L A TEX Dejan Tomić 44/2011, I smer October 15, 2011
Poglavlje 1 Matematika 1.1 Prva godina 1.1.1 Diskretne strukture 1 U ovom predmetu se uče stvari kao što su: teorija konačnih skupova, iskazni račun i logika, teorija izračunljivosti. Definišu se prirodni, racionalni, realni brojevi i aksiome koje važe za njih. Dokazuju se razna pravila koja su se ranije smatrala očiglednim. Matematička indukcija Neka je ϕ(n) iskaz koji se odnosi na prirodan broj n. Baza indukcije je prvi korak indukcije, provera da za neko početno n 0 (uglavnom 0 ili 1) važi uslov ϕ(n 0 ). Korak indukcije je proces dokazivanja tvrženja: ( n)(ϕ(n) ϕ(n + 1)) Iz prvog i drugog uslova svakako sledi ( n)ϕ(n), pa je time dokazano da tvrženje ϕ(n) važi za sve prirodne brojeve n, bar počevši od nekog n 0. 1.1.2 Linearna algebra i analitička geometrija U ovom predmetu se uče linearne jednačine, sistemi linearnih jednačina i njihova veza sa geometrijom. Sistemi linearnih jednačina Linearna jednačina nad nepoznatim x 1, x 2,..., x n u polju K, sa koeficijentima a 1, a 2,..., a n i slobodnim članom b je jednačina oblika a 1 x 1 + a 2 x 2 +... + a n x n = b, gde i koeficijenti i slobodni član pripadaju takože polju K. 1
Rešenje jednačine je bilo koja n-torka (x 1, x 2,..., x n ) koja ispunjava uslov a 1 x 1 + a 2 x 2 +... + a n x n = b. Rešiti linearnu jednačinu znači naći skup svih njenih rešenja. Sistem linearnih jednačina je skup od m linearnih jednačina nad n nepoznatih. Rešenje sistema je svaka n-torka koja istovremeno zadovoljava sve jednačine sistema tj koja je istovremeno rešenje svake od jednačina. Rešiti sistem jednačina znači naći skup svih rešenja tog sistema. Sistem linearnih jednačina može imati jedinstveno rešenje, beskonačno mnogo rešenja ili da uopšte nema rešenja. Jedan način za rešavanje proizvoljnog sistema linearnih jednačina je Gausova eliminacija (svoženje jednog po jednog koeficijenta na nulu). Gausovom eliminacijom dobija se stepenasti sistem (ili u najboljem slučaju, sa n nepoznatih i n jednačina, trougaoni sistem), čije je rešavanje trivijalno. Ako sistem jednačina ima manje jednačina nego nepoznatih, on ne može imati jedinstveno rešenje. Štaviše, ako sistem ima m jednačina i n > m nepoznatih, tada će on imati najmanje n m slobodnih promenljivih (osim u slučaju da nema rešenja). Primer sistema linearnih jednačina: L 1 : x + 2y + 3z = 6 L 2 : x 3y + 4z = 2 Ovaj sistem ima dve jednačine, a 3 nepoznate (x, y i z). Jedno rešenje sistema je (1, 1, 1) - mežutim on ih ima beskonačno mnogo; obeležimo y kao slobodnu promenljivu: y = α Skup rešenja ovog sistema je (18 17α, α, 5α 4), α R. 2
Poglavlje 2 Programiranje 2.1 Prva godina 2.1.1 Programiranje 1 Ovo bi trebalo da bude osnovni predmet na I-smeru. Na njemu se uči programiranje u programskom jeziku C, pisanje teksta u LaTeX-u i HTML-u, korišćenje Linux operativnih sistema i valjda još ponešto. Evo šta je naučeno do trenutka pisanja ovog teksta: Latex TeX je sistem za zapis teksta, ili tako nešto. Razumem, ali ne umem da objasnim. LaTeX je jedna (najpopularnija) varijanta TeX-a. TeX se piše u datotekama sa završetkom.tex. To je tekstualni fajl u kome se krije samo kód, a da bi se od njega dobio čitljiv dokument (spreman za štampanje), potrebno ga je prevesti, na primer u PDF pomoću programa pdflatex. Minimalni Latex dokument treba da izgleda ovako: \documentclass{article} \title{ovde ide naslov dokumenta} \author{vase ime ovde} \begin{document} \maketitle Hello World! \end{document} Naravno, osim ovoga, u Latex dokument se može ubaciti još gomila stvari. A počnimo prvo od naših slova kako ubaciti š u Vase ime ovde? Rešenje je tako što ćemo napisati \v{s}. Umesto s možemo napisati i z ili c, kako bismo dobili slova ž, odnosno č. Za velika slova važi isto samo treba upisati odgovarajuće veliko slovo (S, Z, C) umesto malog. A kako ćemo ubaciti slovo ć? Sa \ {c}, ili samo \ c. 3
