POTEŠKOĆE I DILEME SA KOJIMA SE UČITELJI SUSREĆU PRILIKOM UVOĐENJA POJMA PRAVE U NIŽIM RAZREDIMA OSNOVNE ŠKOLE

ISSN 1986 518X ISTRAŽIVANJE MATEMATIČKOG OBRAZOVANJA Vol. V (2013), Broj 8, 33 43 Originalni istraživački članak POTEŠKOĆE I DILEME SA KOJIMA SE UČITELJI SUSREĆU PRILIKOM UVOĐENJA POJMA PRAVE U NIŽIM RAZREDIMA OSNOVNE ŠKOLE Zlatan 1 Sažetak: U radu su pretstavljene teškoće i dileme koje se javljaju kod učenika prilikom uvođenja pojma prave, te procjena znanja učenika iz ove oblasti u nišim razredima osnovne škole. Takođe se govori i o tome koja to nastavna sredstva nastavnici koriste u svome radu kako bi objasnili pojam prave odnosno koja to predlažu nastavna sredstva za prevazilaženje ovog problema. Iako je istraživanje sprovedeno u dvije osnovne škole, čini se da bi se ova studija mogla odnositi na širu populaciju. Ključne riječi i fraze: pojam prave, epistemološka prepreka, osobine fenomena beskonačnosti i neograničenosti ZDM (2010): C30, D40, E20, G10 UVOD Decembra mjeseca 2012. godine izvršeno je istraživanje u dvije osnovne škole na području Bijeljine na temu Poteškoće i dileme sa kojima se učitelji susreću prilikom uvođenja pojma prave u nižim razredima osnovne škole. Istraživanje se sastojalo iz dva dijela, prvi dio se odnosio na učenike tj. na njihove odgovore na postavljene zadatke, a drugi dio istraživanja se odnosio na mišljenje nastavnika na ovu temu. Naime, pojam prave se uvodi na časovima matematike u trećem razredu osnovne škole, a obrađuje se ui razredima srednje škole. Dakle, pojam prave se uvodi na intuitivnom nivou tj. na nivou 0 prema van Hielovoj klasifikaciji. Ovo istraživanje je imalo dvije osnovne namjene. Prva namjena je bila razumjeti prirodu geometrijskog mišljenja, podučavanja i učenja kod djeteta prilikom usvajanja pojma prave i čuti mišljenje nastavnika o teškoćama i dilemama koje se kod učenika javljaju kao i prijedloge nastavnika kako bi se te teškoće i dileme otklonile ili koliko god je to moguće smanjile, a druga namjena je bila primjena, aplikativnost i odnosila se na iskorišćavanje tih saznanja na poboljšanje podučavanja nastave geometrije prilikom obrade pojma prave. U sprovedenom istraživanju od učenika se tražilo da daju svoje odgovore na sledeća postavljena pitanja: (a) Nacrtaj jednu krivu i jednu pravu liniju? (b) Na slici su prikazane tri prave linije, obilježi ih tako da jedna linija bude prava, druga duž, a treća poluprava. (c) Iskaži riječima šta je to prava, a šta duž, a šta poluprava. Komentari uz pitanja: (a) Krive i prave (ravne) linije se uvode u drugom razredu osnovne škole na intuitivnom nivou ('nivou 0 prema van Hielovoj klasifikaciji) tj. ne definišu se. Dakle, pojam prave (ravne) i krive linije prethodi pojmu tačke koja se uvodi kao presjek linija. Zatim se uvodi i pojam duži kao dio prave linije između dvije tačke na toj liniji, pri tome podrazumjevamo da nastavnik pokaže učenicima model duži (na različite načine, putem različitih nastavnih sredstava). Pojmovi koji prethode pojmu duži su pojam linije, zatim tačke i relacija između gdje pod tačkama podrazumjevamo granične tačke na liniji (koje 1 Pedagoški fakultet Bijeljina, 76300 Bijeljina, Semberskih ratara bb, Bosna i Hercegovina, e-mail: zlatanmarkovic@hotmail.com

sadrže u sebi potrebu apriornog prihvatanja). Na osnovu ovoga možemo zaključiti da ovako sagledavanje pojma duži, metodološki gledano ima mnogo propusta naročito kada se govori o relaciji između pri analiziranju na nivou 1. 2 Poslije uvođenja pojma duži slijedi upoređivanje po dužini. (b) Pojam prave se uvodi na časovima matematike u trećem razredu osnovne škole, takođe na intuitivnom nivou i to tako što pravu liniju kraće nazivamo prava i vrši se njeno poređenje sa pojmom duži, gdje se znanja o pojmu duži iz drugog razreda proširuju, a duž se shvata kao dio prave između dvije istaknute tačke koje čine krajeve duži. Učenici uče kako se obilježava prava, a kako duž. (c) U četvrtom razredu učenici iz oblasti Tačka. Poluprava, prava i ravan. proširuju svoja znanja o pravoj i uvode jedan novi pojam poluprava. Ovaj pojam se uvodi na nivou 1 prema van Hielovoj klasifikaciji pomoću prave p i tačke O na njoj, gdje sve tačke prave p koje se nalaze sa jedne (ili druge) strane tačke O uključujući i samu tačku O obrazuju polupravu, ili bolje rečeno skup svih tačaka prave p sa iste strane tačke O, uključujući i nju, obrazuju polupravu, gdje se na istoj pravoj p mogu uočiti dvije poluprave sa početnom tačkom O, koje se obilježavaju sa Op 1 i Op 2. Dakle, pojmovi koji prethode pojmu poluprave su pojam prave p i tačka O. Svoja znanja o pojmu prave učenici u četvrtom razredu proširuju pomoću duži AB koja se neograničeno proširuje preko krajnih tačaka A i B. 2. TEORETSKA ZASNOVANOST Postoje brojna istraživanja u raznim zemljam koja su se bavila procjenom učeničkih znanja iz oblasti geometrije. Većina istraživača