NOSIVOST KRIŽNO ARMIRANIH PLOČA CAPACITY OF TWO-WAY SLABS

Transcription

1 6. INTERNACIONALNI NAUČNO-STRUČNI SKUP GRAĐEVINARSTVO - NAUKA I PRAKSA ŽABLJAK, MART 016. Igor Gukov 1, Dalibor Gelo NOSIVOST KRIŽNO ARMIRANIH PLOČA Rezime Prikazani su i međusobno uspoređeni različiti postupci proračuna pravokutnih ploča nosivih u dva smjera. Napravljene su tablice za njihov proračun prema rezultatima linearne teorije. U odnosu na linearnu teoriju, uslijed statičke neodređenosti ovakve ploče imaju dodatnu sigurnost koja ovisi o odnosu stranica i rubnim uvjetima. U sklopu rada napravljen je i računalni program za njihov proračun prema kriterijima graničnog stanja nosivosti i uporabljivosti. Ključne riječi Križno armirana ploča, MKE, teorija linije sloma, linearna teorija CAPACITY OF TWO-WAY SLABS Summar This paper presents and compares the different approaches of calculating the rectangular two-wa slabs. Tables are made based on the linear theor for their calculation. The fact that plate is staticall not defined structures and the have etra safet which is not taken in account in linear theor. Etra safet depends on the rectangular side s length relationship and boundar conditions. As part of this paper it is created the computer program for their calculation based on the ultimate and serviceabilit limit states. Kewords Two-wa slabs, FEM, ield line theor, linear theor 1 Dr.sc., dipl. ing. građ., Tehničko veleučilište Zagreb, igukov1@tvz.hr Mag.ing.aedif., Tehničko veleučilište Zagreb, dgelo@tvz.hr 101

2 Građevinarstvo - nauka i praksa 1. UVOD Ploče su ravni površinski nosači male debljine kod kojih opterećenje djeluje okomito na njihovu srednju ravninu. Debljine su ploča ograničene. Vrlo tanke ploče bi se pod opterećenjem suviše povile, pa bi se mijenjala raspodjela statičkih veličina pretpostavljena proračunom. Najmanja debljina ploče za koju se računa da nosi u jednom ili dva pravca mora iznositi 1/35 manjeg raspona, odnosno udaljenosti nultih točaka momenata savijanja kod kontinuiranih ili ukliještenih ploča, uz uvjet da ne smiju biti tanje od 7 cm za statičko kontinuirano opterećenje, a izuzetno za krovne ploče tanje od 5 cm. Debljina ploča po kojima se kreću vozila moraju imati najmanju debljinu od 10 cm za putnička i 1 cm za teretna vozila [1]. Proračun ploča provodi se na različite načine, koje možemo svrstati u dvije skupine: a) Proračun primjenom računalnih programa. Danas se u proračunu najčešće koriste numerički postupci među kojima metoda konačnih elemenata (MKE) ima najširu primjenu. b) Proračun prema tablicama različitih autora. Pomoću tablica i dijagrama moguće je brzo i jednostavno proračunati unutarnje sile potrebne za dimenzioniranje ploče, ovisno o opterećenju i rubnim uvjetima, a za standardne oblike ploča kao što su: pravokutni, trokutni, trapezni, kružni i prstenasti. U proračunu ploča nosivih u dva smjera koriste se teorijska i eksperimentalna istraživanja. Ploče se mogu proračunavati po linearnoj teoriji, linearnoj teoriji s ograničenom preraspodjelom, teoriji plastičnosti i po nelinearnoj teoriji [].. PRORAČUN PO TEORIJI ELASTIČNOSTI Linearna teorija pretpostavlja da je riječ o homogenom, elastičnom i izotropnom materijalu bez pukotina u vlačnoj zoni (naponsko stanje I). Linearna, nehomogena, parcijalna diferencijalna jednadžba četvrtog reda za elastičnu površinu w(,), koja se naziva jednadžbom ploče glasi: w w w q K (1) Gdje je: 10 K E h 3 1(1 ) - krutost ploče () q opterećenje = Poissonov koeficijent, E modul elastičnosti Kod ploča nosivih u dva smjera krutost ploče nije jednaka za oba smjera jer armature nisu jednake po položaju i veličini. Ipak, krutost ploče K najčešće se uzima bez utjecaja armature, jednaka u dva okomita smjera. Čim je poznata funkcija w(,), moguće je proračunati momente i sile u presjecima ploče. Izrazi su za momente savijanja [1]:

