SVEUČILIŠTE U RIJECI EKONOMSKI FAKULTET Marika Puhar RJEŠAVANJE LINEARNOG PROGRAMIRANJA POMOĆU SOFTVERSKE PODRŠKE WinQSB DIPLOMSKI RAD Rijeka 2015
SVEUČILIŠTE U RIJECI EKONOMSKI FAKULTET RJEŠAVANJE LINEARNOG PROGRAMIRANJA POMOĆU SOFTVERSKE PODRŠKE WinQSB DIPLOMSKI RAD Predmet: Teorija odlučivanja Mentor: dr.sc. Alemka Šegota Student: Ime i prezime Marika Puhar Studijski smjer: Menadžment JMBAG: 0081122722 Rijeka, rujan 2015
SADRŽAJ 1. UVOD... 3 1.1. Definicija problema... 3 1.2. Predmet i cilj istraživanja... 3 1.3. Metode istraživanja... 3 1.4. Struktura rada... 4 2. TEORIJSKI PRIKAZ LINEARNOG PROGRAMIRANJA... 5 2.1. Definicija linearnog programiranja... 5 2.2. Povijest linearnog programiranja... 5 3. PROBLEM LINEARNOG PROGRAMIRANJA... 6 3.1. Karakteristike problema... 6 3.2. Faze u rješavanju problema linearnog programiranja... 7 3.3. Tipovi problema linearnog programiranja... 8 3.3.1. Standardni problem linearnog programiranja... 8 3.3.2. Kanonski problem linearnog programiranja... 9 3.3.3. Opći problem linearnog programiranja... 10 4. RAČUNALI PROGRAM WinQSB... 11 4.1. Definicija računalnog programa WinQSB... 11 4.2. Modul za linearno programiranje Linear and Integer Programming... 12 4.2.1. Način korištenja modula za linearno programiranje... 12 4.2.2. Izbornik File i njegove opcije... 13 4.2.3. Izbornik Edit i njegove opcije... 15 4.2.4. Izbornik Format... 16 4.2.5. Opcija Solve and Analyze... 17 4.2.6. Izbornik Utility i njegove opcije... 19 4.2.7. Izbornik WinQSB i Izbornik Help... 20
5. KORIŠTENJE WinQSB-a U PRIMJENI LINEARNOG PROGRAMIRANJA U PROIZVODNJI... 21 5.1. Linearno programiranje u proizvodnji... 21 5.2. Primjeri linearnog programiranja u proizvodnji... 22 6. ZAKLJUČAK... 49 LITERATURA... 50 POPIS SLIKA... 53 POPIS TABLICA... 54
1. UVOD 1.1. Definicija problema Proizvodnja je najsloženija faza procesa proizvodnim poduzećima. Kako bi proizvodno poduzeće uspješno poslovalo potrebno je raspolagati određenim vrstama proizvoda koje planira proizvoditi te posjedovati plan proizvodnje koji utječe na položaj poduzeća na tržištu. S obzirom na otežane tržišne uvjete, promjenjivost okoline i konkurenciju, potrebno je ulagati maksimalne napore za povećanje efikasnosti poduzeća, smanjenje troškova i povećanje prihoda. Jedan od načina za postizanje tih ciljeva kod proizvodnih poduzeća je kroz primjenu linearnog programiranja. Linearno programiranje može se rješavati na više načina, međutim cilj svakog poduzeća je minimiziranje troškova proizvodnje, efikasno iskorištavanje resursa te maksimizacija prihoda. Zahvaljujući napretku suvremene tehnologije, softverski program WinQSB olakšava proizvodnim poduzećima rješavanje problema i osigurava poduzeću siguran opstanak na tržištu. 1.2. Predmet i cilj istraživanja Predmet istraživanja ovog rada je primjena metode linearnog programiranja i jednostavnost primjene programa WinQSB u rješavanju različitih problema linearnog programiranja u proizvodnji. Cilj rada je prikazati u kojim dijelovima proizvodnje je najefikasnija primjena linearnog programiranja te koji je najednostavniji način rješavanja nastalih problema. 1.3. Metode istraživanja Kako bi dokazali cilj i svrhu istraživanja korišteno je više vrsta metoda. Za potrebe ovog rada korištene su sljedeće metode: deskriptivna metoda, metoda obrade sekundarnih podataka, metoda analize i sinteze, statističke metode i matematičke metode. 3
1.4. Struktura rada Diplomski rad je strukturiran tako da se uz uvod i zaključak, sadržaj razrađuje kroz pet poglavlja. U uvodnom djelu navedena je definicija problema, predmet i cilj istraživanja, metode istraživanja i struktura rada. U nastavku slijedi objašnjenje pojma linearnog programiranja i kratak povijesni pregled njegovog razvitka. Drugi dio rada navodi koje su karakteristike problema linearnog planiranja, faze u rješavanju problema i koji su tipovi problema linearnog programiranja. U četvrtom djelu opisan je softverski program WinQSB i način njegove primjene. Peti dio rada kroz primjere prikazuje kako se problemi u proizvodnji rješavaju putem linearnog programiranja pomoću softverskog programa WinQSB nakon čega slijedi zaključak. 4
2. TEORIJSKI PRIKAZ LINEARNOG PROGRAMIRANJA 2.1. Definicija linearnog programiranja Linearno programiranje je grana matematike koja se bavi problemom optimizacije sustava unutar zadanih ograničenja. (Petkovićek, n.d.) Pomoću linearnog programiranja rješavamo probleme vezane za linearne kombinacije nezavisnih varijabli kako bi se uz zadovoljenje postavljenih uvjeta ostvario maksimalan ili minimalan rezultat. Linearno programiranje je kvanitativna metoda koja omogućuje odabir optimalnog rješenja uz veći broj raznih alternativnih rješenja. 2.2. Povijest linearnog programiranja Linearno programiranje je relativno mlada naučna disciplina. Pojavljuje se uoči Drugog svjetskog rata, iako postoje autori koji tvrde da je nastala znatno ranije. Najveći broj naučnika smatra da se linearno programiranje pojavilo 1939. godine kada je sovjetski naučnik Leonid V. Kantorovich, profesor Lenjingradskog fakulteta objavio članak: Matematičke metode u organizaciji i planiranju proizvodnje. ( Stanojević, 1996., p. 12) Za rješavanje problema linearnog programiranja razvio je George B. Dantzig u toku 1947. godine jednu od najvažnijih kalkulativnih metoda u novijoj matematičkoj povijesti tzv. simpleks metodu. (Barković, 2002., p.9). U periodu 1947.-1949. godine počinje u SAD-u intenzivna razrada linearnog programiranja. Radovi John von Neumanna su omogućili teoretsko formuliranje dualnog problema, kao i pronalaženje veze između linearnog programiranja i teorije igara. (Stanojević, 1996., p. 12) 5
