DOLAZAK NA PUTANJU DOHODAK-POTROŠNJA U TOČKE MAKSIMALNOG ZADOVOLJSTVA I MINIMALNIH IZDATAKA CONSUMER'S COMING TO THE INCOME-CONSUMPTION PATH

Prof. dr. sc. Ante Puljić, r. sc. Ilko Vrankić ira Oraić, dil. oec. IZVORNI ZNANSTVENI RAD UDK 330.567.:366 DOLAZAK NA PUTANJU DOODAK-POTROŠNJA U TOČKE AKSIALNOG ZADOVOLJSTVA I INIALNI IZDATAKA CONSUER'S COING TO TE INCOE-CONSUPTION PAT SAŽETAK: U ovom se članku roces rješavanja roblema ograničene otimizacije rimjenjuje na rješavanje otrošačevog roblema ograničene maksimizacije korisnosti i na rješavanje otrošačevog roblema ograničene minimizacije izdataka olazeći od retostavke da otrošačev ukus oisuje suvremena strogo rastuća i striktno kvazikonkavna funkcija korisnosti. Proces se rješavanja ovih roblema zaravo svodi na ois otrošačevog dolaska u ravnotežu i na ois ravnoteže, odnosno na ois otrošačevog dolaska na utanju dohodakotrošnja kada otrošač, ri zadanim cijenama, maksimizira korisnost za zadani dohodak i na ois otrošačevog dolaska na utanju korisnost-izdaci kada otrošač, ri zadanim cijenama, minimizira izdatke za zadanu korisnost te na ois točaka ravnoteže na tim utanjama. atematičko oblikovanje otrošačeve ravnoteže omogućava rimjenu metode jednakih nagiba omoću koje se, u oba slučaja ograničene otimizacije, jednostavno ronalaze otimalne kombinacije dobara i otimalne vrijednosti funkcija cilja. U rocesu se dolaska do ovih rezultata na rirodan način razotkrivaju i ekonomsko i matematičko značenje Lagrangeovih multilikatora kao i sku jednadžbi kojih je rješenje kritična točka Lagrangeove funkcije bez da se bilo što izravno govori o Lagrangoevoj funkciji. Ne samo to, olazeći od stajališta da je funkcija cilja u roblemu ograničene minimizacije izdataka funkcija ograničenja iz roblema maksimizacije korisnosti i da je funkcija ograničenja u roblemu ograničene minimizacije izdataka funkcija cilja iz roblema ograničene maksimizacije korisnosti bezbolno se izvode dualne veze, od kojih osebnu važnost imaju veze između icksovih i arshallovih funkcija otražnje iz kojih izravno slijedi jednadžba Slutskyog, jednadžba koja na najsažetiji način izražava suvremeni zakon otražnje. etoda jednakih nagiba i geometrijska interretacija uloge Lagrangeovih multilikatora otuno razaraju mističnu redodžbu o Lagrangeovoj metodi neodređenih multilikatora. Iz uvjeta rvog reda, koji slijede iz Lagrangeove funkcije, roizlazi ravnotežna jednakost granične stoe sustitucije između dobara, koja je imuna na monotono rastuće transformacije funkcije korisnosti, i odnosa cijena dobara. Imunost granične stoe sustitucije između dobara na monotono rastuće transformacije funkcije korisnosti omogućava

46 Zbornik Ekonomskog fakulteta u Zagrebu, godina 4, 006. bijeg od ojma korisnosti i nauštanje zakona oadajuće granične korisnosti, kojeg, u skladu s Paretovim zamislima, zamjenjuje zakon oadajuće granične stoe sustitucije između dobara. Isunjenje je tog zakona dovoljan uvjet drugoga reda u oba modela ograničene otimizacije. KLJUČNE RIJEČI: granična stoa tržišne transformacije, granična stoa sustitucije između dobara, ograničena maksimizacija korisnosti, ograničena minimizacija izdataka, utanja dohodak-otrošnja, utanja korisnost-izdaci, dualni modeli, granična korisnost novca, zakon oadajuće granične korisnosti, zakon oadajuće granične stoe sustitucije. ABSTRACT: This article exlains the rocess of solving constrained otimization roblem by solving constrained utility maximization roblem and constrained exenditure minimization roblem for a consumer by assuming that the consumer's references are reresented by strictly increasing and strictly quasiconcave utility function. The rocess of solving these roblems is actually reduced to a descrition of consumer's coming to an equilibrium and descrition of that equilibrium, that is the descrition of a consumer's coming to the income-consumtion ath, when the consumer, at given rices, maximizes utility for the given level of income and minimizes exenditures for the given utility level, and to the equilibrium oints descrition on those aths. athematic formation of consumer's equilibrium enables the imlementation of the equal sloes method which allows, in both cases of constrained otimization, to simly find the otimum combination of goods and otimal values of the objective functions. In the rocess of reaching these results, both economical and mathematical interretation of the Lagrange multiliers are revealed in a natural way, as well as a set of equations whose solution is the critical oint of Lagrange function without directly imlying Lagrange function. Not just that, but by assuming that the objective function in the constrained exenditure minimization roblem is the constraint function in the utility maximization roblem, and that the constraint function in the exenditure minimization roblem is the objective function in the constrained utility maximization roblem, it is easy to derive dual relationshis, from which ones between icksian and arshallian functions are of extraordinary imortance. The Slutsky's equation, which describes the modern law of demand in the most comact way, is directly derived from those dual relationshis. The equal sloe method and the geometrical interretation of the Lagrange multiliers comletely do away with the mystical conotations surrounding the Lagrange method of undefined multiliers. From the first order conditions, which follow from the Lagrange function, it is easy to reach an equality between the marginal rate of substitution, which is invariant to the ositive monotonic transformations of the utility function, and rice ratio Invariance of the marginal rate of substitution to ositive monotonic transformations of the utility function enables the abandoning the idea of utility and the law of diminishing marginal utility which, in accordance with Pareto's ideas, is relaced by the law of diminishing marginal rate of substitution. Fulfillment of that law is a sufficient second order condition in both constrained otimization models. KEY WORDS: the marginal rate of market transformation, the marginal rate of substitution, constrained utility maximization, constrained exenditure minimization, the income-consumtion ath, dual models, the marginal utility of income, the law of diminishing marginal utility, the law of diminishing marginal rate of substitution.

A. Puljić, I. Vrankić,. Oraić: Dolazak na utanju dohodak-otrošnja u točke maksimalnog zadovoljstva... 47. UVOD U ovom članku retostavljamo da otrošač formira oređaj košara dobara o redu oželjnosti u skladu sa šest aksioma. Između tih šest aksioma, tri nam aksioma: aksiom o otunosti, aksiom o tranzitivnosti i aksiom o nerekidnosti otrošačevih referencija, omogućuju da definiramo funkciju ordinalne korisnosti ili funkciju oređaja, koja svakoj košari dobara riisuje broj čija veličina određuje samo mjesto košare u oređaju košara rema otrošačevim referencijama. Dva daljnja aksioma, aksiom o nezasitnosti otrošača ili aksiom o strogoj monotonosti otrošačevih referencija i aksiom o striktnoj konveksnosti otrošačevih referencija, sihološki su aksiomi koji obliže određuju otrošačeve ukuse i time svojstva funkcije korisnosti. Aksiom o otrošačevoj nezasitnosti ekvivalentan je aksiomu da je funkcija korisnosti strogo rastuća funkcija, a aksiom koji tvrdi da su otrošačeve referencije striktno konveksne aksiomu da je funkcija korisnosti striktno kvazikonkavna funkcija. Iz sadržaja et navedenih aksioma roizlazi da ulogu binarne relacije blage referencije u analizi otrošačeva izbora može reuzeti nerekidna, strogo rastuća i striktno kvazikonkavna funkcija korisnosti čije su nerekidne, i u odnosu na koordinatni očetak striktno konveksne, krivulje ili hierlohe indiferencije takve da svaka košara dobara leži na jednoj i samo jednoj između tih krivulja ili hierloha indiferencije. Da bismo omogućili rimjenu metoda diferencijalnog računa i time olakšali analizu, četiri rva aksioma možemo zamijeniti aksiomom o diferencijabilnosti koji kaže da je funkcija korisnosti diferencijabilno strogo rastuća funkcija i da je funkcija korisnosti diferencijabilna onoliko uta koliko je otrebno. Ovaj aksiom nedvojbeno izražava otrošačevu nezasitnost u bilo kojoj točki i stavlja na rasolaganje cjelokunu ratnu oremu diferencijalnog računa. Nakon danih objašnjenja sve aksiome možemo zamijeniti samo jednim aksiomom, aksiomom koji kaže da je funkcija ordinalne korisnosti koja u analizi otrošačeva izbora reuzima ulogu n binarne relacije blage referencije, strogo rastuća i striktno kvazikonkavna funkcija na R +. Prethodno definirana funkcija ordinalne korisnosti omogućuje nam da izjavu kako otrošač iz konveksnog i komaktnog skua ostvarive otrošnje koje određuju cijene dobara i otrošačev dohodak, bira košaru dobara koju najviše voli, revedemo u izjavu da se otrošač ri izboru košare dobara onaša tako kao da maksimizira funkciju korisnosti uz zadano budžetsko ograničenje. Definirana funkcija ordinalne korisnosti nije samo funkcija cilja u roblemu maksimizacija korisnosti uz zadano budžetsko ograničenje nego i funkcija ograničenja u roblemu minimizacije izdataka za zadanu razinu korisnosti. Prijelaz na odručje matematičke teorije otimizacije nameće da čitatelja obliže uoznamo s rocesom otimizacije, s rocesom iznalaženja maksimuma ili minimuma uz ograničenje. Cilj nam je da u ovom članku to uoznavanje obavimo na ristuačan i uvjerljiv način, bez retjeranog oslanjanja na znanje matematike. Naša je stožerna retostavka u tom nastojanju da obični otrošač uvijek zna koliko je sreman žrtvovati za dodatnu vrlo malu jedinicu dobra X i za koliko na tržištu može dobiti tu dodatnu jedinicu dobra X. Ako je razboriti otrošač sreman žrtvovati veći broj za dodatnu jedinicu dobra X od broja za koji na tržištu može dobiti jedinicu dobra X, on će se reorijentirati na ovećanje kunje dobra X bilo da nastoji maksimizirati korisnost za zadani dohodak i zadane cijene bilo da nastoji minimizirati izdatke za zadanu korisnost i zadane cijene. Smjer je rerasodjele obrnut kada je otrošač sreman žrtvovati manji broj za dodatnu jedinicu dobra X od broja jedinica dobra X za koji na tržištu može dobiti dodatnu jedinicu dobra X.