Evo šta još može da se uradi... 1. Podebljana, iskošena, podvučena slova? \textbf{tekst}, \emph{tekst}, \underline{tekst} 2. Ubacivanje poglavlja, naslova, podnaslova? \chapter{naslov Poglavlja} \section{naslov} \subsection{podnaslov} 3. Sadržaj? \tableofcontents. 4. Matematičke formule? Izmežu dva znaka $. Veće formule, centrirane na papiru (ako se drugačije ne odredi)? Izmežu dvostrukih dolara: $$x + y = z$$ Indeksi (subskript) i stepeni (superskript)? x_0, x_1, x_n x^2, x^5, x^{10} A na primer sume, ili integrali? \sum_{i=0}^n f(i) =... \int_0^{+\infty} f(x) dx =... A razlomci? Pišu se ovako: \frac{brojilac}{imenilac} 5. Specijalni znaci? Staviti ispred njih kosu crtu (\)... A kosa crta? To se piše sa \textbackslash... \\ je novi red, koji može da se piše i sa \newline... A ako se napravi više praznih redova, tada nastaje novi paragraf u tekstu... 6. Komentar se piše posle znaka %... odatle pa do kraja linije u ulaznom fajlu je komentar, koga u izlaznom fajlu neće biti... 7. I još svašta drugo se može sa L A TEX-om... HTML HTML (HyperText Markup Language) je jezik koji se koristi za pisanje Web stranica, koje se prikazuju u Web pregledačima (na primer Mozilla Firefox, Google Chrome, ili Internet Explorer koji ne treba koristiti jer je previše spor, glup i uopšte nije bezbedan). HTML kódove treba čuvati u datotekama sa završetkom.htm ili.html, a za razliku od Latex-a (.tex) one ne moraju da se prevode, već ih Web pregledači sami interpretiraju i prikazuju u čitljivom formatu. Osnovna HTML stranica treba da izgleda ovako: 4
<html> <head> <title>naslov na liniji Web pregledaca</title> </head> <body> <h1>glavni naslov ("Heading 1")</h1> <p>obican tekst (paragraf)</p> </body> </html> Kako ubaciti link u HTML stranicu? <a href="stranica.html">naslov linka</a> Kako ubaciti sliku? <img src="moja_slika.jpg" /> Kako promeniti boju pozadine stranice (na primer, da bude tamno siva)? <body bgcolor="#666666"> Kako poravnati tekst desno, u centar, levo? <p align="right">tekst...</p> <p align="center">tekst...</p> <p align="left">tekst...</p> <h1 align="right">vazi i za h1, h2 itd...</h1> Kako ubaciti komentar? <!-- ovde ide komentar on se nastavlja i u sledecoj liniji sve dok se ne zatvori ovako: --> Komentar se MOŽE videti pomoću View Source opcije u pregledaču, ali NIJE vidljiv na samoj stranici. Svašta još što može da se uradi sa HTML-om, može se naći na sajtu www.w3schools.com i raznim drugim... 2.1.2 Uvod u organizaciju računara Na ovom predmetu, po statistikama najtežem na fakultetu (retko ko položi, uglavnom sa šesticom!), uči se kako rade računari, kao i istorija razvoja računara i računarskih sistema. Evo sada nečeg što sam učio (čitajte: već znao) do sada iz ovog predmeta... 5
Brojčani sistemi Postoje nepozicioni (na primer, rimski brojevi) i pozicioni brojčani sistemi (na primer, naš dekadni sistem sa arapskim ciframa). Pri tom smo proučavali samo pozicione sisteme, i to težinske pozicione brojčane sisteme... Dekadni brojni sistem: osnova je N = 10, cifre su C = {0, 1,..., 9}. Primer: 123 = 1 10 2 + 2 10 1 + 3 10 0. Binarni brojni sistem: osnova je N = 2, a cifre su C = {0, 1}. Primer: (101010) 2 = 1 2 5 + 0 2 4 + 1 2 3 + 0 2 2 + 1 2 1 + 0 2 0 = 32 + 8 + 2 = 42. Heksadekadni brojni sistem: osnova je N = 16, a cifre su C = {0, 1,..., 9, A, B, C, D, E, F }. Cifre od A do F imaju, redom, vrednosti od 10 do 15 u dekadnom sistemu. Primer: (1A2) 16 = 1 16 2 + 10 16 1 + 2 16 0 = 256 + 160 + 2 = 418. Troični brojni sistem: osnova je 3, a cifre su 0, 1 i 2. Balansirani troični brojni sistem: osnova je takože 3, ali su cifre -1, 0 i 1. U ovom sistemu moguće je zapisati svaki ceo broj, bez potrebe za znakom + ili - na početku. Postoje i brojčani sistemi sa negativnom osnovom (na primer, negabinarni brojčani sistem, sa osnovom -2 i pozitivnim ciframa 0 i 1), kao i oni sa razlomljenom osnovom (na primer, N = 0.5, sa dekadnim ciframa 0-9), ali o tome neću ovde. Kako se prevode brojevi iz jednog brojčanog sistema u drugi? 