3. PROBLEM LINEARNOG PROGRAMIRANJA Linearno programiranje predstavlja skup metoda koje se primjenjuju za rješavanje različitih problema ekonomske prirode. Svi ovi problemi moraju ispunjavati određene komponente da bi mogli biti riješeni određenom metodom linearnog programiranja. 3.1. Karakteristike problema Zajedničke kvantitativne komponente svih problema linearnog programiranja su: 1. Linearna veza- u svakom problemu linearnog programiranja mora postojati linearna zavisnost, linearna veza. U izvorima iz literature ova komponenta je izostavljena te se smatra da problem optimizacije mora imati samo tri komponente; cilj, alternativne metode i ograničenja. 2. Cilj- mora biti jasno definiran kako bi postigli željene rezultate rješavanjem problema. Ovisno o tome kakve se problem analizira, kriteriji problema linearnog porgramiranja mogu se izraziti prema različitim pokazateljima, kao što je u slučaju minimiziranje troškova kriterij problema trošak i u slučaju maksmiziranja profita kriterij profit. 3. Alternative- razne alternative moraju biti na raspolaganu za rješavanje problema kako bi se postigao unaprijed određeni cilj. 4. Ograničenja- ukoliko želimo riješiti problem linearnim programiranjem obavezno trebaju postojati ograničena sredstva, odnosno ograničene mogućnosti. Da bi se ekonomski problem mogao tretirati kao problem linearnog programiranja, mora udovoljiti određenim matematičkim uvjetima i to: linearnost funkcije kriterija i sustava jednadžbi odnosno nejednadžbi direktnost procesa odnosno aktivnosti zbrojivost procesa u utrošku resursa i u fukciji kriterija 6
proizvoljna djeljivost faktora ograničenost broja procesa odnosno aktivnosti i ograničenja (Radić, 2012) 3.2. Faze u rješavanju problema linearnog programiranja Postupak u rješavanju problema prolazi kroz sljedeće faze: 1. Izvor problema- prvi korak je odabir problema za rješavanje i njegova analiza, odnosno ispitivanje karakteristika koje ga određuju. Najvažnija je provjera da li odabrani problem ima li sve odgovarajuće karakteristike za rješavanje metodama linearnog programiranja. 2. Izbor metode- u odnosu na izabrani problem i njegove karakteristike vrši se izbor adekvatne metode linearnog programiranja. 3. Prikupljanje podataka- točnost i valjanost optimalnog rješenja zavisi od točnosti i istinitosti prikupljenih podataka. Metode linearnog programiranja omogućuju i olakšavaju pronalaženje jednog od mnogobrojnih rješenja, međutim one ne mogu poboljšati kvalitetu rješavanja više od kvalitetnih podataka koje sadrži model. 4. Formiranje modela- model treba biti najvjerniji predstavnik problema. On treba reagirati na sve promjene parametra na isti način kao što bi reagirao stvarni problem pod utjecajem promjene ograničavajućih faktora. Odabir ograničenih faktora i njihovo kvantitativno izražavanje traži posebne napore od čitavog niza različitih stručnjaka, kako bi se omogućilo da se stvarni problem rješava kroz njegov teoretski matametički model. 5. Rješavanje modela- korištenjem odgovarajuće računske tehnike vrši se rješavanje modela. Model može biti riješen primjenom odgovarajuće metode linearnog programiranja. 7
6. Analiza rješenja- ovo je posljednja i najznačajnija faza rada. Od prirode problema i posebnih ciljeva zavisi izbor metoda za analiziranje optimalnog rješenja. Ispitat će se mogućnosti i mjere koje treba poduzeti da bi se ovakvo rješenje ostvarilo i u praksi. 3.3. Tipovi problema linearnog programiranja Linearno programiranje temelji se na načelima koja zahtijevaju poznavanje više matematike, no upotreba linearnog programiranja u ekonimiji radne organizacije obuhvaća više nego poznavanje same tehnike. Razlikujemo tri tipa problema linearnog programiranja: standardni, kanonski i opći problem. (Radić, 2012, p.2012) 3.3.1. Standardni problem linearnog programiranja Problem linearnog programiranja općenito može biti ili problem maksimuma ili problem minimuma. Standardni problem maksimuma linearnog programiranja je problem u kojem su sva ograničenja (osim uvjeta nenegativnosti) tipa odnosno, u općenitom slučaju sa n varijabli oblika: Max, i = 1, 2,..., m 0, j = 1, 2,..., n Dakle standardni problem maskimuma linearnog programiranja ima n varijabli i m ograničenja koju su sva tipa. (Babić, 2005., p. 71) Jednostavniji prikaz standardnog problema maksimuma: 8
maksimizirati Max C'X uz ograničenja AX B X 0 Svakom problemu maksimuma pridružen je i određeni problem minimuma koji se zove dual originalnog problema. Ukoliko je početni problem bio problem minimuma, tada je njegov dual odgovarajući problem maksimuma. Dual standardnog problema maksimuma je standardni problem minimuma i on glasi: Min, i = 1, 2,..., n 0, i = 1, 2,..., m U dualu se javlja samo jedan novi vektor, i to je vektor varijabli Y. Dakle original ima m ograničanja i n varijabli, dok u dualu imamo n ograničenja i m varijabli, odnosno u originalu je vektor varijabli X, a u dualu Y. (Babić, 20025., p. 73) 3.3.2. Kanonski problem linearnog programiranja Kanonski problem linearnog programiranja razlikuje se od standardnog problema u tome da su sva ograničenja (osim uvjeta nenegativnosti) u obliku jendadžbi. Oblik tog problema za maksimum glasi: (Baibić, 2005., p. 88) Max (Min) AX = B X 0 Standardni problem se uvijek može transformirati u drugi, i obrnuto što znači da je svako rješenje jednog problema rješenje i drugog problema. 9