48 Zbornik Ekonomskog fakulteta u Zagrebu, godina 4, 006. atematička formalizacija modela ograničene otimizacije omogućuje i ooćenje roblema i rimjenu različitih metoda otimizacije između kojih osebno izdvajamo metodu Lagrangeovih multilikatora. Toj ćemo metodi osvetiti veliku ozornost i na neuobičajen način čitatelju, nadamo se, jasno rotumačiti matematički smisao Lagrangeovih multilikatora. Budući da smatramo kako je dualnost ojam čiji se smisao najuvjerljivije može rotumačiti na konkretnom rimjeru, razboritog bi otrošača koji je ri zadanim cijenama dobara za zadani dohodak kuio košaru dobara x koja mu u zadanim uvjetima daje maksimalnu korisnost, mogli zaitati koliko bi iznosio njegov najmanji izdatak kada bi on, ri jednakim cijenama, htio ostvariti razinu korisnosti koju mu daje košara dobara x. Vjerujemo da bi otrošač, ošto bi se začudio koliko smo neuućeni u roces otimizacije, jednostavno odgovorio da bi njegov minimalni izdatak za zadanu korisnost iznosio i da bi onovno kuio košaru dobara x kako bi ostvario zadanu ostignutu maksimalnu razinu korisnosti. Potrošač nas odgovorom nesvjesno uoznaje s roblemima dualnosti jer odgovorom izražava koresondenciju između ojmova u roblemu ograničene maksimizacije i ojmova u roblemu ograničene minimizacije. To nas otiče da što je moguće ranije na rikladnim mjestima usostavljamo veze između rocesa ograničene maksimizacije i rocesa ograničene minimizacije i da usostavljene veze na kraju malo sustavnije rikažemo. U okviru razmatranja roblema dualnosti i u okviru razmatranja ojedinačnih rocesa ograničene otimizacije osebno značenje riisujemo ekonomskim interretacijama Lagrangeovih multilikatora. Nadamo se da će naš ristu tim interretacijama čitatelju biti novo iskustvo. Paretov revratnički nalaz da se izvođenje otrošačevih funkcija otražnje ne mora temeljiti na funkcijama kardinalne korisnosti i zakonu oadajuće granične korisnosti nego na krivuljama indiferencije kojima oblik određuje zakon oadajuće granične stoe sustitucije između dobara, zauzima najistaknutije mjesto u teoriji otrošačeva izbora. Tom ćemo revratu osvetiti oseban odjeljak gdje ćemo okazati da rimjena monotono rastućih transformacija na bilo koju funkciju korisnosti ne utječe na graničnu stou sustitucije između dobara a, zbog toga, ni na funkcije otražnje koje su zaravo rješenje roblema ograničene otimizacije. Nadamo se da će nakon toga čitatelju ostati osve jasan smisao i važnost Paretovog revrata. U ekonomskim nam rimjenama kontekst roblema obično jasno kazuje jesmo li našli maksimum ili minimum. U našem je slučaju to očito, stoga ćemo dovoljnim uvjetima drugog reda osvetiti malo rostora, tek radi cjelovitosti.. ODEL OGRANIČENE AKSIIZACIJE KORISNOSTI Problem ograničene maksimizacije ilustrirat ćemo rimjerom maksimiziranja korisnosti uz budžetsko ograničenje. Pritom olazimo od činjenice kako iz rihvaćenih aksioma roizlazi da je otrošačeva funkcija korisnosti diferencijabilno strogo rastuća funkcija i od činjenice da je sku ostvarive otrošnje komaktan sku. Zbog toga se košara dobara koja maksimizira otrošačevo zadovoljstvo mora nalaziti na budžetskoj crti. U odnosu na bilo koju košaru dobara iz skua ostvarive otrošnje koja ne riada budžetskoj crti, ostoji košara dobara na budžetskoj crti koja sadrži veću količinu barem jednog dobra i ne manju količinu drugog dobra. Posve je stoga jasno da nezasitan otrošač više voli košaru dobara s budžetske crte nego usorednu košaru dobara koja ne riada budžetskoj crti. Kuujući

A. Puljić, I. Vrankić,. Oraić: Dolazak na utanju dohodak-otrošnja u točke maksimalnog zadovoljstva... 49 košaru dobara s budžetske crte, nezasitni otrošač troši sav svoj dohodak, stoga u roblemu ograničene maksimizacije korisnosti ograničenje možemo isati u obliku jednakosti. Na temelju iznesenog, model otrošačeva onašanja s dvije varijable izbora možemo simbolički sažeto zaisati u obliku: maks ux (, x) x, x 0 uz uvjet x + x =. Iz zaisa je očito da je otrošačev cilj maksimizirati korisnost te da otrošač to mora učiniti izborom košare dobara i da ri tom izboru ne smije narušiti zadano ograničenje. Egzogene varijable, varijable koje otrošač ne može nadzirati, cijene su dobara, i, i dohodak otrošača,, dok su endogene varijable, varijable izbora ili varijable odlučivanja količine dobara x i x Postavljeni roblem ograničene otimizacije možemo riješiti na tri načina: metodom izravne sustitucije, metodom jednakih nagiba i metodom Lagrangeovog multilikatora.. Rješavanje modela metodom izravne sustitucije Radi otunosti izlaganja naišimo još jednom model otrošačeva onašanja s dvije varijable izbora: maks ux (, x) x, x 0 uz uvjet x + x =. () Iz zaisa je očito da treba naći maksimalnu vrijednost funkcije korisnosti u uvjetima u kojima budžetska jednadžba ograničava vrijednosti varijabli izbora. Kako se ovaj roblem rješava metodom izravne sustitucije? etoda izravne sustitucije olazi od stajališta da između količina x i x ostoji funkcionalni odnos i da, s tim u skladu, varijable x i x mogu orimiti samo vrijednosti koje zadovoljavaju budžetsko ograničenje. Kada se, na rimjer, količina x izrazi kao funkcija količine x, x( x ), tada za bilo koju zadanu količinu x, količinu x, koja zadovoljava budžetsko ograničenje, daje linearna funkcija x( x) = x. () Očito je da ovu linearnu funkciju možemo uvrstiti u funkciju korisnosti i na taj način, zadovoljavajući ograničenja koja ta linearna funkcija nameće na vrijednosti varijabli izbora, roblem ograničene maksimizacije svesti na roblem neograničene maksimizacije funkcije u = u( x, x( x)) = ux (, x), (3) u kojoj je varijabla izbora samo količina x. Proces otimizacije teče na uobičajen način. Kada ux (, x( x )) diferenciramo s obzirom na x i izjednačimo s nulom, dobivamo ux (, x( x)) ux (, x( x)) dx + = 0. (4) x x dx

50 Zbornik Ekonomskog fakulteta u Zagrebu, godina 4, 006. Prvi ribrojnik na lijevoj strani jednadžbe (4) izražava ovećanje korisnosti kao izravan učinak ovećanja količine dobra X, dok drugi član izražava romjenu korisnosti kao osredan učinak ovećanja količine dobra X. Posrednost učinka romjene količine dobra X očituje se u tome što ona rvo određuje romjenu količine dobra X i tek reko te romjene romjenu korisnosti. Primijetimo da je tek u ravnoteži asolutna veličina izravnog učinka romjene količine dobra X jednaka asolutnoj veličini osrednog učinka romjene količine dobra X. Funkciju () možemo diferencirati da bismo dobili dx =. (5) dx Nakon uvrštavanja (5) u (4) i dovođenja u rikladan oblik dobije se uobičajen uvjet dodirivosti, ux (, x )/ x =, (6) ux (, x / x koji nam kaže da je otrošač u ravnoteži onda kada je granična stoa sustitucije između dobara jednaka odnosu cijena dobara. Primjena metode izravne sustitucije moguća je i u slučajevima kada imamo veći broj endogenih varijabli. Njezina je osnovna značajka da ona roblem ograničene otimizacije koji ima n endogenih varijabli svodi na roblem neograničene otimizacije u kojem je (n- ) endogena varijabla. Ova je metoda rješavanja samo na rvi ogled vrlo rimamljiva. Nju uvijek nije moguće rimijeniti, osobito ne u slučaju kada je ograničenje zadano kao imlicitna funkcija iz koje ekslicitno ne možemo izraziti jednu varijablu kao funkciju druge varijable. Što je još važnije, ova metoda slabije od ostalih metoda rasvjetljuje strukturu roblema i narav rješenja, stoga ćemo odrobnije objasniti samo smisao dviju reostalih metoda.. Rješavanje metodom jednakih nagiba-grafički ristu Kada je zadano budžetsko ograničenje, funkciju korisnosti romatramo kao funkciju u kojoj su varijable x i x međusobno ovisne, odnosno kao funkciju u kojoj vrijednosti neovisnih varijabli zadovoljavaju budžetsko ograničenje. Ograničenje je u našem slučaju linearna funkcija i njezin je graf na slici. ravac u ravnini xox. Ograničenje zadovoljava svaka točka, svaka košara dobara, koja riada tom ravcu. eđutim, ograničenje nije zadovoljeno samo u svakoj točki koja riada budžetskoj crti već i u bilo kojoj točki koja se nalazi okomito iznad budžetske crte jer se okomito iznad bilo koje točke na budžetskoj crti mijenjaju vrijednosti samo varijable u, ali ne i vrijednosti varijabli x i x. ožemo stoga zaključiti da je u našem trodimenzionalnom slučaju ograničenje na doustive kombinacije količina x i x zadovoljeno u svakoj točki beskonačno roširive ravnine koja je aralelna s osi u i koja sadrži budžetsko ograničenje iz ravnine xox.

A. Puljić, I. Vrankić,. Oraić: Dolazak na utanju dohodak-otrošnja u točke maksimalnog zadovoljstva... 5 Razmotrimo sada odnos funkcije korisnosti i budžetskog ograničenja. Diferencijabilno strogo rastuća funkcija korisnosti funkcija je cilja. Ona nema maksimalnu vrijednost dok se ne uvedu ograničenja na vrijednosti varijabli x i x. Pošto se uvedu ograničenja na vrijednosti varijabli x i x, moramo naći količine x i x koje zadovoljavaju ograničenja i za koje funkcija cilja orima najveću vrijednost. Za sada retostavljamo da su količine koje maksimiziraju funkciju korisnosti ozitivne, odnosno da roblem maksimizacije korisnosti uz ograničenja ima unutarnje rješenje. Presjek ravnine koja je okomita na ravninu xox s grafom funkcije korisnosti ili sku zajedničkih točaka te ravnine i grafa, izgleda out ruba kriške. Između svih alikata točaka tog ruba, alikata točke (x, v ) redočava najveću vrijednost funkcije korisnosti na budžetskom ograničenju. U toj točki izoresjek funkcije korisnosti, čija je okomita rojekcija u ravnini xox krivulja indiferencije I, i budžetsko ograničenje, imaju jednak nagib. U ravnini xox nalaze se okomite rojekcije još dvaju izoresjeka funkcije korisnosti, krivulje indiferencije I i I. Slika., crtež (b), u biti je slika iz tičje ersektive. Ona na uobičajen način redočava okomite rojekcije triju, između beskonačno mnogo, izoresjeka funkcije korisnosti kao krivulje indiferencije I, I i I. Naša je ozornost usredotočena na točku x. Ta točka redočuje ozitivne količine x i x koje zadovoljavaju budžetsko ograničenje i maksimiziraju funkciju korisnosti. U toj se točki dodiruju krivulja indiferencije i budžetsko ograničenje, stoga krivulja indiferencije i budžetsko ograničenje u toj točki imaju jednak nagib. Ta se točka zove točka ravnoteže. Pokušajmo sada obliže objasniti kako otrošač dolazi do kombinacije količine dobara koju redočuje točka ravnoteže. Pri tom okazivanju olazimo od činjenice da asolutni nagib krivulje indiferencije, granična stoa sustitucije između dobara, dx RS =, mjeri sihičku, subjektivnu stou o kojoj je otrošač voljan razmijeniti dx dobro X za dobro X u nekoj točki krivulje indiferencije i da asolutni nagib budžetske crte, granična stoa tržišne transformacije, RT =, mjeri objektivnu stou o kojoj otrošač na tržištu može razmijeniti dobro X za dobro X. Lako je zamisliti da se otrošač može naći u točki na budžetskoj crti, kao što je to točka x, u kojoj je granična stoa sustitucije između dobara veća od granične stoe tržišne transformacije, dx RS = RT dx > =, u točki, kao što je točka x, u kojoj je granična stoa sustitucije između dobara manja od granične stoe tržišne transformacije, dx RS = RT dx < =, i, konačno, u točki, kao što je točka x, u kojoj je granična stoa sustitucije između dobara jednaka graničnoj stoi tržišne transformacije, dx RS = RT dx = =. eđutim, najvažnije je objasniti zašto će otrošač, kada se god nađe u okolnosti u kojoj se granična stoa sustitucije između dobara razlikuje od gra-