je koristila van Hielovu klasifikaciju kako bi odredila sposobnosti razumjevanja geometrije. U ovoj oblasti sam naišao na slična istraživanja, na primjer Magdalene Kratka ( 11 ) koja je sprovela istraživanje sa učenicima starosti od 9 do 19 godina s ciljem da razumije kako učenici shvataju pojam prave odnosno beskonačno duge linije, pojam tačke i njihov odnos. Istakao bih i članak 21 profesora D.A.Romano i M.Vinčića na temu šta je duž, kao i radove J. Monagham ( 16 ), u djelu Youngs peoples ideas of infinity (Ideje mladih ljudi o beskonačnosti), i radove R.E.Nunes ( 17 ) u djelu Big and small infinities: Psychocognitive aspects (Velike i male beskonačnosti: Psihokognitivni aspekti). Kada je u pitanju sam pojam prave i usvajanje tog pojma u našim školama, čini se da su znanja iz te oblasti kod većine učenika na niskom nivou. Pored ovoga, napomenuo bih i nešto o poznavanju početnog učeničkog znanja iz geometrije. Jedan od bitnih stubova za istraživanje u matematici jeste da se postigne bolje razumijevanje učeničkih sposobnosti u učionici. Ovakvo gledište su razvili Karlo Marehini, Paola Vighi i Kristos Markopoulos koji su radili sa mlađim učenicima (od pet do osam godina). Oni slijede slične prilaze koji se bave ovim pitanjem: oni su dali otvorene i nedefinisane zadatke da shvate početne pojmove kod njihovih učenika. Nadahnuti istraživanjem Ewe Swobodaa ([23], E.Swoboda, 2005), davajući pločice učenicima Marehini i Vighi zadali su im da izrade od ovih pločica pod. Autori su se prepirali da je to vjerovatno najbolji način da se mladi ljudi uvedu u zadatak i da se dobije informacija o njihovom početnom znanju. Njihovi rezultati pokazuju velike razlike u predznanju učenika. 2.1. Raznovrsnost pristupa geometriji Istorija geometrije ima različite, ponegdje kontradiktorne trendove koji se, u jednu ruku odnose na realnost i situacije iz realnog života i odgovarajuće aplikacije u budućnosti, i u drugu ruku na više aksimatičku i logičku perspektivu. Uzimajući obzir raznolikost geometrijskih prilaza ( 8, Houdement i Kuzniak (1999)), Katarina Houdment i Alen Kuzniak, slijedeći radove Kuhna (1962, 1970) i Gonseta (1945-1955), razlikuju tri pristupa razumijevanju geometrije, kako bi objasnili različite ciljeve, namjene koje je postavila geometrija. 1. Geometriju I (Prirodna geometrija ). Objekti Geometrije I su materijalni objekti, grafičke linije na listu papira ili virtuelne linije na ekranu računara. Naime, linije su uvijek doslijedne prikazu stvarnosti. Objekti iz prostora mogu biti shematizovani u mikro- prostor (Barthelot i Salin 1998) 2 O ovim propustima možete saznati više u članku: DA.Romano, M.Vinčić: Šta je duž - jedno istraživanje aspekata budućih učitelja, Naša škola (Sarajevo), 2013 34

mrežom linija. Prava linija je model koji odbacuje neravnine, a u krugu je idealana jer su sve tačke udaljene podjednako od centra. Uglavnom izabrani grafički objekti (njihova svojstva) su veoma pogodni da opišu stvarnost, otuda i sam naziv Prirodna geometrija za Geometriju I. U ovoj paradigmi tehnike za crtanje su one tehnike koje su najubičajnije kao što su: lenjir, trougao, presavijanje i rezanje papira itd. Za proizvodnju znanja u ovoj paradigmi sve metode su dozvoljene: dokazi, stvarna i virtuelna iskustva, i naravno rezonovanje. Svi pokreti između modela i stvarnosti su permanentni i omogućuju da se dokaže tvrdnja: najvažnija stvar je uvjeriti se. To je, zapravo, geometrija koja dominira u osnovnim školama, odnosno geometrija koja je zastupljena u nastavi nižih razreda. 2. Geometrija II ili Prirodno aksimatička geometrija (jedan model je Euklidova geometrija) zasnovana na hipotehničko deduktivnim zakonima koji se odnose na postavljanje aksioma koji su, koliko je god moguće, bliski čulnoj stvarnosti, to jeste intuiciji. U ovoj paradigmi tekst igra važnu ulogu, jer svi objekti treba da budu definisani tekstom, crteži su jedino ilustracije, pratnja tekstualnih stavova. (Nivo na kome bi barem trebali da budu predavači iz geometrije u osnovnoj školi.) 3. Geometrija III (Formalističko aksiomatična geometrija) koja određuje horizont matematike na fakultetima, postavku aksioma je, u ovom slučaju nezavisna od stvarnosti. Ova geometrija je od najmanje važnosti u osnovnom školovanju. Da bi što bolje razumjeli u sledećoj tabeli ću prikazati razlike između za nas dvije najvažnije paradigme Geometrije I i Geometrije II. Geometrija 1 Geometrija2 Prostor Intuitivni i fizički prostor Geometrijski Euklidov prostor Objekti Materijalni objekti, crteži, modeli, proizvodi instrumentalne aktivnosti. Definicije i teoreme. Pribor Različit pribor, lenjir, trougao, šablon, presavijanje papira. Dinamički softver. 