Da bismo standardni problem transformirali u kanonski, potrebno je samo nejednadžbu zamijeniti s nejednadžbom AX B AX + U = B i dodatnim zahtjevom U 0 (Babić, 2005., p. 89) Vektor U 0 je nenegativna veličina koja je potrebna zbog pretvorbe nejednadžbe u jednadžbu. Vektor U je vektor dodatnih ili oslabljenih varijabli, za razliku od vektora X koji se zove strukutrna varijabla. 3.3.3. Opći problem linearnog programiranja U općem problemu linearnog programiranja koji naravno može biti problem maksimuma ili problem minimuma, ograničenja mogu biti bilo kojeg tipa. Dakle, za razliku od standardnog problema, u ovom slučaju mogu se u istom problemu javiti ograničenja,, ali i jednadžbe. Pored toga neke varijable mogu, a neke ne moraju imati ograničenja nenegativnosti. (Babić, 2005., p. 108) Opći problem linearnog programiranja: Max C'X, i ɛ S =, i ɛ 0, j ɛ T Iz ograničenja 0, j ɛ T vidi se da ne zahtijeva nenegativnost svih varijabli, već samo jednog broja. 10
4. RAČUNALI PROGRAM WinQSB 4.1. Definicija računalnog programa WinQSB WinQSB (Windows based Quantitative Syystem for Business) je programska podrška napravljena za Windows sučelje. Specifičnost softvrskog programa WinQSB je što ne dovodi nužno do najpovoljnijeg rješenja, već do jednog iz skupa dobrih rješenja. Ukupno devetnaest aplikacijskih modula čine WinQSB a to su: Analiza prihvaćanja uzroka, Prognoziranje i linearna regresija, Markov proces, Kvadratično programiranje, Ukupno planiranje, Planiranje cilja, Planiranje materijalnih uvjeta, Shema kontrole kvalitete, Analiza odlučivanja, Teorija i sustav inventara, Mrežno modeliranje, Upitna analiza, Dinamično programiranje, Poslovno raspoređivanje, Nelinearno programiranje, Simulacijski sustav čekanja u redu, Položaj i izgled objekta, Linearno i cjelobrojno programiranje i PERT_CPM. Slika 1. Aplikacijski modul WinQSB-a U ovom radu, kroz teoriju i i rješavanje odabranih primjera biti će objašnjen modul linearnog programiranja i cjelobrojnog linearnog programiranja u proizvodnji. 11
4.2. Modul za linearno programiranje Linear and Integer Programming Linear and Integer Programming je programski modul koji rješava probleme linearnog programiranja i cjelobrojnog linearnog programiranja. (Losonczi, 2013) 4.2.1. Način korištenja modula za linearno programiranje Jedan od lakših načina rješavanja problema pomoću linearnog programiranja je pokretanje aplikacijskog modula Linear and Integer Programming koji se nalazi u računalnom programu WinQSB. Slika 2. Aplikacijski modul Linear and Integer Programming Nakon pokretanja programa Linear and Integer Programming dolazimo do zaslona na kojem se nalazi alatna traka File i Help kao što je prikazano na slici 3. Slika 3. Alatna traka Linear and Integer Programminga 12
4.2.2. Izbornik File i njegove opcije Izbornik File sastoji se od niza naredbi te su jednake kod svih aplikacijskih modula. (Losonczi, 2013) Pokretanjem opcije File i opcije New Problem početak je rješavanja bilo kojeg problema koji se u ovom slučaju rješava pomoću linearnog i cjelobrojnog linearnog programiranja. Slika 4. Odabir opcije za rješavanje problema Nakon odabira opcije New Problem dobivamo tablicu koja je prikazana na slici 5, te unutar te tablice upisujemo podatke. Slika 5. Tablica za unos podataka 13
Ovisno o problemu upisujemo i biramo sljedeće opcije: - Problem Title odrediti naziv problema - Number of Variables odrediti ukupan broj nezavisnih varijabli - Number of Contraints odrediti ukupan broj uvjeta - Objective Criterion odabrati natpis Minimization ako je cilj problema minimizacija funkcije cilja - Objective Criterion odabrati natpis Maximization ako je cilj problema maksimizacija funkcije cilja - Data Entry Format - odabrati natpis Spreadsheet Matrix Form ako podatke želimo unijeti u obliku proširene tablice zapisane u matričnom obliku - Data Entry Format odabrati natpis Normal Model Form ako podatke želimo unijeti u onom obliku u kakvom su postavljeni u matematičkom modelu - Default Variable Type odabrati natpis Nonnegative conntinuous ako se u modelu pojavljuje jedna necjelobrojna varijabla (nenegativni decimalni brojevi, nenegativni iracionalni brojevi,...) - Default Variable Type odabrati natpis Nonnegative integer ako se u modelu pojavljuju isključivo nenegativni cijeli brojevi - Default Variable Type odabrati natpis Binary (0,1) ako se u modelu pojavljuju varijable odlučivanja (elementi skupa {0, 1}) - Default Variable Type odabrati natpis Unsigned/ unrestricted ako se u modelu pojavljuje varijabla čija vrijednost može biti strogo negativna ( pozitivni i negativni decimalni brojevi, iracionalni brojevi,... 14
Odabirom opcije OK dobivamo tablicu za unos koeficijenta prikazano na slici 6. Slika 6. Tablica za upis koeficijenata Nezavisne varijable označene oznakam X1, X2, X3 upisane su u retku Variable, dok oznake C1, C2, C3 označuju ukupan broj uvjeta. 4.2.3. Izbornik Edit i njegove opcije Izbornik Edit sastoji se od niza naredbi koji su karakteristične za sve module softwera dok se ostatak mijenja s obzirom na korišteni modul. (Losonczi, 2013) Izbornik Edit sastoji se od niza naredbi koje omogućuju kopiranje i brisanje odabranih područja, preimenovanje naziva problema, dodavanje sadržaja koji je prenesen na odabarano područje, uklanjanje odabranih područja i brisanju jedne od navedenih naredbi. 15
Slika 7. Izbornik Edit i njegove opcije 4.2.4. Izbornik Format Izbornik Format nije ključan izbornik za rješavanje problema. On sadrži naredbe za uređenje postojećih tablica i podataka. Na slici 8 prikazane su njegove naredbe, te svaka naredba ima svoju svrhu kao što je promjena format brojeva za tablicu, promjena fonta za proračunsku tablicu, poravnavanje stupaca ili redaka, promjena visine za odabrane redove i promjena širine za odabrane stupce. Slika 8. Izbornik Format i njegove opcije 16