3 GNP 016 w w m K + (3) w w m K + (4) Točnih rješenja opće diferencijalne jednadžbe ima za samo neke primjere ploča. Rješenja diferencijalnih jednadžbi mogu se dobiti preko raznih približnih postupaka, najčešće preko jednostrukih i dvostrukih redova. Rješenje savijanje ploče možemo opisati u obliku sume beskonačnog Fourier-ova niza [1]: Radi usporedbe prikazanih postupaka proračuna za svaki je napravljen primjer za ploču dimenzija L /L =7m/5m, h=0cm, q=10kn/m, ν=0,. Odabirom slijedećih parametara: m=0, n=0, a=7m, b=5m, ν=0,, =3,5m i =,5m dobivamo vrijednosti momenta u sredini ploče, M =10,889kNm/m i M =18,16kNm/m. Ovi rezultati dobro se poklapaju s rezultatima dobivenim pomoću konačnih elemenata, SAP000. Ploča je podijeljena na 875 konačnih elemenata a vrijednosti maksimalnih momenata iznose M =10,885 knm/m i M =18,133kNm/m. (5) 3. TEORIJA LINIJE SLOMA Kod ploča koje su izložene savijanju javljaju se već kod malih opterećenja u vlačnim zonama pukotine. Pri povećavanju opterećenja povećava se njihov broj i veličina, a u dijelovima ploče, koji su najjače opterećeni, naprezanja u armaturi dostiže granicu popuštanja. Postupno se ova granica popuštanja dostiže i u ostaloj u svim šipkama, pa se u graničnom stanju ploča razdjeli na odvojene krute dijelove koji su duž linija dodira spojeni plastičnim zglobovima. Ova činjenica se koristi za proračun ploča prema teoriji granične ravnoteže ili linija sloma ploča. Linije sloma su idealizirane pukotine ploče, plastični zglobovi između pojedinih dijelova ploče gdje su momenti savijanja maksimalni i jednaki graničnim. Linije sloma formiraju sliku koja se naziva shema rušenja ili shema sloma. Teorija linija sloma je teorija plastičnosti kojom se vodi računa o stvarnom ponašanju materijala pod opterećenjem što raste do sloma. Poslije je ta teorija, koja je obuhvaćala samo jedan jedini kriterij, i to slom, zamijenjena kriterijem graničnog stanja u kojem su sadržana tri različita granična stanja: raspucavanje, deformiranje i nosivost [1]. Uzimajući u obzir tri osnovna uvjeta pojednostavnjene teorije plastičnosti: uvjet ravnoteže, uvjet mehanizma sloma i uvjet plastičnosti, mogu se dobiti nosive sposobnosti ploča. Granično opterećenje pronalazi se pomoću virtualnog rada. 103

4 Građevinarstvo - nauka i praksa Slika 1. Ploča u stanju granične nosivosti po teoriji linija sloma. Rješenje za pravokutnu ploču bez odizanja rubova glasi [3-7]: m b b 81 qb a a (6) Odnos koeficijenata za usvajanje graničnih momenata ploče sa neusidrenim i usidrenim uglovima je približno isti za različite odnose raspona ploče i iznosi 1,09. Granični moment ploče s neusidrenim kutevima možemo dobiti množenjem momenata ploče sa potpuno usidrenim kutevima koeficijentom 1,09 [4]. 4. METODA JEDNAKIH PROGIBA Pretpostavlja se da se ploča sastoji od niza međusobno okomitih zamišljenih samostalnih nosača, lamela raspona L, opterećenih teretom q, i lamela raspona L opterećenih teretom q, pri čemu za svaki element ploče mora biti zadovoljeno: q=q + q Iz uvjeta jednakih progiba dolazi se do izraza za opterećenje [1]: l q q q q l l l l 4 4 l ; (7) Momenti za svaki smjer dobiju se za slučaj ako ploča slobodno naliježe i kad se njezini kutovi mogu slobodno izdizati prema izrazima: M ql q l ; M (8)