5 Zbornik Ekonomskog fakulteta u Zagrebu, godina 4, 006. nične stoe tržišne transformacije, nakon rocjene svoga stanja, naustiti to mjesto i otutovati u točku u kojoj je granična stoa sustitucije između dobara jednaka graničnoj stoi tržišne transformacije, u točku ravnoteže, u točku iz koje se u danim okolnostima ne želi micati. U kojoj god se točki na budžetskoj crti otrošač zateče, to je ujedno i točka na nekoj njegovoj krivulji indiferencije. Pretostavljamo da otrošač, kada se zateče u nekoj točki na budžetskoj crti, zna koliko je u toj točki sreman žrtvovati za vrlo malu dodatnu jedinicu dobra X da bi ostao na jednakoj razini zadovoljstva, da zna za koliki iznos dohotka na tržištu može kuiti broj koji je on sreman žrtvovati za dodatnu jedinicu dobra X i da zna je li taj iznos veći, jednak ili manji od iznosa kojim na tržištu može kuiti dodatnu jedinicu dobra X. Ako je iznos dohotka za koji na tržištu može kuiti broj koji je sreman žrtvovati za jedinicu dobra X veći od iznosa kojim na tržištu može kuiti dodatnu jedinicu dobra X, otrošač zaključuje kako bi mu bilo islativo da taj iznos izdvoji iz svoga dohotka, zato što bi za dio toga iznosa mogao kuiti jedinicu dobra X koja bi ga ostavila na neromijenjenoj razini zadovoljstva i što bi s reostalim dijelom izdvojenog dohotka mogao ovećati razinu svoga zadovoljstva u odnosu na razinu na kojoj bi ostao kada ne bi oduzeo oisanu rerasodjelu dohotka. Drugim riječima, ako je otrošačeva subjektivna vrijednost dodatne jedinice dobra X, vrijednost koju otrošač izražava vrijednošću određenog broja, veća od objektivne tržišne vrijednosti dodatne jedinice dobra X, vrijednosti koju tržište izražava vrijednošću određenog broja, odnosno ako je otrošačeva granična stoa sustitucije između dobra X i dobra X veća od granične stoe tržišne transformacije dobra X u dobro X, otrošaču se islati iz dohotka izdvojiti iznos kojim na tržištu može kuiti broj koji je on sreman žrtvovati za dodatnu jedinicu dobra X i na oisani način ovećati svoje blagostanje. Zamislite da se na crtežu (b) otrošač zatekao u točki x u kojoj je sreman žrtvovati veći broj za dodatnu jedinicu dobra X od broja za koji na tržištu može dobiti dodatnu jedinicu dobra X, u točki u kojoj je granična stoa sustitucije između dobara veća od granične stoe tržišne transformacije. Na temelju rethodne analize nije teško zaključiti da bi otrošač u toj okolnosti iz svog dohotka izdvojio iznos kojim na tržištu može kuiti broj koji je on sreman žrtvovati za dodatnu jedinicu dobra X i dijelom tog iznosa ovećao razinu svoje korisnosti u odnosu na razinu na kojoj se nalazio rije rerasodjele dohotka. To bi se ovećanje korisnosti očitovalo u omaku udesno iz točke resjecišta budžetske crte i krivulje indiferencije I, iz točke x, u neku novu točku resjecišta budžetske crte i krivulje indiferencije koja je udaljenija od koordinatnog očetka od krivulje indiferencije I.U toj bi novoj točki resjecišta dviju krivulja otrošač onovno usoredio broj koji je sreman žrtvovati za dodatnu jedinicu dobra X s brojem za koji na tržištu može dobiti dodatnu jedinicu dobra X, graničnu stou sustitucije između dobara s graničnom stoom tržišne transformacije. Ako bi onovno utvrdio da je broj jedinica dobra X koji je on sreman žrtvovati za dodatnu jedinicu dobra X veći od broja jedinica dobra

A. Puljić, I. Vrankić,. Oraić: Dolazak na utanju dohodak-otrošnja u točke maksimalnog zadovoljstva... 53 X za koji na tržištu može dobiti dodatnu jedinicu dobra X, da je granična stoa sustitucije između dobara veća od granične stoe tržišne transformacije, otrošač bi obnovio oisani roces rerasodjele dohotka s kunje dobra X i omaknuo se još više udesno od otonjeg sjecišta budžetske crte i krivulje indiferencije na novo sjecište budžetske crte i krivulje indiferencije. Ali gdje bi završilo to otrošačevo utovanje o budžetskoj crti udesno od točke x? Prije odgovora na ovo itanje moramo uozoriti kako retostavka da je otrošač nezasitan i retostavka da su otrošačeve referencije striktno konveksne, jamče da će otimalna košara dobara biti košara dobara na budžetskoj crti i da će otimalna košara dobara biti jedinstvena, ali i kako ne isključuju mogućnost da otimalna košara dobara bude «ugaona košara dobara», košara dobara u kojoj je količina jednog dobra jednaka nuli. Da bismo isključili mogućnost ugaonog rješenje i u analizi omogućili uotrebu diferencijalnog računa, retostavit ćemo da roblem maksimizacije korisnosti ima unutarnje rješenje, da količine dobara u otimalnoj košari dobara, x = ( x, x ), zadovoljavaju uvjete x > 0 i x > 0. Nakon uvođenja ove retostavke odgovor je na ostavljeno itanje osve jednostavan. Putujući o budžetskoj crti od košare dobara x udesno, uzastone uso- redbe broja, koje je otrošač sreman žrtvovati za dodatne jedinice dobra X, s brojem za koji on na tržištu može dobiti dodatnu jedinicu dobra X i odgovarajući omaci udesno otrošača bi konačno doveli do jedinstvene točke x u kojoj je on za dodatnu jedinicu dobra X sreman žrtvovati onaj broj jedinica dobra X za koji na tržištu može dobiti samo dodatnu jedinicu dobra X, do jedinstvene točke x u kojoj je granična stoa sustitucije između dobara jednaka graničnoj stoi tržišne transformacije. To je točka u kojoj je otrošačeva subjektivna vrijednost dodatne jedinice dobra X izražena vrijednošću broja, jednaka objektivnoj vrijednosti jedinice dobra X koju na tržištu izražava vrijednost broja. To je točka u kojoj krivulja indiferencije dodiruje budžetsku crtu, točka s koje otrošač rerasodjelom dohotka ne može rijeći na krivulju indiferencije koja je udaljenija od koordinatnog očetka od krivulje indiferencije I. Kada bi otrošač iz točke x okušao rijeći u neku novu točku na budžetskoj crti koja se nalazi neznatno desno od točke x, on bi se zatekao na krivulji indiferencije koja je bliže koordinatnom očetku nego krivulja indiferencije I. Iznos dohotka za koji se na tržištu može kuiti broj koji je otrošač sreman žrtvovati za dodatnu jedinicu dobra X, u toj bi točki bio manji od iznosa kojim se na tržištu može kuiti dodatna. Potrošačeva bi subjektivna vrijednost dodatne jedinice dobra X izražena vrijednošću određenog broja bila manja od objektivne vrijednosti dodatne jedinice dobra X koju tržište izražava vrijednošću određenog broja. Granična bi stoa sustitucije između dobara bila manja od granične stoe tržišne transformacije, stoga bi otrošač odmah uočio da na tržištu za jedinicu dobra X može dobiti veći broj od broja koji je on sreman žrtvovati za dodatnu jedinicu dobra X. Odmah bi izdvojio iznos dohotka s kojim na tržištu može kuiti jedinicu dobra X i taj bi iznos transformiranog dohotka s kunje dobra X uotrijebio za ovratak u točku ravnoteže x.

54 Zbornik Ekonomskog fakulteta u Zagrebu, godina 4, 006. Slika. Potrošačeva ravnoteža u slučaju ograničene maksimizacije

A. Puljić, I. Vrankić,. Oraić: Dolazak na utanju dohodak-otrošnja u točke maksimalnog zadovoljstva... 55 Na crtežu (a) graf ravnine koji je okomit na ravninu xox i kojem riada budžetska crta x + x =, dodiruje graf izoresjeka strogo rastuće funkcije korisnosti u točki (x, u ), a krivulja indiferencije I, koja je okomita rojekcija grafa izoresjeka na rav- ninu xox, zadanu budžetsku crtu u točki x. Košara dobara koju redočuje točka x maksimizira korisnost otrošaču zbog toga što svaka druga košara dobara koja riada budžetskoj crti I, riada nekoj drugoj krivulji indiferencije, kao na rimjer, krivulja indiferencije I koja je bliže koordinatnom očetku od krivulje indiferencije I i zbog toga što bilo kojoj krivulji indiferencije koja je od koordinatnog očetka udaljenija od krivulje indiferencije I, kao na rimjer, krivulji indiferencije I, ne riada nijedna košara dobara koja riada zadanoj budžetskoj crti. aksimalna je vrijednost funkcije korisnosti jednaka vrijednosti alikate u točki grafa (x, v ). Primijetite da je graf resjeka grafa ravnine i grafa funkcije korisnosti konkavna krivulja iznad budžetske crte. Na crtežu (b) svaka točka na budžetskoj crti redočuje košaru dobara s resjecišta budžetske crte i neke krivulje indiferencije. Potrošač se želi domoći košare dobara koja mu daje najveću korisnost. Tu košaru traži krećući se o budžetskoj crti i usoređujući broj za koji na tržištu može dobiti dodatnu vrlo malu jedinicu dobra X, T d x graničnu stou tržišne transformacije,, s brojem koji je on sreman žrtvovati za dodatnu jedinicu dobra X, s graničnom stoom sustitucije između dobara,. Ako je granična stoa tržišne transformacije dobra X P d x u dobro X manja od granične stoe sustitucije između dobara, kao što je to slučaj u točki x, otrošač u mislima zaočinje ostuno rerasodjeljivati dohodak s kunje dobra X na kunju dobra X, sustituirati dobro X dobrom X i relaziti na krivulje indiferencije koje su sve udaljenije od koordinatnog očetka od krivulje indiferencije I. To čini sve dok ne stigne u jedinstvenu točku stabilne ravnoteže x, u točku u kojoj je objektivna vrijednost dodatne jedinice dobra X koju tržište izražava vrijednošću broja, /, jednaka otrošačevoj subjektivnoj vrijednosti dodatne jedinice dobra X izražene vrijednošću broja koju je on sreman žrtvovati za tu jedinicu, dx/ dx. Potrošač ne može rijeći na krivulju indiferencije koja je udaljenija od koordinatnog očetka od krivulje indiferencije I, kao na rimjer krivulja indiferencije I, jer zadana budžetska crta nema zajedničku košaru dobara s tom krivuljom indiferencije. Na jednak se način može oisati dolazak u ravnotežu iz točke x u kojoj je granična stoa tržišne transformacije veća od granične stoe sustitucije između dobara. Slično rethodnom oisu, kada bi se otrošač zatekao u točki x u kojoj je za dodatnu jedinicu dobra X sreman žrtvovati manji broj od broja jedinica dobra X za koji na tržištu može dobiti jedinicu dobra X, u točki x u kojoj je granična stoa sustitucije između dobara manja od granične stoe tržišne transformacije, on bi uočio da može izdvojiti iznos dohotka kojim na tržištu može kuiti jedinicu dobra X, da samo za

