СТРАТЕГИЈЕ САБИРАЊА И ОДУЗИМАЊА БРОЈЕВА ДО 20 И ДО 1000

ISSN (p) 2303-4890, ISSN 1986 518X ISTRAŽIVANJE MATEMATIČKOG OBRAZOVANJA http://www.imvibl.org/dmbl/meso/imo/imo2.htm Vol. VI (2014), Broj 11, 43--51 Stručni rad doi: 10.7251/IMO1411043C СТРАТЕГИЈЕ САБИРАЊА И ОДУЗИМАЊА БРОЈЕВА ДО 20 И ДО 1000 ЗАГОРКА ЦАЦАНОВИЋ Педагошки факултет, Бијељина zagiismiljan@hotmail.com Сажетак. Неформалне менталне стратегије рачунања сматрају се важним садржајем примарне школске математике за проширивање појмовног знања о бројевима и разумевању аритметике. Међутим, емпиријски резултати показују да многи ученици не постигну циљ прилагодљиве употребе стратегија за рачунање вишецифрених бројева. Ученици често бирају ефикасне стратегије, под условом да знају одговарајуће стратегије за дати проблем. Претпостављамо да стратешке способности ученика зависе од наставног приступа неформалним менталним стратегијама рачунања. У последњих 15 година предавачи математике у многим земљама подржали су реформу о основном аритметичком образовању: испитивала се водећа улога стандардног (писаног) алгоритма за основне аритметичке операције. Поред тога, наглашавао се значај стицања ове рутине стручности у многим наставним програмима и / или стандардима у различитим земљама, стицање адаптивне стручности, односно способности појединаца да реше аритметичко рачунање задатака другачијим стратегијама. Кључне речи: Проблем, стратегије, решење, сабирање, одузимање. Abstract. Informal mental computation strategies are considered important content of primary school mathematics for expansion of the conceptual knowledge of numbers and understanding of arithmetic. However, the empirical results show that many students do not achieve the goal of adaptive use of strategies for computing višecifrenih numbers. Students often choose efficient strategies, provided they know the appropriate strategy for a given problem. We assume that the strategic abilities of students depend on access to informal teaching mental computation strategies. In the last 15 years a lecturer in mathematics in many countries supported the reform of basic arithmetic education: examining the leading role of the standard (written) algorithms for basic arithmetic operations. In addition, he emphasized the importance of acquiring these routines expertise in many educational programs and / or standards in different countries, the acquisition of adaptive expertise, or the individual's ability to solve arithmetical calculation tasks of different strategies. Keywords: Problem, strategy, solution, addition, subtraction. Math.Suбject Classification (2010): 97C70, 97D50 ZDM Subject Classification (2010): C30, D50 У В О Д Сумирајући емпиријске резултате у последњој деценији за поједине способности о употреби адаптивне стратегије за сабирања и одузимања двоцифрених и троцифрених бројева, чини се да ученици основних школа постижу незадовољавајуће резултате. Ученици су у стању да уче и не увек и да примењују све стратегије које у школи усвајају, зато се често опредељују да користе једну од неформалних стратегија за рачунање као стандардну процедуру, односно