35 Idealni objekti bez dimenzija ( neki zamišljeni prostor, neki odnosi). Fizički pribor lenjir, šestar ali sa upotrebom opravdanog teoretičkog logičko- deduktivnog rezonovanja. Dokaz Dokaz nastaje provjeravajući instrumentom ili efektivnom konstrukcijom. Svojstva i dijelovi demonstracije (formalan dokaz) djelimično aksiomatički Mjerenje Ograničeno: proizvodi znanje Nije dozvoljeno za proizvodnju znanja, ali jeste za heuristiku. Status crteža Objekt proučavanja i objekt potvrđivanja. Heuristički pribor, podrška rezonovanju i pojmu figure (Fischbein 1993). Povlaštena gledišta Samo-dokazi i konstrukcija. Svojstva demonstracije. Ovdje ćemo samo još nešto reći i o porijeklu matematičkog mišljenja kojim se najviše bavio Uri Leron ( 14 ), koji razlikuje tri nivoa matematike : 1. rudimentiranu aritmetiku, 2. informalnu matematiku, 3. formalnu matematiku. Najvažnije je naglasiti njegovu tvrdnju da se svako ljudsko biće rodi sa nekim rudimentiranim znanjem matimatike. (Sa nekoliko dana života beba može da pravi razliku izmedju dva i tri objekta ). 2.2. Kako bi trebalo da izgleda Nastavni plan i program u osnovnoj školi iz geometrije Nastava geometrije u osnovnoj školi trebala bi da obezbjedi šansu da se iskuse geometrijski objekti na mnogo različitih načina. Pod ovo podrazumjevam da se koriste oblici koji su izgrađeni sa blokovima, štapićima ili pločicama; objekti nacrtani na papiru ili pomoću računara; objekti koji su uočeni u kulturi, prirodi i arhitekturi. Iskustva pri ruci, reflektivna i interaktivna iskustva treba da su u srcu dobrih geometrijskih aktivnosti. Nastavni plan i program treba da cilja na razvoj geometrijskog rezonovanja i razvoj posebnih sposobnosti. Nastava geometrije bi trebala da bude zasnovana na tri velika koncepta: Oblici, kako dvodimenzionalni tako i trodimenzionalni, postoje u velikim raznolikostima. Postoje mnogi načini da se vide i opšte sličnosti i razlike među oblicima. Potrebno je da se na više načina opiše i klasifikuje neki geometrijski pojam kako bi se bolji razumio.

Oblici imaju svoja svojstva koja treba da se upotrebljavaju kada te oblike opisujemo i analiziramo. Svjesnost ovih svojstava pomaže nam da procjenimo oblike u životu. Svojstva moraju biti istražene i analizirane na razne načine. Analiza geometrijskih svojstava vodi do deduktivnog rezonovanja u geometrijskom okruženju. 2.3.Važnost geometrije U prošlosti, većina nastavnika koji predaju u osnovnoj školi posvećivali su veoma malo vremena istraživanju geometrije. Vjerovatno zato što se nisu osjećali baš prijatno sa temama koje se predaju ili su te teme shvatali manje značajnim. Postavlja se jedno opšto pitanje zašto proučavati geometriju? Ovdje navodim nekoliko razloga: Geometija može da obezbjedi kompletniju procijenu svijeta. Ona može biti osnova u solarnom sistemu, u geološkim formacijama, u stijenama, kristalima, biljkama i cvijeću, čak i u životinjama. Takođe je i glavni dio našeg univerzuma. Kultura, arhitektura, auta, mašine i sve virtualno što ljudi stvaraju ima elemente geometrijskih elemenata. Geometrijska istraživanja mogu razvijati problem rješenje vještine. Na primjer: posebno rezonovanje je važan oblik rješenja problema, i problemsko rješenje je jedan od glavnih razlika za proučavanje matematike. Geometrija igra ključnu ulogu u proučavanju drugih područja matematike. Pojam razlomaka se odnosi na geometrijski dio cjeline. Proporcionalnost se direktno odnosi na geometrijski koncept sličnosti. Mjerenje i geometrija se jako srodni. Geometrija ima jako čestu upotrebu u svakodnevnom životu. Naučnici svih vrsta, arhitekte i umjetnici, inžinjeri i drugi upotrebljavaju geometriju svakodnevno. Kod kuće, geometrija nam pomaže da napravimo ogradu, dizajniramo kuću za psa, napravimo plan dvorišta, uredimo dnevni boravak. Geometrija je zabavna. Ona povećava interes učenika za matematiku uopšte posmatrano, pa se vrijedi potruditi. 2.4.Uticaj van Hiele ove teorije na Nastavni plan i program iz geometrije Radovi holađanskog naučnika 25, 26, 27 i 28 Pierrea van Hielea i njegove žene Dine van Huel Geldof trebalo bi da mogu uticati na organizaciju nastave geometrije u Nastavnom planu i programu. Van Hiele ova teorija obezbjeđuje nastavniku radni okvir unutar kojeg bi trebao da sprovodi geometrijske aktivnosti. Da razjasnimo, ova teorija se ne odnosi na poseban sadržaj nego na primjenu određenih aktivnosti. Većina tih aktivnosti napravljena je da počinje prepostavkom određenog nivoa na koje se učenici nalaze (učenici osnovne škole do V razreda se nalaze na nivo-u '0' (nivo vizuelizacije) ili do nivo-u '1' (nivo analiziranja)), što se postiže postavljanjem jednostavnijih ili kompleksnijih pitanja da bi se utvrdio pravi nivo znanja. Ova teorija pridaje pažnju na to kako učenici misle u geometrijskom kontekstu i na objekte njihovog mišljenja: oblik svojstva informalna logika - deduktivne principe. Postoji mnogo dobrih razloga zbog kojih bi trebalo da podržimo ovu teoriju gdje je glavni cilj nastave geometrije u osnovnoj školi unapređivanje učeničkog nivoa geometrijskog mišljenja. 