Ako su, iskazna slova, onda i redom interpretiramo kao sljedeće relejne mreže (strujna kola, strujni/električni krugovi :

Size: px
Start display at page:

Download "Ako su, iskazna slova, onda i redom interpretiramo kao sljedeće relejne mreže (strujna kola, strujni/električni krugovi :"

Transcription

1 1. Logički sud/iskaz je osnovni pojam u matematičkoj logici. To je svaka smislena izjava koja može biti ili istinita ili neistinita. Skup svih iskaza najčešće se obilježava sa, a pojedinični iskazi malim slovima,,, U matematici se istinit iskaz naziva stav, tvrdnja ili teorema. 2. Broj je djeljiv sa. U toj rečenici nisu određeni i, pa ta rečenica nije iskaz. Ako zamjenimo za i određene brojeve, dobit ćemo iskaz Booleovu funckiju). Za i kažemo da su predmetne veličine, a za odnos između njih predikat. U našem slučaju predikat je...je djeljiv sa..., označimo ga sa, pa se navedna iskazna funckija može pisati u obliku,. 3. Na skupu iskaza definiraju se relacije: a. Negacija iskaza, ne p) je iskaz koji je neistinit akko je iskaz istinit, a istinit akko je iskaz neistinit. Za negaciju iskaza koriste se i oznake i. b. Konjunkcija iskaza i, u oznaci p i q je složeni iskaz koji je istinit akko su i iskaz i iskaz istiniti, u protivnom je neistinit. c. Disjunkcija iskaza i, u oznaci p ili q je složeni iskaz koji je istinit akko makar jedan od iskaza i istinit, u protivnom je neistinit. d. Implikacija iskaza i, u oznaci p implicira q je složeni iskaz koji je neistinit akko je iskaz istinit, a iskaz neistinit, u suprotnom je istinit. e. Ekvivalencija iskaza i, u oznaci p je ekvivalentno sa q je složeni iskaz koji je istinit akko iskazi i imaju istu istinitosnu vrijednost, u suprotnom je neistinit. 4. U relejno-prekidačkoj interpretaciji iskazna slova,,,... interpretiramo kao relejne prekidače, a simbole, interpretiramo redom kao uključen, isključen. Negacije iskaznih slova, tj. formule,,... interpretiramo također kao relejne prekidače. Iskaz koji odgovara električnom kolu u kojem pri položaju prekidača na isključeno gori sijalica, i obrnuto, predstavljaju negaciju iskaza kojem odgovaraju električna kola na slikama: Ako su, iskazna slova, onda i redom interpretiramo kao sljedeće relejne mreže strujna kola, strujni/električni krugovi : 5. Skup je pojam koji se ne definiše. To je objedinjenje nekog mnoštva elemenata u neku cjelinu. Sinonimi za skup su mnoštvo, množina, klasa, familija, kolekcija... Objekti od kojih je sačinjen skup nazivaju se elementi/tačke/članovi skupa, i kažemo da je skup određen svojim elementima. 6. Dva skupa X i Y su jednaki akko su sastavljeni od istih elemenata. 7. Neka su X i Y skupovi takvi da je svaki element skupa X ujedno i element skupa Y. Tada kažemo da je X podskup od Y, odnosno da je Y nadskup od X. Pišemo: odnosno. Relaciju, odnosno nazivamo relacija inkluzije. Iz relacija jednakosti i inkluzije slijedi 8. Partitivni skup bulean skupa X je skup svih podskupova skupa X. Obilježavamo ga sa ili. Kako je i, sigurno je,. 9. Prazan skup vakuum) je skup koji nema elemenata, i označavamo ga sa. 10. Univerzalni skup označavamo ga sa U ili I je zadani/fiksirani skup u kojem su sadržani svi skupovi koje koristimo u nekom razmatranju. 1

2 11. Neka su,. Tada je potpuno određen podskupovi od I: koji nazivamo unija skupa X i skupa Y, u oznaci. koji nazivamo presjek skupa X i skupa Y, u oznaci. koji nazivamo razlika diferencija) skupa X i skupa Y, u oznaci. 12. Komplement skupa A u odnosu na skup X obilježavamo sa je razlika. Pišemo: Oznake za komplement su:,,,,. 13. Osnove osobine operacija unije, presjeka i komplementa su: zakoni asocijacije zakoni komutacije zakoni apsorpcije zakoni distribucije zakoni idempotencije svojstvo praznog i univerzalnog skupa De Morganova pravila involucija: 14. Neka su A i B neprazni skupovi. Svaki podskup Dekartovog proizvoda je binarna relacija između elemenata skupa A i elemenata skupa B. Ako su elementi i u relaciji, pišemo, ili. Ako je, tada je binarna relacija na skupu A. 15. Za binarnu relaciju kažemo da je relacija poretka akko je: a. refleksivna: b. tranzitivna: 16. Uređen skup je skup na kojem je zadana relacija poretka. Ako su svaka dva elementa nekog skupa A u relaciji poretka, to jeste međusobno uporediva, kažemo da je skup A totalno uređen skup. Za skup prirodnih brojeva, kažemo da je diskretan ili diskretno uređen ako za svaki vrijedi :. Za neki skup, recimo, kažemo da je dobro definisan određen akko za svaki objekt možemo ustanoviti je li ili nije. 17. Kažemo da su skupovi i ekvipotentni ili ekvivalentni i pišemo, ako postoji bijekcija :. Za skup kažemo da je konačan akko. Za skup kažemo da je beskonačan akko nije konačan skup. Za skup kažemo da je prebrojiv izbrojiv) akko je konačan. Beskonačan skup koji nije ekvivalentan sa skupom prirodnih brojeva je neprebrojiv. 18. Uređen par redom elemenata a i b, u oznaci,, jeste skup,,. U uređenom paru,, element a se zove prva komponenta, a element b druga komponenta. 19. Neka su A i B skupovi. Skup svih uređenih parova,, kod kojih je, označavamo sa A B i nazivamo Dekartov ili Kartazijev) proizvod skupa A i u skupa B, tj.:, 20. Za binarnu relaciju kažemo da je relacija ekvivalencije akko je: a. refleksivna: b. simetrična: c. tranzitivna: 21. Kvantifikatori, odnosno zamjenice 'neki' i 'svaki' su pomoćno sredstvo za dobijanje nekih iskaza. Univerzalni kvantifikator, u oznaci, nam govori da je predikat istinit za sve vrijednosti neke od varijabli. Egzistencijalni kvantifikator, u oznaci, nam govori da postoji neka vrijednost varijable za koju je određeni predikat istinit. U slučaju kada je izbor jedinstven, koristi se oznaka. Kvantifikatori se nekada kombiniraju kako bi se od datog predikata formirao iskaz. 2

3 22. Neka je, uređen parcijalno uređen skup i A neprazan podskup od X. Kažemo da je svaki element minoranta ili donje ograničenje skupa A u X, ) ako za svaki vrijedi. Odmah slijedi da najviše jedna minoranta pripada skupu A, a kada ona postoji, zovemo je najmanjim elementom skupa A. Minimalni početni element skupa A definira se formulom:. Za skup A kažemo da je ograničen odozdo ako postoji bar jedna minoranta skupa A u uređenom skupu,. Majoranta, najveći element i maksimalni element se definiraju kao minoranta i najmanji u odnosu na dualno uređenje,. Za skup A kažemo da je ograničen odozgo ako postoji bar jedna majoranta skupa A. Ako je ograničen odozgo i odozdo, kažemo da je skup A ograničen skup. Skup svih minoranti skupa A u, može da ima najveći elemet. Tada je taj element jedinstven i naziva se infinum skupa A u,, u oznaci inf. Element inf ima svojstva: a. inf je minoranta skupa A b. za svaku minorantu skupa A vrijedi inf. Ako skup majoranti skupa A u, nije prazan i ima najmanji element, onda je ovaj element jedinstven i zove se supremum skupa A u,, u oznaci sup. Ako za neki skup A postoji najveći element ma u,, onda je očito sup ma. 23. Neka su A i B neprazni skupovi, a zakon po kojemu se svakom elementu A pridružuje jedan i samo jedan element skupa B. Uređenu trojku,, nazivamo funkcija skupa A na skup B, ili preslikavanje iz skupa A u skup B. Pišemo: : ili. 24. Za preslikavanje : kažemo da je a. sirjekcija ili preslikavanje na) ako je b. injekcija ili 1-1 preslikavanje) ako je,, c. bijekcija ili obostrano jednoznačno preslikavanje ako je sirjekcija i injekcija. 25. Neka je dato preslikavanje funkcija) :. Za preslikavanje : kažemo da je inverzno preslikavanje ili inverzna funkcija) za ako je: i. 26. Neka su : : dva preslikavanja dvije funkcije), takva da je. Tada preslikavanje : definirano formulom, označavamo sa ili gf i zovemo kompozicija preslikavanja kompozicija funkcija ili složena funkcija) i. 27. Princip potpune) matematičke indukcije proizilazi iz Aksioma indukcije: Ako je S podskup od koji ima svojstva:,, onda je. Ako neki iskaz ima ove dvije osobine: 1. je tačan iskaz za 2. Implikacija vrijedi za svaki prirodan broj onda je iskaz tačan za sve prirodne brojeve. U primjenama, ako želimo dokazati da neka tvrdnja vrijedi za, radimo sljedeće: I. baza indukcije, ili, općenitije : Provjerimo/pokažemo da tvrdnja vrijedi za odnosno za ) II. induktivna pretpostavka, odnosno ): Pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za svaki prirodan broj k III. korak indukcije : Koristeći induktivnu pretpostavku pokažemo da tvrdnja vrijedi i za prirodan broj. Tada prema principu matematičke indukcije zaključujemo da tvrdnja vrijedi za, odnosno za svaki,. 28. Za svaki prirodan broj i za sve, važi relacija koja se zove Newtonova binomna formula ili binomni razvoj, a koeficienti sa desne strane jednakosti nazivaju se binomnim koeficientima. 29. Osnovna svojstva binomnih koeficienata su za sve,, ): a. b. c. ovo svojstvo se zove Pascalova jednakost) 3

4 30. Dokaz Newtonove binomne formule izvest ćemo metodom matematičke indukcije po. Za lijeva strana formule je izraz, a njena desna strana svodi se na izraz, odnosno na binom, pa je za tvrdnja istinita. Pretpostavimo sada da tvrdnja važi za neki. Pomnožimo sada tu jednakost sa. Dobijemo Koristeći jednakosti i te grupišući po dva člana gornje sume uz identične stepene, i primjenom Pascalove jednakosti dobijemo: što dokazuje da Binomna formula vrijedi i za eksponent. Pa, po principu matematičke indukcije zaključujemo da tvrdnja vrijedi za svaki, i time je dokaz završen. 31. Neka je, i neka je preslikavanje : dato formulom. Tada, prema principu indukcije, zaključujemo da postoji jedinstveno preslikavanje : takvo da je, To preslikavanje zovemo funkcija faktorijel i označavamo sa. Dakle, funkcija je potpuno određena svojstvom,. Obično se funkcija definira i za pomoću jednakosti. 32. Osnovne sredine su harmonijska, geometrijska, aritmetička i kvadratna sredina, i vrijedi, : 4

5 33. Polje realnih brojeva je skup u kome su definirane dvije binarne operacije i koje zovemo sabiranje i množenje retrospektivno i jedna binarna relacija manje ili jednako) tako da vrijede aksiomi realnih brojeva: asocijacija za sabiranje i množenje,,,, egzistencija nule i jedinice tranzitivnost i antisimetrija relacije,,, komutacija za sabiranje i množenje,, egzistencija inverznih elemenata za sabiranje i množenje distribucija množenja prema sabiranju,,,, kompatibilnost relacije prema množenju i sabiranju usporedivost,,,, Aksiom neprekidnosti: Ako su A i B neprazni podskupovi skupa takvi da je za sve,, onda postoji element, takav da je za sve,. Elementi skupa zovu se realni brojevi. 34. Svojstva realnih brojeva izvedena iz aksioma su - Za sve,,,, vrijede svojstva:,, za sve 35. Posljedice aksioma neprekidnosti su: a. teorema o supremumu: Svaki neprazan odozgo ograničen podskup skupa realnih brojeva ima supremum u. b. Arhimedov aksiom: Neka su dati brojevi,,. Tada postoji broj takav da je c. Cantorov aksiom: Neka je za svaki dat segment, i neka povlači,,, tj.. Tada je odnosno preciznije, vrijedi,, gdje je sup, inf., 36. Peano je pomoću svojih teorema dao potpunu karakterizaciju prirodnih brojeva, tako da se skup prirodnih brojeva može i definirati kao neprazan skup koji zadovoljava te aksiome: a. Definirano je preslikavanje : tj. Postoji funkcija sa u ) b. Postoji barem jedan element u označavamo ga sa c. d. Ako je za neke,, onda je, tj. je bijekcija e. Aksiom indukcije: Ako je podskup od, koji ima ova dva svojstva:, Onda je. 5