често примењују исту процедуру за сва сабирања (или сва одузимања) а занемарују нумеричке карактеристике датих проблема. Циљ ових стратегија је да су коначно ове стратегије доступне као процедурално знање, тако да ученици могу да користе когнитивне ресурсе у избору стратегија, прилагодољиво за дате аритметичке проблеме. Са једне стране, инструкционо заснован приступ стратегијама, обухвата сукцестивну наставу (и учење) одабраних стратегија и њихову ефикасну примену, Бароди 1 описује овај приступ као концептуални приступ. Са друге стране, постоји истраживачки приступ стратегијама који истиче индивидуално стварање сопствених стратегија за рачунање. Ученици не уче стратегије добијене од својих професора већ они развијају и разговарају о својим сопственим приступима анализом карактеристика датог проблема и појединачних бројева. На основу њиховог искуства и акумулираног знања о бројевима, деца ће оптимизовати своје стратегије корак по корак и стећи способност како да адаптивно примене стратегију. Стратегије су познате као брзе пречице које помажу у израчунавању чињеница са специфичним особинама система, док се не пронађе решење тражене или непознате чињенице у датом проблему. Оне укључују идеје које ће деци помоћи да одаберу стратегију која је најпогоднија за дати проблем. Емпиријска истраживања показала су разочаравајуће резултате што се тиче адаптације коришћења стратегије у току менталног рачунања. Међутим, можемо поставити два питања: 1) Да ли су ученици уопште у стању да пронађу одговарајуће стратегије за проблеме? 2) Ако да, да ли су у могућности да изаберу стратегије адаптивно? Морамо истаћи да већина ученика решавају проблеме ефикасним стратегијама. То се може сматрати добрим резултатом и истиче чињеницу да имамо два циља менталног рачунања у натавној математици: да се добије тачан резултат и да се добије ефикасно. 1. СТРАТЕГИЈЕ САБИРАЊА И ОДУЗИМАЊА БРОЈЕВА ДО 20 Прво деца треба да савладају сабирање и одузимање до броја 10. Једном када деца савладају сабирање и одузимање до 10, уводимо их у основе сабирања и одузимања до 20. Користе се многе исте стратегије које су се користиле у сабирању и одузимању до 10, али треба додати и неколико нових. Ове стратегије подстичу децу да деле стратегије које користе. Деца у почетку раде са бројевима до 20, што подразумева постепено стицање вештина и стратегија рачунања (сабирања и одузимања) и оперисања са природним бројевима. Следећа фаза је описана као рад са бројевима од 20 100, што укључује додатне чињенице о сабирању и одузимању двоцифрених бројева. оно је доста другачије од сабирања једноцифрених бројева. Међутим, постоје кључне разлике између једноцифрених и двоцифрених начина рачунања, и те разлике захтевају другачији наставни приступ. Потребно је стално понављати и утврђивати које је чињенице дете савладало и да ли је детету потребна помоћ. Ако није овладало неким чињеницама или појмовима, питати дете како он или она разумеју стратегију. Сазнати шта они мисле, а затим изабрати стратегију која се заснива на ономе што већ знају. Не треба заборавити да дете треба подстаћи да користи бројевне односе и сродне чињенице. Међутим, мора се узети у обзир да је одабир стратегија увек под утицајем других промењивих, који зависе од особе која решава проблем као и индивидуална тачност и брзина примене стратегије или самоефикасност исте. У овом делу ће се говорити о најчешћим стратегијама сабирања и одузимања до броја 20. 1.1. Стратегија сабирања и одузимања бројева уз помоћ коцке Деца треба да имају добру основу у вршењу ових рачунских операција до 10. Деца треба да повежу оно што су научили о сродним чињеницама до броја 10 и повезују са чињеницама до броја 20. Пример бр. 1: Наставник: учили смо сабирање и одузимање бројева до 10. Данас ћемо учити да сабирамо до 20. Повежите 11 коцака. Покријте 9 коцака, колико коцака вам је остало? Ученици: 2. 1 Артур Бароди Професор математике на основном нивоу образовања и у раном детињству, на универзитету у Илионису 44

Наставник: како ми то можемо да запишемо? 11 9 = 2; 9 + 2 = 11 (понављати и са осталим комбинацијама бројева са бројем 11) Пример бр. 2: Ви знате шта су дупли бројеви. Данас ћемо научити како да користимо дупле бројеве. Реците ми колико је 5 + 5? Ученици: 10. + Наставник: да 5 + 5 = 10. Сада ми можемо да користимо ту чињеницу, јер нам може помоћи да сазнамо колико је 6 + 5. 6 је већи број од 5, па је и 6 + 5 веће од 5 + 5 за 1. Ако је 5+5=10, који је број већи за 1 од броја 10? Ученици: 11. + Наставник: да 11, дакле 6 + 5 = 11. (пробати са још неким дубловима.) 1.1. Заокружити бројеве на 10 У току сабирања (или одузимања) прво треба да заокружимо на број 10, а онда да наставимо са рачунањем датог проблема. Пример бр. 3: 3 + = 17 3 + 7 + =17 10 + 7 = 17 = 7 + 7 = 14 Пример бр. 4: 18 - = 6 18 8 - = 6 10 4 = 6 = 8 + 4 = 12 45