2.5. Podučavanje prema Van Hielovim nivoima U sledećem tekstu dati su neki predlozi za nastavnike kako da prilagode svoj rad mišljenju učenika iz oblasti geometrije (prva tri nivoa, s obzirom da su oni zastupljeni u osnovnoj školi). Nastava prema karakteristikama nivoa 0 : - uključiti u rad sa učenicima što više svrstavanja, identifikacije i opisivanja raznih oblika ( u našem slučaju bi bilo opiši krivu i pravu liniju, opiši duž, identifikuj duž) - upotrebi što više fizičkih modela koji zamjenjuju stvarne objekte i dati ih učenicima da sa njima rade (u našem slučaju upotreba kanapa, video prezentacije i slično). - uključiti što više razlika i dati različite primjere objekata, ali tako da se isključe nebitne činjenice. - obezbjediti da se gradi, pravi, crta, sastavljaju i rastavljaju oblici. 36

- Nastava zasnivana karakteristikama nivoa 1: Učenike podstaći da se više usredsređuju na svojstva nego na prosto prepoznavanje. ( definiši, izmjeri, opazi, promjeni svojstvo, upotrebljavaju model u našem slučaju definiši tj. iskaži riječima šta je to poluprava, prava, duž). - upotrebljavati kontekst rješavanja problema u kojima su svojstva objekta važna komponenta ( što bi bilo u našem slučaju koja je razlika između prave i duži, koja je razlika između prave i poluprave ). - nastaviti sa upotrebom modela sa nivoa O, ali uključiti modele koji dozvoljavaju istraživanje raznih svojstva figure. - klasifikovati figure zasnovane na svojstvima oblika kao i imena oblika. Na primjer pronađi razliku između osobina trougla kojeg si napravio i drugih koje nisi. Nastava zasnovana na karakteristikama nivoa 2: - nastaviti sa upotrebom modela, sa fokusom na osobine. Napravi listu osobina i raspravljaj o tome kome su osobine potrebne, a koje dovoljne da se taj objekat definiše. - uključi jezik dedukcije: sve, neki, niko, ako onda, šta ako, itd. - istraži suprotno mišljenje obratne veze za validnost. Na primjer, suprotno mišljenje od ako je kvadrat onda moraju sve četiri uugla prava onda mora biti kvadrat. - upotrebiti modele i crteže kao oružje za razmišljanje - ohrabriti učenike za provjeru hipoteze. Većina sadržaja u osnovnoj školi iz oblasti geometrije mora biti prilagođena ovim nivoima, osim sadržaja koji govore o pojmova kakvi su tačka, prava, ravan koji nisu prikladni nivou dva. 3. VLASTITA ISTRAŽIVANJA Sproveo sam intervju sa učenicima uzrasta od sedam do deset godina (drugi, treći, četvrti i peti razred osnovne škole). Cilj mi je bio prvenstveno da otkrijem kako učenici razumiju pojam neograničeno duge linije, to jest prave, uz to sam se osvrnuo i na pojam duži i pojam poluprave kako bih otkrio koje se to sve teškoće i dileme kod njih javljaju prilikom usvajanja ovih pojmova. Takođe me je zanimalo da li učenici znaju ove pojmove da definišu i kako uočavaju razlike između njih. Od instrumenata koristio sam intervju (unaprijed postavljena pitanja) i pismeno sam zabiljezio svaki od učeničkih odgovora. Za uzorak sam uzeo dvanaest učenika po tri iz svakog razreda. Ključna pitanja intervju-a bila su : (a) Nacrtaj jednu krivu i jednu pravu liniju? (b) Na slici su prikazane tri prave linije, obilježi ih tako da jedna linija bude prava, druga duž, a treća poluprava. (c) Iskaži riječima šta je to prava, a šta duž, a šta poluprava. Pored intervju-a sa učenicima sproveo sam intervju i sa nekim učiteljima koji imaju poprilično veliko radno iskustvo. Cilj mi je bio da čujem šta oni misle sa kojim se poteškoćama i dilemom učenici susreću prilikom usvajanja pojma prave, ali u opšte i same geometrije. Akcenat u ovom intervju-u stavio sam na njihovo mišljenje šta treba da se mijenja iz oblasti geometrije tj. iz sadašnjeg Nastavnog plana i programa iz geometrije kako bi učenici prevazišli teškoće sa kojima se suočavaju. Takođe, koristio sam od instrumenata intervju (unaprijed zadana pitanja) i pismeno zabiljezio odgovore. Za uzorak sam uzeo osam učitelja. Naime, pojam linije se nudi u drugom razredu osnovne škole kroz lekcije krive i prave linije, otvorene i zatvorene linije, zatim učenici upoznaju granice i oblasti i tačku kao presjek linije sve se uvodi na intenitivnom nivou ( tj. na nivou 'O' po van Hieleovoj ljestvici ), dakle ne definiše se. Zatim se uvodi pojam duži kao dio prave linije i vrši se upoređivanje duži. U trećem razredu ovo se gradivo proširuje tako što se uvodi pojam prave i počinje definisanje svih ovih pojmova. Ono što me takođe zanimalo kako to nastavnici upoznaju učenike sa prethodno pomenutim pojmovima. Zanimalo me je koja nastavna sredstva koriste kako bi učenicima dočarali ove pojmove. Kako to nastavnik koji je realizator nastavnih sadržaja pokazuje učenicima model prave, duži, poluprave, koja to nastavna sredstva koristi. Intervju se sastojao iz sledećih ključnih pitanja: (a) Da li mislite da je pojam prave suviše apstraktan za učenike? 37