6 37. Radi jednostavnije formulacije nekih svojstava/teorema u analizi se uvodi prošireni prostor/skup realnih brojeva. Po definiciji je,, gdje su dvije međusobno različite tačke. Uređaj se proširuje sa na stavljajući za svaki. 38. Za svaki realan broj definira se modul apsolutna vrijednost) realnog broja formulom: Iz toga neposredno slijedi da je, Iz svojstva relacije odmah slijedi da za svaki vrijede nejednakosti: Apsolutna vrijednost, tj. Funkcija : ima svojstva: 1. 2., 3. 4., 5., 6., 7., 39. Sabiranjem nejednakosti a. b. dobijemo nejednakost koja je ekvivalentna sa relacijom. Dobijenu relaciju nazivamo nejednakost trougla i ima važnu ulogu u mnogim dokazima u analizi i u njenim primjenama. 40. Neka su u skupu uređenih parova realnih brojeva dvije operacije, koje ćemo označiti sa i i zvati sabiranje odnosno množenje, definirane formulama:,,,,,,,,,,,, Skup, :, u kome su definirane operacije + i kao u i zove se skup kompleksnih brojeva, i najčešće se označava sa, a njegovi elementi se zovu kompleksni brojevi. Najčešće se označavaju slovima z, w Kompleksne brojeve kod kojih je prva komponenta jednaka 0, odnosno elemente,, zovemo čisto imaginarnim brojevima. Specijalno, element, zovemo imaginarna jedinica i označavamo sa i ili j), tj., po definiciji:, i. 42. Na osnovu i i aksioma za sabiranje i množenje u skupu, lako se provjeri da je,, polje. Pri tome je kompleksni broj, neutralni element za sabiranje,,,,, jedinični element, dok je,, za,,. Ako obratimo pažnju na kompleksne brojeve, skup tih brojeva označimo sa ) kod kojih imaginarna komponenta nula, lako se zaključuje da je polje u odnosu na operacije i u skupu, pa je polje,, podpolje polja,,. Slijedi da je preslikavanje : dato formulom, bijekcija za koju vrijedi,, pa se svako bijektivno preslikavanje : za koji vrijede ova dva identiteta zovu izomorfizam polja,, i,,. 43. Neka je, kompleksan broj. Tada za broj kažemo da je konjugovan/spregnut kompleksan broj broju. Iz ove definicije slijedi da je i konjugovan broju. Otuda je, tj. operacija konjugovanja tj. preslikavanje koje svakom dodjeljuje involutivna. Operacija konjugovanja ima svojstva:, Imz) 6

7 44., pridružuje se u pravouglom sistemu tačka, slika broja, a broj afiks tačke M. Dakle, tačku, identifikujemo sa tim brojem. Ravan na koju su, na opisan način preslikani kompleksni brojevi naziva se kompleksna/gaussova ravan. Realni brojevi, preslikavaju se na x-osu te je zovemo realna osa, a čisto imaginarni brojevi, preslikavaju se na y-osu i zbog toga se zove imaginarna osa. Neka je M, tačka koja predstavlja kompleksan broj,. Svaki mjerni broj orijentisanog ugla, koji čini radijus-vektor sa osom, tj. svaki realan broj određen pomoću cos, zove se argument arkus ili amplituda) kompleksnog broja i označava se sa Arg z Arc z, Amp z. Argument broja koji zadovoljava uslov zove se glavna vrijednost agumenta broja i označava se sa arg z arc z, amp z). Glavna vrijednost argumenta broja data je u slučaju kada se uzima arg sa: arg 45. Izraz cos sin naziva se trigonometrijskim oblikom kompleksnog broja, a izraz naziva se eksponencijalnim oblikom kompleksnog broja. Relacija cos sin naziva se Eulerova formula. 46. Realan nenegativan broj zove se apsolutna vrijednost ili modul kompleksnog broja, i označava se sa, tj.. Specijalno, ako je realan, tj. ako je, onda je. Grafički i računom lako se dobije da za sve, važi nejednakost trougla. Osnovna svojstva modula kompleksnog broja su: a. z b. c. d. e. f. 47. Cauchy-Schwarzova nejednakost - Za svako, vrijedi: 48. Moivierova formula koristi se za stepenovanje kompleksnih brojeva u trig. obliku), i glasi: cos sin cos n sin n Formule za jednostavnije množenje i dijeljenje kompleksnih brojeva date su sa: a. cosarg Arg sinarg Arg b. cosarg Arg sinarg Arg 49. Aritmetičke jednakosti za korijene koje važe u skupu kompleksnih brojeva su: ako su relativno prosti, definira se, gdje je najmanji zajednički sadržalac brojeva m i n, tj.,, a su relativno prosti Ne važe:,,,, 50. Binomna jednačina: a. za, u trigonometrijskom obliku cos sin i tražeći za broj trigonometrijski oblik cos sin nalazimo da je, ). Rješenja jednačine su data formulama: cos sin gdje je aritmetička vrijednost korijena. b. za jednačina ima jedno rješenje, a ima svega jednu vrijednost. 7

8 51. Za tačku kažemo da je tačka gomilanja skupa ako u svakoj okolini tačke a postoji bar jedna tačka skupa A različita od same tačke a. Tačka nagomilavanja skupa može se definirati i kao tačka u čijoj svakoj okolini postoji beskonačno mnogo tačaka skupa A. 52. Bolzano-Weoerstrassova teorema za skupove Svaki beskonačni ograničeni skup u ima bar jednu tačku gomilanja u. Svaki beskonačni skup u ima bar jednu tačku gomilanja u. 53. Konačni niz elemenata nepraznog skupa) je svako preslikavanje funkcija) : gdje je M neki konačan podskup skupa. Beskonačni niz, tj. niz u nepraznom) skupu X je svako preslikavanje : skupa prirodnih brojeva u skup X. Vrijednost preslikavanja u tački zove se n-ti član niza i obično se označava sa. Ako je sprecifična zavisnost od, onda se naziva opšti član niza. Ako je X skup, onda dobijemo niz realnih brojeva niz u, a ako je X skup, govorimo o nizu kompleksnih brojeva. Ako je X skup nekih funkcija, onda je funkcionalni niz niz funkcija). Ako je X neki skup brojeva, onda je niz : brojni/numerički niz. 54. Pod okolinom tačke, odnosno broja podrazumijevamo bilo koji interval podskupova koji sadrži otvoreni interval skupa kojem ta tačka pripada. Specijalno, svaki otvoreni interval u koji sadrži tačku zovemo okolina tačke u tačke i označavamo sa ili. Pri tome, za svaki okolinu tačke datu sa, : zovemo -okolina tačke. Tačke skupa različite od i, tj. sve tačke skupa zovemo konačnim, a tačke i beskonačnim tačkama skupa. Okoline u ) tačaka u se definiraju analogno kao i okoline u tačaka. Jedino odstupanje je što se tačke i ne uključuju se u sopstvene okoline dakle posmatraju se okoline u tačaka iz, i pod njihovim okolinama se podrazumijevaju skupovi oblika:, :, :, :, : Dva navedena skupa nazivamo beskonačnim/neograničenim razmacima. 55. Za niz u kažemo da je konvergentan u ) ako postoji broj takav da za svaki realan broj postoji prirodan broj takav da za sve prirodne brojeve veće od vrijedi. U tom broj zovemo granična vrijednost/limes niza i pišemo lim ili lim ; lim. Tada kažemo da niz konvergira ka a ili teži ka a kad i pišemo. U slučaju kada je limes beskonačan ili, kažemo da niz divergira u užem smislu, a ako limes ne postoji, tada kažemo da niz divergira u širem smislu. 56. Za niz u kažemo da je nula-niz ili beskonačno mala veličina ili infinitezimala u odnosu na kad ako je lim. 57. Osnovna svojstva graničnih vrijednosti nizova u : a. ako niz ima graničnu vrijednost, ona je jednoznačno određena b. svaki konvergentan niz je ograničen c. jednakost lim, gdje je vrijedi akko, pri čemu je ) nula niz d. zbir i razlika dva nula-niza su nula-nizovi e. proizvod ograničenog niza i nula-niza je nula-niz f. veza između algebarskih operacija u skupu i graničnog prelaza neka su i konvergentni nizovi u neka je lim i lim. Tada je: i. lim ii. lim iii. lim iv. lim g. svojstva limesa koja su u vezi sa relacijom poretka u i. ako je lim i lim i, onda je, počev od nekog. Analogno važi kada se znak < zamijeni znakom > ii. ako za svaki ili počev od nekog i nizovi i imaju graničnu vrijednost, onda je i lim lim. Analogno važi kada se znak zamijeni znakom. iii. Teorema o dva žandara/policajca ili Sendvič teorem ili Teorema o uklještenju: Neka su, i tri niza u takva da je: za svaki ili počev od nekog n) lim Tada je lim lim 8

9 Dokaz: Pretpostavimo, suprotno tvrđenju, da neki niz ima dvije granične vrijednosti, koje su konačne. Neka je, Tada se okoline ne sijeku, pa je očito nemoguće da i u jednoj i u drugoj budu skoro svi članovi posmatranog niza. Time je dokaz završen. h. ako je lim, onda je lim 58. Dokažimo da je lim. Neka je. Tada je za. Koristeći se binomnim razvojem u kom su svi sabirci pozitivni, dobijemo: Otuda je pa vrijedi, odatle je lim, tj. lim. 59. Neka je :, niz prirodnih brojeva takav da je, i neka je : niz elemenata proizvoljnog skupa. Tada za niz : sa članovima kažemo da je podniz /djelomični niz niza. 60. Za tačku kažemo da je tačka gomilanja niza ako postoji podniz tog niza koji teži ka kad. 61. Bolzano-Weierstrassova teorema za nizove a. svaki ograničen niz realnih brojeva ima bar jednu tačku gomilanja u b. svaki niz realnih brojeva ima bar jednu tačku gomilanja u. 62. Za niz u kažemo da je Cauchyjev ili fundamentalan ako za svaki postoji indeks takav da je čim su inde i veći od. Cauchyjev niz ima svojstva: a. svaki konvergentan niz je Cauchyjev b. svaki Cauchyjev niz je ograničen c. Ako Cauchyjev niz ima konvergentan podniz, on je i sam konvergentan Kako vrijedi i obrat osobine a., vrijedi i Cauchyjev princip konvergencije: Svaki Cauchyjev niz u je konvergentan u. 63. Za niz u kažemo da je neopadajući ako je za svaki, a da je strogo rastući ako je za svaki. Za niz u kažemo da je nerastući ako je za svaki, a da je strogo) opadajući ako je za svaki. Četiri navedena tipa niza nazivaju se monotoni nizovi. 64. Kriterij konvergencije monotonih nizova: Svaki monoton i ograničen niz u je i konvergentan u. Stoga vrijedi teorem konvergencije monotonih nizova: a. neka je neopadajući niz u. Tada konvergira u akko je ograničen odozgo b. svaki neopadajući niz u ima graničnu vrijednost u Analogne izjave vrijede i za nerastuće nizove. 65. Dokažimo da je niz realnih brojeva definiran opštim članom,, konvergentan. U tu svrhu dovoljno je dokazati da je ovaj niz strogo rastući i ograničen odozgo. Na osnovu Bernulijeve nejednakosti, imamo za svaki ): tj. odakle slijedi da je niz strogo rastući. Dokažimo da je niz ograničen odozgo. Za primjenom Newtonove formule imamo: 9

10 Iz nejednakosti,, i formule za zbir prvih n članova geometrijskog niza dobijemo: tj. niz je ograničen odozgo. Odavdje slijedi da niz ima konačnu graničnu vrijednost. Tu graničnu vrijednost prema Euleru zovemo broj e Eulerov broj). Dakle: lim, Broj e je transcedentan, tj. ne zadovoljava nikakvu algebarsku jednačinu s racionalim koeficientima. Ima veliki značaj u matematičkoj analizi, a često i prirodno se uzima za bazu logaritma prirodni logaritam ln. 66. Neka je dat niz u i neka je za svaki. Beskonačan red ili, kraće red u je uređen par, koji se sastoji od dva niza,,, odnosno, ; su članovi reda, a parcijalne sume reda. Niz nazivamo nizom parcijalnih suma datog reda. Sam red se kraće označava: ili ili. Za se kraće kaže da je n-ti član reda, a ako je specifična zavisnost od n, onda se naziva opšti član reda. 67. Neka je niz u. Kažemo da je niz sumabilan u ili da je red konvergentan u ako je niz parcijalih suma reda konvergentan u. Limes lim se naziva suma reda i označava se sa. Ako red nije konvergentan u, kaže se da je divergentan. Potreban uslov za konvergenciju reda test n-tog člana : Ako je red konvergentan, onda niz njegovih članova konvergira ka nuli, tj. lim. 68. Cauch jev opšti kriterijum za konvergenciju redova: Red konvergira akko za svaki postoji, takav da iz slijedi. Simbolički,, 69. Ako je red konvergentan, onda se lako vidi da je konvergentan i red za svaki i vrijedi jednakost. Za sumu kaže se da je ostatak poslije p-tog člana. 70. Za red kažemo da je pozitivan tj. da je red sa pozitivnim/nenegativnim članovima ako je za svaki, ili opštije ako postoji prirodan broj takav da je za svaki. 71. Pozitivni red je konvergentan akko je niz njegovih parcijalnih suma ograničen odozgo. Primjenom navedenog stava dokazuje se da je, gdje je fiksan realan broj, konvergentan ako je, a divergentan ako je. Ovaj red naziva se hiperharmonijski red. Ako je, dobijemo tzv. harmonijski red. 72. Za date redove i, red naziva se njihovim zbirom, a red razlikom tih redova. 73. Red,,, naziva se geometrijskim redom. Parcijalna suma tog reda predstavlja sumu prvih k članova geometrijske progresije i data je sa, odnosno sa: Za je lim, pa tada geometrijski red ima konačnu sumu s datu sa lim tj. konvergentan je. Ako je geometrijski red divergira i to u određenom smislu za, a oscilira za. 10