56 Zbornik Ekonomskog fakulteta u Zagrebu, godina 4, 006. dio tog izdvojenog iznosa može kuiti broj koji bi ga zadržao na neromijenjenoj razini korisnosti i da ostatak može uotrijebiti za rijelaz na višu razinu korisnosti od razine koju redočuje krivulja indiferencije, od razine na kojoj bi ostao kada ne bi oduzimao rerasodjelu dohotka. Sada bi otrošač dobro X sustituirao dobrom X i kretao bi se ulijevo od točke I x sve dok ne bi stigao u točku x. Nakon oku- šaja da od točke x krene ulijevo onovno bi se uvjerio da ga to vodi na krivulju indiferencije koja je bliže koordinatnom očetku od krivulje indiferencije I i da je za njega najbolje da se vrati u točku ravnoteže x. Nesklad između vrijednosti određenog broja koju otrošač riisuje dodatnoj jedinici dobra X subjektivne vrijednosti, i objektivne vrijednosti određenog broja koju tržište riisuje dodatnoj jedinici dobra X, nesklad između granične stoe sustitucije dobra X za dobro X i granične stoe tržišne transformacije dobra X u dobro X, izražava neravnotežno stanje, stanje koje otrošač u danim uvjetima želi romijeniti. Žudnja otrošača da maksimizira svoje blagostanje, tjera ga da iskoristi nesuglasje između subjektivne i objektivne vrijednosti. Kao što smo objasnili, on to čini tako da na već oisani način rerasodjeljuje dohodak s kunje dobra X kada je subjektivna vrijednost jedinice dobra X veća od objektivne tržišne vrijednosti jedinice dobra X i da rerasodjeljuje dohodak s kunje dobra X kada je subjektivna vrijednost jedinice dobra X manja od objektivne tržišne vrijednosti jedinice dobra X. Postuna ga rerasodjela dohotka u oba slučaja dovodi do otimalne košare dobara x, do košare dobara koja maksimizira njegovu korisnost, do točke u kojoj je subjektivna vrijednost dodatne jedinice dobra X jednaka objektivnoj vrijednosti dodatne jedinice dobra X. Potrošač se ne želi omaknuti iz točke x jer bi ga omak u bilo kojem smjeru o budžetskoj crti odveo na nižu razinu zadovoljstva. Kada bi se to dogodilo, žudnja da maksimizira svoju korisnost natjerala bi ga da oduzme odgovarajuću rerasodjelu dohotka koja će ga vratiti u točku ravnoteže x. ožemo stoga zaključiti da je, ri danom ukusu otrošača i ri zadanoj budžetskoj crti, točka x jedinstvena točka stabilne ravnoteže. Vrlo sažeto, svaka je točka na budžetskoj crti sjecište budžetske crte i neke krivulje indiferencije. Kombinacija količina dobara u bilo kojoj točki na budžetskoj crti zadovoljava i jednadžbu budžetske crte i jednadžbu krivulje indiferencije koja siječe budžetsku crtu u toj točki. Ili još jednostavnije, u bilo kojoj točki na budžetskoj crti funkcija korisnosti ima određenu vrijednost, stoga je rirodno da otrošač ronalazi točku ravnoteže tako da isita kolika je vrijednost funkcije korisnosti u svakoj točki na budžetskoj crti i da kao onaj koji maksimizira svoju korisnost, izabere onu točku, onu košaru dobara, u kojoj funkcija korisnosti ima najveću vrijednost. Naravno, mnogo je krivulja indiferencije koje nemaju resjecište s budžetskom crtom. Takva je, na rimjer, krivulja indiferencije I. Na žalost, ni jedna košara dobara na krivulji indiferencije I ne može biti otimalna košara dobara jer otrošač, ri zadanim cijenama i, s dohotkom ne može ribaviti ni jednu košaru koja riada toj krivulji. Našu smo ozornost stoga i ograničili na košare dobara koje su otrošaču dostune.

A. Puljić, I. Vrankić,. Oraić: Dolazak na utanju dohodak-otrošnja u točke maksimalnog zadovoljstva... 57.3 atematička formalizacija metode jednakih nagiba a) Formalizacija dolaska u ravnotežu Pošto smo omoću elementarne logike okazali kako otrošač dolazi u točku ravnoteže, u točku dodira krivulje indiferencije i budžetske crte, sada ćemo dolazak u ravnotežu i karakteristike ravnoteže revesti u algebarski oblik. Pritom olazimo od retostavke da otrošač, kada se zateče u bilo kojoj točki krivulje indiferencije, zna kolika je granična korisnost dobra X, u i kolika je granična korisnost dobra X, u. Osim toga, olazimo i od već rihvaćene retostavke da otrošač, kada se zateče u bilo kojoj točki krivulje indiferencije, zna koliko je sreman žrtvovati za dodatnu jedinicu dobra X ili, sada još oćenitije, koju je količinu dobra X, dx, sreman žrtvovati za vrlo malu dodatnu količinu dobra X, dx da bi ostao na neromijenjenoj razini zadovoljstva. Uz navedene retostavke, kada se količina dobra X oveća za dx jedinica, rirast je korisnosti zbog tog vrlo malog ovećanja udx jedinica. Ovo je ovećanje korisnosti jednako smanjenju korisnosti zbog smanjenja količine dobra X za dx jedinica jer se ri sustituciji dobra X za dobro X razina korisnosti ne mijenja. Smanjenje korisnosti iznosi udx jedinica. Iz navedenog roizlazi da u svakoj točki krivulje indiferencije vrijedi udx + udx = 0 () Što otrošača otiče da se kreće o budžetskoj crti i relazi s jedne na drugu krivulju indiferencije sve dok ne dođe u točku, u našem slučaju u točku x, u kojoj je neka krivulja indiferencije, u našem slučaju krivulja indiferencije I, tangenta na budžetsku crtu? Potrošač rvenstveno zaaža da bi on, kada bi se zatekao u bilo kojoj točki budžetske crte u kojoj je granična stoa tržišne transformacije manja od granične stoe sustitucije, na rimjer, u našem slučaju u točki x, iz svog konstantnog dohotka mogao izdvojiti d jedinica dohotka za koji na tržištu, o tržišnoj cijeni, može kuiti dx koje je sreman žrtvovati za dx, stoga možemo isati d = dx. () Nadalje, otrošač zna da bi za izdvojeni dio dohotka, d, na tržištu, o tržišnoj cijeni, mogao kuiti više od dx, stoga vrijedi nejednakost d dx. (3) > Naokon, otrošaču ostaje sasvim jasno da on više ne mora ostati na krivulji indiferencije koja rolazi kroz resjecište s kojeg je ošao već da, ošto za dio izdvojenog dohotka kui količinu dx koja bi ga zadržala na toj krivulji indiferencije, s ostatkom neotrošenog izdvojenog novca može rijeći na krivulju indiferencije koja je udaljenija od koordinatnog očetka od krivulje indiferencije na kojoj bi ostao kad ne bi roveo reraso-

58 Zbornik Ekonomskog fakulteta u Zagrebu, godina 4, 006. d djelu dohotka. Budući da je dx > i d = dx, očito je kako se jednadžba () rerasodjelom dohotka reobražava u nejednadžbu d d u u > 0. (4) d Prerasodjela dohotka s kunje dx = dovodi tako do većeg d rirasta korisnosti što ga uzrokuje ovećanje kunje dobra X za jedinica od smanjenja korisnosti što ga uzrokuje smanjenje kunje dobra X d za jedinica. Sve dok vrijedi nejednakost (4), otrošač će rovoditi rerasodjelu dohotka jer ga ona vodi na sve veću razinu korisnosti. U trenutku kada otrošač za izdvojeni dohodak d iz konstantnog dohotka može kuiti dx = jedinica dobra d d X i samo = dx jedinica dobra X, ovećanje korisnosti od rerasodjele dohotka restaje. U točki u kojoj se zaustavlja ovećanje korisnosti od rerasodjele dohotka, u našem slučaju u točki x, nejednakost (4) ostaje jednakost d d u (x ) u (x ) = 0 (5) dx U toj je točki sremnost otrošača da žrtvuje za dodatnu dx jedinicu dobra X, subjektivna vrijednost jedinice dobra X izražena određenog broja vrijednošću jednaka objektivnoj vrijednosti jedinice dobra X koju tržište izražava vrijednošću određenog broja, vrijednosti. Kada bi se otrošač sada omaknuo tek malo desno od točke x, on bi se zatekao na krivulji indiferencije koja je bliže koordinatnom očetku od krivulje indiferencije I koja dodiruje budžetsku crtu u točki x. Drugim riječima, kada bi se otrošač omaknuo tek malo udesno od točke x, on bi se uvjerio da za izdvojeni dohodak d za koji bi na tržištu d mogao kuiti dx =, na tržištu ne bi mogao kuiti dx jedinica d dobra X, < dx. U tom bi se slučaju jednadžba () rerasodjelom dohotka reobrazila u nejednadžbu

A. Puljić, I. Vrankić,. Oraić: Dolazak na utanju dohodak-otrošnja u točke maksimalnog zadovoljstva... 59 d d u + u > 0, (6) koja nakon množenja s (-) orima oblik d d u u < 0. (7) U zatečenom bi stanju vrijednost jedinice dobra X za otrošača bila veća od vrijednosti koju jedinici dobra X riisuje tržište, stoga bi on iz konstantnog dohotka izdvojio iznos dohotka d kojim bi na tržištu mogao kuiti dx, d dx =, ali i više od d dx, > dx, i na taj bi način izabrao ut ovratka u točku ravnoteže x, u točku u kojoj je isunjena jednakost (5). d Kada bi se otrošač zatekao u točki x, u točki u kojoj je dx = i d < dx, on d bi roveo analizu koja je analogna analizi slučaja u kojem je dx = i d dx >, s tom razlikom što bi se sada rerasodjelom dohotka s kunje dobra X vratio u točku ravnoteže x sustituirajući dobro X dobrom X. Pokušaj da se omakne lijevo od točke x odveo bi ga na krivulju indiferencije koja je bliže koordinatnom očetku od krivulje indiferencije I i uozorio ga da se rerasodjelom dohotka s kunje dobra X vrati u točku ravnoteže x. ožemo stoga zaključiti da je točka u kojoj otrošač, uz zadane cijene i zadani dohodak, maksimizira svoju korisnost točka stabilne ravnoteže x, točka u kojoj krivulja indiferencije dodiruje budžetsku crtu, točka u kojoj je granična stoa sustitucije između dobara jednaka graničnoj stoi tržišne transformacije ili ekonomskoj sustituciji između dobara: u(x ) =. (7) u (x ) b) Izvođenje granične korisnosti dohotka Vratimo se onovno jednakosti (5) koju, nakon dijeljenja s d, možemo naisati u obliku u(x ) = u(x ). (8) u (x ) Jednakost se (7), nakon množenja s, također svodi na jednakost (8). Jedinice u brojnicima razlomaka na lijevoj i desnoj strani jednakosti (8) zamišljamo sada kao vrlo male jedinice dohotka, d =, odnosno kao vrlo male jedinice novčanih izdataka na dobro

60 Zbornik Ekonomskog fakulteta u Zagrebu, godina 4, 006. X i dobro X. Stoga nam kvocijent kaže da bi otrošač u ravnoteži, kada bi na kunju dobra X izdao dodatnu vrlo malu jedinicu dohotka, mogao kuiti dx = jedinica dobra X, a kvocijent da bi otrošač u ravnoteži, kada bi na kunju dobra X izdao dodatnu vrlo malu jedinicu dohotka, mogao kuiti dx =. udx je korisnost od dx koje su kuljene dodatnom vrlo malom jedinicom novca, a udx korisnost od dx koje su kuljene dodatnom vrlo malom jedinicom novca. Bez obzira na to na koje bi dobro otrošač otrošio vrlo malu dodatnu jedinicu dohotka, on bi, budući da se nalazi u ravnoteži, u oba slučaja ostvario jednak rirast korisnosti. Zbog toga je rirast korisnosti od dodatno otrošene jedinice dohotka u u na kunju dobra X i rirast korisnosti od dodatno otrošene jedinice dohotka na kunju dobra X. Prirast korisnosti od dodatne vrlo male jedinice dohotka zove se granična u korisnost dohotka. S tim je u skladu granična korisnost dohotka izdanog na dobro X, u a granična korisnost dohotka izdanog na dobro X. Stoga možemo reći da je otrošač u ravnoteži kada je granična korisnost dohotka izdanog na dobro X jednaka graničnoj korisnosti dohotka izdanog na dobro X : u(x ) u(x ) =. (9) Zajedničku ćemo vrijednost ovih dvaju kvocijenata u ravnoteži, kvocijenta između u(x ) granične korisnosti dobra X o jedinici dohotka,, i kvocijenta između granične u(x ) korisnosti dobra X o jedinici dohotka,, označiti s λ x ) (. U skladu s navedenim možemo isati da u ravnoteži vrijedi u (x ) u(x ) = = λ (x ) (0) i reći da je λ (x ) granična korisnost dohotka ili granična korisnost novca u ravnoteži.