(b) Iz Vašeg iskustva koje ste nastvno sredstvo koristili u svom radu kako bi učenicima objasnili pojam prave,duži? (c) Po Vašem mišljenju koja su najefikasnija pomoću kojih bi učenici pojam prave, poluprave i duži i da li su Vam ta nastavna sredstva na raspolaganju? (d) Šta mislite o programu geometrije u školskim udžbenicima kada se govori o pojmu prave, poluprave i duži? (e) Imate li kakav prijedlog, na osnovu vašeg iskustva rada sa djecom, kako bi se moglo poboljšati razumjevanje pojma prave, poluprave i duži, ali i geometrije uopšte? 3.1. Da li postoji epistemologička prepreka u geometriji? Zasnovano na seminarskim radovima 1 Bachefard-a i 13 Brousseau-a, predstavljen je koncept epistemologičke prepreke. Kada porijeklo greške bude objašnjeno razlozima zasnovanim na istoriji i epistemologiji, može se početi govoriti o epistemologičkoj prepreci. Druga vrsta prepreke koja postoji i odnosi se na ontologiški razvoj djeteta su metode podučavanja. Članci Modestov- Iliada, Kratke i Bulf-a se bave nekim početnim pojmovima poput linearnog modela, beskrajni horizont, princip smetnje koji bi mogli se ponekad pojaviti kao prepreka u građenju novog znanja. 3.2. Predstavljanje pojma beskonačnosti i neograničenosti. Beskonačnost i neograničenost kao matematiči pojmovi su jako apstraktni ali i veoma privlačni. Odnose se na zbir matematičkih i nematematičkih pojmova kao što su geometrijski objekti, funkcije i njihova ponašanja, i tako dalje. Iako imamo bogatstvo konteksta gdje se upotrebljava pojam beskonačnosti i pojam neograničenosti, ja sam odabrao geometrijski, iz dva razloga. Prvi, zato što se djeca u nižim razredima susreću sa pojmom prave, neograničenosti, a drugi, što je glavni dio matematike (po mišljenju evropskih matematičara) zasnovan na geometriji. Pomenuti intervju je sproveden kao i dio istraživanja kojim se poredi filogenetski i ontogenetski razvoj pojma beskonačnosti i neograničenosti u geometriji. Intervjuisani su bili usresređeni na razumijevanje pojmova kakvi su tačka, prava, dijelovi prave, poluprava, duž i njihovim međusobnim odnosom. 3.3. Epistemološka prepreka. Ovdje dajem kratak pregled ključnih stavki o ovoj teoriji koji nam omogućuju da uporedimo ontogenetski i filogenetski razvoj matematičkih pojmova uopšte. Upoređujemo moguće atribute fenomena beskonačnosti i neograničenosti i sugerišem na moguće prepreke koje se javljaju u procesu njenog razumijevanja. 3.4. Zašto možemo naći vezu između ontogenije i filogenije? Izabrao sam Brousseau ovu teoriju epistemologičke prepreke zato što najviše odgovara da nađem razumnu i nesumičnu vezu između ontogenetskog i filogenetskog razvoja i koncepcije o matematickim pojmovima. G. Brousseau definiše prepreku kao set grešaka koje se odnose na prethodno znanje. Ove greške nisu neprovjerene, nego naprotiv, one su rekurentne i stalne. Te prepreke mogu biti: Znanje ( postoji domen gdje su određena znanja upotrebljiva plodonosno, ovaj domen je obično istražen, to znanje je provjereno mnogobrojnim iskustvima. Postoji domen gdje znanje ne uspijeva i proizvodi pogrešne rezultate, to znanje ne može da se prenese na drugi kontekst ( zato što postoji različito gledište mišljenja ili, i misli se u opštem kontekstu) Znanje, koje odolijeva kontradikciji i nesuglasici sa kojima je suočeno, ne vodi do stvaranja boljeg znanja. ( Postoje razlike između prepreke i poteškoće). Znanje osniva samo sebe poslije njegove integracije u sistem kognicije. Zato što postoje drugi pojmovi koji su povezani sa originalnim znanjem preprekom. (Brousseau, 1997) 38

Glavna ideja ove teorije je da prepreku ne zastupa odsustvo znanja, znanje je tu, ali ne uspijeva u određenim situacijama. Znanje, kao prepreka, je otpor odbacivanju, ima tendenciju da se prilagodi i modifikuje najmanje mogućim promjenama i da se optimizuje unutar najužeg domena. Možemo da prepoznamo tri izvora prepreke: ontogenetski izvor, didakatički izvor, epistemologički izvor. Svaki od navedenih izvora je povezan sa različitim sistemom koji ulazi u pedagošku interakciju. Ono što je ovdje najvažnije je da se epistemologički izvor odnosi na proces sticanja znanja samog po sebi. 3.5. Osobine fenomena beskonačnosti i neograničenosti. Mi nismo u mogućnosti da vidimo beskonačnost i neograničenost samu po sebi, mi se zapravo upoznajemo sa njima, razumijemo ih i interpretiramo pomoću takvih atributa koji se uvijek pojavljuju kada se susrećemo sa beskonačnošću i neograničenošću. Rodrigo de Arriaga je napravio razliku između mogućih manifestacija pojma beskonačnosti : 1. Beskonačnost je veličina, 2. Beskonačnost je broj elemenata. Nismo napravili veliki pomak od njegovih ideja, kada razmatramo sledeće atribute: kardinalitet, pravilnost, izuzeci i kontinuum, ograničenost ili neograničenost; mjerenje (objekt nula mjere); beskonačni proces, granica, konvergencija, supremum/infimum. Ne pretpostavljamo da je ova lista potpuno iscrpljujuća. Sa različite tačke gledišta, možemo dobiti nove, dobro određene atribute neograničenih objekata. Pitanja u pretstavljenom intervju-u formulisana su sa ciljem da se otkriju neki atributi i da se osvrnemo na sve očekivane prepreke, koje su blisko povezane sa njima, te da uvidimo kako to učenici nižih razreda osnovne škole vide pojam prave. 