11 74. Pretpostavimo da postoji prirodni broj, takav da za članove pozitivnih redova i važe nejednakosti za sve ili nejednakosti za svaki i za svaki ). Tada iz konvergencije reda slijedi konvergencija reda, a iz divergencije reda slijedi divergencija reda. U ovom slučaju kažemo da je red majoranta reda, a red minoranta reda. 75. Dalamberov kriterijum Jača forma kriterija: Ako za pozitivni red postoji i, tako da je za, onda on konvergira. Ako pak postoji, tako da je za n, onda pozitivni red divergira. Slabija / granična forma kriterija: Neka za članove pozitivnog reda postoji. Tada za red konvergira, a za on divergira. Za ovaj kriterij je neodlučiv. Najjača forma kriterija: Ako je, onda pozitivni red konvergira, a ako je, pozitivni red divergira. Dokaz: Iz nejednakosti, dobijemo:,,...,. Kako red konvergira, to konvergira i red. Dakle konvergira i red. Na osnovu potrebnog uslova za konvergenciju, ako je za svaki onda opšti član ne teži ka nuli, pa red divergira. Ako je i. Označimo sa. Tada postoji n tako da je za svaki. Na osnovu dokazanog dijela ovog stava dobijemo da red konvergira. Ako je tada je počev od nekog n pa tvrdnja opet slijedi iz prvog dijela stava. Neka je >0, takav da je. Tada postoji takav da vrijedi: Otuda je, za svaki,,. Kako red konvergira, to konvergira i red. 76. Košijev korijeni kriterijum Ako za pozitivni red a postoji n i q, tako da je a q za n n, onda on konvergira. Ako pak postoji n, tako da je a za n n, onda pozitivni red a divergira. Neka postoji lim a l. Tada za l red a konvergira, a za l on divergira. Ako je lim a, onda pozitivni red a konvergira, a ako jelim a, pozitivni red a divergira. Ako za pozitivni red a vrijedi: lim a l, onda l a konvergira, a za l a. 77. Rabeov kriterijum Ako, počevši od nekog n, važi nejednakost, odnosno, onda red konvergira, odnosno divergira. Ako je lim, onda red konvergira, a divergira za r>1 i r< Integralni kriterijum Neka je nenegativna i nerastuća realna funkcija na, ) za neki a>0 i neka je. Tada red konvergira akko konvergira nesvojstveni integral, tj. ovaj red i ovaj integral su ekvikonvergentni. 79. Gaussov kriterijum Pretpostavimo da se odnos članova reda može napisati u obliku što je ekvivalentno sa relacijom:, ), gdje su, i >1) konstante, a je ograničen niz u. Tada: a. za, odnosno red konvergira, odnosno divergira b. za,, odnosno, red konvergira, odnosno divergira c. za, red divergira 11

12 80. Dirichletov kriterij Neka je zadan red u ) i neka su zadovoljeni sljedeći uslovi: a. niz monotono teži nuli b. niz ) parcijalnih suma reda je ograničen Tada je red konvergentan u ) 81. Primjenom Dirichtletovog kriterijuma dobije se Abelov kriterijum za konvergenciju redova u redova sa članovima proizvoljnog predznaka, sa opštim članom oblika ): Neka je zadan red i neka su zadovoljeni sljedeći uslovi: a. niz je monoton i ograničen b. red je konvergentan Tada je red konvergentan. 82. Posmatrajmo posebnu vrstu redova sa konstantnim članovima promjenjivog znaka. Red gdje su realni brojevi, svi istog znaka odnosno red sa osobinom da za svaki vrijedi, )naziva se alternativnim redom. 83. Leibnizov kriterijum Ako je, i lim, onda alternativni red konvergira. Osim toga, stavi li se,, onda je,,. vrijednost sume S alternativnog reda nalazi se u intervalu susjedne parcijalne sume, tj. ili ). Ostatak ovog reda ima sumu po apsolutnoj vrijednosti manju od prvog izostavljenog člana, tj. te. 84. Ako red konvergira, onda i red konvergira u ). Ako red konvergira, onda se kaže da red apsolutno konvergira. Za red se kaže da uslovno konvergira da je semikonvergentan) ako konvergira, ali pri tom ne konvergira apsolutno. 85. Neka je niz realnih brojeva. Formalan izraz: zove se beskonačni proizvod sa opštim članom. Proizvod prvih n članova tog proizvoda je n-ti parcijalni proizvod. 12

13 86. Svako preslikavanje : definirano na nekom podskupu X skupa realnih brojeva i sa vrijednostima iz nekog podskupa Y skupa zove se realna funkcija jedna realne nezavisno promjenjive. Dakle, realna funkcija realne promjenjive je svaka uređena trojka,, koja se sastoji od skupa, kojeg zovemo oblast definiranosti, skupa, kojeg zovemo područje vrijednosti, te nekog pravila pomoću kojeg svakom elementu pridružujemo tačno jedan element koji ovisi o. Pridruženi element zove se vrijednost funkcije na elementu i označava se sa. 87. Oblast definiranosti domen, definiciono područje realne funkcije realne promjenjive označavamo sa ili, ili samo D ako se iz konteksta zna o kojoj se funkciji radi. Ako nije drugačije naznačeno rečeno, pod prirodnim) domenom realne funkcije realne promjenjive date analitičkim izrazom obično se podrazumijeva maksimalan u smislu inkluzije podskup skupa koji taj izraz dopušta, tj. domen funkcije zadane analitičkim izrazom zadan je formulom: de inirano ima smisla Područje vrijednosti kodomen) realne funkcije često označavamo sa K, dok skup skup vrijednosti funkcije, rang funkcije) : označavamo sa. 88. Neka je : realna funkcija jedne realne promjenjive. Tada se skup svih onih tačaka, kod kojih je i naziva grafikom ili grafom funkcije. Označavamo ga sa. prema tome, po definiciji je:,. 89. Neka su date realne funkcije jedne realne promjenjive, tj. preslikavanja kod kojih su domeni D i kodomeni K podskupovi skupa, pa pišemo :. za takve dvije funkcije definiramo: a. zbir : funkcije i funkcije : b. razlika : funkcije i funkcije : c. proizvod : funkcije i funkcije : d. količnik : funkcije i funkcije :, : 90. Za skup kažemo da je simetričan u odnosu na nultu tačku tj. tačku ako za svaki broj također pripada skupu. Kažemo da je funkcija : K, definirana na simetričnom skupu, parna ako je za svaki, a neparna ako je za svaki. 91. Kažemo da je funkcija : periodična ako postoji broj koji se naziva periodom funkcije ), takav da važi: a. b. Najmanji pozitivan broj p ako postoji) za koji su ispunjeni uslovi a., i b. naziva se osnovni temeljni) period funkcije i obično se označava sa. 92. Neka je. Za funkciju : K kažemo da je: a. neopadajuća na skupu ako, b. rastuća na skupu ako, c. nerastuća na skupu ako, d. opadajuća na skupu ako, Za funkciju koja zadovoljava bilo koji od uslova a-d kažemo da je monotona, a za funkciju uslov b. ili uslov d. da je strogo monotona na skupu E. koja zadovoljava 93. Osnovne elementarne funkcije realne promjenjive su konstante i identička funkcija eksponencijalne i logaritamske funkcije, stepene funkcije, trigonometrijske funkcije i inverzne trigonometrijske funkcije. 94. Stepen sa realnim izložiocem eksponentom i osnovom bazom) a, a>1), je izraz definiran sa sup inf. Funkcija zove se eksponencijalna funkcija sa osnovom bazom) a. 95. Inverzna funkcija :, funkcije :, date sa, tj. funkcije e p : naziva se logaritamska funkcija sa osnovom bazom a i označava simbolom log :. Pri tome log zovemo logaritam broja x po bazi a. Dakle log. Logaritamsku funkciju, ili logaritam sa osnovom a=e zovemo prirodni logaritam i označavamo ga sa ln:. 96. Cauchyjeva teorema o egzistenciji limesa funkcije: Za egzistenciju konačne vrijednosti funkcije : K, u tački koja je tačka gomilanja skupa D, ali mu ne mora pripadati potrebno je i dovoljno da za svaki postoji okolina U tačke a tako da vrijedi,, 13

14 97. Neka je : K, neopadajuća funkcija i neka su inf i sup tačke gomilanja skupa D. Tada postoje lim i lim. Da bi limes lim bio konačan potrebno je i dovoljno da funkcija na skupu bude ograničena odozdo, a analogno važi i za funkciju lim. 98. Kažemo da je funkcija beskonačno mala u odnosu na funkciju kad ili u tački, odnosno u okolini tačke a i pišemo:. je malo od ako postoji takva okolina tačke da je za svaki gdje je beskonačno mala funkcija kad, tj. lim. Ako postoji U okolina tačke i funkcija koja je ograničena na za svaki, pišemo fx) je veliko O od ). Ako je istovremeno kažemo da su funkcije f i g istog reda. Neka postoji okolina U tačke a i funkcija, takve da je lim i za svaki. Tada kažemo da se funkcija asimptotski ponaša kao funkcija kada tj. i su ekvivalentne funkcije kad i pišemo je ekvivalentno sa gx) kada. 99. Neka su, podskupovi od i : K funkcija. Kažemo da je funkcija neprekidna neprekinuta, kontinuirana u tački ako za svaku okolinu V tačke u K postoji okolina U tačke u D takva da je. U protivnom slučaju kažemo da je prekidna prekinuta, nekontinuirana u tački, i za tačku kaže se da je tačka prekida tačka diskonitnuiteta funkcije. Kaže se da je u tački : a. prekid prve vrste funkcije ako postoje konačne granične vrijednosti i, pri čemu se zahtijeva postojanje samo prvog odnosno samo drugog) od tih limesa ako je samo lijeva odnosno samo desna) tačka gomilanja skupa D specijalno, kaže se da je takav prekid otklonjiv ako je još =, tj. ako postoji konačan lim b. prekid druge vrste funkcije ako nije prve vrste tj. ako bar jedna od graničnih vrijednosti i ne postoji ili je beskonačna Kaže se da je u tački : a. otklonjiv prekid funkcije ako postoji konačna granična vrijednost lim b. pol funkcije ako postoji beskonačna granična vrijednost lim c. esencijalni prekid funkcije ako granična vrijednost lim ne postoji i. esencijalni prekid I vrste : Ako postoje konačne granične vrijednosti lim i lim ii. esencijalni prekid II vrste: Ako nije esencijalni prekid I vrste 100. Svaka tačka gomilanja domena funkcije : K, naziva se singularna tačka /singularitet funkcije ako. a. ako postoji konačan lim onda se tačka naziva singularnom tačkom funkcije koja se može otkloniti. b. ako je lim onda se tačka naziva pol funkcije c. ako granična vrijednost funkcije u tački ne postoji, onda se singularna tačka naziva esencijalnim singularitetom funkcije, i to: i. singularitet I vrste ako postoje konačni lim i lim ii. singularitet II vrste ako nije singularitet prve vrste 101. Svako svojstvo neprekidne funkcije koje je u vezi sa ponašanjem te funkcije u nekoj okolini njene tačke neprekidnosti nazivamo lokalno svojstvo neprekidne funkcije). a. Neka je funkcija : K, neprekidna u tački. Tada: i. postoji takva okolina tačke da je ograničena na tj. postoje realni brojevi i takvi da ii. ako je postoji takva okolina tačke da je istog znaka kao za svaki ; zapravo postoji takav da ; odnosno ; b. Pravila o aritmetičkim operacijama sa neprekidnim funkcijama: Neka su na skupu definirane realne funkcije, i neka je svaka od funkcija, neprekidna u tački. Tada su i funkcije,,, uz dodatnu pretpostavku ) i neprekidne u tački. c. Pravilo o neprekidnosti složene funkcije: Neka je realna funkcija definirana na skupu i neka je realna funkcija definirana na skupu koja sadrži sliku funkcije tako da je kompozicija definirana. Ako je funkcija neprekidna u tački i funkcija neprekidna u tački, onda je složena 14