4.2.5. Opcija Solve and Analyze Kao i svi gore navedeni izbornici, izbornik Solve and Analyze također se sastoji od niza naredi s određenim funkcijama. Pomoću naredbe Solve the Problem rješavamo problem i prikazujemo rezultat. Solve and Display Steps Network služi za rješavanje i postepeno prikazivanje mogućnosti, te Select Initial Solution Method uključuje opcije prikazivanja rezultata i analize rješenja. Slika 9. Solve and Analyze za rješavanje problema. Obavijest na slici 10 prikazuje pronađeno optimalno rješenje. 17
Slika 10. Obavijest da je rješenje nađeno Slika 11 prikazuje tablicu s optimalnim rješenjem. Slika 11. Tablica s optimalnim rješenjem Nazive nezavisnih varijabli upisuju se u prvom stupcu pod nazivom Decision Variable te su označene s X1, X2, X3. Drugi stupac odnosno Solution Value prikazuje optimalnu vrijednost nezavisnih varijabli koje su u ovom slučaju 0 jer u ulaznu tablicu nisu upisani podaci. Optimalnu vrijednost funkcije cilja koja može biti označena maksimizacijom ili minimizacijom upisuje se u Objective Function. Contsraint označuje oznake uvjeta koje su 18
upisane u tablicu ulaznih podataka i označene su s oznakama C1, C2, C3. U stupcu pored upisuju se vrijednosti koje se dobiju uvrštavanjem optimalnih vrijednosti nezavisnih varijabli uz svaki pojedini uvjet, dok se u stupcu Right Hand Side ispisuju se vrijednosti na desnoj strani svakog pojedinog uvjeta. Razliku između ta dva stupca, odnosno Left Hand Side i Right High Side označene su u Slack or Surples. Znak jednakosti vrijedi ako je razlika između njih jednaka 0. Znak označava postojenje viška, dok znak postojenje manjka. 4.2.6. Izbornik Utility i njegove opcije Izbornik Utility sadrži sljedeće naredbe Calculator kalkulator Windows sustava Clock sat Windows sustava Graph/Chart opći graf i grafički dizajn (Losonczi, 2013) Slika 12. Izborik Utility i njegove opcije 19
4.2.7. Izbornik WinQSB i Izbornik Help Izbornik WinQSB uključuje opciju za prebacivanje na drugi modul bez da se isključi trenutni modul WinQSB-a. Slika 13. Izbornik WinQSB i njegove opcije Izbornik Help sastoji se od: Contents prikaz glavne kategorije pomoći u datoteku za pomoć Search for Help on početak potrage za ključnim riječima u datoteku za pomoć How to Use Help za početak Windows uputa za pomoć Help on Current Windows za prikaz pomoći na trenutnom prozoru About the Program za prikaz kratkih informacija o programu (Losonczi, 2013) Slika 14. Izbornik Help i njegove opcije 20
5. KORIŠTENJE WinQSB-a U PRIMJENI LINEARNOG PROGRAMIRANJA U PROIZVODNJI U proizvodnim organizacijama proizvodnja je osnovna, najvažnija i najsloženija faza procesa reprodukcije. Za pripremu i sam proces proizvodnje vezani su određeni problemi među kojima su: Određivanje optimalnog proizvodnog programa Odabir optimalnih tehnoloških varijanti Određivanje najpovoljnije smjese sirovina Optimalno krojenje materijala Određivanje liste ukupno potrebnih količina pojednih proizvodnih čimbenika za slučaj poznate strukture i kvantitativnih pokazatelja proizvodnog programa Najpovoljnije opterećenje strojeva Određivanje optimalnog unutarnjeg transporta Najpovoljniji raspored radnika na radnim zadacima i sl. (Perić, n.d) Navedene probleme možemo riješiti na različite načine a najčešća metoda je metoda linearnog programiranja. WinQSB omogućuje što jednostavnije rješavanje tih problema. U ovom poglavalju prikazat ćemo način funkcioniranja WinQSB u primjeni proizvodnje putem kojeg rješavamo probleme linearnom metodom. 5.1. Linearno programiranje u proizvodnji Područje primjene linearnog programiranja je jako široko i obuhvaća proizvodnju, transport i distribuciju, marketing, telekomunikacije, financijsko ulaganje i planiranje, raspored zaposlenika,.(petkovićek, n.d.) U svim tim problemima koji se rješavaju linearnim programiranjem obično se radi o optimalnom korištenju ili alokaciji sredstava koja su raspoloživa samo u ograničenim količinama. (Šafarić, 2014) 21
Kod problema proizvodnje najbitnije je da prihodi ili profiti budu maksimalni uz određenu količinu i vrstu proizvoda uz najpovoljnije korištenje raspoloživih resursa. Osnovni zadatak planiranja optimalne proizvodnje primjenom linearnog programiranja sastoji se u određivanju količina raznih artikla koje jedno ili više udruženih poduzeća mogu proizvesti uz najpovoljnije korištenje raspoloživih ili novih resursa (radna snaga, tehnologija, sirovina i materijal) pod uvjetom da je osiguran plasman na tržištu cijelog asortimana proizvoda. (Petrić, 1979., p 112) 5.2. Primjeri linearnog programiranja u proizvodnji Primjer 1 Lokalni proizvođač domaćeg sirupa od višanja proizvodi dvije vrste i prodaje ih na lokalnoj tržnici. Pritom ostvaruje dobit od 5 kuna po litri prve vrste i 4 kune po litri druge vrste sirupa od višanja. Prva vrsta domaćeg sirupa od višanja zahtijeva 3 kilograma višanja, 4 kilograma šećera i 2 štapića cimeta. Druga vrsta domaćeg sirupa od višanja zahtijeva 4 kilograma višanja, 2 kilograma šećera i 1 štapić cimeta. Proizvođač posjeduje 20 kilograma višanja, 18 kilograma šećera i 25 štapića cimeta. Treba plan proizvodnje obiju vrsta tako da pripadna dobit bude makismalna. Proizvedeni obujam svake vrste sirupa mora biti cjelokupan. (Knežević, 2013) Max Z = 5x1 + 4x2 3x1 + 4x2 20 4x1 + 2x2 18 2x1 + x2 25 x1, x2 0 Prvi korak je odabir softverskog programa WinQSB kako bi se što efikasnije i brže riješio problem Primjera 1. Sljedeći korak je odabir modula Linear and Integer Programming. Kako bi počeli s rješavanjem, potrebno je izabrati opciju File te opciju New Problem. 22
Slika 15. Tablica za unos podataka. U dobivenu tablicu upisujemo sljedeće podatke: naziv problema (Primjer 1) broj varijabli (2) broj ograničenja (3) Nakon toga kliknemo na kružiće pored sljedećih natpisa: Maximization ( maksimizacija dobiti) Nonnegative integer (nenegativni cijeli brojevi) Spreadsheet Matrix Form (prikaz u matričnom obliku) 23