4. KLASIFIKACIJA ODGOVORA Populaciju iz intervju-a sa učenicima činilo je ukupno dvanaest učenika po tri učenika iz svakog razreda (drugi, treći, četvrti i peti). INTERVJU 1. Elena, Ana, Maja, učenici drugog razreda osnovne škole, sedam godina Na prvo postavljeno pitanje (a) Nacrtaj jednu krivu i jednu pravu liniju? Svi ispitani učenici su dali tačne odgovore tj. znali su da nacrtaj krivu odnosno pravu liniju s tim što na potpitanje zašto je linija kriva dati sledeći odgovori: Elena: Kriva je zato što je kriva, kad je nešto krivo. Ana: (sliježe ramenima). Maja: Kriva je zato što ide u krivo. Na drugo pitanje (b) Na slici su prikazane tri prave linije, obilježi ih tako da jedna linija bude prava, druga duž, a treća poluprava. Nijedan učenik nije odgovorio za sve odgovore je karakteristično da su stavljali tačke po linijama, koje nisu obilježavali. Na treće pitanje (c) Iskaži riječima šta je to prava, a šta duž, a šta poluprava. Učenici su ovako odgovorili: Elena: Prava je prava. Duž je obilježena. Ana: (Sliježe ramenima). Maja: Prava je samo linija. Duž je obilježena tačkama. INTERVJU 2. Tamara, Zdravko, Pavle učenici trećeg razreda osnovne škole, osam godina Na pitanje (a) svi učenici su znali da nacrtaju uz sledeće komentare: Tamara: Kriva je zato što ima ove crte. (pokazuje rukom). Zdravko:Kriva je zato što su joj linije krive. Pavle: Kriva je zato što ima zaobljene uglove. Na drugo pitanje (b) učenici su odgovorili ovako: Tamara: Na slici pod a) stavila je iznad nacrtane linije jedno slovo i ispod napisala da je to duž, dok je na slici pod b) stavila dva velika slova na krajevima linije i ispod napisala da je to prava. Na 39

potpitanje pod c) stavila je dva velika slova na krajevima linije i crticu izmedju njih (na sredini linije) i ispod napisala da je to poluprava. Zdravko: Na potpitanje pod a) stavio je iznad linije jedno slovo i napisao da je to poluprava, a na potpitanja b) i c) stavio je po dva velika slova na krajevima linija OA sa komentarom prava i AO sa komentarom duž. Pavle: U potpunosti je obilježio tačno duž i pravu, dok je polupravu obilježio s jednim velikim slovom na kraju linije i jednim velikim slovom na sredini linije. Pitanje(c). Tamara: Prava je dio prave linije. Duž je jedna linija koja se zove prava. Duž je zato što je malo kriva. Poluprava ima crticu, a prava je ravna. Zdravko: Prava je zato što je prava, zato što ide pravo. Duž je puno duga zato što je duž. Poluprava je zato ide malo prema gore, a prava ide pravo. Pavle: Prava je linija koja se može neprestano širiti. Duž je linija koja se ne može produžiti. Poluprava je- zato što se prava nastavlja, a poluprava je kao pola. INTERVJU 3. Đorđe,Nikola, Marina, učenici četvrtog razreda osnovne škole, devet godina. Pitanje (a). Đorđe: Zna je da nacrta krivu i pravu liniju uz komentar kriva linija je zato što je kriva. Nikola:Nacrtao je pravu liniju i izlomljenu pravu liniju za koju je tvrdio da je kriva linija. Prokomentarisao je kriva je kad ne bi bila kriva onda bi bila prava. Marina: Nacrtala je dvije prave linije s tim što je jedna išla ukoso i za nju je tvrdila da je kriva, sa komentarom kriva je zato što je ukoso. Pitanje (b). Đorđe: Na svim krajevima linija stavio je tačke obilježene velikim slovom. Nikola: Sve je dobro obilježio osim prave koju je obilježio kao duž. Marina: Na slici a) je stavila jedno slovo i napisala ispod da je to poluprava, dok je na slici b) stavila na krajevima linije dva velika slova i napisala da je to prava. Na slici pod c) Stavila je jedno veliko i jedno malo slovo na krajevima linije i ispod napisala da je to duž. Pitanje (c). Đorđe: Prava je kada nacrtamo liniju. Duž je jedna veća linija. Poluprava je malo ukoso, a prava je prava. Nikola: Prava je linija koja je ograničena ali ima produžetak pored tačaka. Duž je prava linija koja je ograničena tačkama na krajevima. Poluprava ima jedan produžetak, a prava dva produžetka. Marina: Prava je prava linija. Duž je linija ograničena velikim i malim slovom. Poluprava ima samo jednu stranu sa slovom. INTERVJU 4. Marina, Nebojša, 3 Stefan 4 učenici petog razreda osnovne škole, deset godina Pitanje (a). Svi učenici su tačno uradili zadatak s tim što je samo Stefan dao komentar za krivu liniju da je kriva 3 Nebojša Jović dijeli prvo i drugo mjesto na opštinskom takmičenju iz matematike sa maksimalnim učinkom. 4 Stefan Malešević dijeli prvo i drugo mjesto na opštinskom takmičenju iz matematike sa maksimalnim učinkom. 40