15 funkcija. Neprekidna u tački. Kraće kompozicija dvije neprekidne funkcije je također neprekidna funkcija Za funkciju : K, kažemo da je neprekidna na skupu ako je ona neprekidna u svakoj tački iz S. Skup svih funkcija : K, koje su neprekidne na skupu D označavat ćemo sa. a. Prva Weierstrassova teorema o neprekidnim funkcijama na segmentu: Ako je realna funkcija neprekidna na segmentu,, onda je ona na tom segmentu i ograničena b. Druga Weierstrassova teorema o neprekidnim funkcijama na segmentu: Ako je realna funkcija neprekidna na segmentu,, ona na tom segmentu postiže svoj infimum i supremum, tj. postoje brojevi, i tačke,, takvi da je za svaki,, i. c. Bolzanova teorema: Neka je realna i na segmentu, neprekidna funkcija. Ako na rubvima toga segmenta ima suprotne predznake, tj. ako je, onda postoji bar jedna tačka, takva da je. d. Bolzano-Cauchyjeva teorema o međuvrijednostima: Neka je realna i na segmentu, neprekidna funkcija. Ako su i dvije tačke tog segmenta takve da je, onda za ma koji realan broj C između postoji bar jedna tačka c između i takva da je, tj. neprekidna funkcijana segmentu prima svaku međuvrijednost. e. Cantorova teorema: Ako je :,,, ) neprekidna funkcija na segmentu,, onda je ona i uniformno neprekidna na tom segmentu Elementarne realne funkcije jedne realne promjenjive su sve one funkcije koje čine najmanju klasu realnih funkcija jedne realne promjenjive sa sljedećim svojstvima: a. Ako je iz, tj. ako je f osnovna elementarna funkcija, onda je iz b. Ako su, iz, onda su i,, iz pri čemu su te funkcije definirane na zajedničkom dijelu domena funkcija i, s tim da za funkciju isključuju tačke za koje je c. ako su :, : dvije funkcije takve da je i f, g iz, onda je i funkcija : iz Svaka elementarna funkcija je neprekidna gdje je definisana. o Funkcija cos je elementarna funkcija, jer se dobije kao kompozicija osnovnih elementarnih funkcija: logaritamske funkcije, inverzne trigonometrijske funkcije, eksponencijalne funkcije i trigonometrijske funkcije. Primjeri funkcija koje nisu elementarne su: Dirichletova funkcija,, Svako preslikavanje :, gdje je i, a,, ) polje kompleksnih brojeva, zove se kompleksna funkcija kompleksne promjenjive. Ako je pak i, onda za : kažemo ada je kompleksna funkcija realne promjenjive. Polazeći od Eulerove formule cos sin,, i imaginarna jedinica, može se definirati eksponencijalna funkcija u kompleksnom domenu: cos sin a. kompleksna eksponencijalna funkcija b. kompleksne trigonometrijske funkcije hiperboličke funkcije sin i cos definiraju se jednakostima sin, cos c. kompleksna logaritamska funkcija -, višeznana funkcija: Log log k,, a njena glavna vrijednost log log,, gdje je log logaritam u realnom domenu. 15

16 105. Neka je na otvorenom intervalu, definirana realna funkcija jedne realne promjenjive. neka je proizvoljna fiksirana tačka iz J. Označimo sa takav realan broj da. Broj 0) nazivamo priraštaj funkcije u tački 0 koji odgovara priraštaju argumenta. tada možemo formirati količnik Pustimo sada da teži nuli. Ako se pri tome desi da količnik teži konačnom broju, onda taj broj nazivamo izvodom ili derivacijom funkcije u tački po argumentu. U ovom slučaju kaže se da funkcija ima konačan prvi izvod u tački. Izvod funkcije u tački ako postoji označavamo sa. Dakle, po definiciji je lim. Funkciju također nazivamo izvodom ili derivacijom funkcije f, ili izvodnom funkcijom Fizikalna interpretacija izvoda: Neka je bilo koja veličina koja zavisi od nezavisno promjenjive. tada izvod označava brzinu kojom se mijenja veličina u odnosu na promjenu veličine. Broj naziva se prosječnom brzinom materijalne tačke u vremenskom intervalu od do. prosječna brzina o kretanju naše materijalne tačke daje sljedeću informaciju. Ona pokazuje kojom brzinom treba jednoliko da se kreće materijalna tačka da bi od momenta do prešla put. No, ta brzina ne daje informaciju o tome kakvo je bilo stanje kretanja u pojedinim momentima i. Zbog toga je prirodno pustiti da i tražiti limes. lim Ovaj limes naziva se trenutnom brzinom naše materijalne tačke u momentu ovaj limes jednak, odnosno izvodu funkcije u tački. Dakle, brzina materijalne tačke se definira kao izvod puta po vremenu.. S druge strane, mi znamo da je 107. Granične vrijednosti a. lim b. lim lim lim ako postoje, nazivaju se lijevim i desnim izvodom funkcije u tački. Lijevi i desni izvod nazivamo jednostranim izvodom Za funkciju :, kažemo da u tački je tačka gomilanja skupa D ima beskonačan izvod koji je jednak ili ako je lim = ili lim = ) Da bi funkcija bila diferencijabilna u tački, potrebno je i dovoljno da postoji, tj. da funkcija ima konačan izvod. Skup svih tačaka u kojima funkcija ima konačan izvod čini domen funkcije Dokaz: - Dokažimo da je uslov potreban. Iz pretpostavke da je funkcija diferencijabilna u tački imamo: o Za svaki i. Iz ove jednakosti, prelaskom na graničnu vrijednost dobijemo: lim - Dovoljan uslov slijedi iz prethodnog dokaza. pa je ovim potreban uslov dokazan Osnovna pravila diferenciranja: Ako su funkcije i oblika : E diferencijabilne u tački, onda su funkcije,,, diferencijabilne u tački i pri tome važe jednakosti: a. b., gdje je c proizvoljna konstanta c. d. 16

17 112. Neka je funkcija neprekidna, strogo monotona na intervalu, koja ima izvod različit od nule u tački,. Tada inverzna funkcija ima izvod u tački,, koji je jednak, tj.. Dokaz: Neka su ispunjeni uslovi teoreme. Tada, kako znamo, postoji inverzna funkcija koja je neprekidna i strogo monotona na intervalu,, pa je za. Kako je po pretpostavci funkcija diferencijabilna u tački, to je, pri čemu je lim. Iz posljednje jednakosti slijedi da je, jer za je, a za je, pri čemu je lim Iz posljednje jednakosti imamo da je Prelaskom na graničnu vrijednost za dobijemo da je za. što je i trebalo dokazati Neka je funkcija definirana na intervalu,, a funkcija definirana na intervalu, koji je sadržan u,. Ako je funkcija diferencijabilna u tački iz intervala,, a funkcija diferencijabilna u tački,, onda je i složena funkcija diferencijabilna u tački, i njen izvod je jednak Izvod n-tog reda funkcije kojeg označavamo sa ili sa. Njegova vrijednost u tački E je vrijednost izvoda prvog izvoda) funkcije u tački Ako funkcija oblika : E diferencijabilna u tački, onda se izraz, preciznije, funkcija, odnosno linearna funkcija po x: naziva se diferencijalom funkcije u tački i označava se sa : a. b., Diferencijal funkcije u tački geometrijski predstavlja prirast funkcije u tački, tj. prirast ordinate tangente u tački na grafik funkcije Diferencijal složene funkcije jednak je proizvodu izvoda te funkcije po međuargumentu i diferencijala međuargumenta Ako je argument funkcije direktna nezavisno promjenljiva, a ne međuargument, onda se uzima po dogovoru da je diferencijal argumenta jednak njegovom priraštaju, tj.. Usvajajući ovaj dogovor jednakost važi uvijek bez obzira da li je direktno nezavisno promjenljiva ili međuargument. Naprijed kazano predstavlja invarijantnost forme diferencijala prvog reda) Diferencijal n-tog reda funkcije u tački, koji odgovara po vrijedosti definira se kao diferencijal funkcije u posmatranoj tački i označava se sa. Slijedi da je za. Svojstvo invarijantnosti forme diferencijala višeg reda u opštem slučaju nije očuvano Fermantov stav: Neka funkcija :,,,, ima lokalni maksimum lokalni minimum u tački, i neka ona ima u toj tački kako desni tako i lijevi izvod. Tada je i i ). Ako je pri tome funkcija diferencijabilna u tački, onda je Darbouxov stav: Neka je funkcija :,,,, neprekidna na segmentu, i neka ima u svakoj tački intervala, konačan ili beskonačan izvod. Tada izvod uzima sve vrijednosti koje su između i za koje pretpostavljamo da također postoje Rolleov stav: Neka je funkcija :,,,, neprekidna na segmentu, i neka ima u svakoj tački intervala, konačan ili beskonačan izvod i, onda postoji bar jedna tačka iz intervala, takva da je. Dokaz: Ako je. za,, onda je tačnost Rolleove teoreme očigledna. Neka funkcija na segmentu, uzima vrijednosti različite od, npr. veće od pa i od, onda postoji tačka iz 17

18 intervala, takva da je sup za,. Kako u tački funkcija ima lokalni maksimum, to prema Fermantovoj teoremi imamo, pa je Rolleov stav dokazan Lagrangeov stav: Neka je funkcija :,,,, neprekidna na segmentu, i neka ima u svakoj tački intervala, konačan ili beskonačan izvod, onda postoji bar jedna tačka iz intervala, takva da je. Dokaz:Definirajmo na segmentu, funkciju formulom, gdje je.. Odredimo tako da bude. Iz ovog uslova dobijemo da je: pa je Funkcija na segmentu, zadovoljava uslove Rolleove teoreme, pa postoji bar jedna tačka iz intervala, takva da je, tj. ili Posljedice Lagrangeove teoreme: a. Ako funkcija ima izvod konačan ili beskonačan u svakoj tački razmaka,, onda za proizvoljne,,,, važi jednakost:, gdje je broj između. b. Ako funkcija :, zadovoljava uslove Lagrangeove teoreme i pri tome je i. sup za, ii. inf za, onda važe nejednakosti. c. Ako je funkcija neprekidna na razmaku, i ima izvod jednak nuli na tom razmaku, onda je. na tom razmaku L'Hospitalovo pravilo: Neka su i realne funkcije koje zadovoljavaju sljedeće uslove: a. jedan od ova dva: i. lim lim ii. lim ili i lim ili b. i su definirane i neprekidne u nekoj okolini tačke osim, možda, u tački c. postoje konačni ili beskonačni izvodi i za svaki, osim, možda, za d. bar jedan od izvoda i je različit od nule za svaki za svaki, osim, možda za e. postoji lim. Tada postoji i lim i važi jednakost lim lim 125. Neka realna funkcija jedne realne promjenjive u tački, ima konačan n-ti izvod razliku između funkcije i odgovarajućeg Taylorovog polinoma. Označimo sa n-tog stepena u tački a, tj.. Tada je, ili: što zovemo Taylorova formula funkcije u tački a odnosno u okolini tačke a, pri čemu je ostatak. Taylorova formula sa ostatkom u Peanovom obliku ), ) : + ), ) Taylorova formula sa ostatkom u Lagrangeovom obliku Taylorova formula sa ostatkom u Cauchyjevom obliku,, njen Formula koja se dobije iz Taylorove formule za i vrijedi u nekoj okolini tačke naziva se Maclaurinova formula sa ostatkom : a. b., u Lagrangeovom obliku - u Cauchyjevom obliku 18

19 126. Globalne ekstremne vrijednosti: Da bi funkcija, koja ima konačan ili beskonačan izvod u razmaku,,, bila strogo rastuća odnosno strogo opadajuća u tom razmaku, potrebno je i dovoljno da za svaki, vrijedi odnosno, pri čemu relacija ne može biti ispunjena ni u kom razmaku,, koji je sadržan u, Lokalna ekstremne vrijednosti: Neka je neprekidna u nekoj okolini tačke c i diferencijabilna u. tada je u tački c lokalni ekstrem funkcije ako mijenja znak kada x prolazi kroz c. Ako ne mijenja znak kada x prolazi kroz c, onda u tački c funkcija nema ekstremnu vrijednost. Pri tom: a. ako je za, i za,, onda je u tački c strogi lokalni minimum b. ako je za, i za,, onda je u tački c strogi lokalni maksimum 128. Bez izvoda: Funkcija :, naziva se konveksnom ako za proizvoljne,, važi: gdje je,,. Ako za i umjesto važi znak, za funkciju kaže se da je strogo konveksna. Ukoliko umjesto znaka vrijedi znak odnosno, za funkciju kaže se da je konkavna odnosno strogo konkavna). Sa prvim izvodom: Neka je funkcija :, diferencijabilna. Da bi bila konveksna strogo konveksna) u,, potrebno je i dovoljno da je neopadajuća strogo raste u,. Sa izvodom višeg reda: Neka funkcija :, ima u svakoj tački, drugi izvod. Da fi bila konveksna konkavna) na,, potrebno je i dovoljno da bude ) za, Neka je funkcija definirana u nekoj okolini tačke i diferencijabilna u. Neka je, dalje, neprekidna u tački i njen grafik u toj tački ima tangentu. Tačka, naziva se prevojnom tačkom krive ako je funkcija strogo konveksna konkavna) u skupu i strogo konkavna konveksna) u skupu. Ako kriva ima prevojnu tačku, i funkcija ima neprekidan drugi izvod u tački, onda je Ako prvi izvod posmatrane funkcije ne postoji u nekoj tački njenog domena, treba izračunati ako postoje lijevi i desni prvi izvod u toj tački, kao i lijevu i desnu graničnu vrijednost prvog izvoda te funkcije u svakoj od eventualnih njenih singularnih tačaka, da bi se ustanovio ugao pod kojim grafik zadane funkcije "ulazi" i "izlazi" iz te tačke. U slučaju kada je, pri čemu su konačni, tačka, naziva se uglovna ili ugaona tačka ili prelomna tačka, dok u slučaju kada je i bar jedan od izvoda je beskonačan za tačku, kažemo da je povratna tačka ili šiljak) grafika funkcije razlikuju se jednostrani i dvostrani šiljci. Za ovakve tačke kaže se još i da su špicevi grafika funkcije. Lijevi izvod predstavlja koeficijent pravca lijeve tangente odnosno lijeve polutangente), a desni izvod koeficijent pravca desne tangente odnosno desne polutangente, ako se umjesto odgovarajuće prave posmatra odgovarajuća poluprava. Kao rezultat ispitivanja toka funkcije treba nacrtati grafik u Dekartovom pravouglom koordinatnom sistemu na kome su naznačene sve karakteristične kritične tačke i asimptote sve koje postoje) Neka funkcije i preslikavaju razmak, u skup. Ako je funkcija diferencijalna na razmaku i ako je za, onda kažemo da je funkcija tačna/striktna primitivna funkcija funkcije na razmaku,. Ako je tačna primitivna funkcija funkcije na razmaku,., onda svaka druga tačna primitivna funkcija funkcije na razmaku,. ima oblik, gdje je realna konstanta, tj.. 19

