je da je ovaj sistem utkan u nas preko bioloških ritmova i da su oni u ono vreme samo reprodukovali (verovatno na bazi nesvesnog) sistem na bazi koga smo ustrojeni. Sa tog aspekta interesantno je posmatrati koji to prirodni fenomeni (ritmovi) mogu proizvesti. Najbliži objašnjenju je gravitacono dejstvo Zemlja- Mesec. Ne kruži Mesec oko Zemlje, kako mi obično kažemo u svakodnevnom životu, nego se Sistem Zemlja Mesec kreću oko zajedničkog centra. Zbog toga postoji baricentar sistema Zemlja Mesec je udaljen od centra Zemlje (4467 460) km, ili od površine (1904 460) km, kada je Mesec u zenitu mesta. Kako su centripetalne sile F1 (Zemlje), F (Meseca) jednake sa gravitacionim silama između Zemlje i Meseca (F) to važi relacija F1 +F = F, odnosno m1r1 = m1r1 = F. Imajući u vidu da je centripetalno ubrzanje Meseca isto ono koje daje Mesecu sila gravitacije, to je F = mg, što na karaju dovodi do rešenja da je 1 g g, 60 gde je g ubrzanje teže na površini Zemlje. Ovo proizilazi iz činjenice da je rastojanje između Zemlje i Meseca oko 60 puta veće od poluprečnika Zemlje. Drugim rečima, ritam prirode ugradio je svoju vremensku skalu i svoj vremenski sistem u nas. 7
Videli smo da se savršeni brojevi zasnivaju na binarnom sistemu, pa kako karakteristika sistema (logika) zavisi od osnove na kojoj je sistem zasnovan, to i logika sistema zavisi od broja stanja te logike. Posle binarnog sistema i njegove logike, slededeća logika je ternarna sa tri stanja. Medjutim, nas interesuje takav brojni sistem u kome se za predstavljanje broja koristi što manje simbola i razreda. Kako je veličina informacione aparature K proporcionalana sledećim veličinama: K = anr, gde je n broj razreda, R broj simbola u datom brojnom sistemu i a je koeficijent proporcionalnosti, to je broj simbola primenjenih u datom brojnom sistemu jednak osnovi sistema R. Maksimalan broj Nmax koji se može zapisati u n razreda sistema je: Nmax=R n -1. Pri dovoljno velikom n: Nmax R n i dobija se: ln N n ln R max Ako uvrstimo n u jednačinu K=anR dobijamo: a ln N K max ln R K 0 ln R 1 R R e Iz jednačina vidimo da dobijamo da sa aspekta brojnog sistema i broja mesta za registrovanje informacije, najekonomičnije bi bilo raditi u sistemu sa osnovom e. Posmatrajmo rotaciju Zemlje oko svoje ose i njeno kretanje oko Sunca. Da bi promenila položaj u prostoru za jedinicu (svoj prečnik) zemlji je potreno 7.47 jedinica koja je 60 puta manja od jedinice ikosadarskog temporalnog sistema. Ako optimalnu osnovu sistema stepnujemo ovom vrednosti dobijamo e 7.47 1440 8
što predstavlja broj minuta koji ima sistem (spin Zemlje, odnosno dan-noć). Moon VE Sun R E Earth Fig.7.5: Prosečni jedinični, kvantni, pomeraj Zemlje (za jedan njen prečnk) u proecsu kretanja oko Sunca se desi za 7.47 minuta 7.4 ZAKON VELIKIH BROJEVA Statističke raspodele (Maksvelova, Bolcmanova, Bose- Ajnšajnova, Fermijeva i dr) koriste zakone velikih brojeva i u njihovoj osnovi se nalazi broj e, koji kao što smo videli predstavlja optimalnu osnovu sistema. U zavisnosti po kojoj raspodeli se ponaša sistem možemo zaključiti o karakteru sistema. Ponašanje sistema po datoj raspodeli je njen zakon i to je ono što s eočuvava, dok pojedi elementi koji čine sistem mogu imati preturabacije, ali ukupnost preturbaija ostaje nepromenjena (ili jako bliska). Zato se sa aspekta sistema dragi Bog ne kocka, kako kaže Ajnštajn, ali sa aspekta elementa sistema baca kockice. Sa aspekta prirodnih fenomena za nas su interesantni oni sistemi velikih brojeva koji odražavaju zakone odnosa električne i magnetne sile valentnih elektrona (10 4 ), i onaj koji usaglašava odnos električne i gravitacione sile u nama (na površini Zemlje), a on je reda veličine 10 8. Interesato je da su oba ta sistema anticipirali stari Kinezi, koji su kao i Sumerani, imali privilegiju da osete ritam prirode i ono što je u nama pojimaju u mentalnom svetu našeg bića. 9
Iz tabele 7.5. vidimo da su stari Kinezi imali četri sistema velikih brojeva: na bazi 10 3, 10 4, 10 8 i na sistemu kvadrata. Sistem Alternativni sistem Tabela 7.3: Sarokineski sistem velikih brojeva koji je u saglasnosti sa prirodnim fenomenima. 亿 yì 兆 zhào 京 jīng 垓 gāi 秭 zǐ 穰 ráng 經 / 经杼壤 沟 gōu 涧 jiàn 正 zhēng 载 zài Faktor povećanja 1 10 5 10 6 10 7 10 8 10 9 10 10 10 11 10 1 10 13 10 14 shí) puta veći od Svaki broj je 10 ( 十 prethodnog. 10 8 10 1 10 16 10 0 10 4 10 8 10 3 10 36 10 40 10 44 ( 万 wàn) puta veći od Svaki broj je 10,000 prethodnog. 3 10 8 10 16 10 4 10 3 10 40 10 48 10 56 10 64 10 7 10 80 wànwàn) puta veći Svaki boj je10 8 ( 万万 od prethodnog. 4 10 8 10 16 10 3 10 64 10 18 10 56 10 51 10 104 10 048 Svaki broj je za 10 4096 kvadrat veći od prethodnog. LITERATURA 1. Posamentier,S.S., Lehmann, I., The Fibonacci Numberss, Prometheus Books, Amherst, 007.. Dunlap,A.R., The Golden ratio and Fiboncci numbers, World Scientific, Sngapore, 1997. 10