A. Puljić, I. Vrankić,. Oraić: Dolazak na utanju dohodak-otrošnja u točke maksimalnog zadovoljstva... 6 u(x ) Zanimljivo je također uočiti da se kvocijent može rotumačiti kao odnos granične korisnosti i graničnih troškova. U brojniku je tog kvocijenta granična korisnost dobra X u ravnoteži, u (x ). Cijena u nazivniku iznos je koji otrošač mora otrošiti na dodatnu jedinicu dobra X, stoga je cijena dobra X granični trošak dobra X. Na jednak se način kvocijent može rotumačiti kao odnos granične korisnosti dobra X u(x ) i graničnog troška dobra X. I ovo tumačenje daje jasno do znanja da zajednička vrijednost kvocijenata u ravnoteži, λ (x ), izražava graničnu korisnost dohotka, dodatnu korisnost koju uzrokuje dodatno otrošena jedinica dohotka. Dodatnom jedinicom dohotka, d =, otrošač kuuje dx =, a dx otrošaču daju udx jedinica korisnosti. c) Rješenja modela i formiranje sustava jednadžbi koje ih određuju Pretostavimo sada da je iz (7) moguće ekslicitno izraziti količine endogene varijable x kao funkciju endogene varijable x : x = x( x;, ). () Jednadžba () izvedena je samo iz uvjeta dodirivosti krivulje indiferencije i budžetske crte, ali ne iz budžetskog ograničenja, stoga ona vrijedi za sve razine dohotka i definira crtu koja ovezuje sve moguće točke otimuma, odnosno sve moguće točke dodira između budžetskih crta i krivulja indiferencije. Ova se crta koju redočuje slika., zove utanja dohodak-otrošnja. Kada se () uvrsti u budžetsku jednadžbu dobije se x + x ( x;, ) =, () odakle roizlazi da je arshallova funkcija otražnje za dobrom X: x = x (,, ). (3) Za bilo koje zadane cijene i bilo koji zadani dohodak iz (3) se dobije otimalna količina dobra X ri kojoj se maksimizira otrošačeva korisnost. To je samo rva koordinata točke otimuma x. Kada se (3) uvrsti u () dobije se arshallova funkcija otražnje za dobrom X : x = x (,, ). (4) arshallove funkcije otražnje (3) i (4) katkad se zovu funkcije otimalnog izbora, katkad funkcije otražnje s konstantnim novčanim dohotkom i vrlo često samo obične funkcije otražnje. Potrošačevo zadovoljstvo maksimizira košara dobara x = ( x, x ). To je na krivulji dohodak-otrošnja od koordinatnog očetka najudaljenija košara dobara koju otrošač ri zadanim cijenama i ri zadanom dohotku može ribaviti.

6 Zbornik Ekonomskog fakulteta u Zagrebu, godina 4, 006. Slika. Putanja dohodak-otrošnja Putanja dohodak-otrošnja sku je otencijalnih točaka ravnoteže, točaka u kojima krivulje indiferencije dodiruju različite aralelne budžetske crte. Njezino izvođenje ne ovisi o dohotku, stoga ona redočuje košare dobara između kojih svaka maksimizira otrošačevu korisnost za odgovarajuću zadanu razinu dohotka. Što je zadana razina dohotka veća, otimalna je košara dobara na utanji dohodak-otrošnja udaljenija od koordinatnog očetka. Zamislite da je zadana razina dohotka. U tom slučaju košara dobara x, redočena resjecištem budžetske crte i utanje dohodak-otrošnja, daje otrošaču maksimalnu korisnost u. Nakon uvrštavanja funkcija otražnje (3) i (4) u funkciju korisnosti, kao funkciju cilja, dobije se indirektna funkcija korisnosti: v(,, ) = u( x (,, ), x (,, )), (5) iz koje se, uvažavajući već zadane cijene i već zadani dohodak, dobije maksimalna vrijednost funkcije korisnosti. Indirektna funkcija korisnosti daje maksimalnu vrijednost funkcije

A. Puljić, I. Vrankić,. Oraić: Dolazak na utanju dohodak-otrošnja u točke maksimalnog zadovoljstva... 63 korisnosti za bilo koji sku cijena i bilo koju razinu dohotka. Ona ističe činjenicu da razina korisnosti, u određenom smislu, neizravno ovisi o cijenama dobara i otrošačevu dohotku, stoga se i zove indirektna funkcija korisnosti. Lako je dokučiti da je zajednička vrijednost kvocijenata u ravnoteži, λ (x ), u(x )/ ili u(x )/. Ovdje nas zanima više od toga. Zanima nas formiranje sustava jednadžbi iz kojeg su roizašla rješenja arshallove funkcije otražnje x, x i λ. Iz kvocijenta roizlazi jednakost a iz kvocijenta u (x ) = λ (6) u (x ) λ = 0, (7) u (x ) jednakost u(x ) λ = 0. (9) Iz jednakosti (7) i (9) roizlaze dvije jednadžbe sustava s tri neoznanice. Kada im se nadoda jednadžba ograničenja, onda se dobije sustav od tri jednadžbe s tri neoznanice iz kojeg su roizaašla rješenja x, x i λ. Taj je sustav u(x)- λ = 0 u(x)- λ = 0 (0) x + x = 0. Već smo ilustrirali kako se ovaj sustav rješava. Primijetimo još da kvocijent λ= u u = u jednadžbama sustava igra ulogu multilikatora koji množi funkcije graničnih troškova tako da vrijednosti umnožaka u točki ravnoteže budu jednake odgovarajućim vrijednostima funkcija graničnih korisnosti. = λ (8) 3. ODEL OGRANIČENE INIIZACIJE IZDATAKA Vidjeli smo da otrošač roblem ograničene maksimizacije korisnosti rješava tako da utuje o budžetskoj crti sve dok ne naiđe na jedinstvenu točku, košaru, ravnoteže x, u kojoj krivulja indiferencije I siječe utanju dohodak otrošnja i dodiruje budžetsku crtu definiranu cijenama i i otrošačevim dohotkom. Na utanji dohodak-otrošnja košara dobara x najudaljenija je košara dobara od koordinatnog očetka koju otrošač može ribaviti za zadane cijene i i za zadani dohodak, stoga je i krivulja

64 Zbornik Ekonomskog fakulteta u Zagrebu, godina 4, 006. indiferencije I najudaljenija krivulja indiferencije od koordinatnog očetka na kojoj se otrošač može naći kuujući košaru dobara x. Pretostavimo sada da nas zanima kako bi otrošač, ri jednakim cijenama dobara kao i u roblemu maksimizacije korisnosti, minimizirao izdatke za maksimalnu razinu korisnosti ( ux, x ) dobivenu kao rješenje roblema ograničene maksimizacije. Kada bi dovitljivi otrošač znao da je x otimalna košara dobara koja za zadane cijene i zadani doho- dak maksimizira njegovu korisnost, on bi vjerojatno odmah odgovorio da je košara dobara x ona košara koja minimizira izdatke za zadanu razinu korisnosti i da njegovi minimalni izdatci iznose. eđutim, mi retostavljamo da otrošač ne zna rezultate maksimizacije korisnosti i da on u tim uvjetima mora riješiti roblem minimizacije izdataka: gdje je u zadana razina korisnosti. min ( x + x) x, x 0 uz uvjet ux (, x) = u, () 3. Dolazak u ravnotežu metodom jednakih nagiba-grafički ristu Sliku 3 s našeg stajališta možemo shvatiti kao grafičku ilustraciju ograničene minimizacije za zadanu razinu korisnosti dobivenu kao rješenje roblema ograničene maksimizacije i kao grafičku ilustraciju roblema ograničene minimizacije sa stajališta otrošača. Potrošaču bi sada zasigurno alo na um da roblem minimizacije izdataka za zadanu korisnost može riješiti krećući se uzduž krivulje indiferencije koja redočuje zadanu razinu korisnosti i usoređujući na tom utu koliko bi ga ri zadanim cijenama dobara koštale košare dobara dok konačno ne naiđe na najjeftiniju jedinstvenu košaru dobara x u kojoj crta jednakih izdataka siječe utanju otrošnja-izdatci odnosno utanju korisnost-izdatci, reimenovanu utanju dohodak-otrošnja, i dodiruje zadanu krivulju indiferencije. Košara dobara x koja otrošaču daje zadanu razinu korisnosti najmanje je udaljena košara dobara od koordinatnog očetka na utanji korisnost-izdatci koja može isuniti tu zadaću, stoga je i crta jednakih izdataka kojoj riada košara dobara x, crta jednakih izdataka koja je najmanje udaljena od koordinatnog očetka. Za razliku od otrošača, mi koji smo svjesni da je zadana razina korisnosti maksimalna razina korisnosti dobivena kao rješenje roblema ograničene maksimizacije korisnosti i da se cijene dobara ne mijenjaju, znamo da su količine dobara u košari dobara x jednake količinama dobara u košari dobara x, znamo da je x =x i da je iznos minimalnih izdataka otrošača na kunju košare dobara x jednak iznosu zadanog dohotka iz roblema maksimizacije korisnosti, odnosno da je otimalna crta jednakih izdataka u roblemu minimizacije izdataka budžetska crta iz roblema maksimizacije korisnosti. Ili oćenitije, mi znamo da je otimalna vrijednost funkcije izdataka, kada je maksimalna vrijednost funkcije korisnosti iz roblema ograničene maksimizacije korisnosti zadana kao ograničenje, jednaka razini ograničenja, dohotku, iz roblema ograničene maksimizacije korisnosti. Jednako tako znamo da je otimalna vrijednost funkcije korisnosti u roblemu ograničene maksimizacije korisnosti, kada je minimalna vrijednost funkcije izdataka iz roblema ograničene minimizacije izdataka zadana kao ograniče-