Slika 16. Unos podataka za Primjer 1 Nakon odabira opcije OK prikazuje se tablica za upis koeficijenata uz varijable iz modela. Tablica je prikazana na slici 17. Slika 17. Tablica za upis koeficijenata iz Primjera 1 24
Koeficijente uz varijable funkcije cilja i uvjete potrebno je unijeti u odgovarajuću tablicu. U opciju Maximize unose se redom koeficijenti varijable funkcije cilja: 5, 4. U redak C1 unose se koeficijenti uz varijable X1, X2 u prvom uvjetu: 3, 4, 20. U redak C2 unose se koeficijenti uz varijable X1, X2 u drugom uvjetu: 4, 2, 18. U redak C3 unose se koeficijenti uz varijable X1, X2 u trećem uvjetu: 2, 1, 25. Slika 18. Tablica s koeficijentima funkcije cilja i uvjeta u Primjeru 1 Klikom na izbornik Solve and Analyze i odabirom opcije Solve the Problem dobiva se tablica s rješenjima prikazana na slici 19. te se iz nje treba očitati optimalno rješenje ovog problema, te optimalnu vrijednost funkcije cilja. 25
Slika 19. Izlazna tablica Primjera 1 Optimalno rješenje ovog problema je X1= 4 i X2= 1. Optimalna vrijednost cilja iznosi 24. Treba proizvesti 4 litre prve vrste domaćeg soka od višanja i 1 litru druge vrste domaćeg soka od višanja. Optimalna ukupna vrijednost iznosu 24 kune. Grafički prikaz Primjera 1 Kako bi dobili odgovarajući graf potrebno je kliknuti na ikonicu prikazanu na slici 20. Slika 20. Ikonica za grafički prikaz 26
Izbornik na slici 21 prikazuje mogućnost odabira koja varijabla može biti na osi x, a koja na osi y. Slika 21. Odabir varijabli na osi x i osi y Varijabla X1 je na vodoravnoj osi (horiznotal axis), dok varijabla X2 na vertikalnoj osi (vertical axis). Klikom na OK dobijemo željeni grafički prikaz. Slika 22. Rezultat grafa Primjera 1 27
Optimalno rješenje ovog problema je X1= 3,20 i X2= 2,60. Optimalna vrijednost cilja iznosi 26,40. Treba proizvesti 3,20 litre prve vrste domaćeg soka od višanja i 2,60 litre druge vrste domaćeg soka od višanja. Optimalna ukupna vrijednost iznosu 26,40 kune. U grafičkoj metodi vrijednosti varijabli su realni brojevi. Iz tog razloga rezultat je različit od rezultata dobivenim opcijom Solve the Problem. Rezultati dobiveni opcijom Solve the Problem su cijeli brojevi, dok rezultati grafičkom metodom su decimalni brojevi. Optimalna dobit prikazana grafičkom metodom veća je za 10% u odnosu na prethodno rješenje. Primjer 2 Cedevita d.o.o. proizvodi proizvod A (200 g bočice Cedevita naranče), Proizovd B (flaširana voda Kala 0,5l) i Proizvod C (Rondo rolica bombona). Za 1000 komada proizvoda A potrebno je 3.1 sati rada radnika i 0.24 sata rada strojeva u Pogonu 1, za proizvod B potrebno je 0.6 sati rada radnika i 0.08 sata rada strojeva u Pogonu 2 i za proizvod C potrebo je 1.9 sata rada radnika i 0.24 sata rada strojeva u Pogonu 1. Proizvod A i C proizvode se u Pogonu 1 koji se sastoji od dvije proizvodne linije za vitaminski napitak i bombone od kojih svaka dnevno može raditi 16h, dok proizvod B se proizvodi u Pogonu 2 koji se sastoji od jednog stroja koji dnevno može raditi 8 sati. U Pogonu 1 se dnevno radi u 2 smjene od po 8 sati, a u Pogonu 2 se zbog ograničenja rada stroja radi u jednoj smjeni po 8 sati. Godišnje se proizvede 3 234 000 komada proizvoda A, 757 000 komada proizvoda B i 2 396 000 komada proizvoda C. Dobit po jedinici proizvoda A, B, C iznosi 7.49 kuna, 2.69 kuna i 1.79 kuna. Dakle dobit za 1 000 jedinica proizvoda A,B i C iznosi 7490 kuna, 2690kuna i 1790 kuna. Kojom će se kombinacijom proizvodnje postići maksimalna dobit? (Šafarić, 2014) 28
Tablica 1. Primjer primjene linearnog programiranja u proizvodnji Cedevite IZRADA PROIZVODI KAPACITETI(h) A B C Rad radnika 3.1 0.6 1.9 8 Rad pogona 1 0.24 0 0.24 16 Rad pogona 2 0 0.08 0 8 Dobit po 1000 proizvoda 7 490 2 690 1 790 Izvor: http://e-lib.efst.hr/2014/1136356.pdf Max (7490x1 + 2690x2 + 1790x3) 3.1x1 + 0.6x2 + 1.9x3 8 0.24x1 + 0.24x3 16 0.08x2 8 x1, x2, x3 0 Pokretanjem aplikacijskog modula Linear and Integer Programming problem Primjera 2 biti će riješen linearnim programiranjem. Kako bi se počelo s rješavanjem tog problema potrebno je kliknuti opciju File te opciju New Problem. Slika 23. Tablica za unos podataka 29
U dobivenu tablicu upisujemo sljedeće podatke: naziv problema (Primjer 2) broj varijabli (3) broj ograničenja (3) Nakon toga kliknemo na kružiće pored sljedećih natpisa: Maximization (maksimizacija dobiti) Nonnegative continuous (nenegativni decimalni brojevi) Spreadsheet Matrix Form (prikaz u matričnom obliku) Slika 24. Unos podataka za Primjer 2 Nakon odabira opcije OK prikazuje se tablica za upis koeficijenata uz vaijable iz modela. Tablica je prikazana na slici 25. 30
Slika 25. Tablica za upis koeficijenata iz Primjera 2 U opciju Maximize unose se redom koeficijenti varijable funkcije cilja: 7 490, 2 690, 1 790. U redak C1 unose se koeficijenti uz varijable X1, X2, X3 u prvom uvjetu: 3.1, 0.6, 1.9, 8. U redak C2 unose se koeficijenti uz varijable X1, X2, X3 u drugom uvjetu: 0.24, 0, 0.24, 16. U redak C3 unose se koeficijenti uz varijable X1, X2, X3 u trećem uvjetu: 0, 0.08, 0, 8. Slika 26. Tablica s koeficijentima funkcije cilja i uvjeta u Primjeru 2 31
Klikom na izbornik Solve and Analyze i odabirom opcije Solve the Problem dobiva se tablica s rješenjima prikazana na slici 27. te se iz nje treba očitati optimalno rješenje ovog problema, te optimalnu vrijednost funkcije cilja. Optimalne vrijednosti X1, X2 i X3 vrijednost funcije cilja iz retka Objective Function (Max.)=. očitavamo iz stupca Solution Value, a optimalnu Slika 27. Izlazna tablica za Primjer 2 Optimalno rješenje ovog problema je za X1= 0.0645, za X2= 1,te za X3= 0, dok je optimalna vrijednost funkcije cilja 3 173.2260. Dakle za proizvod A treba 0.0645 sati, za proizvod B 1 sat i za model C 0 sati proizvodnje. Optimalna dobit iznosi 3 173.2260 novčanih jedinica. 32