5 GNP TABLICE RAZLIČITIH AUTORA U stručnoj literaturi prisutan je veći broj tablica i dijagrama pomoću kojih je moguće brzo i jednostavno proračunati unutarnje sile potrebne za dimenzioniranje ploče. Tablice su napravljene ovisno o opterećenju i rubnim uvjetima za standardne oblike ploča kao što su: pravokutni, trokutni, trapezni, kružni i prstenasti. Od autora tablica mogu se izdvojiti: Marcus [8], Czern [9], Bares [10], Grashoff, Roark i Löser. Slika. Primjeri oslanjanja ploča Löserove tablice po Marcusu izrađene su za proračun maksimalnih momenata savijanja za različite primjere oslanjanja pravokutnih ploča i za različite odnose raspona L /L od 0.5 do, te za jednoliko kontinuirano opterećenje. Izrazi za pozitivne momente savijanja u ploči imaju oblik [1]: l l, M maks, q l, M maks, ql (9) Metode utemeljene na teoriji plastičnosti mogu se upotrijebiti samo pri kontroli graničnih stanja nosivosti. Pri tome duktilnost kritičnih presjeka mora biti dovoljna za zamišljeni mehanizam. Teoriju plastičnosti treba temeljiti na donjoj graničnoj (statičkoj) metodi ili na gornjoj graničnoj (kinematičkoj) metodi. Učinci prijašnjih opterećenja smiju se općenito zanemariti, a smije se pretpostaviti postupno povećanje intenziteta djelovanja. 6. METODA KONAČNIH ELEMENATA Ploče se modeliraju mrežom konačnih elemenata, pri čemu se mogu modelirati sve nestandardne strukture ploča; nepravilna dispozicija, promjenljivi rubni uvjeti, točkasti oslonci i opterećenja, različiti otvori i oslabljenja, promjenjiva debljina i drugo. Posebnu pozornost treba posvetiti gustoći mreže, po potrebi izabrati mrežu s promjenjivim korakom u zoni singularnih točaka ploče. Upotrebom računalnog programa Sofistik napravljene su tablice za proračun ploča nosivih u dva okomita smjera opterećenih ravnomjerno podijeljenim opterećenjem po cijeloj ploči prema linearnoj teoriji metode konačnih elemenata. Tablice su napravljene za potrebe računalnog programa za sve slučajeve rubnih uvjeta. 105

6 Građevinarstvo - nauka i praksa Tabela 1. Tablice za proračun ploča nosivih u dva okomita smjera opterećenih ravnomjerno podijeljenim opterećenjem po cijeloj ploči Slučaj f USPOREDBA METODA PRORAČUNA Na primjeru ploče opisane u poglavlju napravljena je usporedba prikazanih postupaka proračuna. U tablici prikazane su vrijednosti maksimalnih momenata i njihova usporedba s linearnom teorijom. Tabela. Usporedba prikazanih postupaka proračuna R.b. Postupak M ma (knm/m) M 1 /M n 1. Suma Fourier-ova niza MKE Teorija linija sloma Tablice po Löseru Metoda jednakih progiba