20 132. Funkcija :, naziva se primitivna funkcija funkcije :,, na konačnom ili beskonačnom razmaku, ako je funkcija neprekidna na razmaku, i ima izvof koji je jednak funkciji na razmaku,, osim, možda, na prebrojivom skupu tačaka iz razmaka,. Neka funkcija F oblika na razmaku,. Tada se familija: :, podudara sa familijom funkcija :. Neka funkcija f oblika :,, ima na razmaku, primitivnu funkciju. Tada se neodređenim integralom funkcije f na razmaku, naziva skup :, svih njenih primitivnih funkcija na razmaku,. Neodređeni integral funkcije f na razmaku, označava se simbolom. proizvod nazive se podintegralni izraz, a funkcija podintegralna funkcija Osnovna svojstva neodređenih integrala: a. Izvod neodređenog integrala funkcije f oblika :,, postoji u svakoj tački, sa isključenjem možda prebrojivog skupa tačaka iz tog razmaka i pri tome važi jednakost b. Diferencijal neodređenog integrala funcije f oblika :,, postoji u svakoj tački, sa isključenjem možda prebrojivog skupa tačaka iz tog razmaka i pri tome važi jednakost c. Ako je F diferencijabilna funkcija na razmaku,, onda važi jednakost: d. Neka funkcije f i g oblika,, retrosprektivno imaju funkcije kao tačne primitivne funkcije na razmaku,. tada funkcija ima na razmaku, primitivnu funkciju i pri tome važi jednakost: pri čemu su d proizvoljne realne konstante od kojih je bar jedna različita od nule Četiri osnovna pravila integriranja: a. Ako je, onda je, gdje je proizvoljna realna konstanta, b., gdje je konstanta c. d. Ako je i, onda je. Specijalno za, 135. Pri integriranju predhodnim svođenjem na oblik diferencijala koristimo sljedeće transformacije diferencijala: a., b. c.,, Na taj način zadani integral svedemo na oblik:, 136. Neka treba izračunati integral. Ako pomoću zamjene dobijemo jednakost, lahko se računa integral, i onda vrijedi jednakost gdje je C proizvoljna realna konstanta, i dobijebnu formulu nazivamo formula zamjene promjenjive u neodređenom integralu Neka su funkcije i oblika,, neprekidne funkcije na razmaku, i diferencijabilne u svakoj tačku tog razmaka osim možda u tačkama prebrojivog skupa tačaka iz razmaka,. Tada su funkcije i primitivne funkcije nekih funkcija koje ćemo obilježiti sa i na razmaku,. Otuda slijedi da je funkcija, kao proizvod neprekidnih funkcija, neprekidna i ima izvod izvod na razmaku,, osim možda na prebrojivom skupu tačaka,, i pri tome važi jednakost:,,. Tako je funkcija primitivna funkcija funkcije + na razmaku,, pa je,, 20

21 Polazeći od toga da funkcije i imaju primitivne funkcije i koristeći svojstvo da je integral zbira jednak zbiru integrala, posljednju jednakost možemo napisati u obliku koja važi za,, pri čemu se konstanta C ne piše eksplicitno već se podrazumijeva da je sadržana u integralu. Posljednja jednakost naziva se formulom za parcijalnu integraciju Za ograničenu funkciju :,,, kažemo da je integrabilna po Riemannu na segmentu, ako je. Tada se broj naziva određeni Riemannov) integral funkcije f na segmentu,, i piše se, pri čemu su a, odnosno b donja, odnosno gornja granica integrala Kriterij integrabilnosti funkcije: Da bi ograničena funkcija :,,, ) bila integrabilna na segmentu,, potrebno je i dovoljno da za svaki postoji takva podjela segmenta, da je: 140. Prva teorema o srednjoj vrijednosti određenog integrala: Neka su,, i ili ) za svaki,, te neka je inf,,,. Tada postoji broj,, takav da je 1). Dokaz: Bez umanjenja opštosti možemo pretpostaviti da je funkcija g nenegativna na, ). Tada iz za svaki, slijedi za svaki,. Kako je,, to se integrisanjem dobije Iz pretpostavke da je na, imamo da je, Posmatrajmo slučajeve: I. Ako je, onda iz nejednakosti 1') slijedi da je, pa relacija 1) vrijedi za svaki iz segmenta,. II. Ako je onda iz nejednakosti 1') slijedi pa se za broj u relaciji 1) može uzeti da je, što je i trebalo dokazati Osobine integrabilnih funkcija i određenih integrala a. Ako je,,,, i :,, onda je,. b. Ako je, i proizvoljan realni koeficient, onda je i, i pri tome važi jednakost:. c. Ako je,,, onda je,, i pri tome važi jednakost d. Ako je,, tada je i,,,, uz uslov za svaki, i, e. Ako je,, onda njena restrikcija na proizvoljni segment,, je također integrabilna funkcija na segmentu,. f. Ako su,,, onda je, g. Neka su,, proizvoljni realni brojevi koji predstavljaju krajeve triju segmenata. Ako je funkcija integrabilna na najvećem od tih segmenata, tada vrijedi svojstvo aditivnosti : 142. Osnovne osobine integrabilnih funkcija koje su zadane nejednakostima a. Ako su,, i za svaki,, onda je b. Ako je, i za svaki,, funkcija nije identički jednaka nuli na segmentu, i bar u jednoj tački, u kojoj je neprekidna je, onda je c. Ako je, i za svaki,, onda je d. Ako je,,, onda važi: sup, 21

Nejednakosti s faktorijelima

Nejednakosti s faktorijelima Osječki matematički list 7007, 8 87 8 Nejedakosti s faktorijelima Ilija Ilišević Sažetak Opisae su tehike kako se mogu dokazati ejedakosti koje sadrže faktorijele Spomeute tehike su ilustrirae a izu zaimljivih

More information

Metrički i generalizovani metrički prostori

Metrički i generalizovani metrički prostori UNIVERZITET U NOVOM SADU PRIRODNO-MATEMATIČKI FAKULTET DEPARTMAN ZA MATEMATIKU Milana Veličkov Metrički i generalizovani metrički prostori -Master rad- Mentor: Prof. dr Ljiljana Gajić Novi Sad, Decembar

More information

SIMPLE PAST TENSE (prosto prošlo vreme) Građenje prostog prošlog vremena zavisi od toga da li je glagol koji ga gradi pravilan ili nepravilan.

SIMPLE PAST TENSE (prosto prošlo vreme) Građenje prostog prošlog vremena zavisi od toga da li je glagol koji ga gradi pravilan ili nepravilan. SIMPLE PAST TENSE (prosto prošlo vreme) Građenje prostog prošlog vremena zavisi od toga da li je glagol koji ga gradi pravilan ili nepravilan. 1) Kod pravilnih glagola, prosto prošlo vreme se gradi tako

More information

Struktura indeksa: B-stablo. ls/swd/btree/btree.html

Struktura indeksa: B-stablo.   ls/swd/btree/btree.html Struktura indeksa: B-stablo http://cis.stvincent.edu/html/tutoria ls/swd/btree/btree.html Uvod ISAM (Index-Sequential Access Method, IBM sredina 60-tih godina 20. veka) Nedostaci: sekvencijalno pretraživanje

More information

SUGENOV I ŠOKEOV INTEGRAL SA PRIMENOM U OBRADI SLIKA

SUGENOV I ŠOKEOV INTEGRAL SA PRIMENOM U OBRADI SLIKA UNIVERZITET U NOVOM SADU PRIRODNO-MATEMATIČKI FAKULTET DEPARTMAN ZA MATEMATIKU I INFORMATIKU SUGENOV I ŠOKEOV INTEGRAL SA PRIMENOM U OBRADI SLIKA -MASTER RAD- Mentor: Student: dr Mirjana Štrboja Jelena

More information

Ulazne promenljive se nazivaju argumenti ili fiktivni parametri. Potprogram se poziva u okviru programa, kada se pri pozivu navode stvarni parametri.

Ulazne promenljive se nazivaju argumenti ili fiktivni parametri. Potprogram se poziva u okviru programa, kada se pri pozivu navode stvarni parametri. Potprogrami su delovi programa. Često se delovi koda ponavljaju u okviru nekog programa. Logično je da se ta grupa komandi izdvoji u potprogram, i da se po želji poziva u okviru programa tamo gde je potrebno.

More information

Biznis scenario: sekcije pk * id_sekcije * naziv. projekti pk * id_projekta * naziv ꓳ profesor fk * id_sekcije

Biznis scenario: sekcije pk * id_sekcije * naziv. projekti pk * id_projekta * naziv ꓳ profesor fk * id_sekcije Biznis scenario: U školi postoje četiri sekcije sportska, dramska, likovna i novinarska. Svaka sekcija ima nekoliko aktuelnih projekata. Likovna ima četiri projekta. Za projekte Pikaso, Rubens i Rembrant

More information

1.7 Predstavljanje negativnih brojeva u binarnom sistemu

1.7 Predstavljanje negativnih brojeva u binarnom sistemu .7 Predstavljanje negativnih brojeva u binarnom sistemu U decimalnom brojnom sistemu pozitivni brojevi se predstavljaju znakom + napisanim ispred cifara koje definišu apsolutnu vrednost broja, odnosno

More information

GUI Layout Manager-i. Bojan Tomić Branislav Vidojević

GUI Layout Manager-i. Bojan Tomić Branislav Vidojević GUI Layout Manager-i Bojan Tomić Branislav Vidojević Layout Manager-i ContentPane Centralni deo prozora Na njega se dodaju ostale komponente (dugmići, polja za unos...) To je objekat klase javax.swing.jpanel

More information

IZDAVANJE SERTIFIKATA NA WINDOWS 10 PLATFORMI

IZDAVANJE SERTIFIKATA NA WINDOWS 10 PLATFORMI IZDAVANJE SERTIFIKATA NA WINDOWS 10 PLATFORMI Za pomoć oko izdavanja sertifikata na Windows 10 operativnom sistemu možete se obratiti na e-mejl adresu esupport@eurobank.rs ili pozivom na telefonski broj

More information

Rubni problemi i ortogonalne funkcije

Rubni problemi i ortogonalne funkcije UNIVERZITET U NOVOM SADU PRIRODNO-MATEMATIČKI FAKULTET DEPARTMAN ZA MATEMATIKU I INFORMATIKU Tamara Đurić Rubni problemi i ortogonalne funkcije - master teza - Novi Sad, 2011. Sadržaj Predgovor... 3. 1.

More information

Podešavanje za eduroam ios

Podešavanje za eduroam ios Copyright by AMRES Ovo uputstvo se odnosi na Apple mobilne uređaje: ipad, iphone, ipod Touch. Konfiguracija podrazumeva podešavanja koja se vrše na računaru i podešavanja na mobilnom uređaju. Podešavanja

More information

SAS On Demand. Video: Upute za registraciju:

SAS On Demand. Video:  Upute za registraciju: SAS On Demand Video: http://www.sas.com/apps/webnet/video-sharing.html?bcid=3794695462001 Upute za registraciju: 1. Registracija na stranici: https://odamid.oda.sas.com/sasodaregistration/index.html U

More information

GENERATIVNE FUNKCIJE

GENERATIVNE FUNKCIJE UNIVERZITET U NOVOM SADU PRIRODNO-MATEMATIČKI FAKULTET DEPARTMAN ZA MATEMATIKU I INFORMATIKU Ana Bogdanović GENERATIVNE FUNKCIJE MASTER RAD Novi Sad, 2016. Sadržaj: Predgovor... 2 1. Uvod... 4 1.1. Osnovne

More information

Idejno rješenje: Dubrovnik Vizualni identitet kandidature Dubrovnika za Europsku prijestolnicu kulture 2020.