1.2. Скакутање по бројевној линији Ова стратегија се огледа у томе што прво заокружимо на број 10, па онда настављамо даље решавање датог проблема. Пример бр. 5: Израчунај! 7 + = 19 +3 +9 7 + ( 3 + 9 ) = 19 = 3 + 9 = 12 7 10 19 Пример бр. 6: Израчунај! 14 - = 3-7 -4 3 10 14 14 ( 4 + 7 ) =3 = 4 + 7 = 11 1.3. Уместо да одузимаш сабирај! У овој стратегији потребно је да уместо задатог проблема одузимања запишемо као проблем сабирања, а затим дати проблем и решимо. Пример бр. 6: 16 9 = 9 + = 16 Знамо да је 9 + 1 = 10, онда нам фали још 6 да би добили 16. Дакле, = 1 + 6 = 7. 46

1.4. Стратегије рачунања (Heinze i Lipowsky): Висока стратегија Сплит стратегија Компезацијска стратегија Стратегија поједностављивања Индиректно сабирање 123 + 456 = 579 123 + 456= 579 527 + 398 = 925 527 + 398 = 925 701 698 = 3 123 + 400 = 523 100 + 400 = 500 527 + 400 = 927 525 + 400 = 925 698 + 3 = 701 523 + 50 = 573 20 + 50 = 70 927 2 = 925 573 + 6 = 579 3 + 6 =9 500 + 70 + 9 = 579 1.5. Стратегија решавања задатака уз помоћ апликације Пример бр. 7: На дрвету има седам јабука, док је 5 зрелих јабука пало на земљу. Колико укупно има јабука? На дрвету Испод дрвета Када су ученици спремни, записујемо: 7 + 5 = 12 12 7 = 5 5 + 7 = 12 12 5 = 7 Пример бр. 8: На крову је било 13 птица. Када је прошао камион, одлетело је 7 птица. Колико је птица остало на крову? 47

13 7 = 6 7 + 6 = 13 13 6 = 7 6 + 7 = 13 2. СТРАТЕГИЈЕ САБИРАЊА И ОДУЗИМАЊА БРОЈЕВА ДО 1000 Када ученици савладају сабирање и одузимање до 10, тада прелазе на бројеве до прве хиљаде. Ученици у почетку користе стратегије које су до сада користили, а потом се упознају са новим стратегијама које су комплексније од досадашњих стратегија, али су и ефектније. Неким ученицима ће у почетку бити потребна краткорочна помоћ док не усвоје нове стратегије и развију нове приступе. У даљем тексту ће се наћи најчешће кориштене стратегије у настави математике. 2.1. Стратегија сабирања и одузимања бројева по месним вредностима цифара У овој стратегији сабирамо (одузимамо) јединице са (од) јединица, десетице са (од) десетица и стотине са (од) стотинама. Пример бр. 9: 465 + 651 =? С Д Ј 2 6 5 6 5 1 9 1 6 Пример бр. 10: 805-517 =? С Д Ј 8 0 5 5 1 7 2 8 8 2.2. Стратегије сабирања и одузимања уз помоћ менталне математике Користећи најближе вредности вредностима бројева, долазимо до решења задатака. Пример бр. 11: 54 + 29 = 55 + 30 = 85, 85 2 = 83 = 83 48

Пример бр. 12: 100 48 = 100 50 = 50, 50 +2 = 52 = 52 2.3. Потписивање бројева Пример бр. 13: 783 94 + 36 913 Пример бр. 14: 907 356-84 467 2.4. Стратегија решавања проблема у два различита корака Проблеми који имају два мања задатка у себи, решавамо овом стратегијом. Пример бр. 15: Марија задњих 12 дана баца лопту на кош. Укупно је шутирала 960 пута на кош. У задња три дана је шутирала по 80 шутева више. Колико је дневно Марија пута шутала на кош? 960 240 = 720 720 : 12 = 60. Марија је шутирала по 60 пута на кош, а задња три дана је шутирала по 140 пута. 2.5. Процена суме Пример бр. 16: 299 + 115 = 414 Процена : 300 + 115 = 415 (Процена је била добра јер проценом смо добили број који је приближан тачном решењу) Пример бр. 17: 654 412 = 246 Процена: 650 410 = 240 49