7 GNP φ φ1-mke φ1-mke φ1-loser φ1-loser λ.00 Slika 3. Koeficijenti za proračun ploča - Slučaj 1 Dijagram na slici 3 prikazuje koeficijente za proračun pozitivnih momenata savijanja prema Löseru i prema metodi konačnih elemenata za slučaj rubnih uvjeta 1. Koeficijenti se razlikuju od 65% za odnos stranica do 5% za odnos stranica 1. Različite metode proračuna ploča možemo međusobno uspoređivati preko momenata u polju, na ležaju ili preko potrebne armature. Za ukupnu armaturu u polju može se uzeti A s,uk =A s L +A s L. Gdje su A s i A s potrebne armature za svaki smjer. Kako postoji veza između armature i momenta savijanja postupke možemo usporediti preko koeficijenta ML izračunatog po izrazu: ML M L M L (10) Moment M djeluje na duljini L i obrnuto. Slika 4 pokazuje odnos koeficijenata ML izračunatih za momente dobivene metodom konačnih elemenata i momente dobivene preko tablica po Löseru. Najveća razlika je kod kvadratnih ploča i iznosi 4% dok za λ=0.5 iznosi 13% MLmke/MLtabl Slika 4. Odnos koeficijenata ML za slučaj 1 Odnos maksimalnih momenata savijanja u polju izračunatih po linearnoj teoriji i teoriji linija sloma prikazana je na slici 5. U ovoj usporedbi odnos momenata se kreće od 9% za λ=1 do 4% za λ=. Slika 4 i 5 napravljene su za slučaj zglobnog oslanjanja na svim osloncima Slučaj 1. λ 107

8 Građevinarstvo - nauka i praksa 1.5 M,lin/ M,pl M,lin/ M,pl λ Slika 5. Odnos momenata savijanja izračunatih po linearnoj teoriji i teoriji linija sloma 8. ZAKLJUČAK Prikazani su i međusobno uspoređeni različiti postupci proračuna pravokutnih ploča nosivih u dva smjera. Od linearne teorije do metode linija sloma koja spada u gornju graničnu kinematičku metodu proračuna. Promatrane su pravokutne ploče opterećene jednolikim kontinuiranim opterećenjem. Za svih šest osnovnih slučajeva rubnih uvjeta napravljene su tablice za proračun ploča prema linearnoj teoriji. Proračun ploča danas isključivo je baziran na metodi konačnih elemenata i linearnoj teoriji. Armatura u donjoj zoni se određuje na osnovu maksimalnog momenata i s odabranom mrežom se armira po cijeloj površini. Uslijed statičke neodređenosti granično opterećenje takvih križno armiranih ploča je veće od proračunskog za 9 do 40%, ovisno od odnosu raspona i rubnim uvjetima. Za različite odnose raspona prikazana je ova funkcionalna ovisnost. U sklopu rada napravljen je i računalni program za njihov proračun prema kriterijima graničnog stanja nosivosti i uporabljivosti. LITERATURA [1] I. Tomičić: "Betonske konstrukcije", DHGK Zagreb, Zagreb 1996 [] M. Crnogorac, I. Gukov, B. Galić, M. Župan: "Stropne konstrukcije u standardnoj visokogradnji", Građevinar 5, 000, [3] K.W. Johansen, "Yield Line Theor, Cement and Concrete Association", London, 196. [4] R. Bareš: "Proračun ploča i zidnih platna prema graničnoj nosivosti", Beograd, 197, 10 str. [5] W.L. Shoemaker, "Computerized Yield Line Analsis of Rectangular Slabs", Concrete International, August, 1989, 6-65 [6] A. Hillerborg, "Yield Line Analsis", Concrete International, 1991 [7] D. Johnson, "Is Yield-Line Analsis Safe? ", proceedings of the Third Canadian Conference on Computing in Civil & Building Engineering, 1996, [8] H. Marcus, "Die vereinfachte Barechnung biegsamer Platten", nd ed., Springer-Verlag, Berlin, 199, 170 str. [9] F. Czern: "Tafeln für vierseitig gelagerte Rechteckplatten", Beton Kalender, Vol1, W. Ernst und Sohn, Berlin, 1965, pp [10] K.V. Balasubramanam and V. Kalanaraman, "Yield-Line Analsis b Linear Programming", J. Struct. Engineering, 114 (6), 1988,