Idejno rješenje: Dubrovnik Vizualni identitet kandidature Dubrovnika za Europsku prijestolnicu kulture 2020. Idejno rješenje: Dubrovnik 2020. Vizualni identitet kandidature Dubrovnika za Europsku prijestolnicu kulture 2020. vizualni identitet kandidature dubrovnika za europsku prijestolnicu kulture 2020. visual

More information

TRAJANJE AKCIJE ILI PRETHODNOG ISTEKA ZALIHA ZELENI ALAT

TRAJANJE AKCIJE ILI PRETHODNOG ISTEKA ZALIHA ZELENI ALAT TRAJANJE AKCIJE 16.01.2019-28.02.2019 ILI PRETHODNOG ISTEKA ZALIHA ZELENI ALAT Akcija sa poklonima Digitally signed by pki, pki, BOSCH, EMEA, BOSCH, EMEA, R, A, radivoje.stevanovic R, A, 2019.01.15 11:41:02

More information

Port Community System

Port Community System Port Community System Konferencija o jedinstvenom pomorskom sučelju i digitalizaciji u pomorskom prometu 17. Siječanj 2018. godine, Zagreb Darko Plećaš Voditelj Odsjeka IS-a 1 Sadržaj Razvoj lokalnog PCS

More information

math.e Matrice s Fibonaccijevim brojevima Fibonaccijev broj. Matrice s Fibonaccijevim brojevima math.e Vol. 26

math.e Matrice s Fibonaccijevim brojevima Fibonaccijev broj. Matrice s Fibonaccijevim brojevima math.e Vol. 26 1 math.e Hrvatski matematički elektronički časopis Matrice s Fibonaccijevim brojevima Fibonaccievi brojevi linearna algebra teorija brojeva Blaženka Bakula, Magistra edukacije matematike, zaposlena u Srednjoj

More information

BENCHMARKING HOSTELA

BENCHMARKING HOSTELA BENCHMARKING HOSTELA IZVJEŠTAJ ZA SVIBANJ. BENCHMARKING HOSTELA 1. DEFINIRANJE UZORKA Tablica 1. Struktura uzorka 1 BROJ HOSTELA BROJ KREVETA Ukupno 1016 643 1971 Regije Istra 2 227 Kvarner 4 5 245 991

More information

AMRES eduroam update, CAT alat za kreiranje instalera za korisničke uređaje. Marko Eremija Sastanak administratora, Beograd,

AMRES eduroam update, CAT alat za kreiranje instalera za korisničke uređaje. Marko Eremija Sastanak administratora, Beograd, AMRES eduroam update, CAT alat za kreiranje instalera za korisničke uređaje Marko Eremija Sastanak administratora, Beograd, 12.12.2013. Sadržaj eduroam - uvod AMRES eduroam statistika Novine u okviru eduroam

More information

Uvod u relacione baze podataka

Uvod u relacione baze podataka Uvod u relacione baze podataka 25. novembar 2011. godine 7. čas SQL skalarne funkcije, operatori ANY (SOME) i ALL 1. Za svakog studenta izdvojiti ime i prezime i broj različitih ispita koje je pao (ako

More information

math.e Uparena optimizacijska metoda Sažetak Uvod Hrvatski matematički elektronički časopis

math.e Uparena optimizacijska metoda Sažetak Uvod Hrvatski matematički elektronički časopis 1 math.e Hrvatski matematički elektronički časopis Uparena optimizacijska metoda gradijentni i zrcalni spust hibridna ili uparena metoda konveksna optimizacija Luka Borozan, Slobodan Jelić, Domagoj Matijević,

More information

UNIVERZITET CRNE GORE Elektrotehnički fakultet, Podgorica

UNIVERZITET CRNE GORE Elektrotehnički fakultet, Podgorica UNIVERZITET CRNE GORE Elektrotehnički fakultet, Podgorica Materijal sa devetog termina predavanja iz EKSPERTNIH SISTEMA PREDIKATSKA LOGIKA Prof. dr Vesna Popović-Bugarin Podgorica, 2017. PREDIKATSKA LOGIKA

More information

Eduroam O Eduroam servisu edu roam Uputstvo za podešavanje Eduroam konekcije NAPOMENA: Microsoft Windows XP Change advanced settings

Eduroam O Eduroam servisu edu roam Uputstvo za podešavanje Eduroam konekcije NAPOMENA: Microsoft Windows XP Change advanced settings Eduroam O Eduroam servisu Eduroam - educational roaming je besplatan servis za pristup Internetu. Svojim korisnicima omogućava bezbedan, brz i jednostavan pristup Internetu širom sveta, bez potrebe za

More information

CJENIK APLIKACIJE CERAMIC PRO PROIZVODA STAKLO PLASTIKA AUTO LAK KOŽA I TEKSTIL ALU FELGE SVJETLA

CJENIK APLIKACIJE CERAMIC PRO PROIZVODA STAKLO PLASTIKA AUTO LAK KOŽA I TEKSTIL ALU FELGE SVJETLA KOŽA I TEKSTIL ALU FELGE CJENIK APLIKACIJE CERAMIC PRO PROIZVODA Radovi prije aplikacije: Prije nanošenja Ceramic Pro premaza površina vozila na koju se nanosi mora bi dovedena u korektno stanje. Proces

More information

Tutorijal za Štefice za upload slika na forum.

Tutorijal za Štefice za upload slika na forum. Tutorijal za Štefice za upload slika na forum. Postoje dvije jednostavne metode za upload slika na forum. Prva metoda: Otvoriti nova tema ili odgovori ili citiraj već prema želji. U donjem dijelu obrasca

More information

Otpremanje video snimka na YouTube

Otpremanje video snimka na YouTube Otpremanje video snimka na YouTube Korak br. 1 priprema snimka za otpremanje Da biste mogli da otpremite video snimak na YouTube, potrebno je da imate kreiran nalog na gmailu i da video snimak bude u nekom

More information

Srđana Obradović. Teorija brojeva u nastavi matematike. Diplomski rad

Srđana Obradović. Teorija brojeva u nastavi matematike. Diplomski rad SVEUČILIŠTE J. J. STROSSMAYERA U OSIJEKU ODJEL ZA MATEMATIKU Srđana Obradović Teorija brojeva u nastavi matematike Diplomski rad Osijek, 21. travnja 2017. SVEUČILIŠTE J. J. STROSSMAYERA U OSIJEKU ODJEL

More information

Korak X1 X2 X3 F O U R T W START {0,1}

Korak X1 X2 X3 F O U R T W START {0,1} 1) (8) Formulisati Traveling Salesman Problem (TSP) kao problem traženja. 2) (23) Dato je prostor stanja sa slike, sa početnim stanjem A i završnim stanjem Q. Broj na grani označava cijenu operatora, a

More information

Klasterizacija. NIKOLA MILIKIĆ URL:

Klasterizacija. NIKOLA MILIKIĆ   URL: Klasterizacija NIKOLA MILIKIĆ EMAIL: nikola.milikic@fon.bg.ac.rs URL: http://nikola.milikic.info Klasterizacija Klasterizacija (eng. Clustering) spada u grupu tehnika nenadgledanog učenja i omogućava grupisanje

More information

DEFINISANJE TURISTIČKE TRAŽNJE

DEFINISANJE TURISTIČKE TRAŽNJE DEFINISANJE TURISTIČKE TRAŽNJE Tražnja se može definisati kao spremnost kupaca da pri različitom nivou cena kupuju različite količine jedne robe na određenom tržištu i u određenom vremenu (Veselinović

More information

math.e Fibonaccijev brojevni sustav 1 Uvod Fibonaccijev brojevni sustav math.e Vol 16. Hrvatski matematički elektronički časopis

math.e Fibonaccijev brojevni sustav 1 Uvod Fibonaccijev brojevni sustav math.e Vol 16. Hrvatski matematički elektronički časopis 1 math.e Hrvatski matematički elektronički časopis Fibonaccijev brojevni sustav teorija brojeva Ljerka Jukić asistentica Odjela za matematiku Sveučilišta u Osijeku ljukic@mathos.hr Helena Velić studentica

More information

PROJEKTNI PRORAČUN 1

PROJEKTNI PRORAČUN 1 PROJEKTNI PRORAČUN 1 Programski period 2014. 2020. Kategorije troškova Pojednostavlj ene opcije troškova (flat rate, lump sum) Radni paketi Pripremni troškovi, troškovi zatvaranja projekta Stope financiranja

More information

Advertising on the Web

Advertising on the Web Advertising on the Web On-line algoritmi Off-line algoritam: ulazni podaci su dostupni na početku, algoritam može pristupati podacima u bilo kom redosljedu, na kraju se saopštava rezultat obrade On-line

More information

MODEL OBJEKTI - VEZE KONCEPTI MODELA METODOLOGIJA MODELIRANJA

MODEL OBJEKTI - VEZE KONCEPTI MODELA METODOLOGIJA MODELIRANJA MODEL OBJEKTI - VEZE MODEL OBJEKTI - VEZE KONCEPTI MODELA METODOLOGIJA MODELIRANJA MODELI PODATAKA Model objekti-veze Relacioni model Objektni model Objektno-relacioni model Aktivne baze podataka XML kao

More information

CJENOVNIK KABLOVSKA TV DIGITALNA TV INTERNET USLUGE

CJENOVNIK KABLOVSKA TV DIGITALNA TV INTERNET USLUGE CJENOVNIK KABLOVSKA TV Za zasnivanje pretplatničkog odnosa za korištenje usluga kablovske televizije potrebno je da je tehnički izvodljivo (mogude) priključenje na mrežu Kablovskih televizija HS i HKBnet

More information

STABLA ODLUČIVANJA. Jelena Jovanovic. Web:

STABLA ODLUČIVANJA. Jelena Jovanovic.   Web: STABLA ODLUČIVANJA Jelena Jovanovic Email: jeljov@gmail.com Web: http://jelenajovanovic.net 2 Zahvalnica: Ovi slajdovi su bazirani na materijalima pripremljenim za kurs Applied Modern Statistical Learning

More information

Naredba je uputa računalu za obavljanje određene operacije.

Naredba je uputa računalu za obavljanje određene operacije. OSNOVNI POJMOVI Naredba je uputa računalu za obavljanje određene operacije. Program je niz naredbi razumljivih računalu koje rješavaju neki problem. Postupak pisanja programa zovemo programiranje. Programski

More information

KAPACITET USB GB. Laserska gravura. po jednoj strani. Digitalna štampa, pun kolor, po jednoj strani USB GB 8 GB 16 GB.

KAPACITET USB GB. Laserska gravura. po jednoj strani. Digitalna štampa, pun kolor, po jednoj strani USB GB 8 GB 16 GB. 9.72 8.24 6.75 6.55 6.13 po 9.30 7.89 5.86 10.48 8.89 7.30 7.06 6.61 11.51 9.75 8.00 7.75 7.25 po 0.38 10.21 8.66 7.11 6.89 6.44 11.40 9.66 9.73 7.69 7.19 12.43 1 8.38 7.83 po 0.55 0.48 0.37 11.76 9.98

More information

KAKO GA TVORIMO? Tvorimo ga tako, da glagol postavimo v preteklik (past simple): 1. GLAGOL BITI - WAS / WERE TRDILNA OBLIKA:

KAKO GA TVORIMO? Tvorimo ga tako, da glagol postavimo v preteklik (past simple): 1. GLAGOL BITI - WAS / WERE TRDILNA OBLIKA: Past simple uporabljamo, ko želimo opisati dogodke, ki so se zgodili v preteklosti. Dogodki so se zaključili v preteklosti in nič več ne trajajo. Dogodki so se zgodili enkrat in se ne ponavljajo, čas dogodkov

More information

Zadaci za opštinsko takmičenje učenika osnovnih škola godine. V razred osmogodišnje i VI razred devetogodišnje

Zadaci za opštinsko takmičenje učenika osnovnih škola godine. V razred osmogodišnje i VI razred devetogodišnje BOSNA I HERCEGOVINA FEDERACIJA BOSNE I HERCEGOVINE TUZLANSKI KANTON MINISTARSTVO OBRAZOVANJA/NAOBRAZBE, NAUKE/ZNANOSTI, KULTURE I SPORTA/ŠPORTA PEDAGOŠKI ZAVOD BOSNIA AND HERZEGOVINA FEDERATION OF BOSNIA

More information

int[] brojilo; // polje cjelih brojeva double[] vrijednosti; // polje realnih brojeva

int[] brojilo; // polje cjelih brojeva double[] vrijednosti; // polje realnih brojeva Polja Polje (eng. array) Polje je imenovani uređeni skup indeksiranih vrijednosti istog tipa (niz, lista, matrica, tablica) Kod deklaracije, iza naziva tipa dolaze uglate zagrade: int[] brojilo; // polje

More information

- Italy. UNIVERZALNA STANICA ZA ZAVARIVANJE, SPOTER - sa pneumatskim pištoljem sa kontrolnom jedinicom TE95-10 KVA - šifra 3450

- Italy. UNIVERZALNA STANICA ZA ZAVARIVANJE, SPOTER - sa pneumatskim pištoljem sa kontrolnom jedinicom TE95-10 KVA - šifra 3450 - Italy UNIVERZALNA STANICA ZA ZAVARIVANJE, SPOTER - sa pneumatskim pištoljem sa kontrolnom jedinicom TE95-10 KVA - šifra 3450 ALATISTHERM D.O.O Koče Kapetana 25 35230 Ćuprija, Srbija Tel/fax : + 381 (0)

More information

3.2. Prikazati podatke o svim proizvodima, koji se proizvode u Zrenjaninu.

3.2. Prikazati podatke o svim proizvodima, koji se proizvode u Zrenjaninu. Primer 3. Data je sledeća šema baze podataka S = (S, I ), pri čemu je skup šema relacija: S = { Dobavljač({ID_DOBAVLJAČA, NAZIV, STATUS, GRAD}, {ID_DOBAVLJAČA}), Deo({ID_DETALJA, NAZIV, BOJA, TEŽINA, GRAD},

More information

LabVIEW-ZADACI. 1. Napisati program u LabVIEW-u koji računa zbir dva broja.