(Није разумна сума, јер је мања од 246) 2.6. Сабирање и одузимање децималних бројева Пример бр. 18: 118,32 + 55,80 174,12 Пример бр. 19: 914,50 + 756,14 158,36 З А К Љ У Ч А К Наставик деци може да стратегије приближи концептуално или да им наметне истраживачки пут до решења проблема. Може се рећи да оба приступа имају одређене предности, јер концептуални приступ омогућава деци да чешће нађу одговарајуће стратегије, док истраживачки приступ даје већи број ефикасних стратегија у решавањима проблема у настави математике. Најважнији задатак наставника је да дискутује о стратегијама са ученицима у учионици, а наравно и да их покаже и примени на проблемима. На овај начин се олакшава пут до сазнања и учења ученика. Наставници треба да будунсвесни опсега достигнутих метода, али не да ученике уче формално, већ тако да им омогуће лакше усавршавање и усвајање стратегија. Није обавезно да сва деца усвоје све стратегије, неки од њих су другачијих интелектуланих способности и искустава, тако да свако од њих другачије усваја вештине и навике, градећи сопствени ниво постигнућа. Све остале стратегије кориштене за решавање проблема, сматрају се личним или индивидуалним стратегијама појединца. Ученици често бирају ефикасне стратегије, под условом да знају одговарајуће стратегије за дати проблем. Претпостављамо да стратешке способности ученика зависе од наставног приступа неформалним менталним стратегијама рачунања. Наравно, флексибилност ученика у манипулисању рачунским операцијама и цифрама приликом рачунања, најбоље се може побољшати вежбањем у настави (и учењу), али и зрелост ученика игра велику улогу у свему томе. Такође, морамо истаћи да се поред флексибилности побољшава и супериорност. Уколико ученици траже и истражују проблеме како би дошли до нове стратегије, може се рећи да поседују трајна, квантитативна и квалитативна знања о настави математике. Л И Т Е Р А Т У Р А [1] Caney, A. (2004). Perception of Mental Computation Practice: Reports From Middle School Teachers and Students. Tasmania : University of Tasmani. Vol. 9. Str. 10-14 [2] Caney, A., Watson, M. J. (2003). Mental Computation Strategies for Part Whole Numbers. Таsmania: University of Tasmania [3] Chua, P. H., Yeap, B. H. (2012). Problem Posing Performance of Grade 9 Students in Singapore on an open ended stimulation. Singapore : MERGA [4] Craig, J.A. (2009). Comparing Research into Mental Calculation Strategies in Mathematics Education and Phychology. Institute of Education, University of Londdon [5] Duch, K. F. (2009). An investigation into the mental calculation strategies used by 12 year old with Nattional Numeracy Strategy Exposure. School of Education. University of Southampton. [6] Hanlon, B. (2004). Strategies for learning the math facts. Hanlonmath [7] Hartnett, J. (2007). Categorisation of Mental Computation Strategies to Support Teaching and to Encourage Classroom Dialogue. 50

[8] Heinze, A., Lipowsky, F. (2008). Informal strategy use for addition and subtaction of tree-digit numbers: Accuracy and adaptivity od German 3 RD grades. University of Regensburg and University of Kassel. PME 32 vol 3, str. 145-152 [9] Heirdsfield, M. A. (2001). Spontaneous Mental Computation Strategies. Australia : Centre for Mathematics and Science Education, QUT [10] Huegli, V. (2008). Strategies for numbers 2 (Adding and Subtracting). Quebec : QLWG Skills for Life Series [11] Huegli, V. (2008). Strategies for numbers I (Understanding Numbers). Quebec : QLWG Skills for Life Series [12] Investigations in Number, Data, and Space (2007). Math Content by Strand. TERC vl. 415/07 [13] Karantzis, J. (2010-2011). Mental aritmetic calculation in the addition and subtraction of two digit numbes: The case of third and fourth grade elemantary school pupils. Hellenic Mathematical Society. International Journal for Mathematics in Education. HME i JME. vol 3. str. 3-24 [14] Mc Intosh, A. (2005). Developing computation. Tasmania : Department of Education [15] Nelson, T. (2005). Adding subtracting using Mental Math. ch 4, str. 31 [16] Rezat, S. (2009). Mental Calculation Strategies for adding and subtraction in the set of rational Numbers. Giessen : Justus Liebig University [17] Thompson, I. (1999). Mental Calculation Strategies for Addition and Subtraction. London : The Mathematical association [18] Thompson, I. (2004). Narrowing the gap between mental computation strategies and standard written algorithms, Denmark : Northumbria University UK, ICME 10 [19] Walle, V., John, A., Lovin, H. L. (2010). Strategies for Whole Number Computation. Boston : Allyn and Bacon. Vol.2. 51