Primjer 3 Poduzeće Faisa proizvodi 4 tipa futrola za naočale. Proces stvaranja tih futrola sastoji se od šivanja, ljepljenja i pakiranja. Za futrolu Tipa 1 potrebno je 10 minuta za šivanje, 4 minute za ljepljenje i 1 minuta za pakiranje. Dobit futrole Tipa 1 je 3.5 kuna. Za futrolu Tipa 2 potrebno je 12 minuta šivanja, 7 minuta ljepljenja i 1 minuta pakiranja. Dobit te futrole je 4 kune. Za futrolu Tipa 3 potrebno je 10 minuta za šivanje, 8 za ljepljenje i 2 minute za pakiranje, te njezina dobit je 4,5 kuna. Za futrolu Tipa 4 potrebno je 11 minuta šivanja, 3 ljepljenja i 2 minute pakiranja. Dobit futrole Tipa 4 je 4, 5 kuna. Vlasnik poduzeća procjenjuje da godišnje na raspolaganju ima 200 000 minuta za šivanje, 80000 za ljepljenje te 10000 za pakiranje. Koji plan proizvodnje svih vrsta futrola može ostvariti maksimalnu dobit? Max (13.5x1 + 4x2 + 4.5x3 + 4.5x4) 10x1 + 12x2 + 10x3+ 11x4 200000 4x1 + 7x2 + 8x3+ 3x4 80000 x1 + x2 + 2x3+ 2x4 10000 x1, x2, x3, X4 0 Pokretanjem aplikacijskog modula Linear and Integer Programming problem Primjera 3 biti će riješen linearnim programiranjem. Kako bi se počelo s rješavanjem tog problema potrebno je kliknuti opciju File te opciju New Problem. Slika 28. Tablica za unos podataka 33
U dobivenu tablicu upisujemo sljedeće podatke: naziv problema (Primjer 3) broj varijabli (4) broj ograničenja (3) Nakon toga kliknemo na kružiće pored sljedećih natpisa: Maximization (maksimizacija dobiti) Nonnegative integer (nenegativni decimalni brojevi) Spreadsheet Matrix Form ( prikaza u matričnom obliku) Slika 29. Unos podataka za Primjer 3 Nakon odabira opcije OK prikazuje se tablica za upis koeficijenata uz varijable iz modela. Tablica je prikazana na slici 30. 34
Slika 30. Tablica za upis koeficijenata iz Primjera 3 U redak Maximize unose se koeficijenti varijable funkcije cilja: 3.5, 4, 4.5, 4.5. U redak C1 unose se koeficijenti uz varijable X1, X2, X3, X4 u prvom uvjetu: 10, 12, 10, 11, 200 000. U redak C2 unose se koeficijenti uz varijable X1, X2, X3, X4 u drugom uvjetu: 4, 7, 8, 3, 80 000. U redak C3 unose se koeficijenti uz varijable X1, X2, X3 u trećem uvjetu: 1, 1, 2, 2, 10 000. 35
Slika 31. Tablica s koeficijentima funkcije cilja i uvjeta u Primjeru 3 Klikom na izbornik Solve and Analyze i odabirom opcije Solve the Problem dobiva se tablica s rješenjima prikazana na slici 32 te se iz nje treba očitati optimalno rješenje ovog problema, te optimalnu vrijednost funkcije cilja. Optimalne vrijednosti X1, X2, X3, X4 prikazane su u stupcu Solution Value, a optimalna vrijednost funcije cilja u retku Objective Function (Max.)=. Slika 32. Izlazna tablica za Primjer 3 36
Optimalno rješenje ovog problema je za X1= 0, za X2=10 000, X3= 0 te za X4=0, dok je optimalna vrijednost funkcije cilja 40 000. Dakle treba proizvesti samo 10 000 komada futrole Tipa 2, dok futrole Tipa 1, Tipa 3, Tipa 4 ne treba proizvesti. Optimalna ukupna dobit iznosi 40 000 novčanih jedinica. Primjer 4 Poduzeće Dinokop proizvodi kemijske proizvode. U proizvodnji koriste se 3 vrste sirovina za dobivanje 2 različita tipa proizvoda. U planiranom razdoblju raspoloživost sirovine S1 je 17 kilograma, sirovine S2 8 kilograma i sirovine S3 19 kilograma. Jedan kilogram proizvoda P1 dobiva se od 0,7 kilograma sirovine S1 i 0,4 kilograma sirovine S3. Jedan kilogram proizvoda P2 dobiva se od 0,8 kilograma sirovine S1, 0,2 kilograma sirovine S2 i 0,2 kilograma sirovine S3. Jedan kilogram proizvoda P1 prodaje se po cijeni od 200 kuna, a proizvoda P2 u iznosu od 300 kuna. Proizvodnja jednog kilograma P1 zahtijeva 180 kuna varijabilnih troškova, dok proizvodnja jednog kilograma P2 zahtijeva 250 kuna. Koliko treba proizvesti proizvod P1 i proizvod P2 ako je cilj uz raspoložive količine sirovina minimizirati ukupne troškove proizvodnje? Tablica 2. Osnovni podaci Primjera 4 P1 P2 OGRANIČENJA S1 0,7 0,8 17 S2 0,2 8 S3 0,4 0,2 9 CIJENA 200 300 VARIJABILNI 180 250 TROŠKAK RAZLIKA 20 50 (CIJENA VT) Izvor: Izrada autora 37
Min (20x1 + 50x2) 0,7x1 + 0,8x2 17 0,2x2 8 0,4x1 + 0,3x2 19 x1, x2 0 Pokretanjem aplikacijskog modula Linear and Integer Programming problem Primjera 4 biti će riješen linearnim programiranjem. Kako bi se počelo s rješavanjem tog problema potrebno je kliknuti opciju File te opciju New Problem. Slika 33. Tablica za unos podataka. U dobivenu tablicu upisujemo sljedeće podatke: naziv problema (Primjer 4) broj varijabli (2) broj ograničenja (3) 38
Nakon toga kliknemo na kružiće pored sljedećih natpisa: Minimization (minimizacija troškova) Nonnegative integer (nenegativni decimalni brojevi) Spreadsheet Matrix Form ( prikaza u matričnom obliku) Slika 34. Unos podataka za Primjer 4 Nakon odabira opcije OK prikazuje se tablica za upis koeficijenata uz varijable iz modela. Tablica je prikazana na slici 35. Slika 35. Tablica za upis koeficijenata iz Primjera 4 U redak Minimize unose se koeficijenti varijable funkcije cilja: 20, 50. 39
U redak C1 unose se koeficijenti uz varijable X1, X2 u prvom uvjetu: 0.7, 0.8, 17. U redak C2 unose se koeficijenti uz varijablu X2 u drugom uvjetu: 0.2, 8. U redak C3 unose se koeficijenti uz varijable X1, X2 u trećem uvjetu: 0.4, 0.2, 19. Slika 36. Tablica s koeficijentima funkcije cilja i uvjeta u Primjeru 4 Klikom na izbornik Solve and Analyze i odabirom opcije Solve the Problem dobiva se tablica s rješenjima prikazana na slici 37 te se iz nje treba očitati optimalno rješenje ovog problema i optimalnu vrijednost funkcije cilja. Optimalne vrijednosti X1, X2 prikazane su u stupcu Solution Value, dok je optimalna vrijednost funcije cilja prikazana u retku Objective Function (Max.)=. 40