LabVIEW-ZADACI. 1. Napisati program u LabVIEW-u koji računa zbir dva broja. LabVIEW-ZADACI 1. Napisati program u LabVIEW-u koji računa zbir dva broja. Startovati LabVIEW Birati New VI U okviru Controls Pallete birati numerički kontroler tipa Numerical Control, i postaviti ga na

More information

- je mreža koja služi za posluživanje prometa između centrala

- je mreža koja služi za posluživanje prometa između centrala Spojna mreža - je mreža koja služi za posluživanje prometa između centrala Zvjezdasti T - sve centrale na nekom području spajaju se na jednu od njih, koja onda dalje posreduje njihov promet - u manjim

More information

1. Instalacija programske podrške

1. Instalacija programske podrške U ovom dokumentu opisana je instalacija PBZ USB PKI uređaja na računala korisnika PBZCOM@NET internetskog bankarstva. Uputa je podijeljena na sljedeće cjeline: 1. Instalacija programske podrške 2. Promjena

More information

Priprema podataka. NIKOLA MILIKIĆ URL:

Priprema podataka. NIKOLA MILIKIĆ   URL: Priprema podataka NIKOLA MILIKIĆ EMAIL: nikola.milikic@fon.bg.ac.rs URL: http://nikola.milikic.info Normalizacija Normalizacija je svođenje vrednosti na neki opseg (obično 0-1) FishersIrisDataset.arff

More information

Analiza fazi vremenskih serija

Analiza fazi vremenskih serija UNIVERZITET U NOVOM SADU PRIRODNO-MATEMATIĈKI FAKULTET DEPARTMAN ZA MATEMATIKU I INFORMATIKU Teodora Kneţević Analiza fazi vremenskih serija -Master rad- Novi Sad, 2013. Sadržaj Predgovor... 4 1. Analiza

More information

IZRADA TEHNIČKE DOKUMENTACIJE

IZRADA TEHNIČKE DOKUMENTACIJE 1 Zaglavlje (JUS M.A0.040) Šta je zaglavlje? - Posebno uokvireni deo koji služi za upisivanje podataka potrebnih za označavanje, razvrstavanje i upotrebu crteža Mesto zaglavlja: donji desni ugao raspoložive

More information

Windows Easy Transfer

Windows Easy Transfer čet, 2014-04-17 12:21 - Goran Šljivić U članku o skorom isteku Windows XP podrške [1] koja prestaje 8. travnja 2014. spomenuli smo PCmover Express i PCmover Professional kao rješenja za preseljenje korisničkih

More information

Primer-1 Nacrtati deo lanca.

Primer-1 Nacrtati deo lanca. Primer-1 Nacrtati deo lanca. 1. Nacrtati krug sa Ellipse alatkom i sa CTRL tasterom. 2. Napraviti kopiju kruga unutar glavnog kruga (desni klik za kopiju). 3. Selektovati oba kruga pa onda ih kombinovati

More information

KONFIGURACIJA MODEMA. ZyXEL Prestige 660RU

KONFIGURACIJA MODEMA. ZyXEL Prestige 660RU KONFIGURACIJA MODEMA ZyXEL Prestige 660RU Sadržaj Funkcionalnost lampica... 3 Priključci na stražnjoj strani modema... 4 Proces konfiguracije... 5 Vraćanje modema na tvorničke postavke... 5 Konfiguracija

More information

MRS MRSLab08 Metodologija Razvoja Softvera Vežba 08

MRS MRSLab08 Metodologija Razvoja Softvera Vežba 08 MRS MRSLab08 Metodologija Razvoja Softvera Vežba 08 LAB 08 Konceptualni model podataka Logički model podataka 1. Konceptualni model podataka Modeli podataka omogućavaju modelovanje semantičke i logičke

More information

Programiranje za internet zimski semestar 2013/2014. Java kroz primjere (skripta je u fazi izradi)

Programiranje za internet zimski semestar 2013/2014. Java kroz primjere (skripta je u fazi izradi) Programiranje za internet zimski semestar 2013/2014 Java kroz primjere (skripta je u fazi izradi) Zadatak broj 1 Nacrtati kocku. (Zanimljiv teži problem za razmišljanje: Nacrtat kocku čije će dimenzije

More information

Office 365, upute za korištenje elektroničke pošte

Office 365, upute za korištenje elektroničke pošte Office 365, upute za korištenje elektroničke pošte Naša ustanova koristi uslugu elektroničke pošte u oblaku, u sklopu usluge Office 365. To znači da elektronička pošta više nije pohranjena na našem serveru

More information

ANALIZA PRIMJENE KOGENERACIJE SA ORGANSKIM RANKINOVIM CIKLUSOM NA BIOMASU U BOLNICAMA

ANALIZA PRIMJENE KOGENERACIJE SA ORGANSKIM RANKINOVIM CIKLUSOM NA BIOMASU U BOLNICAMA ANALIZA PRIMJENE KOGENERACIJE SA ORGANSKIM RANKINOVIM CIKLUSOM NA BIOMASU U BOLNICAMA Nihad HARBAŠ Samra PRAŠOVIĆ Azrudin HUSIKA Sadržaj ENERGIJSKI BILANSI DIMENZIONISANJE POSTROJENJA (ORC + VRŠNI KOTLOVI)

More information

Sistemi diferencijalnih jednačina i primene u farmaciji i ekologiji

Sistemi diferencijalnih jednačina i primene u farmaciji i ekologiji UNIVERZITET U NOVOM SADU PRIRODNO-MATEMATIČKI FAKULTET DEPARTMAN ZA MATEMATIKU I INFORMATIKU Vladimir Francisti Sistemi diferencijalnih jednačina i primene u farmaciji i ekologiji master rad Novi Sad,

More information

SEGMENTIRANA REGRESIJA SA PRIMENOM

SEGMENTIRANA REGRESIJA SA PRIMENOM UNIVERZITET U NOVOM SADU PRIRODNO-MATEMATIČKI FAKULTET DEPARTMAN ZA MATEMATIKU I INFORMATIKU Suzana Vidić SEGMENTIRANA REGRESIJA SA PRIMENOM - master rad - Mentor: prof. dr Zorana Luţanin Novi Sad, 2014.

More information

Ciljevi. Poslije kompletiranja ove lekcije trebalo bi se moći:

Ciljevi. Poslije kompletiranja ove lekcije trebalo bi se moći: Pogledi Ciljevi Poslije kompletiranja ove lekcije trebalo bi se moći: Opisati pogled Formirati novi pogled Vratiti podatke putem pogleda Izmijeniti postojeći pogled Insertovani, ažurirati i brisati podatke

More information

STRUČNA PRAKSA B-PRO TEMA 13

STRUČNA PRAKSA B-PRO TEMA 13 MAŠINSKI FAKULTET U BEOGRADU Katedra za proizvodno mašinstvo STRUČNA PRAKSA B-PRO TEMA 13 MONTAŽA I SISTEM KVALITETA MONTAŽA Kratak opis montže i ispitivanja gotovog proizvoda. Dati izgled i sadržaj tehnološkog

More information

Upute za korištenje makronaredbi gml2dwg i gml2dgn

Upute za korištenje makronaredbi gml2dwg i gml2dgn SVEUČILIŠTE U ZAGREBU - GEODETSKI FAKULTET UNIVERSITY OF ZAGREB - FACULTY OF GEODESY Zavod za primijenjenu geodeziju; Katedra za upravljanje prostornim informacijama Institute of Applied Geodesy; Chair

More information

Commissioned by Paul and Joyce Riedesel in honor of their 45th wedding anniversary. Lux. œ œ œ - œ - œ œ œ œ œ œ œ œ œ œ. œ œ œ œ œ œ œ œ œ.

Commissioned by Paul and Joyce Riedesel in honor of their 45th wedding anniversary. Lux. œ œ œ - œ - œ œ œ œ œ œ œ œ œ œ. œ œ œ œ œ œ œ œ œ. LK0-0 Lux/ a caella $2.00 Commissioned by aul and Joyce Riedesel in honor of their 5th edding anniversary. Offertorium and Communio from the Requiem Mass f declamatory - solo - - - - U Ex - au - di o -

More information

TRENING I RAZVOJ VEŽBE 4 JELENA ANĐELKOVIĆ LABROVIĆ

TRENING I RAZVOJ VEŽBE 4 JELENA ANĐELKOVIĆ LABROVIĆ TRENING I RAZVOJ VEŽBE 4 JELENA ANĐELKOVIĆ LABROVIĆ DIZAJN TRENINGA Model trening procesa FAZA DIZAJNA CILJEVI TRENINGA Vrste ciljeva treninga 1. Ciljevi učesnika u treningu 2. Ciljevi učenja Opisuju željene

More information

PASCAL - Skripta sa zadacima i rješenjima -

PASCAL - Skripta sa zadacima i rješenjima - Elena Krelja-Kurelović, prof. PASCAL - Skripta sa zadacima i rješenjima - SADRŽAJ: I. UVOD U PASCAL...1 1. Tipovi podataka...2 2. Deklariranje varijabli...2 3. Definiranje konstanti...3 II. PISANJE PROGRAMA

More information

MINISTRY OF THE SEA, TRANSPORT AND INFRASTRUCTURE

MINISTRY OF THE SEA, TRANSPORT AND INFRASTRUCTURE MINISTRY OF THE SEA, TRANSPORT AND INFRASTRUCTURE 3309 Pursuant to Article 1021 paragraph 3 subparagraph 5 of the Maritime Code ("Official Gazette" No. 181/04 and 76/07) the Minister of the Sea, Transport

More information

ANALIZA PRIKUPLJENIH PODATAKA O KVALITETU ZRAKA NA PODRUČJU OPĆINE LUKAVAC ( ZA PERIOD OD DO GOD.)

ANALIZA PRIKUPLJENIH PODATAKA O KVALITETU ZRAKA NA PODRUČJU OPĆINE LUKAVAC ( ZA PERIOD OD DO GOD.) Bosna i Hercegovina Federacija Bosne i Hercegovine Tuzlanski kanton Ministarstvo prostornog uređenja i zaštite okolice ANALIZA PRIKUPLJENIH PODATAKA O KVALITETU ZRAKA NA PODRUČJU OPĆINE LUKAVAC ( ZA PERIOD

More information

NIS PETROL. Uputstvo za deaktiviranje/aktiviranje stranice Veleprodajnog cenovnika na sajtu NIS Petrol-a

NIS PETROL. Uputstvo za deaktiviranje/aktiviranje stranice Veleprodajnog cenovnika na sajtu NIS Petrol-a NIS PETROL Uputstvo za deaktiviranje/aktiviranje stranice Veleprodajnog cenovnika na sajtu NIS Petrol-a Beograd, 2018. Copyright Belit Sadržaj Disable... 2 Komentar na PHP kod... 4 Prava pristupa... 6

More information

Sveučilište u Zagrebu Fakultet strojarstva i brodogradnje. Ida Midžić. Zagreb, 2009.

Sveučilište u Zagrebu Fakultet strojarstva i brodogradnje. Ida Midžić. Zagreb, 2009. Sveučilište u Zagrebu Fakultet strojarstva i brodogradnje Ida Midžić Primjena formalne gramatike u razvoju proizvoda Zagreb, 2009. Ovaj rad izrađen je na Fakultetu strojarstva i brodogradnje, Katedri za

More information

Implementacija sparsnih matrica upotrebom listi u programskom jeziku C

Implementacija sparsnih matrica upotrebom listi u programskom jeziku C INFOTEH-JAHORINA Vol. 10, Ref. E-I-15, p. 461-465, March 2011. Implementacija sparsnih matrica upotrebom listi u programskom jeziku C Đulaga Hadžić, Ministarstvo obrazovanja, nauke, kulture i sporta Tuzlanskog

More information

Halina, Hesus. (Advent) œ N œ œ œ. œ œ œ œ œ. œ. œ œ œ œ. œ œ. C F G7sus4. œ. # œ œ J œ œ œ J. œ œ. J œ. # œ. # œ œ œ

Halina, Hesus. (Advent) œ N œ œ œ. œ œ œ œ œ. œ. œ œ œ œ. œ œ. C F G7sus4. œ. # œ œ J œ œ œ J. œ œ. J œ. # œ. # œ œ œ 2 Rene B avellana, S Keyboard INTRO/INAL (e = 144 152) Œ % RERAIN Slower (e = ca 92) Soprano % Alto Tenor Bass Ha - /E Slower (e = ca 92) li - na, He-sus, Ha - (Advent) 7 7sus4 # E/ # # # 7 7 Eduardo P

More information

1. LETNIK 2. LETNIK 3. LETNIK 4. LETNIK Darinka Ambrož idr.: BRANJA 1 (nova ali stara izdaja)

1. LETNIK 2. LETNIK 3. LETNIK 4. LETNIK Darinka Ambrož idr.: BRANJA 1 (nova ali stara izdaja) Seznam učbenikov za šolsko leto 2013/14 UMETNIŠKA GIMNAZIJA LIKOVNA SMER SLOVENŠČINA MATEMATIKA MATEMATIKA priporočamo za vaje 1. LETNIK 2. LETNIK 3. LETNIK 4. LETNIK Darinka Ambrož idr.: BRANJA 1 (nova

More information

math.e Neke primjene svojstva konveksnosti i konkavnosti u ekonomiji Dorian Čudina, Ivana Slamić 1 Uvod 2 Osnovna svojstva

math.e Neke primjene svojstva konveksnosti i konkavnosti u ekonomiji Dorian Čudina, Ivana Slamić 1 Uvod 2 Osnovna svojstva 1 math.e Hrvatski matematički elektronički časopis Neke primjene svojstva konveksnosti i konkavnosti u ekonomiji ekonomija geometrija konveksnost 1 Uvod Dorian Čudina, Ivana Slamić Konveksnost je jednostavan

More information

Uticaj parametara PID regulatora i vremenskog kašnjenja na odziv i amplitudno-faznu karakteristiku sistema Simulink

Uticaj parametara PID regulatora i vremenskog kašnjenja na odziv i amplitudno-faznu karakteristiku sistema Simulink LV6 Uticaj parametara PID regulatora i vremenskog kašnjenja na odziv i amplitudno-faznu karakteristiku sistema Simulink U automatizaciji objekta često koristimo upravljanje sa negativnom povratnom vezom

More information

ENR 1.4 OPIS I KLASIFIKACIJA VAZDUŠNOG PROSTORA U KOME SE PRUŽAJU ATS USLUGE ENR 1.4 ATS AIRSPACE CLASSIFICATION AND DESCRIPTION

ENR 1.4 OPIS I KLASIFIKACIJA VAZDUŠNOG PROSTORA U KOME SE PRUŽAJU ATS USLUGE ENR 1.4 ATS AIRSPACE CLASSIFICATION AND DESCRIPTION VFR AIP Srbija / Crna Gora ENR 1.4 1 ENR 1.4 OPIS I KLASIFIKACIJA VAZDUŠNOG PROSTORA U KOME SE PRUŽAJU ATS USLUGE ENR 1.4 ATS AIRSPACE CLASSIFICATION AND DESCRIPTION 1. KLASIFIKACIJA VAZDUŠNOG PROSTORA

More information

Da bi se napravio izvještaj u Accessu potrebno je na izborniku Create odabrati karticu naredbi Reports.