A. Puljić, I. Vrankić,. Oraić: Dolazak na utanju dohodak-otrošnja u točke maksimalnog zadovoljstva... 65 nje, jednaka razini ograničenja, zadanoj razini korisnosti roblema ograničene minimizacije. Iz do sada rečenog nije teško shvatiti da je indirektna funkcija korisnosti, kada se cijene dobara ne mijenjaju, strogo rastuća funkcija dohotka koju je moguće invertirati i na taj način dobiti funkciju izdataka e= e(,, u), kao i to da je funkcija izdataka, kada se cijene ne mijenjaju, strogo rastuća funkcija razine korisnosti koju je moguće invertirati i na taj način dobiti indirektnu funkciju korisnosti v = v(,, ). Ovo je vrlo važan nalaz jer ukazuje da nam dvije vrste otimizacije daju iste obavijesti. Ovdje ćemo završiti ovaj vrlo kratak, ali nadamo se, i vrlo koristan izlet na odručje dualnosti na koje ćemo se ovremeno vraćati tek ošto malo odrobnije oišemo kako otrošač dolazi do otimalne kombinacije količina x i x, do količina koje minimiziraju njegove izdatke za zadanu razinu korisnosti. Pretostavimo da se na slici 3., crtežu (b), otrošač zatekao u točki x u kojoj je sreman žrtvovati dx za dx i u kojoj se na tržištu za dx može dobiti više od dx, u točki u kojoj je granična stoa sustitucije između dobara veća od granične stoe tržišne transformacije. Potrošač bi u toj okolnosti odmah shvatio da bi samo za dio izdataka koji bi imao na dx na tržištu mogao kuiti dx i tako ostati na zadanoj razini korisnosti smanjujući izdatke za zadanu razinu korisnosti u odnosu na izdatke koje bi imao u točki x. Nakon omaka iz točke x niz krivulju indiferencije u novu točku sjecišta krivulje indiferencije i nove crte jednakih izdataka koja je aralelna s crtom jednakih izdataka koja rolazi kroz točku x, ali i bliža od nje koordinatnom očetku, otrošač bi o- novno usoredio dx koji je on sreman žrtvovati za dx jedinica dobra X s brojem za koje na tržištu može dobiti dx. Ako bi onovno utvrdio da je broj koji je on sreman žrtvovati za dx veći od broja za koji na tržištu može dobiti dx jedinica dobra X, otrošač bi shvatio da još može sniziti izdatke za zadanu razinu korisnosti silazeći niz krivulju indiferencije u novo sjecište neromijenjene krivulje indiferencije s novom crtom jednakih izdataka. Ovo bi utovanje trajalo sve dok otrošač ne naiđe na jedinstvenu točku x u kojoj je broj, dx koji je on sreman žrtvovati za dx, jednak broju za koji na tržištu može dobiti dx, sve dok ne naiđe na točku x u kojoj je granična stoa sustitucije između dobara jednaka graničnoj stoi tržišne transformacije. Točka x je točka ravnoteže, točka u kojoj je otrošačeva subjektivna vrijednost dodatne jedinice dobra X izražena vrijednošću određenog broja koje je on sreman zauzvrat žrtvovati, jednaka objektivnoj vrijednosti dodatne jedinice dobra X koju tržište izražava vrijednošću određenog broja. Kada bi otrošač krenuo niz krivulju indiferencije dalje od točke x i tako okušao sniziti izdatke za zadanu razinu korisnosti, on bi uvidio da je broj, dx koji je on sreman žrtvovati za dx, manji od broja za koji na tržištu može dobiti dx, da

66 Zbornik Ekonomskog fakulteta u Zagrebu, godina 4, 006. je granična stoa sustitucije između dobara manja od granične stoe tržišne transformacije i zbog toga bi se vratio u točku ravnoteže x. Na sličan bi se način mogao oisati dolazak u točku ravnoteže olazeći od retostavke da se otrošač zatekao u točki x. Slika 3. Potrošačeva ravnoteža u slučaju ograničene minimizacije

A. Puljić, I. Vrankić,. Oraić: Dolazak na utanju dohodak-otrošnja u točke maksimalnog zadovoljstva... 67 Na crtežu (a) graf izoresjeka strogo rastuće funkcije korisnosti koji je aralelan s ravninom xox, redočuje zadanu razinu korisnosti u = u( x, x) i dodiruje graf ravnine koja je okomita na ravninu xox u točki (x, u ). Okomita je rojekcija grafa tog izoresjeka na ravninu xox krivulja indiferencije izdataka e= x+ x. Točka I koja u točki x dodiruje crtu jednakih x jedina je točka koja zadovoljava i jednadžbu jednakih izdataka e= x+ x i jednadžbu krivulje indiferencije u = u( x, x). Košara dobara koju redočuje ta točka minimizira otrošačeve izdatke za zadanu razinu korisnosti zbog toga što svaka druga košara dobara koja riada krivulji indiferencije I riada crti jednakih izdataka koja je od koordinatnog očetka udaljenija od crte jednakih izdataka e= x+ xi zbog toga što nijedna košara dobara koja riada krivulji indiferencije I ne riada nijednoj crti jednakih izdataka koja je bliže koordinatnom očetku od crte e= x+ x, stoga su otrošačevi minimalni izdatci e= x + x. Na crtežu (b) svaka točka na krivulji indiferencije redočuje košaru dobara s resjecišta neke crte jednakih izdataka i krivulje indiferencije. Potrošač se želi domoći košare dobara koja mu minimizira izdatke za zadanu razinu korisnosti. Tu košaru traži krećući se o krivulji indiferencije i usoređujući broj koji je on sreman žrtvovati za dodatnu vrlo malu jedinicu dobra X, graničnu stou sustitucije između dobara, s brojem za koji na tržištu može dobiti dodatnu jedinicu dobra X, s graničnom stoom tržišne transformacije. Ako je granična stoa sustitucije između dobara veća od granične stoe tržišne transformacije, kao što je to slučaj u točki x, otrošač u mislima zaočinje ostuno rerasodjeljivati izdatke s kunje dobra X na kunju dobra X i relaziti na crte jednakih izdataka koje su sve manje udaljene od koordinatnog očetka. To čini sve dok ne stigne u jedinstvenu točku stabilne ravnoteže x, u točku u kojoj je njegova subjektivna vrijednost dodatne jedinice dobra X izražena vrijednošću broja jedinica dobra X koji je on sreman žrtvovati za tu jedinicu jednaka objektivnoj vrijednosti dodatne jedinice dobra X koju tržište izražava vrijednošću jednakog broja. Potrošač ne može rijeći na crtu jednakih izdataka koja je bliže koordinatnom očetku od crte jednakih izdataka e= x+ x jer na toj crti ne bi bilo košare dobara koja riada zadanoj krivulji indiferencije. Na jednak se način oisuje dolazak u ravnotežu iz točke x u kojoj je granična stoa sustitucije između dobara manja od granične stoe tržišne transformacije. 3. atematička formalizacija metode jednakih nagiba a) Formalizacija dolaska u ravnotežu atematička formalizacija rethodnih nalaza slična je matematičkoj formalizaciji nalaza u roblemu ograničene maksimizacije korisnosti. U slučaju ograničene minimizacije izdataka olazimo od činjenice da je u bilo kojoj točki krivulje indiferencije, sa stajališta otrošača koji izražava da je voljan žrtvovati dx za dx jedinica do-

68 Zbornik Ekonomskog fakulteta u Zagrebu, godina 4, 006. bra X da bi ostao na jednakoj razini zadovoljstva, smanjenje korisnosti zbog smanjenja količine dobra X za dx jedinica, udx, jednako rirastu korisnosti zbog ovećanja dobra X za dx jedinica, udx. Polazimo od činjenice da je totalni diferencijal jednadžbe krivulje indiferencije jednak nuli, odnosno od činjenice da i dalje vrijedi jednakost () iz rethodnog odjeljka. Pretostavka da se otrošač zatekao u točki x znači da bi on dio dohotka d za koji o tržišnoj cijeni može kuiti dx bio sreman žrtvovati za kunju dx o tržišnoj cijeni. Iznos dohotka d odijeljen cijenom jednak je broju, dx koji je otrošač sreman žrtvovati za dx : d = dx. () eđutim, otrošaču koji se zatekao u točki x tržište omogućuje da za iznos d o cijeni kui više od dx : d dx. (3) > Budući da želi ostati na neromijenjenoj razini korisnosti, otrošač sada zaaža da bi samo dio iznosa d morao izdati na kunju dx i da bi za neotrošeni dio iznosa d smanjio svoje izdatke za zadanu razinu zadovoljstva. Kad se () i (3) uvrste u (), dobije se nejednakost d d u u > 0 (4) koja otrošača uozorava da bi on sišao s krivulje indiferencije s koje ne želi sići kada bi čitav iznos d izdao na kunju dobra X. Da smanji izdatke za zadanu razinu korisnosti, otrošač bi stoga nastavio ostuno sustituirati dobro X dobrom X i relazio bi na crte jednakih izdataka koje su sve bliže koordinatnom očetku dok god na krivulji indiferencije d d o kojoj se kreće ne bi došao u točku u kojoj je = dx i = dx, odnosno u točku u kojoj je d d u u = 0. (5) To je točka ravnoteže x u kojoj crta jednakih izdataka dodiruje krivulju indiferencije. Kad bi se otrošač, idući niz krivulju indiferencije, omaknuo tek malo desno od točke x, on bi se zatekao na crti jednakih izdataka koja je udaljenija od koordinatnog očetka od crte jednakih izdataka koja dodiruje krivulju indiferencije u točki x. Potrošač bi se odmah uvjerio da za iznos d, za koji bi o cijeni na tržištu mogao kuiti dx jedinica dobra X, više ne bi mogao kuiti dx, odnosno da bi sada vrijedila nejednakost:

A. Puljić, I. Vrankić,. Oraić: Dolazak na utanju dohodak-otrošnja u točke maksimalnog zadovoljstva... 69 d d u u < 0. (6) Potrošač bi stoga odustao od daljnjeg utovanja i ostao bi u točki stabilne ravnoteže x koja je za nas, koji znamo da je zadana razina korisnosti u roblemu minimizacije dobivena maksimalna razina korisnosti iz roblema ograničene maksimizacije, i točka stabilne ravnoteže x, x = x. Na sličan bismo način mogli oisati utovanje otrošača u točku ravnoteže x kada bismo retostavili da se otrošač zatekao u točki x. Na temelju rethodne analize možemo sada zaključiti da je točka u kojoj otrošač minimizira izdatke za zadanu razinu korisnosti, točka stabilne ravnoteže x, točka u kojoj crta jednakih izdataka dodiruje krivulju indiferencije, točka u kojoj je granična stoa sustitucije između dobara jednaka graničnoj stoi tržišne transformacije ili ekonomske sustitucije između dobara: u u =. (7) b) Izvođenje graničnog troška korisnosti Proces maksimizacije korisnosti, uz zadane cijene dobara i zadani dohodak, dovodi otrošača u onu točku u kojoj mu zadnja jedinica otrošenog dohotka na bilo koje dobro daje jednaku korisnost, a roces minimizacije izdataka, uz zadane cijene dobara i zadanu razinu korisnosti u onu točku u kojoj su njegovi izdatci, na količine bilo kojeg dobra koje mu daju dodatnu jedinicu korisnosti jednaki, stoga je, u slučaju minimizacije izdataka, jednakost (7) rikladno isati u obliku = (8) u (x ) u (x ) Za dodatnu vrlo malu jedinicu korisnosti u ravnoteži, du =, otrošač bi morao otrošiti = dx. Kad se taj dodatni broj omnoži cijenom dobra X, u(x ), dobije se rirast izdataka koji uzrokuje rirast korisnosti za jednu vrlo malu jedinicu. Ovaj nalaz možemo izraziti zaisom = dx u(x ). (9) Isto bi tako, za dodatnu vrlo malu jedinicu korisnosti, du =, u ravnoteži otrošač morao otrošiti = dx i zbog toga ovećati izdatke za u (x ) = dx. (0) u(x )