Slika 37. Izlazna tablica Primjera 4 Optimalno rješenje ovog problema je za X1= 27.5, za X2=40, dok je optimalna vrijednost funkcije cilja 2 550. Proizvodnja je optimalna ako ima 27.5 proizvoda P1 i 40 porizvoda P2. Optimalna proizvodnja stvara se pri minimalnom trošku od 2 550 kuna. Primjer 5 Tvornica mobitela Mobil d.d. može napraviti jedan mobitel Sony u 3 dana, mobitel Motorola u 4 dana dok mobitel Nokia u 5 dana. Mobitel Sony prosječno troši 4.7 Watta na sat, mobitel Motorola 5.7 Watta struje i mobitel Nokia 6.1 Watta struje na sat. Propisani prosjek potrošnje je 4.5 Watta na sat. Mobil ostvaruje gubitak od 500 novčanih jedinica na svakom Sony-u, te dobit od 1 000 i 3 000 za Motorolu i Nokiu. Koliku maksimalnu dobit može Mobil ostvariti proizvodnjom svih 3 mobitela u najviše 300 jedinica vremena uz uvjet da su varijable X1, X2, X3 nenegativni cjeli brojevi? 41
Max (- 500x1 + 1000x2 + 3000x3) 3x1 + 4x2 + 5x3 300 4.5 4.7x1 + 5.7x2 + 6.1x3 4.5 (x1 + x2 + x3) 4.7x1 + 5.7x2 + 6.1x3 4.5x1 + 4.5x2 + 4.5x3 4.7x1 + 5.7x2 + 6.1x3-4.5x1-4.5x2-4.5x3 0-0.2x1 + 1.3x2 + 1.6x3 0 /( - ) 5x1-3x2-4x3 0 x1,x2,x3 ɛ Pokretanjem aplikacijskog modula Linear and Integer Programming problem Primjera 5 biti će riješen linearnim programiranjem. Kako bi se počelo s rješavanjem tog problema potrebno je kliknuti opciju File te opciju New Problem. Slika 38. Tablica za unos podataka 42
U dobivenu tablicu upisujemo sljedeće podatke: naziv problema (Primjer 5) broj varijabli (3) broj ograničenja (2) Nakon toga kliknemo na kružiće pored sljedećih natpisa: Maximization ( maksimizacija dobiti) Nonnegative integer (nenegativni cijeli brojevi) Spreadsheet Matrix Form (prikaz u matričnom obliku) Slika 39 : Unos podataka za Primjer 5 Nakon odabira opcije OK prikazuje se tablica za upis koeficijenata uz varijable iz modela. Tablica je prikazana na slici 40. 43
Slika 40. Tablica za upis koeficijenata iz Primjera 5 Koeficijente uz varijable funkcije cilja i uvjete potrebno je unijeti u odgovarajuću tablicu. U opciju Maximize unose se redom koeficijenti varijable funkcije cilja: - 500, 1000, 3000. U redak C1 unose se koeficijenti uz varijable X1, X2 u prvom uvjetu: 3, 4, 5, 300. U redak C2 unose se koeficijenti uz varijable X1, X2 u drugom uvjetu: 5, -3, -4, 0. Slika 41. Tablica s koeficijentima funkcije cilja i uvjeta u Primjeru 5 44
Klikom na izbornik Solve and Analyze i odabirom opcije Solve the Problem dobiva se tablica s rješenjima prikazana na slici 42. te se iz nje treba očitati optimalno rješenje ovog problema, te optimalnu vrijednost funkcije cilja. Slika 42. Izlazna tablica Primjera 5 Optimalno rješenje ovog problema je X1= 32, X2= 0 i X3= 40. Optimalna vrijednost cilja iznosi 104 000. Dakle treba proizvesti 32 mobitela marke Sony i 40 mobitela marke Nokia. Mobitel marke Motorola ne treba proizvesti. Optimalna ukupna dobit iznosi 104 000 novčanih jedinica. Primjer 6 Primjer 5 također možemo riješiti bez pretpostavki o cjelobrojnosti broja proizvedenih mobitela. Primjer 6 je jednako koncipiran kao i Primjer 5 uz jedinu razliku da varijable X1, X2, X3 mogu biti decimalni brojevi. Usporedimo rješenje Primjera 5 i Primjera 6. Primjer 5 pohranili smo tako da u izborniku File odabremo opciju Save Problem. 45
Slika 43. Opcija Save the Problem U izborniku File nalazi se opcija Load the Program koja nam omogućuje mijenjanje tipa varijabli. Slika 44. Opcija Load the Program Kako bi dobili varijablu Nonegative Continuous umjesto Nonnegative integer potrebno je dvostruko kliknuti na ćeliju Varijable Type. 46
Slika 45. Tablica s koeficijentima funkcije cilja i uvjeta u Primjeru 6 Klikom na izbornik Solve and Analyze i odabirom opcije Solve the Problem dobiva se tablica s rješenjima prikazana na slici 46. te se iz nje treba očitati optimalno rješenje ovog problema, te optimalnu vrijednost funkcije cilja. Slika 46. Izlazna tablica Primjera 6 47
Optimalno rješenje ovog problema je X1= 32.4324 X2= 0 i X3= 40.5405 Optimalna vrijednost cilja iznosi 105 405.40. Optimalna dobit u Primjeru 6 veća je za 1.35%. U slučaju zaokruživanja varijabli X1, X2, X3 na cijele brojeve ne dobijemo jednako rješenje kao u Primjeru 5. Razlika u rješenjima je također u stupcu Slack or Surplus. U Primjeru 6 vrijednost je jednaka 0, jer je znak nejednakosti moguće zamijeniti u svakom uvjetu sa znakom jednakosti a da se rješenje pritom ne promijeni. U Primjeru 5 vrijednost je jednaka 4 što znači da takvu zamjenu je nemoguće napraviti. 48
6. ZAKLJUČAK Linearno programiranje od sredine prošlog stoljeća predstavlja standardni pristup koji je uštedio stotine tisuća, pa i milijuna kuna velikom broju poduzeća i to ne samo velikih. Njegova primjena se sve više širi i na druga područja izvan okvira ekonomije. Da bismo dobili predodžbu o korisnosti i upotrebljivosti spomenute metode dovoljno je reći da se u današnje vrijeme približno 65% svih svjetskih znanstvenih proračuna na računalima vezuje u manjoj ili većoj mjeri za linearno programiranje. Linearno programiranje je od svih metoda matematičkog optimiranja najviše izraženo u proizvodnji i na tom području postoje mnoge modifikacije i tehnike. Zbog suvremenih metoda primjena linearnog programiranja u proizvodnji obogaćuje se novim tehnologijama i tehnikama u rješavanju problema. Zahvaljujući tim suvremenim metodama i sve većem razvoju moderne tehnologije nastao je softverski program WinQSB. WinQSB doprinosi razvoju kvanitativnih metoda u menadžmentu i pomaže u rješavanju problema na području operacijskih istraživanja. Primjena WinQSB značajna je za svako poduzeće jer smanjuje troškove, olakšava administrativne poslove, povećava produktivnost i odluke poduzetnika čini bržim, djelotvornijim i uspješnijim. Nažalost, stručnjaci tvrde da WinQSB nije doživio očekivani procvat. Uvođenje takvog sustava dovodi do organizacijskih promjena u poduzeća i zahtijeva promjenu u postojećem radu. Također, WinQSB nije rašireni program, rijetko ga se koristi zbog nedovoljne informiranosti s toga poduzetnici smtaraju taj program nepovjerljivim. U ovom radu riješeni su primjeri koji nastoje dati što detaljniji prikaz korištenja WinQSB u rješavanju problema linearnog programiranja vezanim uz probleme planirane proizvodnje. Svrha ovog rada je prikazati korisnost, jednostavnost i pouzdanost WinQSB bez obzira na smanjenu učestalost njegovog korištenja u praksi. 49