Da bi se napravio izvještaj u Accessu potrebno je na izborniku Create odabrati karticu naredbi Reports. IZVJEŠTAJI U MICROSOFT ACCESS-u (eng. reports) su dijelovi baze podataka koji omogućavaju definiranje i opisivanje načina ispisa podataka iz baze podataka na papir (ili PDF dokument). Način izrade identičan

More information

Bušilice nove generacije. ImpactDrill

Bušilice nove generacije. ImpactDrill NOVITET Bušilice nove generacije ImpactDrill Nove udarne bušilice od Bosch-a EasyImpact 550 EasyImpact 570 UniversalImpact 700 UniversalImpact 800 AdvancedImpact 900 Dostupna od 01.05.2017 2 Logika iza

More information

Matematika u Rubikovoj kocki

Matematika u Rubikovoj kocki Sveučilište J.J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Sveučilišni nastavnički studij matematike i informatike Marina Barišić Matematika u Rubikovoj kocki Diplomski rad Osijek, 2011. Sveučilište J.J.

More information

RJEŠAVANJE BUGARSKOG SOLITERA

RJEŠAVANJE BUGARSKOG SOLITERA SVEUČILIŠTE U SPLITU PRIRODOSLOVNO MATEMATIČKI FAKULTET ZAVRŠNI RAD RJEŠAVANJE BUGARSKOG SOLITERA Bože Brečić Split, rujan 2015. Sadržaj 1. Uvod... 1 1.1. Povijest bugarskog solitera... 1 1.2. Slični

More information

RANI BOOKING TURSKA LJETO 2017

RANI BOOKING TURSKA LJETO 2017 PUTNIČKA AGENCIJA FIBULA AIR TRAVEL AGENCY D.O.O. UL. FERHADIJA 24; 71000 SARAJEVO; BIH TEL:033/232523; 033/570700; E-MAIL: INFO@FIBULA.BA; FIBULA@BIH.NET.BA; WEB: WWW.FIBULA.BA SUDSKI REGISTAR: UF/I-1769/02,

More information

FORMALNI DOKAZI U PROGRAMIRANJU

FORMALNI DOKAZI U PROGRAMIRANJU Sveučilište Jurja Dobrile u Puli Fakultet ekonomije i turizma «Dr. Mijo Mirković» Kristijan Šarić FORMALNI DOKAZI U PROGRAMIRANJU Završni rad Pula, 2015. Sveučilište Jurja Dobrile u Puli Fakultet ekonomije

More information

TEHNO SISTEM d.o.o. PRODUCT CATALOGUE KATALOG PROIZVODA TOPLOSKUPLJAJUĆI KABLOVSKI PRIBOR HEAT-SHRINKABLE CABLE ACCESSORIES

TEHNO SISTEM d.o.o. PRODUCT CATALOGUE KATALOG PROIZVODA TOPLOSKUPLJAJUĆI KABLOVSKI PRIBOR HEAT-SHRINKABLE CABLE ACCESSORIES TOPOSKUPJAJUĆI KABOVSKI PRIBOR HEAT-SHRINKABE CABE ACCESSORIES KATAOG PROIZVODA PRODUCT CATAOGUE 8 TEHNO SISTEM d.o.o. NISKONAPONSKI TOPOSKUPJAJUĆI KABOVSKI PRIBOR TOPOSKUPJAJUĆE KABOVSKE SPOJNICE kv OW

More information

Nizovi. Sintaksa. ili. var pera,mika,laza,...,zoran1,zoran2,...,pera1254:real;

Nizovi. Sintaksa. ili. var pera,mika,laza,...,zoran1,zoran2,...,pera1254:real; Nizovi Standardni i nestandardni prosti tipovi podataka (celobrojni, realni, logički, znakovni, nabrojivi i intervalni) mogu biti sasvim dovoljni pri rešavanju manjih i jednostavnijih problema. Međutim,

More information

Kooperativna meteorološka stanica za cestovni promet

Kooperativna meteorološka stanica za cestovni promet Kooperativna meteorološka stanica za cestovni promet Marko Gojić LED ELEKTRONIKA d.o.o. marko.gojic@led-elektronika.hr LED Elektronika d.o.o. Savska 102a, 10310 Ivanić Grad, Croatia tel: +385 1 4665 269

More information

MS Excel VBA za studente kemije

MS Excel VBA za studente kemije MS Excel VBA za studente kemije - podsjetnik - Ovaj podsjetnik sadrži kratka objašnjenja i pravilni način pisanja (sintaksu) za sve naredbe koje su obrađene tijekom održavanja Računalnog praktikuma 2.

More information

Služi za brisanje prethodno upisanih sadržaja u čitavom worksheetu. Opcija nije nužna, ali je korisna.

Služi za brisanje prethodno upisanih sadržaja u čitavom worksheetu. Opcija nije nužna, ali je korisna. MS Excel VBA za studente kemije - podsjetnik - Ovaj podsjetnik sadrži kratka objašnjenja i pravilni način pisanja (sintaksu) za sve naredbe koje su obrađene tijekom održavanja Računalnog praktikuma. Dodatak

More information

Programiranje. Nastava: prof.dr.sc. Dražena Gašpar. Datum:

Programiranje. Nastava: prof.dr.sc. Dražena Gašpar. Datum: Programiranje Nastava: prof.dr.sc. Dražena Gašpar Datum: 21.03.2017. 1 Pripremiti za sljedeće predavanje Sljedeće predavanje: 21.03.2017. Napraviti program koji koristi sve tipove podataka, osnovne operatore

More information

Ikone za brz pristup alatima. Slovne oznake kolona. ime. Traka sa alatima. Dugme Office Brojčane oznake redova

Ikone za brz pristup alatima. Slovne oznake kolona. ime. Traka sa alatima. Dugme Office Brojčane oznake redova Radno okruženje Informatička pismenost Tabelarni proračuni Polje za ime Dugme Office Brojčane oznake redova Polje za formule Ikone za brz pristup alatima Kartice (jezičci) radnih listova Traka sa alatima

More information

Adapted for classroom use by

Adapted for classroom use by Obogaćeni i dodatni program Tim Bell, za Ian učenike H. Witten osnovnih and škola Mike Fellows Adapted for classroom use by Created by Tim Bell, Ian H. Witten and Mike Fellows Adapted for classroom use

More information

Struktura i organizacija baza podataka

Struktura i organizacija baza podataka Fakultet tehničkih nauka, DRA, Novi Sad Predmet: Struktura i organizacija baza podataka Dr Slavica Aleksić, Milanka Bjelica, Nikola Obrenović Primer radnik({mbr, Ime, Prz, Sef, Plt, God, Pre}, {Mbr}),

More information

CAME-LISTA USKLAĐENOSTI SA PART M CAME-PART M COMPLIANCE LIST

CAME-LISTA USKLAĐENOSTI SA PART M CAME-PART M COMPLIANCE LIST Hrvatska agencija za civilno zrakoplovstvo / Croatian Civil Aviation Agency Ulica grada Vukovara 284, 10 000 Zagreb Tel.: +385 1 2369 300 ; Fax.: +385 1 2369 301 e-mail: ccaa@ccaa.hr CAME-LISTA USKLAĐENOSTI

More information

3. Obavljanje ulazno-izlaznih operacija, prekidni rad

3. Obavljanje ulazno-izlaznih operacija, prekidni rad 3. Obavljanje ulazno-izlaznih operacija, prekidni rad 3.1. Spajanje naprava u ra unalo Slika 3.1. Spajanje UI naprava na sabirnicu 3.2. Kori²tenje UI naprava radnim ekanjem Slika 3.2. Pristupni sklop UI

More information

WELLNESS & SPA YOUR SERENITY IS OUR PRIORITY. VAŠ MIR JE NAŠ PRIORITET!

WELLNESS & SPA YOUR SERENITY IS OUR PRIORITY. VAŠ MIR JE NAŠ PRIORITET! WELLNESS & SPA YOUR SERENITY IS OUR PRIORITY. VAŠ MIR JE NAŠ PRIORITET! WELLNESS & SPA DNEVNA KARTA DAILY TICKET 35 BAM / 3h / person RADNO VRIJEME OPENING HOURS 08:00-21:00 Besplatno za djecu do 6 godina

More information

Croatian Automobile Club: Contribution to road safety in the Republic of Croatia

Croatian Automobile Club: Contribution to road safety in the Republic of Croatia Croatian Automobile Club: Contribution to road safety in the Republic of Croatia DRTD 2018, Ljubljana, 5th December 2018 Mr.sc.Krešimir Viduka, Head of Road Traffic Safety Office Republic of Croatia Roads

More information

ECONOMIC EVALUATION OF TOBACCO VARIETIES OF TOBACCO TYPE PRILEP EKONOMSKO OCJENIVANJE SORTE DUHANA TIPA PRILEP

ECONOMIC EVALUATION OF TOBACCO VARIETIES OF TOBACCO TYPE PRILEP EKONOMSKO OCJENIVANJE SORTE DUHANA TIPA PRILEP ECONOMIC EVALUATION OF TOBACCO VARIETIES OF TOBACCO TYPE PRILEP EKONOMSKO OCJENIVANJE SORTE DUHANA TIPA PRILEP M. Mitreski, A. Korubin-Aleksoska, J. Trajkoski, R. Mavroski ABSTRACT In general every agricultural

More information

STRUKTURNO KABLIRANJE

STRUKTURNO KABLIRANJE STRUKTURNO KABLIRANJE Sistematski pristup kabliranju Kreiranje hijerarhijski organizirane kabelske infrastrukture Za strukturno kabliranje potrebno je ispuniti: Generalnost ožičenja Zasidenost radnog područja

More information

UNIVERZITET U BEOGRADU RUDARSKO GEOLOŠKI FAKULTET DEPARTMAN ZA HIDROGEOLOGIJU ZBORNIK RADOVA. ZLATIBOR maj godine

UNIVERZITET U BEOGRADU RUDARSKO GEOLOŠKI FAKULTET DEPARTMAN ZA HIDROGEOLOGIJU ZBORNIK RADOVA. ZLATIBOR maj godine UNIVERZITETUBEOGRADU RUDARSKOGEOLOŠKIFAKULTET DEPARTMANZAHIDROGEOLOGIJU ZBORNIKRADOVA ZLATIBOR 1720.maj2012.godine XIVSRPSKISIMPOZIJUMOHIDROGEOLOGIJI ZBORNIKRADOVA IZDAVA: ZAIZDAVAA: TEHNIKIUREDNICI: TIRAŽ:

More information

GRUPA RUBIKOVE KOCKE

GRUPA RUBIKOVE KOCKE SVEUČILIŠTE U ZAGREBU PRIRODOSLOVNO MATEMATIČKI FAKULTET MATEMATIČKI ODSJEK Marija Benko GRUPA RUBIKOVE KOCKE Diplomski rad Voditelj rada: Doc. dr. sc. Franka Miriam Brückler Zagreb, rujan, 2015. Ovaj

More information

Analiza berzanskog poslovanja

Analiza berzanskog poslovanja Ekonomski fakultet u Podgorici Analiza berzanskog poslovanja P8: Fundamentalna analiza cijena akcija Dr Saša Popovic Fundamentalna analiza Fundamentalna analiza predstavlja metod koji se koristi za odredivanje

More information

CRNA GORA

CRNA GORA HOTEL PARK 4* POLOŽAJ: uz more u Boki kotorskoj, 12 km od Herceg-Novog. SADRŽAJI: 252 sobe, recepcija, bar, restoran, besplatno parkiralište, unutarnji i vanjski bazen s terasom za sunčanje, fitnes i SPA

More information