jer ima krivu putanju, dok Marina i Nebojša nisu komentarisali. Pitanje (b). Svi učenici su tačno odgovorili na potpitanja da obilježe pravu i duž, dok za polupravu Nebojša je stavio jedno slovo na kraju linije, a Stefan i marina nisu odgovarali. Pitanje (c). Marina: Prava je neograničena linija. Duž je ograničena sa dvije tačke. Poluprava je- zato što je prava neograničena a poluprava je sa jednom tačkom. Nebojša: Prava je neograničena linija. Duž je linija koja je ograničena sa obadvije strane. Poluprava je ograničena samo sa jedne strane. Stefan: Prava je neograničena linija. Duž je linija označena slovima sa obadvije strane. Poluprava (nema odgovora). INTERVJU SA NASTAVNICIMA. Populaciju intervju-a sa nastavnicima činilo je ukupno osam učitelja i dobio sam sledeće rezultate: Šest učitelja misli da učenici imaju poteškoće da usvajanjem ovih pojmova, neki još od tih nastavnika ističu i pojam ravni kao jednu prepreku u usvajanju tih sadržaja i smatraju da je pojam prave suviše apstraktan za učenike i da ga je vrlo teško objasniti, dok dva učitelja misle da učenici nemaju problema sa usvajanjem ovih pojmova. Oni koji misle da je problem prave teško objasniti, pitao sam ih zašto tako misle i dobio sam najčešći odgovor da je djeci vrlo teško predstaviti pojam prave kao i ravni jer ih nema u prirodi. Od nastavnih sredstava koji učitelji koriste kako bi učenicima objasnili gore navedene pojmove najčešće su bili kreda, tabla, geometrijski pribor, ređe kanap, što moramo priznati da je jako siromašno.bilo mi je i važno čuti mišljenje nastavnika o najefikasnijim nastavnim sredstvima u usvajanju pojma prave, poluprave i ravni. Došao sam do zaključka da većina njih za predmet koristi nastavna sredstva geometrijski pribor, lenir, trougao, šestar, a manji dio ispitanih ističe da se koriste video-projekti, te sva ona sredstva koja mogu obezbjediti bolju očiglednost. Kada govorimo o nastvnim sadržajima iz ove oblasti ispitani učitelji ističu da su sadržaji iz ove oblasti (ne svi, ali iz ove oblasti da), jako siromašni i slabo organizovani, te da je potrebno posvetiti više časova pojmu prave, duži i poluprave u cilj kako bi ih učenici bolje savladali. 4.1. Analiza odgovora i isticanje poteškoća i dilema koje učenici imaju prilikom usvajanja pojma prave. Na osnovu ponuđenih odgovora može se istaći da većina učenika u nižim razredima osnovne škole zna da razlikuje pravu i krivu liniju, te da više od polovine ispitanih učenika zna da obilježi pravu, duž, a vrlo mali broj učenika i polupravu. Ono što je očigledno iz prikazanih odovora na pitanje (c) da postoji određen broj odgovora koji je velikim dijelom tačan, ali sustina znanja nije baš najpouzdanija, naročito kada se govori o pojmu poluprave. Takođe na osnovu prikazanih odgovora lako se može primjetiti da kod učenika u našim školama u nižim razredima domonira nivo 0 prema van Hielovoj klasifikaciji, mada ima i onih koji su bliže nivou 1 nego nivou 0. Ipak, može se izvući generalni zaključak da učenici prilikom usvajanja pojma prave, duži i poluprave svoje misli baziraju isključivo na percepciji, a da svoje definicije daju na osnovu prisjećanja slike datog pojma, dakle vizuelizacija dominira u velikoj mjeri. Na osnovu odgovora nastavnika možemo samo izvući potvrdu svega gore navedenog, odnosno da nastavnici misle da učenici imaju najviše problema sa apstraktnim pojmovima kao što su prava i ravan jer ih nema u prirodi, pa im to stvara poteškoće i dileme u razumjevanju ovih pojmova. 5. ZAKLJUČAK Na osnovu sprovedenih istraživanja i analiza rada možemo izvući sledeće zaključke da većina testiranih učenika u razdoblju od 7-10 godina tj. od II do V razreda ne zna da obilježi polupravu kao 41

ni da je definiše, te da kod većine ispitanih učenika zastupljen nivo O prema van Hiele ovoj teoriji, a samo kod manjeg broja nivo 1. Takođe, većina ispitanih učenika teško uočava razlike između pojma prave, poluprave i duži, te možemo reći da je znanje iz ove oblasti kod učenika u našim školama jako nisko, naravno uz par izuzetaka. Što se tiče teškoća sa kojima se učenici susreću najčešće je to ne razumjevanje pojma prave i često mehaničko učenje, jako zastupljena vizuelizacija, dok je razmišljanja vrlo malo. Zašto je tako? Vjerovatno zato što je pojam prave suviše apstraktan za učenike, te u realnom životu nismo ni u mogućnosti pokazati pravu, kao i to da se na beskonačnost i neograničenost gleda sa različitih načina, sve zavisi od prirode osobe koja je posmatra. Drugi razlog je vejrovatno to što je posvećeno malo pažnje ovoj oblasti u nastavnim udžbenicima tj. siromašan Nastavni plan i program, možda što se ne pridaje toliko velika važnost nastavi geometrije. U ovom radu sam pokušao istaći između ostalog koliko je geometrija važna, ali i prisutna u životu ljudi. Još jedan od razloga je što su nastavni sadržaji više okrenuti prema pamćenju, a manje ka razumjevanju ovih pojmova, i razvijanju učeničkog geometrijskog mišljenja. Takođe