LITERATURA 1) KNJIGE 1. Babić, Z 2005, Linearno programiranje, Sveučilište u Splitu, Split.2. 2. Brajdić, I 2006, Matematički modeli i metode poslovnog odlučivanja, Fakultet za turistički i hoteljerski menadžment u Opatiji, Opatija.3. 3. Barković, D 2002, Operacijska istraživanja, Sveučilište Jurja Strossmayera u Osijeku, Osijek. 4. Chang, L 1998, WinQSB Decision Suport Softwere for MS/OM, John Wiley & Sons, New York. 5. Petrić, J 1979, Operaciona istraživanja, Suvremena administracija, Beograd. 6. Stanojević, R 1966, Linearno programiranje, Institut za ekonomiku industrije, Beograd. 2) ČLANCI 1. Bastijanović, M, Mataija, M & Rakamarić Šegić, M, 2013, Matematičke metode u funkciji analize i ocjene poslovanja, Zbornik Veleučilišta u Rijeci, Vol 1, no. 1, pp 200-227. 3) INTERNETSKI IZVORI 1. Galetić, F 2010, Modeliranje vježbe na računalima, Ekonomski fakultet u Zagrebu, Zagreb, pogledano 24 ožujka 2015, <http://web.efzg.hr/dok/epo/fgaletic//02vjezbe-racunala.pdf > 50
3. Losonczi, L 2013, Applications of WinQSB, pogledano 20 ožujka 2015, http://riemann.math.klte.hu/~losi/jegyzet/eco/winqsbappl.pdf 4. Magdić, D 2011, Osnovne primjene metode linearnog programiranja, Sveučilište Josipa Jurja Strossmayera u Osijeku, Osijek, pogledano 16 travnja 2015, <http://zpi.ptfos.hr/modeli/images/files/skripte/osnove%20primjene%20metode% 20linearnog%20programiranja_dio%20I.pdf> 6. Perić, T n.d., Linearni model proizvodnje, pogledano 11 veljače 2015 <http://web.efzg.hr/dok/mat/svlah/linearni%20model%20proizvodnje.pdf> 7. Petkovićek, D n.d., Linearno programiranje, pogledano 16 travnja 2015, 2. Kovačić, M 2013, Primjena linearnog programiranja u planiranju porizvodnje, diplomski rad, Veleučilište u Požegi, Požega, pogledano 11 veljače 2015 <http://bkovacic.weebly.com/uploads/7/4/0/7/7407552/diplomski_rad_- _monika_knezevic.pdf> 5. Palian, M n.d., Problem linearnog programiranja pomoću simpleks metode i WinQSB programa, pogledano 27 ožujka 2015, <http://www.scribd.com/doc/57730323/problem-linearnog-programiranjasimpleks-metoda-i-winqsb> <http://matematika.fkit.hr/staro/izborna/referati/daniela%20petkovicek%20- %20Linearno%20programiranje.pdf> 8. Radić, J 2012, Linearno programiranje i višekriterijalno odlučivanje u proizvodnji tvornica stočne hrane, diplomski rad, Veleučilište u Požegi, Požega, pogledano 28 siječnja 2015, <http://e-lib.efst.hr/2012/2092638.pdf> 9. Scitovski, R, Vazler, I & Briš, M 2013, Kvantitativne metode za poslovno odlučivanje, pogledano 29 siječnja 2015, <https://www.mathos.hr/~scitowsk/kvantitativne/materijali/lp.pdf > 51
10. Šafarić, B 2014, Primjena linearnog programiranja u porizvodnji, diplomski rad, Sveučilište u Splitu, Split, pogledano 14 veljače 2015, <http://elib.efst.hr/2014/1136356.pdf> 52
POPIS SLIKA Slika 1. Aplikacijski modul WinQSB-a Slika 2. Aplikacijski modul Linear and Integer Programming Slika 3. Alatna traka Linear and Integer Programminga Slika 4. Odabir opcije za rješavanje problema Slika 5. Tablica za unos podataka u matematičkom obliku Slika 6. Tablica za upis koeficijenata Slika 7. Izbornik Edit i njegove opcije Slika 8. Izbornik Format i njegove opcije Slika 9. Solve and Analyze za rješavanje problema Slika 10. Obavijest da je rješenje nađeno Slika 11. Tablica s optimalnim rješenjem Slika 12. Izbornik Utility i njegove opcije Slika 13. Izbornik WinQSB i njegove opcije Slika 14. Izbornik Help i njegove opcije Slika 15. Tablica za unos podataka Slika 16. Unos podataka za Primjer 1 Slika 17. Tablica za upis koeficijenata iz Primjera 1 Slika 18. Tablica s koeficijentima funkcije cilja i uvjeta u Primjeru 1 Slika 19. Izlazna tablica Primjera 1 Slika 20. Ikonica za grafički prikaz Slika 21. Odabir varijabli na os x i os y Slika 22. Rezultat grafa Primjera 1 Slika 23. Tablica za unos podataka Slika 24. Unos podataka za Primjer 2 Slika 25. Tablica za upis koeficijenata iz Primjera 2 Slika 26. Tablica s koeficijentima funkcije cilja i uvjeta u Primjeru 2 Slika 27. Izlazna tablica Primjera 1 Slika 28. Tablica za unos podataka Slika 29. Unos podataka za Primjer 3 Slika 30. Tablica za upis koeficijenata iz Primjera 3 Slika 31. Tablica s koeficijentima funkcije cilja i uvjeta u Primjeru 3 Slika 32. Izlazna tablica za Primjera 3 53
Slika 33. Tablica za unos podataka Slika 34. Unos podataka za Primjer 4 Slika 35. Tablica za upis koeficijenata iz Primjera 4 Slika 36. Tablica s koeficijentima funkcije cilja i uvjeta u Primjeru 4 Slika 37. Izlazna tablica za Primjera 4 Slika 38. Tablica za unos podataka Slika 39. Unos podataka za Primjer 5 Slika 40. Tablica za upis koeficijenata iz Primjera 5 Slika 41. Tablica s koeficijentima funkcije cilja i uvjeta u Primjeru 5 Slika 42. Izlazna tablica Primjera 5 Slika 43. Opcija Save the Problem Slika 44. Opcija Load the Program Slika 45. Tablica s koeficijentima funkcije cilja i uvjeta u Primjeru 6 Slika 46. Izlazna tablica Primjera 6 POPIS TABLICA Tablica 1. Primjer primjene linearnog programiranja u proizvodnji Cedevite Tablica 2. Osnovni podaci Primjera 5 54
55