1. Podelimo broj zapisan u prvom sistemu sa M; 2. Ostatak pri deljenju sa M, biće jedna cifra u brojčanom sistemu sa osnovom M (od 0 do M 1) i nju zapisujemo ispod broja koji smo delili; 3. Količnik (i dalje u sistemu sa osnovom N, pošto sve operacije vršimo u tom sistemu) zapisujemo sa desne strane broja koji smo delili; 4. Sada isto radimo sa novim brojem (količnikom), zapisujući jednu po jednu cifru u novom sistemu, dakle prelazimo na korak 1; 5. Kada količnik postane 0, prestajemo sa deljenjem i čitamo cifre u novom brojčanom sistemu, s desna na levo! Primer: (101010) 2 = (???) 10 Ovde se prevodi broj iz binarnog sistema u dekadni, dakle u sistem sa većom osnovom. Broj 10 (osnova sistema sa desne strane) se u binarnom sistemu zapisuje kao: 1010 (možemo prvo prevesti broj 10 iz dekadnog u binarni sistem); Dakle, delimo broj 101010 sa brojem 1010. Rezultat (u binarnom sistemu vršimo sve operacije) je: 100, a ostatak je 10. 6
Zapisujemo broj 100 sa desne strane, a broj - cifru 10 dole. Mežutim, broj 10 u binarnom sistemu je dekadna cifra 2, te dole zapisujemo 2. (Ajmo da brojimo do (dekadnih) 10 u binarnom sistemu: 1, 10, 11, 100, 101, 110, 111, 1000, 1001, 1010. Sve se radi na isti način kao i u dekadnom i svim ostalim brojčanim sistemima!) Nastavljamo prevoženje, ovoga puta od broja 100: delimo 100 sa 1010 i dobijamo rezultat 0, i ostatak 100. Pošto je rezultat 0, dalje deljenje prestaje, a ostatak (100) zapisujemo dole a binarni broj 100 je dekadna cifra 4. Prevoženje je završeno; čitamo dobijene cifre u dekadnom sistemu s desna na levo: 4 pa 2, pa je rešenje: (101010) 2 = (42) 10. 7
Poglavlje 3 O meni 3.1 Biografija Konačno dožoh do dela gde se hvalim o sebi... ;-) Dakle... Ja sam Dejan Tomić i bavim se programiranjem. Do sada sam napravio nekoliko igrica i programa, a radim i na nekoliko informatičkih projekata (za pare, jel te). Još od VIII razreda idem u Matematičku gimnaziju (ogledno odeljenje VIIIa) a pre toga sam išao u Osnovnu školu Jovan Jovanović Zmaj u svom kraju, Pančevu. Sada sam student Matematičkog fakulteta Univerziteta u Beogradu (smer - Informatika). Od IV razreda osnovne škole idem na takmičenja iz matematike, a od VII razreda iz informatike. Do sada sam osvojio nekoliko titula prvaka regiona ili države. Išao sam i u centar za talente Mihajlo Pupin u Pančevu i završio sam muzičku školu Jovan Bandur u Pančevu (svirao sam klavir). Išao sam u Petnicu nekoliko puta: prvi put u VII razredu ( Letnja naučna škola ), zatim u I, II i III razredu na seminare računarstva i u IV razredu na seminar matematike. Bio sam i učesnik osme Konferencije Korak u nauku u Petnici 2009. godine. To je za sada sve što imam da kažem. Ovaj tekst je iskopiran sa stranice www.dejantomic.com/o meni i samo malo promenjen. 8
Sadržaj 1 Matematika 1 1.1 Prva godina.............................. 1 1.1.1 Diskretne strukture 1.................... 1 1.1.2 Linearna algebra i analitička geometrija.......... 1 2 Programiranje 3 2.1 Prva godina.............................. 3 2.1.1 Programiranje 1....................... 3 2.1.2 Uvod u organizaciju računara................ 5 3 O meni 8 3.1 Biografija............................... 8 9