70 Zbornik Ekonomskog fakulteta u Zagrebu, godina 4, 006. Prirast izdataka koji je neohodan da se korisnost oveća za jednu vrlo malu jedinicu u oba se slučaja izražava izdatcima na dodatne količine dobara koje su neohodne da se taj rirast korisnosti ostvari. Bez obzira na to kojom bi otrošnjom dobra ili kombinacijom otrošnje dobara otrošač ovećao korisnost za jednu vrlo malu jedinicu, on bi u oba slučaja imao jednake izdatke jer nalazi u ravnoteži. Prirast izdataka na dodatnu jedinicu korisnosti zove se granični trošak korisnosti. Cijene su dobara, kao što znamo, granični troškovi dobara sa stajališta otrošača, stoga je (x ) odnos između graničnog troška dobra X i u granične korisnosti dobra X, a (x ) odnos između graničnog troška dobra X i granične korisnosti dobra X u. Zajedničku ćemo vrijednost ovih dvaju kvocijenata u ravnoteži označiti µ () i s tim u skladu isati = = µ u (x ) (x ) u (x ). () Iz () se jasno vidi da je µ () granični trošak korisnosti u ravnoteži, dodatni trošak što ga uzrokuje dodatna jedinica korisnosti. Dodatnu vrlo malu jedinicu korisnosti, du =, otrošač ostvaruje otrošnjom = dx ili otrošnjom u(x ) = dx na koje smo izdali dx ili dx jedinica dohotka. Sada u(x ) nam je lako objasniti i vezu između granične korisnosti dohotka u ravnoteži, λ (x ), i graničnog troška korisnosti u ravnoteži, µ (x ). Budući da je granični trošak dobra X i u(x ) = u(x ) granična korisnost dobra X u ravnoteži te da je granični trošak dobra X i u(x ) = u(x ) granična korisnost dobra X u ravnoteži, zajednička vrijednost µ (x ) izražava vrijednost odnosa graničnog troška i granične korisnosti u ravnoteži za oba dobra, a zajednička vrijednost λ (x ) vrijednost odnosa granične korisnosti i graničnog troška u ravnoteži za oba dobra. Očito je dakle da je granična korisnost dohotka u ravnoteži, λ (x ) jednaka reciročnoj vrijednosti graničnog troška korisnosti u ravnoteži, µ (x ), λ (x ) (x ) =. () Jednostavno rečeno, u ravnoteži je granična korisnost dohotka jednaka reciročnoj vrijednosti graničnog troška korisnosti. µ

A. Puljić, I. Vrankić,. Oraić: Dolazak na utanju dohodak-otrošnja u točke maksimalnog zadovoljstva... 7 c) Rješenja modela i formiranje sustava jednadžbi koje ih određuju Pokušajmo sada naći vrijednosti endogenih varijabli u ravnoteži, vrijednosti x, x i µ. Radi toga ćemo retostaviti da je endogenu varijablu x iz (7) moguće ekslicitno izraziti kao funkciju endogene varijable x i retostavku izraziti zaisom: x = x( x;, ). (3) Jednadžbu (3), kao i jednadžbu () u roblemu ograničene maksimizacije, izvodimo samo iz uvjeta dodirivosti crte jednakih izdataka ili jednakih troškova koja je u biti budžetska crta iz roblema ograničene maksimizacije i krivulje indiferencije, ali ne i iz zadane razine korisnosti kao ograničenja. Ulogu dohotka iz roblema ograničene maksimizacije ovdje reuzima zadana razina korisnosti. Jednadžba (3) identična je jednadžbi () iz roblema ograničene maksimizacije, stoga ona vrijedi za sve razine korisnosti i definira crtu koja ovezuje sve točke dodira između krivulja indiferencije i aralelnih crta jednakih izdataka. Tako definiranu crtu nazvat ćemo utanja otrošnja-izdatci ili utanja korisnostizdatci. Putanja korisnost-izdatci ujedno je i utanja dohodak-otrošnja koja je izvedena iz modela ograničene minimizacije izdataka kao što je i utanja dohodak-otrošnja utanja korisnost-izdatci koja je izvedena iz modela ograničene maksimizacije korisnosti. Svaka točka na toj dvojnoj utanji redočuje košaru dobara koja maksimizira korisnost za neki zadani iznos dohotka i minimizira izdatke za zadanu maksimalnu korisnost koja je ostvarena tim zadanim iznosom dohotka. inimalni su izdatci za tu zadanu maksimalnu korisnost jednaki zadanom iznosu dohotka kojim je ta maksimalna korisnost ostignuta. Ili obrnuto, svaka točka na toj dvojnoj utanji redočuje košaru dobara koja minimizira izdatke za neku zadanu razinu korisnosti i maksimizira korisnost za zadani dohodak koji je jednak minimalnim izdatcima za zadanu razinu korisnosti. aksimalna je korisnost za taj zadani minimalni iznos dohotka (izdataka) jednaka zadanoj razini korisnosti koja je ostvarena tim minimalnim iznosom izdataka. Kada se (3) uvrsti u jednadžbu korivulje indiferencije, dobije se ux (, x( x;, )) = u, (4) odakle roizlazi icksova funkcija otražnje ili komenzirana funkcija otražnje za dobrom X: x = x (,, u). (5) icksova se zove o velikom engleskom ekonomistu Johnu icksu. Suoznaka u funkciji mnemotehničke je naravi. Ona nam samo omaže da se lakše sjetimo kako se radi o icksovoj funkciji otražnje. Ovdje se radi o modelu u kojem se realni dohodak otrošača ne mijenja. Ovaj je model misaona konstrukcija u skladu s kojom otrošač uvijek ima točno onoliko novčanih sredstava koliko mu je otrebno da stalno bude na istoj krivulji indiferencije. Prijelazom iz jedne u drugu točku na krivulji indiferencije nominalni se dohodak otrošača rilagođuje tako da mu se oduzme višak do iznosa koji mu je neohodan da ostane na istoj krivulji indiferencije ili tako da mu se nadoda manjak do iznosa koji mu je neohodan da ostane na istoj krivulji indiferencije. Zbog toga se izvedena funkcija otražnje zove komenzirana funkcija otražnje.

7 Zbornik Ekonomskog fakulteta u Zagrebu, godina 4, 006. Za bilo koje zadane cijene dobara i bilo koju zadanu razinu korisnosti iz (9) se dobije otimalna količina dobra X ri kojoj se minimizira otrošačev izdatak za zadanu razinu korisnosti. To je samo rva koordinata točke otimuma x. Kada se (5) uvrsti u (3), dobije se icksova funkcija otražnje ili komenzirana funkcija otražnje za dobrom X : x = x (,, u). (6) Nakon uvrštavanja icksovih funkcija otražnje, (5) i (6), u funkciju cilja dobije se funkcija izdataka: e(,, u) = x (,, u) + x (,, u) (7) iz koje se, uzimajući u obzir zadane cijene i zadanu razinu korisnosti, dobiju minimalni izdatci za zadanu korisnost. Funkcija izdataka daje minimalnu vrijednost izdataka za bilo koji sku cijena i bilo koju zadanu razinu korisnosti. Naokon, icksova se funkcija zajedničke vrijednosti dvaju kvocijenata u ravnoteži, µ (x ), dobije koristeći (). Na rimjer, ošto se derivira funkcija korisnosti s obzirom na x ili s obzirom na x i u kvocijent (x u ) ili u kvocijent (x ) uvrste icksove u funkcije otražnje, dobije se µ = µ (,, u). (8) Naša razmatranja minimizacije izdataka za zadanu razinu korisnosti možemo završiti formiranjem sustava jednadžbi iz kojeg roizlaze rješenja icksove funkcije otražnje x, x i µ. Činjenicu da je u točki ravnoteže x nagib krivulje indiferencije jednak nagibu budžetske crte, možemo, kao što znamo, izraziti formalnim zaisom u(x ) = (9) u(x ) i dobiveni zais reformulirati u oblik = u (x ) (x ) u. (0) Kada znakom µ označimo zajedničku vrijednost kvocijenata u (0), dobivamo = = µ. () u(x ) u(x ) Iz () roizlaze dvije jednadžbe s tri neoznanice: µ u(x ) = 0 µ u (x ) = 0. () Sustavu () koji ima dvije jednadžbe i tri neoznanice (,, ) x x µ dodajemo jednadžbu ograničenja da bismo dobili sustav koji ima tri jednadžbe i tri neoznanice:

A. Puljić, I. Vrankić,. Oraić: Dolazak na utanju dohodak-otrošnja u točke maksimalnog zadovoljstva... 73 µ u(x ) = 0 µ u(x ) = 0 u ( x, x )-µ = 0. (3) Već smo ilustrirali kako se rješava ovaj sustav. Primijetimo još da zajednička vrijednost kvocijenata, µ, u jednadžbama igra ulogu multilikatora koji množi funkcije graničnih korisnosti dobara tako da vrijednost umnožaka u točki ravnoteže budu jednake odgovarajućim graničnim vrijednostima funkcije cilja, koje su ovoga uta jednake cijenama dobara odnosno graničnim troškovima dobara. 4. ALO SUSTAVNIJE O DUALNOSTI Proces rješavanja roblema minimizacije izdataka uz ograničenja ovremeno smo dovodili u vezu s rocesom rješavanja roblema maksimizacije korisnosti uz ograničenja. Veza se između dva roblema ograničene otimizacije zove dualnost ili dvojnost. Činjenica da smo s našeg stajališta funkciju ograničenja iz roblema maksimizacije korisnosti romatrali kao funkciju cilja u roblemu minimizacije izdataka i da smo funkciju korisnosti iz roblema maksimizacije korisnosti romatrali kao funkciju ograničenja u roblemu minimizacije izdataka, znači da su ova dva roblema otimizacije duali ili dvojnici jedan drugom. Indirektna je funkcija korisnosti u roblemu ograničene maksimizacije korisnosti v = v(,, ), () dok je funkcija izdataka u roblemu ograničene minimizacije izdataka e = e(,, u). () Ako je u roblemu minimizacije izdataka, kao ograničenje, zadana maksimalna razina korisnosti dobivena kao rješenje roblema ograničene maksimizacije, v(,, ), onda su minimalni izdatci za tu razinu korisnosti jednaki zadanom dohotku iz roblema ograničene maksimizacije: e(,, v(,, )) =. (3) S druge strane, ako se u roblemu maksimizacije korisnosti kao dohodovno ograničenje zadaju minimalni izdatci dobiveni kao rješenje roblema ograničene minimizacije, e (,, u, ) onda je maksimalna razina korisnosti jednaka zadanoj razini korisnosti u roblemu minimizacije izdataka: v(,, e(,, u)) = u. (4) Slika 4. snagom dokaza ilustrira rethodne tvrdnje. Pretostavljamo kako je lako rihvatiti tvrdnju da se, uz ostale neromijenjene uvjete, korisnost nezasitnog otrošača ovećava kada dohodak otrošača raste, odnosno tvrdnju da je indirektna funkcija korisnosti strogo rastuća funkcija dohotka kao i tvrdnju da se, uz ostale neromijenjene uvjete, izdatci otrošača ovećavaju kada se razina korisnosti ove-