sam u radu naglasio kako bi trebalo da se zasniva nastava geometrije opisujući nastavu zasnivanu na različitim karakteristikama nivo a mišljenja kod učenika. Kroz istraživanje sam postavio nekoliko pitanja i o nastavnim sredstvima pomoću kojih se objašnjavaju pojmovi prave i duži, te došao do zaključka da je nastava jako siromašna i u tom pogledu, ali ono što je još zabrinjavajuće jeste da ni sami nastavnici nemaju ideje, osim nekoliko njih, koja bi to nastavna sredstva mogla poboljšati usvajanje pojma prave, duži i poluprave, kao i uočavanje njihovih razlika. LITERATURA: [1] Brousseau, G. (1997). Theory of Didactical Situations in Mathematics (translated and edited by N. Balacheff, M. Cooper, R. Sutherland, V. Warfield), Kluwer Academic Publishers [2] R. Biehler, R.W. Schol, R. Straser and B.Winkelmann, Didactic of Mathematics as a Scientific Discipline, Kluwer Academic Publishers, Dordrecht 1994. [3] J.L.Dorier, A.Guttierez and R.Straesser: Geometrical Thinking Introduction CERME 3 (2003), WG 7, pp 1-10. [4] R.Duval: Geometry from a cognitive point of view Perspectives in the teaching of Geometry for the 21 st Century ICMI Study, Kluwer, 1998, pp 37-51. [5] E. Fischbein, D. Tirosh and P. Hess, The intuition of infinity, Educ. Studies in Mathematics, 10(1979), 3-40. [6] F. Gonseth, La géométrie et le probléme de l espace, Lausanne: Le Griffon, 1945-1955. [7] R.Hershkowitz and S.Vinner: Children s concepts in elementary geometry : A reflection of teachers concepts? Proceeding of the 8 th International conference of PME. Darlinghurst Australia, 1984. 63-69. [8] C.Houdement et A.Kuzniak: Un exemple de cadre conceptuel pour l étude de l enseignement de la géométrie en formation des maîtres, Educational studies in mathematics, 40(1999), 283-312. [9] C.Houdement and A.Kuzniak: Pretty (Good) Didactical Provocation as a Tool for Teacher's Training In Geometry, Proceedings of CERME 2 (2001), University of Prague, 292-303 [10] C.Houdement and A.Kuzniak: Elementary Geometry Split into Different Geometrical Paradigms, Proceedings of CERME 3(2003). Belaria, Italy. TG 7, pp 1-10 [11] M.Krátká, M.: Horizon as epistemological obstacle to understanding infinity; CERME 5 (2007), Working group 7, 1002-1011 [12] Krátká, M.,: What could be an obstacle of a point, In Proceeding of 13 th Polish-Czech-Slovak Mathematical School, Cracow. [13] Alain Kuzniak, Athanasios Gagatsis, Matthias Ludwig, Carlo Marchini: From geometrical thinking to geometrical work; CERME 5 (2007), Working group 7, 955-961 [14] U. Leron, Origin of mathematical thinking: a synthesis, CERME 3, Tematik group 1, 8 pp. [15] J. Monaghan, Young peoples ideas of infinity, Educational Studies in Mathematics, 48 (2001), 239-257. [16] L.E.Moreno and G.Waldegg, The conceptual evolution of actual infinity, Educational Studies in Mathematics, 22 (1991), 211-231. [17] R.E. Nunes, Big and small infinities: Psychocognitive aspects, Proc. of PME, 17 (1993), Vol. II, 121-128. [18] D.A.Romano: Istraživanje matematičkog obrazovanja; IMO, Vol. I (2009), Broj 1, 1-10 [19] D.A.Romano: O geometrijskom mišljenju; Nastava matematike (Beograd), LIV (2-3) (2009), 1-11 [20] D.A.Romano I M. Vinčić: Šta je duž, jedno istraživanje aspekata budućih učitelja; Naša škola (Sarajevo), Pojavice se [21] D.A.Romano i M.Vinčić: Uvid u studentsko razumijevanje parapelnih i mimoilaznih pravih; Nastava matematike (Beograd), LV (3-4)(2010), 1-7 42

[22] Steinbring H: Elements of Epistemological Knowledge for Mathematics Teachers, Journal of Mathematic Teacher Education, Vol 1/2 (1998), 157-189. [23] Swoboda, E.: 2005, Structures of Van Hiele s visual level in work of 5-7 years old children, Novontá J. (ed.) SEMT 05 - International Symposium Elementary Maths Teaching, 299-306. [24] D. Tall and D. Tirosh, Infinity, the never ending struggle, Eductional Studies in Mathematics, 48 (2001), 129-136. [25] P.M. van Hiele, (1986). Structure and insight, a theory of mathematics education. Orlando, FL: Academic Press. [26] P M. van Hiele, (1956). The child s thought and geometry, trans. by R. Tischler. Bulletin de l association des professeurs de mathematique de l enseignment public, 38 e annee N 0 198, pp. 1-10. [27] D. van Hiele-Geldof, (1957). The Didactics of Geometry in the Lower Class of the Secondary School. English summary (by Dina van Hiele-Geldof) of De didaktiek van de Meetkunde in de eerste klass van het V.H.M.O. Doctorial dissertation, University of Utrecht. [28] P.M. van Hiele, (1957). The Problem of Insight, in Connection With School-children s Insight Into the Subject Matter of Geometry. English summary (by P.M. van Hiele) of De Problematiek van het Inzicht Gedemonstreed wan het Inzicht von Schoolkindren in Meetkundeleerstof. Doctorial dissertation, University of Utrecht. [29] P. Vighi, The triangle as a mathematical object, CERME 3, Working group 7, 10 pp. 43