74 Zbornik Ekonomskog fakulteta u Zagrebu, godina 4, 006. ćava, odnosno da je funkcija izdataka strogo rastuća funkcija korisnosti. Znanje da je indirektna funkcija korisnosti, kada je romatramo samo kao funkciju dohotka, strogo rastuća funkcija dohotka, omogućuje nam da tu funkciju invertiramo i da na taj način dobijemo funkciju izdataka. Prema tome, iz (4) roizlazi e(,, u) = v (, ; u). (5) Jednako je tako funkcija izdataka, kada je romatramo samo kao funkciju korisnosti, strogo rastuća funkcija korisnosti koja nam omogućuje da funkciju izdataka invertiramo i da na taj način dobijemo funkciju korisnosti. Prema tome, iz (3) roizlazi v(,, ) = e (, ;). (6) Gledano s emirijskog stajališta, rethodni nalazi imaju veliku važnost. Oni uućuju na osnovni zaključak da je kod rješavanja roblema ograničene otimizacije dovoljno riješiti samo jedan roblem jer se iz rješenja jednog roblema na jednostavan način može izvesti rješenje drugog roblema. Dvojnost nas ne dovodi samo do zaključka da se iz indirektne funkcije korisnosti lako izvodi funkcija izdataka i obrnuto, da se iz funkcije izdataka lako izvodi funkcija korisnosti. U rocesu rješavanja roblema ograničene otimizacije, uz retostavku da je funkcija ograničenja u jednom roblemu funkcija cilja u drugom roblemu i da je funkcija cilja u jednom roblemu funkcija ograničenja u drugom roblemu, košara dobara koja maksimizira korisnost otrošaču u roblemu maksimizacije korisnosti, x, minimizira izdatke otrošaču u roblemu minimizacije izdataka, x = x, i obrnuto, košara dobara koja minimizira izdatke otrošaču u roblemu minimizacije izdataka, x, maksimizira korisnost otrošaču u roblemu maksimizacije korisnosti, x = x. To nam omogućuje da naišemo još dvije važne dualnosti. U rvom je slučaju arshallova otražnja, kada su cijene dobara i i kada je dohodak otrošača, jednaka icksovoj otražnji koja roizlazi kao rješenje roblema minimizacije izdataka u kojem su cijene dobara i i u kojem je zadana razina korisnosti jednaka maksimalnoj razini korisnosti iz roblema maksimizacije korisnosti: x (,, ) = x (,, v(,, )). (7) i i U drugom je slučaju icksova otražnja, kada su cijene dobara i i kada je zadana korisnost u, jednaka arshallovoj otražnji koja roizlazi kao rješenje roblema mak- simizacije korisnosti u kojem su cijene dobara i i u kojem je zadana razina dohotka jednaka minimalnom iznosu izdataka iz roblema minimizacije izdataka: x (,, u) = x (,, e(,, u)). (8) i i U ovom ćemo se članku ograničiti samo na tvrdnju da je ova otonja veza dualnosti jedan od najvažnijih nalaza na kojem se temelji izvođenje suvremenog zakona otražnje jer ona ovezuje oazive arshallove funkcije otražnje i neoazive icksove funkcije otražnje. To je zaravo veza iz koje se na vrlo elegantan način izvodi jednadžba Slutskyog, jednadžba koja na najsažetiji način izražava suvremeni zakon otražnje. Taj zakon kaže da se otražnja za normalnim dobrom ovećava kada se njegova cijena smanjuje i da dobro mora biti inferirno ako smanjenje cijene dobra uzrokuje smanjenje tražene količine.

A. Puljić, I. Vrankić,. Oraić: Dolazak na utanju dohodak-otrošnja u točke maksimalnog zadovoljstva... 75 Slika 4. aksimizacija korisnosti i minimizacija izdataka aksimalnu korisnost za zadanu neisrekidanu budžetsku crtu daje košara dobara u kojoj neisrekidana krivulja indiferencije dodiruje neisrekidanu budžetsku crtu. Neisrekidana krivulja indiferencije najudaljenija je krivulja indiferencije od koordinatnog očetka na koju otrošač može doći krećući se o krivulji dohodak-otrošnja. inimalne izdatke za ostignutu maksimalnu korisnost daje košara dobara x u kojoj neisrekidana crta jednakih izdataka (budžetska crta) dodiruje neisrekidanu krivulju indiferencije. Neisrekidana crta jednakih izdataka koordinatnom je očetku najbliža crta jednakih izdataka na koju otrošač može doći idući o krivulji otrošnja-izdatci i ostvariti maksimalnu korisnost iz roblema maksimizacije korisnosti. Objašnjenje može teći i u obrnutom smjeru. inimalne izdatke za zadanu korisnost redočenu neisrekidanom krivuljom indiferencije daje košara dobara x u kojoj neisrekidana crta jednakih izdataka (budžetska crta) dodiruje krivulju indiferencije. Neisrekidana je crta jednakih izdataka koordinatnom očetku najbliža crta na koju otrošač može doći idući o krivulji otrošnja-izdatci i ostvariti zadanu korisnost redočenu neisrekidanom krivuljom indiferencije. aksimalnu korisnost za tako ostvarene minimalne izdatke daje košara dobara x u kojoj neisrekidana krivulja indiferencije dodiruje neisrekidanu crtu jednakih izdataka. Neisrekidana krivulja indiferencije najudaljenija je krivulja indiferencije od koordinatnog očetka na koju otrošač može doći krećući se o krivulji dohodak-otrošnja kada su minimalni izdatci jednaki otrošačevu dohotku. Točka dodira neisrekidane budžetske crte (crte jednakih izdataka) i neisrekidane krivulje indiferencije jasno ilustrira dualnost između arshallovih i icksovih funkcija otražnje jer je ona rješenje i roblema maksimizacije korisnosti uz ograničenje x

76 Zbornik Ekonomskog fakulteta u Zagrebu, godina 4, 006. = e(,, u) i rješenje roblema minimizacije izdataka uz ograničenje u = v(,, ). Konačno, treća se veza dualnosti odnosi na zajedničke vrijednosti kvocijenata λ i µ. Nju smo već odrobno objasnili. Ovdje radi otunosti navodimo samo konačan zaključak. Kvocijent λ mjeri granični učinak romjene razine dohotka (granični učinak romjene razine ograničenja) na vrijednost indirektne funkcije korisnosti (na vrijednost funkcije otimalnih vrijednosti), stoga je λ granična korisnost dohotka u ravnoteži. U roblemu minimizacije izdataka kvocijent µ mjeri granični učinak romjene razine korisnosti (granični učinak romjene razine ograničenja) na vrijednost funkcije izdataka (na vrijednost funkcije otimalnih vrijednosti), stoga je µ granični trošak korisnosti u ravnoteži. eđutim, granična je korisnost dohotka jednaka reciročnoj vrijednosti graničnog troška korisnosti. Reciročnost granične korisnosti dohotka i graničnog troška korisnosti u ravnoteži skraćeno izražavamo zaisom λ = / µ. 5. LAGRANGEOVA ETODA NEODREĐENI ULTIPLIKATORA Do sada smo okazali kako se metodom izravne sustitucije i metodom jednakih nagiba ronalaze stacionarne točke u roblemima ograničene otimizacije. Objašnjavajući te metode, izvršili smo obilne rireme za objašnjenje Lagrangeove metode neodređenih multilikatora. Godine 797. francuski matematičar Joseh Louis Lagrange došao je na duhovitu zamisao da funkciji cilja iz roblema ograničene otimizacije doda funkciju ograničenja u imlicitnom obliku omnoženu varijablom λ, neodređenim Lagrangeovim multilikatorom, i da na taj način dobije novu funkciju, Lagrangeovu funkciju kojom se roblem ograničene otimizacije glede načina izvođenja uvjeta rvog reda svodi na roblem neograničene otimizacije. U skladu s tom zamisli u našem slučaju Lagrangeova funkcija, u izrečenom smislu, svodi roblem ograničene maksimizacije korisnosti na roblem neograničene maksimizacije korisnosti Lx (, x, λ) = ux (, x) + λ( x x ) () Kada je ograničenje zadovoljeno, drugi je ribrojnik na desnoj strani jednakosti jednak nuli bez obzira na to kolika je vrijednost Lagrangeovog multilikatora λ. Nadalje, najvažnije je zaaziti da je derivacija Lagrangeove funkcije s obzirom na Lagrangeov multilikator λ jednaka ograničenju i da će jednadžba ograničenja stoga biti jedna između sustava jednadžbi koje izražavaju uvjete rvog reda za maksimizaciju korisnosti. Budući da je u našem slučaju sustav jednadžbi koje izražavaju uvjete rvog reda rješiv, ograničenje je zadovoljeno i stacionarna je vrijednost Lagrangeove funkcije jednaka maksimalnoj vrijednosti funkcije korisnosti. Pogledajmo sada kako izgleda sustav jednadžbi koji izražava uvjete rvog reda. Diferenciranje Lagrangeove funkcije s obzirom na endogene varijable i izjednačavanja s nulom daju sljedeći sustav jednadžbi:

A. Puljić, I. Vrankić,. Oraić: Dolazak na utanju dohodak-otrošnja u točke maksimalnog zadovoljstva... 77 u x u λ λ x = 0 = 0 = 0. (a) (b) (c) To je sustav s kojim smo se već susreli. Iz sustava je očito da je granična korisnost dobra X u ravnoteži, u (x ), jednaka umnošku ravnotežne vrijednosti Lagrangeovog multilikatora, λ, i cijene dobra X, λ. Jednako je tako očito da je granična korisnost dobra X u ravnoteži, u ( x ), jednaka umnošku ravnotežne vrijednosti Lagrangeovog multilikatora, λ, i cijene dobra X, λ. Što su cijene dobara? Gledano sa stajališta otrošača, cijena je dobra X granični trošak dobra X jer otrošač za dodatnu jedinicu dobra X mora latiti iznos, a cijena dobra X granični je trošak dobra X jer otrošač za dodatnu jedinicu dobra X mora latiti iznos. Lako je zaaziti da se u Lagrangeovoj funkciji budžetsko ograničenje romatra kao crta u ravnini x Ox koju sadrži graf funkcije g( x, x) = x + x. (3) Vrijednost je konstruirane funkcije (3) jednaka nuli samo kada je isunjeno budžetsko ograničenje, samo onda kada izdatci na dobra uravo iscrljuju dohodak otrošača. Njezine su djelomične derivacije s obzirom na količine dobara jednake cijenama i za koje smo časak ranije utvrdili da izražavaju granične troškove dobara. Koju ulogu ima Lagrangeov multilikator kao novouvedena endogena varijabla? Lagrangeov multilikator λ ima ulogu da graf funkcije (3) redočen ravninom zakrene oko budžetske crte toliko da se dobije nova funkcija y( x, x) = λ ( x + x ), (4) koje su djelomične derivacije u točki ravnoteže x = ( x, x ) jednake graničnim korisnostima dobara. Lagrangeov multilikator, λ, zakrene graf funkcije (3) oko budžetskog ograničenja toliko da se on reobrazi u ravninu koja je graf funkcije (4) i koja je aralelna s tangencijalnom ravninom na graf ukune korisnosti u točki ( x, x, v). Paralelnost osigurava multilikator λ jer množi cijene tako da nagibi tangenti grafa funkcije (4) u svim smjerovima budu jednaki nagibima tangenti grafa funkcije korisnosti u točki ( x, x, v) u odgovarajućim smjerovima. Točka ( x, x, v) nalazi se na vrhu okomite dužine iznad košare dobara x koja riada budžetskoj crti i maksimizira otrošačevo zadovoljstvo. Udaljenost je između dijela grafa funkcije korisnosti koji je okomito iznad budžetske crte i budžetske crte najveća u točki x, stoga je i ravnina koja redočuje graf funkcije z( x, x) = v + λ ( x + x ) (5)

78 Zbornik Ekonomskog fakulteta u Zagrebu, godina 4, 006. tangencijalna na graf funkcije ukune korisnosti u točki ( x, x, v). Nadalje, valja zaaziti da je dio grafa funkcije koji je okomito iznad budžetske crte, striktno konkavan i da je to sasvim dovoljno da otrošač u zadanim uvjetima maksimizira svoje zadovoljstvo. Slika 5. Uloga Lagrangeovog multilikatora